Zbiory borelowskie, moc - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Zbiory borelowskie, moc - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (88.0 KB)
1 strona
920Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: zbiory borelowskie, moc.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria miary

Lista 3

Zad 1. Wyznaczy¢ pier±cie«, σ-pier±cie«, algebr¦ oraz σ-algebr¦ podzbiorów X = N generowan¡ przez

R1 = {A ⊂ N : |A| = 1}, R2 = {A ⊂ N : |A| = 2}, R3 = {{2n : n ∈ N}, {3n : n ∈ N}}

Zad 2. Wykaza¢, »e ka»da sko«czona σ-algebra jest generowana przez zbiór swoich atomów.

Zad 3. Poda¢ przykªad -algebry, która nie jest genereowana przez zbiór swoich atomów.

Zad 4. Czy istnieje σ-algebra skªadaj¡ca si¦ z n elementów, przy n = 1, 2, 3, 4, 5?

Zad 5. Czy istnieje niesko«czona σ-algebra przeliczalna?

Zad 6. Udowodni¢, »e dowolny element pier±cienia generowanego przez rodzin¦ S mo»na pokry¢ sko«czon¡ sum¡ elementów z S.

Zad 7. Pokaza¢, »e dla dowolnego elementu A σ-pier±cienia generowanego przez rodz- in¦ S istnieje przeliczalna podrodzina T ⊂ S taka, »e A jest elementem σ-pier±cienia generowanego przez T .

Zad 8. Pokaza¢, »e pier±cie« generowany przez rodzin¦ przeliczaln¡ jest przeliczalny.

Zad 9. Niech S b¦dzie dowoln¡ rodzin¡ podzbiorów X. Poªó»my S0 = S ∪ {∅, X} i indukcyjnie, dla ka»dej liczby porz¡dkowej α > 0, zdeniujmy

Sα =

(⋃ β<α

)∗ ,

gdzie C∗ oznacza rodzin¦ skªadaj¡c¡ si¦ z przeliczalnych sum ró»nic dwu zbiorów z C. Wykaza¢, »e je±li ω1 jest pierwsz¡ nieprzeliczaln¡ liczb¡ porz¡dkow¡, to σ-algebra σ(S) generowana przez S wyra»a si¦ wzorem

σ(S) = ⋃ α<ω1

Sα.

Zad 10. Pokaza¢, »e je»eli moc rodziny S jest niewi¦ksza ni» continuum, to równie» moc σ-algebry σ(S) jest niewi¦ksza ni» continuum.

Zad 11. Udowodni¢, »e σ-algebra zbiorów borelowskich przestrzeni topologicznej pokrywa si¦ z σ-algebr¡ generowan¡ przez zbiory domkni¦te.

Zad 12. Pokaza¢, »e na prostej euklidesowej R nast¦puj¡ce zbiory s¡ borelowskie

(a, b), [a, b), (a, b], [a, b], Q, R \Q.

Zad 13. Wykaza¢, »e istnieje niesko«czenie wiele podzbiorów przestrzeni euklidesowej

Rn nieb¦d¡cych zbiorami borelowskimi.

Zad 14. Niech {fn}n∈N b¦dzie ci¡giem ci¡gªych funkcji rzeczywistych na R. Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce zbiory s¡ borelowskie oraz okre±li¢ ich typ:

A = {x ∈ R : lim n→∞

fn(x) = +∞}

B = {x ∈ R : granica lim n→∞

fn(x) istnieje}

C = {x ∈ R : ci¡g {fn(x)}n∈N d¡»y do liczby wymiernej}

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome