Pobierz Całki podwójne, wspólrzędne biegunowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3 i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity! Analiza matematyczna III Lista 3 Zad 1. Naszkicować i zapisać we współrzędnych kartezjańskich figurę określoną we współrzędnych biegunowych (r, φ), gdzie a) r = 1, 0 ≤ φ ≤ π e) r = 1/ cosφ, |φ| ≤ π 2 i) 0 ≤ r ≤ 2 sinφ, 0 ≤ φ ≤ π b) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π f) r = 1/ cosφ, 0 ≤ φ ≤ π 4 j) 0 ≤ r ≤ 2| sinφ|, 0 ≤ φ ≤ 2π c) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ |φ| ≤ π 4 g) 0 ≤ r ≤ 1/ cosφ, 0 ≤ φ ≤ π 4 k) 0 ≤ r ≤ 3 sinφ, 0 ≤ φ ≤ π d) 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ φ ≤ 2π h) r = 2 sinφ, 0 ≤ φ ≤ π l) 2 sinφ ≤ r ≤ 3 sinφ, 0 ≤ φ ≤ π Zad 2. Zapisać we współrzędnych biegunowych figurę określoną we współrzędnych kartezjańskich. a) x2 + y2 = 1, y ≥ 0 f) x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x k) y = x, 3 ≤ x ≤ 5 b) x2 + y2 = 1 g) |y| ≤ x l) y = mx, x > 0 c) x2 + y2 ≤ 1 h) |y| < 5x m) y = mx, 3 ≤ x ≤ 5 d) 1 ≤ x2 + y2 < 4 i) y = x, x ≥ 0 n) x2 + (y − c)2 = c2, c > 0 e) x2 + y2 ≤ 1, x > 0 j) y = x, x < 0 o) y2 = 2x+ 1, c > 0. Zad 3. Obliczyć całki podwójne ∫∫ G f(x, y)dx dy w obszarze G. f G f G a) x2 + y2 x2 + y2 ≤ a2, a > 0 f) arctg y x x2 + y2 ≤ 16, x, y > 0 b) ex2+y2 x2 + y2 ≤ 1 g) √ 1−x2−y2 1+x2+y2 x2 + y2 ≤ 1, x, y > 0 c) e √ x2+y2 x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 h) 4xy x2−y2 x2+y2 x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ y ≤ x d) ln(1 + x2 + y2) x2 + y2 ≤ 4, |y| ≤ x i) √ x2 + y2 x2 + (y − 1)2 < 1 e) x2 + 4y + 9 x2 + y2 ≤ 4 j) xy (x− 1)2 + y2 ≤ 1, y ≥ x Zad 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego a) ograniczonego jedną pętlą lemniskaty r = a √ cos 2φ, |φ| ≤ π 2 ; b) ograniczonego pętlą krzywej czterolistnej r = a sin 2φ, 0 ≤ φ ≤ π; c) ograniczonego kardioidą r = a(1 + cosφ), 0 ≤ φ ≤ 2π; d) będącego różnicą kardioidy r = a(1 + cosφ) oraz koła r ≤ a (0 ≤ φ ≤ 2π); d) będącego przekrojem wnętrza kardioidy r = 4(1 + cosφ), |φ| ≤ π, i półpłaszczyzny x ≥ 3. Zad 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami a) x a + y b + z c = 1, x = 0, y = 0, z = 0 g) 2z = 4− x2 − y2, z = 0 b) x+ y + z = 6, 3x+ y = 6, 3x+ 2y = 12, z = 0, y = 0 h) z = √xy, z = 0, x = 0 c) z = 1 + x2 + y2, x+ y = 4, x = 0, y = 0, z = 0 i) 4x = y2 + z2, y = √ x, x = 3 d) z = x2 + y2, x = 0, y = 1, z = 0 j) x2 + y2 = 2x, z2 = 4x e) y2 = 3x, z = 0, z = 3− x k) 4z = 16− x2 − y2, z = 0, x2 + y2 = 4 f) z = x2 + y2, y = x2, z = 0, y = 1 l) x2 + y2 ≤ a2, x2 + z2 ≤ a2 Zad 6. Obliczyć pole płata danego równaniem jawnym z = z(x, y), gdzie (x, y) ∈ G: z G z G a) 3x+ 4y 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f) x2 2 0 ≤ x ≤ 2 √ 2, 1 2 x ≤ y ≤ 2x b) √ x2 + y2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 g) √ 25− x2 − y2 x2 + y2 ≤ 16 c) x 2+y2 2 x2 + y2 ≤ 1 h) √ 2xy 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a d) x2 + y2) x2 + y2 ≤ 1, |y| ≤ x i) √ x2 − y2 x2 + y2 ≤ a e) xy x2 + y2 ≤ 3 j) √ a2 − x2 − y2 x2 + y2 ≤ a docsity.com
