Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (343.7 KB)
9 strona
807Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka bryły; zmiana układów odniesienia, prędkości i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 9
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
kinematyka_bryly cz1.pdf

5.3.1. Zmiana uk adów odniesienia

Z ka d! bry"! sztywn! mo emy zwi!za# uk"ad wspó"rz$dnych opisuj!cy ruch

tej bry"y w przestrzeni. Dlatego w dalszym ci!gu w kinematyce bry"y b$dziemy

si$ zajmowa# g"ównie

wzajemnym ruchem uk"adów

wspó"rz$dnych. Znaj!c ruch

uk"adu wspó"rz$dnych

x y z, , (rys. 5.8) sztywno zwi!zanego z bry"! (uk"adu

ruchomego) wzgl$dem

nieruchomego uk"adu

odniesienia x, y, z, b$dziemy

mogli obliczy# pr$dko%#

i przy%pieszenie wszystkich

punktów bry"y. W dalszej ko-

lejno%ci wyprowadzimy

zale no%ci geometryczne

pomi$dzy tymi uk"adami

wspó"rz$dnych.

y

i

z

x

z

y

x

rO

r

r

M i

jk

O

j

k

O

Rys. 5.8. Wyznaczenie zale no%ci pomi$dzy uk"adami

wspó"rz$dnych

W tym celu ustalmy zale no%ci pomi$dzy wspó"rz$dnymi w obu uk"adach tego

samego punktu M.

W pierwszej kolejno%ci rozpatrzmy zale no%ci pomi$dzy wersorami obu

uk"adów wspó"rz$dnych. Wersory i j k, , ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych zapiszemy w uk"adzie nieruchomym x, y, z:

x y z, ,

! " ! " ! "kkijjiiiii # $# $# % . (a)

Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów s! rzutami wersora

odpowiednio na osie x, y, z, s! one równie kosinusami kierunkowymi mi$dzy osi!

a osiami x, y, z, które oznaczymy :

i

x p p px x x y x z , ,

! " ! " ! " &'

& (

)

% %#

% %#

% %#

.pz,xcos

,py,xcos

,px,xcos

zx

yx

xx

ki

ji

ii

(b)

docsity.com

Podstawiwszy powy sze oznaczenia do wzoru (a) oraz post!piwszy podobnie

z wersorami j ki otrzymamy wzory:

& '

& (

)

$$%

$$%

$$%

.ppp

,ppp

,ppp

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

kjik

kjij

kjii

(5.23)

Widzimy, e do zapisania wersorów ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych w

uk"adzie nieruchomym nale y zna# dziewi$# kosinusów kierunkowych

zestawionych w poni szej tabeli.

x y z

i j k

x i px x px y px z y j py x py y py z z k pz x pz y pz z

Mi$dzy tymi dziewi$cioma kosinusami kierunkowymi istnieje sze%# zale no%ci.

Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).

& & & &

'

&& & &

(

)

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

%$$% #

.0pppppp

,0pppppp

,0pppppp

,1ppp

,1ppp

,1ppp

zxzzyxyzxxxz

zzzyyzyyxzxy

zyzxyyyxxyxx

zz

2 yz

2 xz

2 zy

2 yy

2 xy

2 zx

2 yx

2 xx

ik

kj

ji

kk

jj

ii

(5.24)

Dla wyznaczenia po"o enia uk"adu wspó"rz$dnych x y z, , wzgl$dem uk"adu x, y, z wystarczy poda# 6 wielko%ci:

a) trzy wspó"rz$dne wektora ! "r O O O Ox y z, , , b) trzy niezale ne kosinusy kierunkowe.

Obecnie wyznaczymy wspó"rz$dne wektora wodz!cego r punktu M w uk"adzie

x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, e wektor wodz!cy r tego punktu mo emy zapisa#

jako sum$ dwóch wektorów:

r r r% $ O . (5.25)

docsity.com

Wektor jest wektorem "!cz!cym pocz!tki obu uk"adów wspó"rz$dnych.

Zapiszemy go analitycznie w uk"adzie wspó"rz$dnych x, y, z:

r O

r i jk% $ $O O O Ox y z . (5.26)

Wektor jest wektorem wodz!cym punktu M w uk"adzie r x y z, , . Mo na go wyrazi# za pomoc! wspó"rz$dnych w tym uk"adzie:

% $ $ r i jx y z k . (5.27)

Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:

r r r i j k i j k% $ % $ $ $ $ $ O O O Ox y z x y z . (5.28)

Po zrzutowaniu powy szego wektora na osie uk"adu wspó"rz$dnych x, y, z oraz

wykorzystaniu zale no%ci (b) otrzymamy jego wspó"rz$dne w tym uk"adzie

wspó"rz$dnych:

& '

& (

)

$ $ $%#%

$ $ $%#%

$ $ $%#%

.pzpypxzz

,pzpypxyy

,pzpypxxx

zzzyzxO

yzyyyxO

xzxyxxO

kr

jr

ir

(5.29)

W podobny sposób mo na wyrazi# wspó"rz$dne wektora r w uk"adzie

. x y z, , Analogicznie mo na zapisa# dowolny wektor c dany w jednym uk"adzie

wspó"rz$dnych w drugim.

docsity.com

5.3.2. Pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu bry#y w ruchu

ogólnym

Dla rozpatrzenia kinematyki bry y przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie,

dwa uk ady wspó rz!dnych prostok"tnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i

pocz"tku w punkcie O, a drugi o osiach x y z, , i pocz"tku w dowolnym punkcie

(biegunie) , poruszaj"cy si! razem z bry " (rys. 5.8). O

Wektor wodz"cy dowolnego punktu M bry y w nieruchomym uk adzie

wspó rz!dnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sum" dwóch wektorów

,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1: r r O i

r r r! " O .

Wiadomo z kinematyki punktu, #e pr!dko$% punktu jest pochodn" wektora

wodz"cego r wzgl!dem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukan" pr!dko$% punktu M

wyra#a zale#no$%:

v r r

! " d d

d t

O

d t . (5.30)

Pochodna wektora r wzgl!dem czasu jest pr!dko$ci" punktu O O :

v r

i j ! ! " "O

O O O Od

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt k . (a)

Po zró#niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt x

d

dt y

d

dt z

d

dt

!

"

"

"

"

"

r i j k

i j k . (b)

Poniewa# wektor jest wektorem "cz"cym dwa punkty bry y sztywnej, wi!c

jego modu jest sta y,

r

!r const , a co za tym idzie, jego wspó rz!dne s"

wielko$ciami sta ymi niezale#nymi od czasu. Zatem ich pochodne wzgl!dem czasu

s" równe zeru.

x y z, ,

dx

dt

dy

dt

dz

dt

!

!

! 0 .

Wzór (b) przyjmuje wi!c posta%:

d

dt x

d

dt y

d

dt z

d

dt

!

"

"

r i j k . (c)

docsity.com

Wyst!puj"ce w tym wzorze pochodne wzgl!dem czasu wersorów i j k, , uk adu

ruchomego s" miar" zmiany ich kierunków w czasie, poniewa# ich modu y s" sta e.

Mo#na wykaza% [9], #e pochodne te mo#na wyrazi% za pomoc" wzorów:

k$ k

j$ j

i$ i

#!

#!

#!

td

d ,

td

d ,

td

d . (5.31)

Wektor $ jest pr!dko$ci" k"tow" charakteryzuj"c" zmiany kierunków osi

w czasie. W ruchomym uk adzie wspó rz!dnych pr!dko$% k"tow" $ mo#na

wyrazi% za pomoc" wspó rz!dnych:

zyx ,,

!$ $ $ $ " " x y zi j k . (d)

Po podstawieniu zale#no$ci (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:

% & % & % & % kji$k$j$i$ r

" " #! # " # " # !

zyxzyx td

d & .

Wyra#enie wyst!puj"ce w nawiasie, zgodnie z zale#no$ci" (5.27), jest wektorem

. Zatem r

r$ r

#!

td

d . (e)

Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór

na pr!dko$% dowolnego punktu M bry y w ruchu ogólnym.

r$vv #"! O . (5.32)

Z otrzymanego wzoru wynika, #e pr!dko$% dowolnego punktu M bry y jest

równa sumie pr!dko$ci dowolnie obranego bieguna v O O , przyj!tego za

pocz"tek ruchomego uk adu wspó rz!dnych, oraz iloczynu wektorowego

pr!dko$ci k"towej $ i promienia wodz"cego

r$ #

r punktu M w ruchomym uk adzie

wspó rz!dnych.

Na podstawie wzoru (5.32) mo#emy ponadto sformu owa% nast!puj"ce wnioski:

a) Pr!dko$% punktu zale#y od wyboru tego punktu. O

b) Pr!dko$% k"towa $ nie zale#y od wyboru punktu O , lecz jedynie od zmiany

kierunków osi w czasie. x y z, ,

c) Mimo zmiany punktu O pr!dko$% punktu M nie ulegnie zmianie, poniewa#

zmieni si! równie# odpowiednio wyra#enie r$ # .

docsity.com

Po zró#niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru na pr!dko$% (5.32) otrzymamy

przy$pieszenie punktu M:

td

d

td

d

td

d

td

d O r$r $vv

a

#" #"!! . (f)

Po oznaczeniu przy$pieszenia pocz"tku O ruchomego uk adu wspó rz!dnych

przez

a v

!O

Od

dt (g)

oraz przy$pieszenia k"towego przez

td

d$ % ! (h)

i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie ko&cow" posta%:

% &r$$r%aa ##" #"! O . (5.33)

Wzór ten mo#na przedstawi% w nieco innej postaci po rozpisaniu wyst!puj"cego

w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zale#no$ci" (2.34):

% &r$$r%aa '" #"! O r ( 2

' . (5.34)

Ze wzorów na pr!dko$% (5.32) i przy$pieszenie (5.33) wynika, #e aby

wyznaczy% pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego punktu M bry y, nale#y zna%

cztery wielko$ci wektorowe charakteryzuj"ce ruch ogólny bry y:

a) pr!dko$% i przy$pieszenie a jednego z punktów bry y (bieguna), v O O O

b) pr!dko$% k"tow" $ i przy$pieszenie k"towe bry y ).

Wyprowadzone w tym punkcie wzory na pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego

punktu bry y w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w nast!pnych

punktach tego rozdzia u szczególnych przypadków ruchu ogólnego bry y, czyli

post!powego, obrotowego, $rubowego, p askiego i kulistego.

docsity.com

5.3.3. Ruch post powy

Ruch bry y sztywnej nazywamy post!powym, je"eli dowolna prosta sztywno

zwi#zana z bry # pozostaje w czasie ruchu stale równoleg a do po o"enia

pocz#tkowego.

Z powy szej definicji wynika, e ka da z osi uk!adu wspó!rz"dnych

przedstawionego na rys. 5.8 b"dzie mia!a w ruchu post"powym ten sam kierunek.

Podobnie wektor nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem

b"dzie on wektorem sta!ym niezale nym od czasu:

x y z, ,

! r O M

const,! r wi"c jego pochodna

we wzorze (5.30) b"dzie równa zeru. St#d pr"dko$% dowolnego punktu bry!y

wyra a zale no$%:

v r

v! ! d

dt

O O . (5.35)

Po zró niczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przy$pieszenie.

a r v

a! ! ! d

dt

d

dt

O O O

2

2 . (5.36)

Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu post"powego wynikaj#

nast"puj#ce wnioski:

a) Wszystkie punkty bry!y sztywnej w ruchu post"powym maj# te same

pr"dko$ci i przy$pieszenia w tej samej chwili czasu. v O a O b) Tory wszystkich punktów bry!y maj# ten sam kszta!t.

c) Dla opisu ruchu post"powego bry!y wystarczy poda% równanie ruchu jednego

punktu bry!y, np. pocz#tku ruchomego uk!adu wspó!rz"dnych O´, " #r r !O O t .

docsity.com

5.3.4. Ruch obrotowy

Ruch bry y sztywnej nazywamy obrotowym, je!eli istnieje jedna prosta zwi"zana

z bry ", której punkty w czasie ruchu pozostaj" w spoczynku.

Za ó!my, !e osi" obrotu jest o# .

Dla u atwienia rozwa!a$ przyjmiemy

uk ad wspó rz%dnych zwi"zany z

bry " tak, aby o#

z

z pokrywa a si% z

osi" z uk adu nieruchomego oraz aby

jego pocz"tek O znajdowa si% w

punkcie O, jak na rys. 5.9.

Poniewa! wersor k = const, co

wynika z pokrywania si% osi z osi"

obrotu, jego pochodna wzgl%dem

czasu jest równa zeru. Zatem z

wyra!enia:

z

0 td

d ! "!

k

k

wynika, !e wektor # le!yna osi

obrotu. Z osi" obrotu pokrywa si% równie! wektor przy#pieszenia k"towego $. W

tej sytuacji wektory te mo!na zapisa& w nast%puj"cy sposób:

x

x

y

y

z=z

O=O

r=r M

#

$

%

%

Rys. 5.9. Ruch obrotowy bry y sztywnej

wokó sta ej osi obrotu

kk!kk ''oraz zz ! ! #! #! . (5.37)

Je!eli k"t mi%dzy osiami sta " x i ruchom" x oznaczymy przez %, to zale!no#&

% = %(t) jest równaniem ruchu obrotowego bry y wokó sta ej osi. Mo!na wykaza&

[9], !e pochodna wzgl%dem czasu k"ta obrotu % jest modu em pr%dko#ci k"towej, a

druga pochodna modu em przy#pieszenia k"towego:

2

2

td

d

td

d ' ,

td

d % !

# !

% !# . (5.38)

Z rysunku 5.9 wida&, !e promie$ wodz"cy punktu M jest równy r ,

poniewa!. Tym samym

r

r OO ! !O 0 v a ! !O Oi0 0 . Uwzgl%dniwszy

powy!sze zale!no#ci we wzorach na pr%dko#& (5.32) i przy#pieszenie (5.33) punktu

w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na pr%dko#& i przy#pieszenie dowolnego

punktu bry y w ruchu obrotowym wokó sta ej osi obrotu:

r v "! , (5.39)

docsity.com

& 'r r!a ""( "! . (5.40)

Przy#pieszenie mo!na zapisa& w postaci:

& 'r r!a )( "! r #* 2 . (5.41)

Dla ilustracji wektory pr%dko#ci przedstawimy na rys. 5.10.

.

an= #x (#x r)

r=r

as= $x r

#(#.r )

-#2r

v = # x r

a

#

$

O

l

M

)

Rys. 5.10. Sk adowe pr%dko#ci i przy#pieszenia w ruchu obrotowym bry y

Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 mo!emy

sformu owa& nast%puj"ce wnioski:

a) Pr%dko#& jest prostopad a do p aszczyzny przechodz"cej przez o# obrotu l

i punkt M, czyli jest styczna do okr%gu zakre#lonego przez punkt M.

b) Przy#pieszenie punktu M ma dwie sk adowe: styczn" do toru punktu M,

równ" r!a "!s , nazywan" przy#pieszeniem stycznym, i normaln", równ"

& r a ' ""!n , prostopad " do r v "!i , czyli skierowan" do #rodka krzy- wizny toru punktu M, nazywan" przy#pieszeniem normalnymlubdo#rodkowym.

c) Przy#pieszenie normalne mo!na roz o!y& na sk adow" równoleg " do osi

obrotu & r ' ) i sk adow" skierowan" do obranego punktu O równ" . r #* 2

Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w #rodku okr%gu zakre#lonego przez punkt

M, wtedy sk adowa przy#pieszenia normalnego równoleg a do osi obrotu b%dzie

równa zeru, , a przy#pieszenie normalne . W tym & ' 0! ) r ra #*! 2n

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome