Wzory - Notatki - Ekonometria - Część 2, Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Wzory - Notatki - Ekonometria - Część 2, Notatki'z Ekonometria. University of Szczecin

PDF (414.3 KB)
5 strona
2Liczba pobrań
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące ekonometrii: wzory i definicje zagadnień ekonometrycznych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Ekonometria

Rachunek macierzowy:  Mnożenie macierzy (schemat Falka)  Macierz symetryczna (iloczyn transponowany jest zawsze symetryczny)

 Macierz diagonalna (na przekątnej liczby, poza nią zera)  Macierz jednostkowa (jw. na przekątnej jedynki)  Macierz trójkątna (pod lub nad przekątną same zera)  Macierz nieosobliwa (gdy wyznacznik macierzy jest różny od zera)  Macierz ortogonalna (gdy iloczyn transponowany równy jest macierzy jednostkowej)  Macierz idenpotentna (gdy kwadrat macierz jest jej równy)  Macierz określona dodatnio (gdy wszystkie minory główne są dodatnie  Trace (ślad) macierzy (suma elementów na przekątnej  Rząd macierzy

Klasyczny model regresji linowej (KMRL):

Założenia normalnie zapisane Założenia w rachunku macierzowym

1. tttt xxy   2211 ... 1.   XY

2. Wartości tkt xx ...1 są znanymi

wartościami nielosowymi

2. X jest znaną macierzą nielosową

3. Między tkt xx ...1 nie ma dokładnej

zależności liniowej

3. r (X) = k (gdzie kT  )

4. Składniki losowe t są zmiennymi

losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych

4. 10)( TxE 

5. I. Rozproszenie mierzone odchylenie standardowym (S) jest takie samo dla wszystkich = wariancje (S2) składników losowych poszczególnych obserwacji są skończone i jednakowe:

constt  22)var( 

Składniki losowe poszczególnych obserwacji są między sobą nieskorelowane:

spr sp  0),( 

5. T

TTT

T

T

I

VCC

CVC

CCV

V 2

21

2212

1211

)(...),(),(

............

),(...)(),(

),(...),()(

)( 







 

   

   

Szacowanie wartości w KMRL:

  

  

Ty

y

Y ...

1

   

   

TkTT

k

k

xxx

xxx

xxx

X

...

............

...

...

21

22221

11211

- znane nam

  

  

k

 ...

1

  

  

2

1

...

 - nieznane

Macierze X,Y dla specyficznych modeli:

Model wielomianowy (może być wyższa potęga niż 2):   2210 XXY   

  

 2

2 11

1

.........

1

TT xx

xx

X

Y - bez zmian

docsity.com

Model hiperboliczny:   X

Y 1

10

    

    

Tx

x

X 1 ...

1

1

...

1 1

Y – bez zmian

Modele potęgowe i wykładnicze należy zlogarytmować obustronnie i podastawić - dalej regresja liniowa.

Twierdzenie Gaussa i Markowa (estymacja metodą MNK):

^ ^

YXXX TT 1)(  z macierzą kowariancji 12 )()(  XXV T

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Xy    

 

  

yy kT

yyyy kT

S T

t

t T

1

22 1)()( 1

^

przyjmuje się, że: 22 S błędy ocen parametrów: 12 )()(  ii

T i XXSD

korelacja: )()(

),cov( ),(

10

10 10



 

VV cor  -

współczynnik zbieżności:

 

  T

t

tt yy

SkT

1

2

2 2

)(

)(  współczynnik determinacji R2=1- 2

Klasyczny model normalnej regresji liniowej: (KMNRL):

KMRL + założenie 6: ε ma wielowymiarowy rozkład normalny (Gaussa) Budowa przedziałów ufności dla parametrów regresji:

^ ^ ^ ^

   1)}()({ iiiii DtDtP gdzie t to rozkład t-studenta o T-k stopniach swobody

( ,kTt  )

Uzyskany przedział liczbowy jest realizacją najkrótszego przedziału o końcach losowych w którym z zadanym prawdopodobieństwem (1- Testowanie istotności parametrów regresji:

* 1

* 0

:

:

ii

ii

H

H





 i

* = 0 – testowanie istotności wpływu zmiennej

objaśniajacej na objaśnianą)

sprawdzian testu:  

 ,

*

~ )(

kT i

ii t D

 - jeżeli moduł sprawdzianu testu (statystyki) jest większy od

wartości krytycznej (t ) to odrzucamy H0 na korzyść H1, jeżeli

statystyka jest mniejsza od wartości krytycznej to brak podstaw do odrzucenia H0 (zdarzenie wysoce prawdopodobne przy H0); uwaga: dotyczy: testu dwustronnego

Testowanie istotności układu współczynników regresji: Macierz X dzielimy na dwie części: X=[X1, X2] o wymiarach k1 i k2 (k1+k2

(1) (2)

Model ma wówczas postać:   )2(2 )1(

1 XXY

docsity.com

1 )2(

11 )2(

0 22 0:0: xkxk HH   - w H1 zakładamy, że przynajmniej jedna zmienna

objaśniająca z X2 ma wpływ na zmienna objaśnianą (Y)

sprawdzian testu: ,, 1

210

2 ~

)/(

/)( kTkF

kTSSE

kSSESSE

 - SSEi – suma kwadratów reszt dla Hi, reszta

analogicznie Przypadek szczególny: - model regresji z wyrazem wolnym (macierz X ma kolumnę jedynek) Testujemy wszystkie parametry regresji z wyjątkiem wyrazy wolnego (k2=k-1) – H0, H1 – jw.

sprawdzian testu: ,,12

2

~ )/()1(

)1/( kTkF

kTR

kR 



Testowanie stałości wariancji: Obserwacje, w których spodziewamy się mniejszej S2 grupujemy w Y(1) (wymiary T1 x 1) i odpowiadające

im X1 (T1 x k) Obserwacje, w których spodziewamy się większej S2 grupujemy w Y(2) (wymiary T2 x 1) i odpowiadające

im X2 (T2 x k)

Jeżeli T>T1+T2 to pozostałe obserwacje tworzą zbiór środkowy, jeżeli są sobie równe – brak zbioru środkowego

Budujemy dwa modele regresji i szacujemy ich parametry zwykłą MNK oraz liczymy S2 dla obu grup obserwacji.

2 1

2 21

2 2

2 10 ::   HH

sprawdzian testu: ),(),(2

1

2 2

12 ~

kTkT F

S

S 

Regresja nieliniowa – algorytm Gaussa – Newtona:

1. Punkty startowe dobieramy arbitralnie (w praktyce korzystając z jakiegoś przybliżenia) 2. W kolejnych krokach obliczamy kolejne przybliżenia parametrów:

)()(1)()()()1( )())()([( jTjjTjjj zAAA   

gdzie:

    

    

k

T

T

T

k

xfxf

xfxf

A

 ),(

... ),(

.........

),( ...

),(

)(

1

1

1

- macierz pochodnych cząstkowych,

a ),( )()( jj Xgyz  - wektor reszt, przy czym

  

  

),(

...

),(

),(

1

TXf

Xf

Xg - wektor funkcji

rzeczywistych 3. Sprawdzamy za każdym razem kryterium stopu:

 

 

 

)(

)()1(

j i

j i

j i

- przyjęte kryterium stopu (ustalona mała liczba)

)()(2 1 mTm zz kT

S

 - bo nie ma różnicy j czy j+1 jeżeli zatrzymaliśmy się na kryterium stopu –

statystycznie nierozróżnialne

^ ^ ^ ^ ^ ^

docsity.com

12 )]()([)(   AASV T i iicSD  2)( , gdzie cii testowanie jak KMRL

I funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra podstawowego):

2

1

 

t

t t M

M D po przekształceniach: tt

t

t M M

D   )ln(lnln 21 > 0

dobór punktu startowego: tttt DMMD 21   lub 122 1 11

1 21

1    tt MD

elastyczność:

t

t

t

t MD

D

M

M

D El

tt

 / mówi o ile procent zmieni się Dt przy gdy Mt wzrośnie o 1%

w tym przypadku:

t MD

M El

tt  

2

2 /

 - 2 1 – poziom nasycenia

II funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra wyższego rzędu):

0,,  

  

 

t

t t

M

M D - - poziom od którego można nabyć

dane dobro III funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra luksusowego):

0,,  

  

 

t

t tt M

M MD - poziom od którego można nabyć dane dobro, asymptoty ukośne

Ekonometryczne funkcje produkcji: Definicje charakterystyczne dla procesu produkcji:

1. Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika produkcji

ii z

Q

z

Q

 

 - informuje nas o ile jednostek wzrasta produkcja (Q), gdy nakład i-tego czynnika (zi)

wzrasta o jednostkę przy ustalonych nakładach pozostałych czynników

Powinna spełniać dwa postulaty: 00 2

2

 

 

ii z

Q i

z

Q

2. Elastyczność produkcji względem nakładu i-tego czynnika

i

i

i

i

i zQ

z

z

Q

Q

z

Q

Q

z

z

Q El

i

 

 

  :

ln

ln / - informuje nas w przybliżeniu o ile procent wzrośnie produkcja

(%), jeżeli nakład i-tego czynnika produkcji wzrośnie o 1% przy ustalonych nakładach pozostałych czynników 3. Lokalny współczynnik efektu skali

 

m

j

zQ j El 1

/ - informuje nas o ile w przybliżeniu wzrośnie produkcja (%), jeżeli nakłady wszystkich

czynników produkcji wzrosną naraz o 1%

lny współczynnik efektu skali jest równy globalnemu:

 

m

j

zQ j El 1

/

4. Izokwanty (krzywe / powierzchnie jednakowego produktu) – wszystkie te kombinacje czynników produkcji, które dają w efekcie tę samą produkcję

5. Krańcowa (techniczna stopa substytucji)

docsity.com

j

i ji

z

Q

z

Q

R

 - informuje w przybliżeniu ile dodatkowych jednostek nakładu czynnika j należy

zaangażować, aby wycofać jednostkę czynnika i nie zmieniając produkcji (przy ustalonych nakładach pozostałych czynników) – w książce jest odwrotnie R i / j

Funkcje produkcji:

I. Funkcja Cobba i Douglasa

 

m

j j jzQ

1

  lub 

 m

j

jj zQ 1

lnlnln 

Elastyczność: izQ i El / Produkcyjność krańcowa:

i i

i z

Q

z

Q 

 

Efekty skali (globalny równy lokalnemu):  

m

j

j

1

 - efekt skali i elastyczności są

niezmienne

– rosnący – stały – malejący efekt skali

Izokwanta: };,...,{( 0 1

1 QzRzz m

j j

m n

j   

  Krańcowa stopa substytucji:

i

j

j

i ji

z

z R 

Postać jawna izokwanty dla pracy i kapitału: K

L

K L Q

K

 

 

  

 

1

0

II. Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES / SMAC)

 

m

j jj zQ

1

)(  

 lub  

 m

j jj zQ

1

)(  



j lub   j

j jj

  ,1,0

– doskonała substytucyjność (prosta)

 ja Cobba i Douglasa ( ii   , krzywa)

dla  - technologia Leontieffa (doskonała komplementarność, wykres - L) K L

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome