Zastosowanie metody monte carlo dla wyceny opcji europejskich, Publikacja'z Analiza regresji. Warsaw School of Economics
Bartek_Kurylowicz
Bartek_Kurylowicz4 January 2015

Zastosowanie metody monte carlo dla wyceny opcji europejskich, Publikacja'z Analiza regresji. Warsaw School of Economics

PDF (60.5 KB)
7 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Zastosowanie metody monte carlo dla wyceny opcji europejskich
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

0LFKDáPietrzak Katedra Ekonometrii i Statystyki 8QLZHUV\WHW0LNRáDMD.RSHUQLNDZ7RUXQLX

ZASTOSOWANIE METODY MONTE CARLO DLA WYCENY OPCJI EUROPEJSKICH

1. Wprowadzenie

Opcja jest instrumentem finansowym, którego posiadacz ma prawo do zakupu lub VSU]HGD*\ RNUHORQHJR Z XPRZLH LQVWUXPHQWX ILQDQVRZHJR ]ZDQHJR LQVWUXPHQWHP SLHUZRWQ\P 7UDQVDNFML ]DNXSX OXE VSU]HGD*\ RVRED SRVLDGDMFD RSFM  GRNRQXMH ] RVRE Z\VWDZLDMFRSFM 2SFMDGDMHSRVLDGDF]RZLSUDZRZ\NRQDQLDRSFMLQLHQDU]XFDQDWRPLDVW RERZL]NXZ\NRQDQLDRSFML

:\Uy*QLDVL GZDURG]DMHRSFML1: 1. Opcja kupna, której posiadacz ma prawo do zakupu instrumentu pierwotnego. 2SFMDVSU]HGD*\NWyUHMSRVLDGDF]PDSUDZRGRVSU]HGD*\LQVWUXPHQWXSLHUZRWQHJR

=HZ]JO GXQDWHUPLQZ\NRQDQLDRSFMHNXSQDLVSU]HGD*\G]LHOLP\QD 2SFMDDPHU\NDVNDNWyUHMSRVLDGDF]PR*H MZ\NRQDüZGRZROQ\PF]DVLHRGPRPHQWX MHMQDE\FLHGRWHUPLQXZ\JDQL FLD 2SFMDHXURSHMVNDNWyUHMSRVLDGDF]PR*HMZ\NRQDüMHG\QLHZWHUPLQLHZ\JDQL FLDRSFML 0R*QDZ\G]LHOLüWU]\IXQNFMHNWyUHRSFMHPDMVSHáQLDü2:  )XQNFMD XEH]SLHF]HQLRZD ,QZHVWRU]\ ]DEH]SLHF]DM VL  SU]\ SRPRF\ RSFML SU]HG VSDGNLHPOXEZ]URVWHPZDUWRFLLQVWUXPHQWXSLHUZRWQHJR )XQNFMDVSHNXODF\MQD,QZHVWRU]\SU]\SRPRF\RSFMLVSHNXOXMZFHOXRVLJQL FLDNRU]\FL ILQDQVRZ\FK]HZ]URVWXOXEVSDGNXZDUWRFLLQVWUXPHQWXSLHUZRWQHJR  7U]HFLD IXQNFMD SRVLDGDQLD RSFML SROHJD QD ]DSHZQLDQLX LQZHVWRURZL SR*GDQHM SU]H] niego struktury przychodów.

2. Problem wyceny opcji

7DN VDPR MDN Z SU]\SDGNX LQQ\FK LQVWUXPHQWyZ ILQDQVRZ\FK ZD*Q NZHVWL MHVW SUDZLGáRZD Z\FHQD RSFML

3  :\FHQD RSFML SRZLQQD ]PLHU]Dü GR X]\VNDQLD MHM ZDUWRFL

ÄSUDZG]LZHM´=ZL]DQHMHVWWR]IXQNFMDPLMDNLHRSFMDPDZ\SHáQLDü:SU]\SDGNXIXQNFML XEH]SLHF]HQLRZHMNRQLHF]QD MHVW]QDMRPRü FHQ\RSFMLE\ LQZHVWRUZáDFLZLHXEH]SLHF]\á SRVLDGDQ\ SU]H] VLHELH NDSLWDá : SU]\SDGNX IXQNFML VSHNXODF\MQHM SRUyZQDQLH U\QNRZHM

FHQ\RSFML] MHMFHQ WHRUHW\F]QSR]ZDODQDVSHNXODFM ZZ\QLNXNWyUHM LQZHVWRU]DUDELD ,VWQLHMGZDSRGVWDZRZHVSRVRE\Z\FHQ\RSFML0RGHOGZXPLDQRZ\]DSURSRQRZDQ\SU]H] Coxa, Rossa, Rubinsteina oraz model Blacka-Scholesa zaproponowany przez Blacka i Scholesa4 1DMEDUG]LHM SRSXODUQD MHVW IRUPXáD Z\FHQ\ Blacka-Scholesa. W przypadku jej OLF]HQLD ]DNáDGD VL  QDVW SXMFH ]DáR*HQLD 6WRSD ]ZURWX ZROQD RG U\]\ND MHVW VWDáD GR PRPHQWX Z\JDQL FLD RSFML 6WRS\ ]ZURWX DNFML PDM UR]NáDG QRUPDOQ\ 5\QHN MHVW HIHNW\ZQ\ 1LH Z\VW SXM QD U\QNX NRV]W\ WUDQVDNFML QLH LVWQLHM SRGDWNL RUD] REUyW

1 Zob., Jajuga K., Jajuga T., „Inwestycje”, PWN, Warszawa 2000 ,s. 189. 2=REWDP*HV 3=REWDP*HV 4=REWDP*HV

2 0LFKDáPietrzak

SDSLHUDPL MHVW Sá\QQ\ SU]H] FDá\ F]DV ,VWQLHMH PR*OLZRü NUyWNLHM VSU]HGD*\ &HQ VSUDZLHGOLZRSFMLSU]HGVWDZLDMNROHMQRGODRSFMLNXSQDLVSU]HGD*\Z]yULZ]yUJG]LH

sc PP , WRVSUDZLHGOLZHFHQ\RSFMLNXSQDLVSU]HGD*\ 0S R]QDF]DFHQ SRF]WNRZ K to cena

wykonania, r  R]QDF]D VWRS  ZROQ RG U\]\ND s oznacza odchylenie standardowe stóp zwrotu, a T WRWHUPLQZ\JDQL FLDRSFML

Wzór 1. Sprawiedliwa cena opcji kupna5

Wzór 2. Sprawiedliwa cena opcji kupna

3UyEDZ\FHQ\RSFMLSU]\SRPRF\Z\NáDGQLNDHursta

Wzór %ODFND6FKROHVD PR*QD SUyERZDü XRJyOQLü R PLDU  IUDNWDOQ MDN MHVW Z\NáDGQLN+XUVWD3R]ZROLáRE\WRZ]ERJDFLüZ]yUQDZDUWRüRSFMLRSHZQHQRZHZáDVQRFL -H*HOL ]DáR*\P\ L* Z\NáDGQLN +XUVWD MHVW SHZQ PLDU ]PLHQQRFL IUDNWDOQHM WRPR*H RQ SRVáX*\ü]DPLDU  U\]\ND:\NáDGQLN+XUVWDSU]\MPXMHZDUWRFL RG ]HUD GR MHGQRFL 3U]\ ZDUWRFLDFK]PLHU]DMF\FKZNLHUXQNX]HUDZVND]XMHRQQDURVQF]PLHQQRüIUDNWDOQFR R]QDF]DáRE\L*DNFMHVEDUG]LHMU\]\NRZQH%LRUFSRGXZDJ W LQIRUPDFM LXZ]JO GQLDMF MRND]DáRE\VL L*VSUDZLHGOLZDFHQDRSFMLSRZLQQDE\üZ\*V]DQL*ZDUWRüX]\VNDQD]H wzoru %ODFND6FKROHVDNWyUDMHVWOLF]RQDSU]\]DáR*HQLX+ 1DWRPLDVWSU]\ZDUWRFLDFK ]PLHU]DMF\FKGR MHGQRFLZ\NáDGQLN+XUVWDZVND]XMHQDPDOHMF ]PLHQQRü IUDNWDOQ FR ZLDGF]\R W\P L* DNFMH VWDM VL  FRUD]PQLHM U\]\NRZQH%LRUFSRGXZDJ  LQIRUPDFM  R Z\NáDGQLNX +XUVWD ZL NV]\P QL*  QDOH*DáRE\ VWZLHUG]Lü L* FHQD VSUDZLHGOLZD RSFML SRZLQQD E\ü QL*V]D QL* FHQD VSUDZLHGOLZD Z\QLNDMFD ]H Z]RUX Blacka-Scholesa. 6SUDZLHGOLZHFHQ\RSFMLNXSQDLVSU]HGD*\SU]HGVWDZLDMNROHMQRZ]yULZ]yU6.

5 Wzory na sprawiedliwe ceny opcji wraz z wyprowadzeniem zobacz Weron a., :HURQ5,Q*\QLHULDILQDQVRZD Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa 1999, s. 187. 6 Valkeila E.,On some properties of geometric fractional Brownian motions, University of Helsinki, Department of Mathematics, Helsinki 1998.

5,05,0 0

5,05,0 0

0

5,0)/(])/[ln(2

5,0)/(])/[ln(1

)2()exp()1(

sTsTrTKSd

sTsTrTKSd

dNrTKdNSPc

−+=

++=

−−=

5,05,0 0

5,05,0 0

0

5,0)/(])/[ln(2

5,0)/(])/[ln(1

)2()exp()1(

sTsTrTKSd

sTsTrTKSd

dNrTKdNSPs

−+=

++=

−−+−−=

Zastosowanie metody Monte Carlo dla wyceny opcji europejskich 3

Wzór 3. Sprawiedliwa cena opcji kupna

)2()exp()1(

2 ln

2 ln

2

2 ln

2 ln

1

0

22 0

22

0

22 0

22

0

dNrTKdNSP

sT

Ts rT

K

S

sT

Ts rT

S

K

dd

sT

Ts rT

K

S

sT

Ts rT

S

K

sTdsTd

c

H

H

H

H

H

H

H

H

HH

−−=

−+  

 

= +−

 

−=−=

++  

 

= +−

 

−=−=

:]yU6SUDZLHGOLZDFHQDRSFMLVSU]HGD*\

)2()exp()1(

2 ln

2 ln

2

2 ln

2 ln

1

0

2222

0

22 0

22

0

dNrTKdNSP

sT

Ts rT

K

P

sT

Ts rT

S

K

dd

sT

Ts rT

K

S

sT

Ts rT

S

K

sTdsTd

s

H

H

H

H

H

H

H

H

HH

−−+−−=

−+  

 

= +−

 

−=−=

++  

 

= +−

 

−=−=

'RNRQXMFREOLF]HVSUDZLHGOLZHMFHQ\RSFMLNXSQDLVSU]HGD*\QDSRGVWDZLHZ]RUX L Z]RUX   PR*QD VL  SU]HNRQDü L* U]HF]\ZLFLH Z PLDU  ]ZL NV]DQLD VL  ZDUWRFL Z\NáDGQLND +XUVWD FR R]QDF]D ]PQLHMV]DQLH VL  U\]\ND ]ZL]DQHJR ] LQVWUXPHQWHP SLHUZRWQ\P VSUDZLHGOLZD FHQD RSFML PDOHMH 'DQH ZHMFLRZH ]DZLHUD WDEHOD  QDWRPLDVW Z\QLNLREOLF]HSU]HGVWDZLDMWDEHOHL

Tabela 1 'DQHZHMFLRZH

Czas „T ” Stopa procentowa „ r

Cena SRF]WNRZDÄ 0S

Odchylenie standardowe „ s

Cena wykonania „ K

0,5 0,1 11,2 0,63 K(kupna)=12 . VSU]HGD*\ 

'UyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

Tabela 2 Sprawiedliwe ceny opcji kupna

OPCJA KUPNA H=0,5 H=0,55 H=0,6 H=0,65 Cena opcji 1,88 1,82 1,75 1,69

'UyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

4 0LFKDáPietrzak

Tabela 3 6SUDZLHGOLZHFHQ\RSFMLVSU]HGD*\

OPCJA 635=('$)<

H=0,5 H=0,55 H=0,6 H=0,65

Cena opcji 1,1 1,04 0,98 0,93

'UyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

3UyEDRV]DFRZDQLDVSUDZLHGOLZHMFHQ\RSFML]DSRPRFPHWRG\0RQWHCarlo7

&KFFGRNRQDüSUyE\ZHU\ILNDFMLXRJyOQLRQHJRZ]RUX%ODFND6FKROHVDRZ\NáDGQLN +XUVWD QDOH*\ VSUDZG]Lü MHJR SRSUDZQRü ]D SRPRF V\PXODFML: FHOX SU]HSURZDG]HQLD V\PXODFML PR*QD SRVáX*\ü VL  PHWRG 0RQWH &DUOR -HVW WR PHWRGD VáX*FD GR REOLF]DQLD ZLHONRFL GDMF\FK VL  SU]HGVWDZLü Z SRVWDFL ZDUWRFL RF]HNLZDQ\FK SHZQ\FK UR]NáDGyZ SUREDELOLVW\F]Q\FK 6SUDZLHGOLZ FHQ  RSFML Z XRJyOQLRQ\P PRGHOX Blacka-Scholesa PR*HP\ Z\UD]Lü ]D SRPRF ]G\VNRQWRZDQHM ZDUWRFL RF]HNLZDQHM IXQNFML Z\SáDW\ Tf , SROLF]RQHM Z]JO GHP PLDU\ PDUW\QJDáRZHM Q  -H*HOL R]QDF]\P\ VSUDZLHGOLZ FHQ  RSFML

OLWHU´D´WRZLHP\*HÄD´MHVWSHZQZDUWRFLRF]HNLZDQ]Z\SáDW\ tf )XQNFMDZ\SáDW\

dla opcji kupna wynosi ( )+−= KSf TT   QDWRPLDVW GOD RSFML VSU]HGD*\ ( )+−= TT SKf . )XQNFM Z\SáDW\PR*HP\R]QDF]\üOLWHUÄ[´-H*HOLMHVWHP\ZVWDQLHJHQHURZDüQLH]DOH*QH ZDUWRFL Ä[´ ] ]DáR*RQHJR UR]NáDGX ; WR ] PRFQHJR SUDZD ZLHONLFK OLF]E Z\QLND

QDVW SXMFD ]DOH*QRü ( ) anxxx nn

=+++ ∞→

)(...)2()1( 1

lim . W metodzie Monte Carlo dobrym

PLHUQLNLHP Eá GX MHVW ZLHONRü n

s , gdzie s  MHVW RGFK\OHQLHP VWDQGDUGRZ\P UR]NáDGX

]PLHQQHM Ä[´ 2]QDF]D WR L* ]ZL NV]DMF OLF]E  SUyE EáG RV]DFRZDQLD VL  ]PQLHMV]D :DUWRüRF]HNLZDQDMHVWOLF]RQDZ]JO GHPPLDU\PDUW\QJDáRZHM Q . Jako model ceny akcji QDOH*\]DVWRVRZDüJHRPHWU\F]Q\XáDPNRZ\UXFK%URZQDZ]JO GHPPLDU\ Q Z\UD*RQ\]D SRPRFZ]RUX,VWRW PHWRG\0RQWH&DUORNROHMQRGODRSFMLNXSQDLRSFMLVSU]HGD*\PR*QD Z\UD]Lü]DSRPRFZ]RUXLZ]RUX

Wzór 5. Sprawiedliwa cena opcji kupna dla metody Monte Carlo

( )  

  −=

  = ∑∑

=

+−

=

n

i T

rT n

i T

rT c KSn

ef n

eP 11

11

Wzór 6. Sprawiedliwa cena opcji kupna dla metody Monte Carlo

( )  

  −=

  = ∑∑

=

+−

=

n

i T

rT n

i T

rT s SKn

ef n

eP 11

11

7 Zob. Weron a., :HURQ5G]LHáRF\WRZDQHV

Zastosowanie metody Monte Carlo dla wyceny opcji europejskich 5

Wzór 7. Geometryczny ruch %URZQDZ]JO GHPPLDU\PDUW\QJDáRZHM48



 

 −+= HHt t

s rttsWSS 2

2

0 2 )(exp

Metoda Monte &DUOR]RVWDQLHSU]HSURZDG]RQDGODW\FKVDP\FKGDQ\FKZHMFLRZ\FK NWyU\FK X*\WR GR REOLF]DQLD VSUDZLHGOLZHM FHQ\ RSFMLZHGáXJ XRJyOQLRQHJRZ]RUXBlacka- 6FKROHVD L NWyUH ]RVWDá\ SRGDQH Z WDEHOL 3RUyZQDQLH Z\QLNyZ RVLJQL W\FK ]D SRPRF metody Monte &DUOR ] Z\QLNDPL X]\VNDQ\PL ]D SRPRF XRJyOQLRQHJR Z]RUX Blacka- 6FKROHVDGODRSFMLNXSQDLVSU]HGD*\SU]HGVWDZLDMNROHMQRWDEHODLWDEHOD

Tabela 4 Porównanie sprawiedliwych cen dla opcji kupna

OPCJA KUPNA H=0,5 H=0,55 H=0,6 H=0,65 Wzór Blacka-Scholesa 1,88 1,82 1,75 1,69 Metoda Monte Carlo 1,86 1,83 1,77 1,68

Tabela 5 3RUyZQDQLHVSUDZLHGOLZ\FKFHQGODRSFMLVSU]HGD*\

23&-$635=('$)< H=0,5 H=0,55 H=0,6 H=0,65 Wzór Blacka-Scholesa 1,1 1,04 0,98 0,93 Metoda Monte Carlo 1,08 1,05 0,97 0,91

1D SRGVWDZLH WDEHOL  L WDEHOL  QD VWZLHUG]Lü *H GOD XRJyOQLRQHJRZ]RUXBlacka- Scholesa oraz metody Monte &DUORZUD] ]HZ]UDVWDMF\PLZDUWRFLDPLZ\NáDGQLNDHursta ZDUWRFL RSFML NXSQD L VSU]HGD*\ XOHJDM SRPQLHMV]HQLX %LRUF SRG XZDJ  IDNW L* Z ZL NV]RFL SU]\SDGNyZ Z\NáDGQLN +XUVWD GOD QRWRZD DNFML MHVW ZL NV]\ RG +  QDOH*DáRE\ZQLRVNRZDü*HFHQDRSFMLZ\FHQLRQDNODV\F]Q\PZ]RUHPBlacka-Scholesa jest ]DZ\*RQD QLH MHVW RQD FHQ VSUDZLHGOLZ ,QZHVWRU ]DEH]SLHF]DMF\ VZyM NDSLWDá PyJáE\ ]DURELü SRQDG VWRS  ]ZURWX ZROQ RG U\]\ND QD VSU]HGD*\  RSFML Z\FHQLRQHM ]JRGQLH ] klasycznym wzorem Blacka-Scholesa.

5. Aproksymacja modelu Blacka-Scholesa w praktyce

1D:DUV]DZVNLHM*LHáG]LH3DSLHUyZ:DUWRFLRZ\FKQRWRZDQHVwarranty na akcje, LQGHNV\:,* L1,)0R*HP\Z\Uy*QLü GZD URG]DMHwarrantów. Warrant subskrypcyjny, NWyU\MHVWHPLWRZDQ\SU]H]VSyáNLZ\áF]QLHQDZáDVQHDNFMHPDMFHSRMDZLüVL ZSU]\V]áHM HPLVML D WDN*H warrant opcyjny, który jest emitowany przez banki oraz inne instytucje ILQDQVRZHQDDNFMHVSyáHNQRWRZDQ\FKSXEOLF]QLH:3ROVFHwarranty RSF\MQHVHPLWRZDQH przez banki. W przypadku warrantu RSF\MQHJRPR*QD]DVWRVRZDüIRUPXá Blacka-Scholesa w celu wyliczenia sprawiedliwej ceny ZDUUDQWX 0R*QD WH* ZDUUDQW Z\FHQLDü Z\NRU]\VWXMF PHWRG 0RQWHCarlo. Metoda Monte &DUORSRZLQQDE\ü]ELH*QDGRPRGHOXBlacka-Scholesa.

8 Zob. 9DONHLOD(G]LHáRF\WRZDQH

6 0LFKDáPietrzak

Wycenie i porównaniu teoretycznych cen z rzeczywistymi zostanie poddany warrant )6&(%5( HPLWRZDQ\ SU]H] %5(6$ ,QVWUXPHQWHP SLHUZRWQ\P V DNFMH VSyáNL ZLHFLH -HVW WR ZDUUDQW NXSQD PLHVL F]Q\ ] FHQ Z\NRQDQLD  ]áRW\FK RUD] GQLX UR]SRF] FLDQRWRZDURNX1DMSLHUZ]DSRPRFIRUPXá\%ODFND6FKROHVD]RVWDá\ SROLF]RQH VSUDZLHGOLZH FHQ\ RSFML QD ND*G\ G]LH QRWRZD:\NUHV  SU]HGVWDZLDZ\QLNL REOLF]H FHQ RSFML ]H Z]RUX Blacka-Scholesa oraz rzeczywiste ceny ZDUUDQWX 1DVW SQLH Z\NRQDQRV\PXODFM ]DSRPRFPHWRG\0RQWH&DUORLWDN*HGRNRQDQRZ\FHQ\warrantu na ND*G\ G]LH QRWRZD :\NUHV  SU]HGVWDZLD SRUyZQDQLH X]\VNDQ\FK Z\OLF]H ] rzeczywistymi cenami warrantu.

Wykres 1. Porównanie teoretycznych cen opcji wyliczonych ze wzoru Blacka-Scolesa z rzeczywistymi cenami opcji

Wykres 6

:\NUHV3RUyZQDQLHWHRUHW\F]Q\FKFHQRSFMLZ\OLF]RQ\FK]DSRPRFPHWRG\0RQWHCarlo z rzeczywistymi cenami opcji 'UyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

3RUyZQDQLHWHRUHW\F]Q\FKFHQRSFML]U]HF]\ZLVW\PLFHQDPL



















  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%ODFN

6FKROHV

+LVWRU\F]QH

FHQ\

3RUyZQDQLHWHRUHW\F]Q\FKFHQRSFML]U]HF]\ZLVW\PLFHQDPL



















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0RQWH&DUOR

+LVWRU\F]QH

FHQ\

Zastosowanie metody Monte Carlo dla wyceny opcji europejskich 7

5R]ZD*DMF ZHMFLH 3ROVNL GR 8QLL (XURSHMVNLHM PR*QD VWZLHUG]Lü *H IDNW WHQ SRZLQLHQ SR]\W\ZQLH ZSá\Qü QD SURFHV Z\FHQ\ RSFML SU]H] U\QHN 1DSá\Z GRGDWNRZHJR NDSLWDáX QD U\QHN LQVWUXPHQWyZ SRFKRGQ\FK ]QDF]QLH ]ZL NV]\ Sá\QQRü WHJR U\QNX MDN L MDNRüZ\FHQ\2]QDF]DWR*HNRU]\VWDMF]IRUPXá\%ODFND6FKROHVDPR*QDE G]LHX]\VNDü VSUDZLHGOLZFHQ RSFMLEDUG]R]EOL*RQGRU]HF]\ZLVWHMFHQ\RSFML7DNZL FSU]\VWSLHQLH Polski do Unii Europejskiej spowoduje znaczny spadek ryzyka inwestowania na rynku LQVWUXPHQWyZSRFKRGQ\FKRUD]]ZL NV]\DWUDNF\MQRüWHJRU\QNXGODLQZHVWRUyZ

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome