Przestrzeń topologiczna - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Przestrzeń topologiczna - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (126.1 KB)
1 strona
738Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: przestrzeń topologiczna.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 3 (przestrze« topologiczna, topologia podprzestrzeni, operacje na zbiorach)

Zad 1. Które z podanych rodzin stanowi¡ topologi¦ na zbiorze X = {a, b, c}: a) {{a}, {a, b}, {a, b, c}}, b) {∅, {a}, {b}, X}, c) {∅, {a}, {b, c}, X}, d) {∅, {a, b}, {b, c}, X}. Zad 2. Pokaza¢, »e w ka»dej przestrzeni topologicznej metryzowalnej X, to jest takiej w której topologia pochodzi od metryki,

a) zbiór jednoelementowy jest domkni¦ty, tzn. X jest przestrzeni¡ T1 b) dwa ró»ne punkty posiadaj¡ rozª¡czne otoczenia otwarte, tzn. X jest przestrzeni¡ T2.

Zad 3. Niech X b¦dzie zbiorem liczb naturalnych. Sprawdzi¢, które z danych rodzin s¡ topologiami na X:

F1 = {{1, 2, 3, ..., n} : n ∈ N} ∪ {∅,N}, F2 = {{1, 3, 5, ..., 2n− 1} : n ∈ N} ∪ {∅,N},

F3 = {A ⊂ X : |A| <∞ lub A = X} , F4 = {A ⊂ X : |X \ A| <∞ lub A = ∅} Dla rodzin b¦d¡cych topologiami wyznaczy¢ rodziny zbiorów domkni¦tych i sprawdzi¢, czy pochodz¡ one od metryki?

Zad 4. Opisa¢ najmniejsz¡ topologi¦ na pªaszczyznie X = R2, w której wszystkie proste s¡ zbiorami domkni¦tymi. Porówna¢ t¦ topologi¦ z topologi¡ euklidesow¡.

Zad 5. Niech (Y, d) b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni metrycznej (X, d). Niech τX oznacza topologi¦ na X i τY topologi¦ na Y . Pokaza¢, »e τY = {G ∩ Y : G ∈ τX}. Zad 6. Sprawdzi¢, »e je»eli (X, τ) jest przestrzeni¡ topologiczn¡ i Y ⊂ X, to para (Y, τY ), gdzie τY = {G ∩ Y : G ∈ τ} jest przestrzeni¡ topologiczn¡. Przestrze« (Y, τY ) nazywamy podprzestrzeni¡ przestrzeni topologicznej (X, τ).

Zad 7. Niech Y ⊂ R b¦dzie wyposa»ony w topologi¦ indukowan¡ z prostej euklidesowej X = R. a) Niech Y = [0, 1]. Które ze zbiorów A1 = [0, 1], A2 = [0,

1 2 ), A3 = [

1 3 , 1], A4 = (0, 1) s¡ otwarte,

a które domkni¦te w Y ?

b) Niech Y = (0, 1). Które ze zbiorów A1 = (0, 1), A2 = (0, 1 2 ), A3 = [

1 3 , 1), A4 = [

1 3 , 1 2 ] s¡ otwarte,

a które domkni¦te w Y ?

c) Niech Y = N. Wypisa¢ topologi¦ na X.

d) Niech Y = { 1 n : n ∈ N} ∪ {0}. Wyznaczy¢ wszystkie otwarto-domkni¦te podzbiory jednoele-

mentowe Y .

Zad 8. Niech A b¦dzie dowolnym zbiorem. Udowodni¢, »e je±li zbiór G jest otwarty, to

a) G ∩ A ⊂ G ∩ A, b) G ∩ A = G ∩ A, c) G = Int (G).

Zad 9. n-t¡ pochodn¡ A(n) zbioru A okre±lami indukcyjnie wzorami A(1) = Ad, A(n) = (A(n−1))d. Udowodni¢ »e dla dowolnych dwóch zbiorów A i B w przestrzeni topologicznej X speªnione s¡ nast¦- puj¡ce relacje

a) A ⊂ B ⇒ Ad ⊂ Bd, b) (A ∪B)d = Ad ∪Bd, c) (A ∩B)d ⊂ Ad ∩Bd, d) A(n+1) ⊂ A(n), gdzie w podpunkcie d) zakªadamy, »e X jest T1 -przestrzeni¡. Zad 10. Skonstruowa¢ podzbiór prostej euklidesowej R posiadaj¡cy n ró»nych pochodnych. Zad 11. W dowolnej przestrzeni topologicznej X udowodni¢ nast¦puj¡ce zale»no±ci

a) A ∪ Fr(A) = A, b) Fr(A) = A ∩X \ A, c) Fr(A) = ( A ∩X \ A

) ∪ ( A \ A

) ,

d) Fr(A) ∪ Fr(B) = Fr(A ∪B) ∪ Fr(A ∩B) ∪ ( Fr(A) ∩ Fr(B)

) , e) Fr(Int (A)) ⊂ Fr(A),

f) A = A ⇐⇒ Fr(A) = A ∩X \ A, g) A = Int (A) ⇐⇒ Fr(A) = A \ A,

h) A jest ró»nic¡ dwóch zbiorów domkni¦tych ⇐⇒ zbiór A \ A jest domkni¦ty.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome