Podstawy statystyki - Notatki - Statystyka - Część 2, Notatki'z Statystyka. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8424 March 2013

Podstawy statystyki - Notatki - Statystyka - Część 2, Notatki'z Statystyka. Warsaw School of Economics

PDF (1.6 MB)
37 strona
318Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach wyeksponowane zostają zagadnienia z zakresu statystyki: podstawy statystyki. Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 37
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
(Microsoft PowerPoint - wyklad_2_STUD [tryb zgodno\234ci])

Z m ie n n a l o s o w a i j e j ro z k ła d

W s p ó ła u to rk ą p o n iŜ s z y c h s la jd ó w

je s t

d r K a ta rz y n a K o c o t- G ó re c k a

docsity.com

Z M IE N N A L O S O W A

D e f. , Z m ie n n ą l o s o w ą j e s t z m ie n n a ,

k tó ra p rz y jm

u je r ó Ŝ n e w a rt o ś c i

lic z b o w e , w y z n a c z o n e p rz e z l o s .

(A .D . A c z e l ) J e s t to n ie p e w n o ś ć !! !

•W y n ik r z u tu k o s tk ą d o g ry ( lic z b a o c z e k )

•U ta rg w s u p e rm

a rk e c ie

•W a rt o ś ć W

IG

•Z u Ŝ y c ie p a liw

a p rz e z s a m o c h ó d n a t ra s ie

Id e ę p ra w d o p o d o b ie ń s tw a s to s u je m y

w te d y , g d y n ie m

a m y p e w n o ś c i.

docsity.com

R a c h u n e k

p ra w d o p o d o b ie ń s tw a z a jm

u je

s ie a n a liz ą p ra w r z ą d z ą c y c h

z d a rz e n ia m i lo s o w y m i.

P o ję c ia m i p ie rw

o tn y m i s ą :

•z d a rz e n ie e le m e n ta rn e ω

•z b ió r z d a rz e ń e le m e n ta rn y c h Ω

.

docsity.com

D e fi n ic ja p ra w d o p o d o b ie ń s tw a

(k la s y c z n a ) L a p la c e 'a ( 1 8 1 2 )

• P ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

z a jś c ia z d a rz e n ia A n a z y w a m y

il o ra z l ic z b y z d a rz e ń s p rz y ja ją c y c h z d a rz e n iu A d o l ic z b y

w s z y s tk ic h m

o Ŝ liw

y c h p rz y p a d k ó w , z a k ła d a ją c , Ŝ e

w s z y s tk ie p rz y p a d k i w z a je m n ie s ię w y k lu c z a ją i s ą

je d n a k o w o m

o Ŝ liw

e .

Je dn

a ko

st ka d o gr y

P ie rr e S im

on d e L ap la ce

(1 74

9- 18

27 )

P ra w do

po do

bi eń st w o w yr zu ce ni a 6 oc ze k?

P (6 )= 1 /6

docsity.com

P ra w d o p o d o b ie ń s tw o g e o m e tr y c z n e

G .L .L .B u ff o n

D e fi n ic ja k la s y c z n a n ie p o z w a la o b lic z a ć

p ra w d o p o d o b ie ń s tw a w p rz y p a d k u , g d y z b io ry A

i Ω

s ą n ie s k o ń c z o n e ( c ią g łe ), j e ś li je d n a k z b io ry t e m

a ją

in te rp re ta c ję g e o m e tr y c z n ą , z a m ia s t lic z e b n o ś c i

z b io ró w m

o Ŝ n a u Ŝ y ć m

ia ry g e o m e tr y c z n e j

G .L .B uf fo n

(1 70

7- 17

88 )

z b io ró w m

o Ŝ n a u Ŝ y ć m

ia ry g e o m e tr y c z n e j

(d łu g o ś ć , p o le p o w ie rz c h n i, o b ję to ś ć ).

t

T

docsity.com

D w ie o s o b y m

o g ą p rz y jś ć n a s p o tk a n ie w k a Ŝ d e j

c h w ili z p rz e d z ia łu [ 0 , 4 ]. O

b lic z y ć

p ra w d o p o d o b ie ń s tw o , Ŝ e j e d n a z t y c h o s ó b n ie

b ę d z ie m

u s ia ła c z e k a ć n a d ru g a d łu Ŝ e j n iŜ 2 m

in .

P rz y k ła d

2

2 4

docsity.com

S ta ty s ty c z n a d e fi n ic ja p ra w d o p o d o b ie ń s tw a

np . r zu t m

on et ą

J e Ŝ e li

p rz y

w ie lo k ro tn y m

p o w ta rz a n iu

d o ś w ia d c z e ń ,

u m o Ŝ liw

ia ją c y c h

w y s tą p ie n ie

z d a rz e n ia

A ,

c z ę s to ś ć

(w z g lę d n a

lic z e b n o ś ć )

te g o

z d a rz e n ia

o s c y lu je

w m ia rę

z w ię k s z a n ia

lic z b y d o ś w ia d c z e ń z c o ra z m n ie js z ą a m p lit u d ą

w o k ó ł

p e w n e j

lic z b y

p ,

to lic z b a

ta n a z y w a

s ię

p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

z a jś c ia

z d a rz e n ia

A .

docsity.com

T y p y z m ie n n y c h lo s o w y c h

• D e f

D e f

D e f

D e f. ...

Z m ie n n a lo so

w a

X je st

ty p u

ty p u

ty p u

ty p u

sk o k o w e g o

sk o k o w e g o

sk o k o w e g o

sk o k o w e g o ,

je śl i

m o Ŝe

p rz yj m o w a ć

sk o ń cz o n ą

lu b

n ie sk

o ń cz o n ą ,a

le p rz el ic za ln ą lic zb ę w a rt o śc i.

n ie sk

o ń cz o n ą ,a

le p rz el ic za ln ą lic zb ę w a rt o śc i.

• D e f

D e f

D e f

D e f. ... Z m ie n n a lo so

w a X je st

ty p u

ty p u

ty p u

ty p u c ią g łe g o

c ią g łe g o

c ią g łe g o

c ią g łe g o , je śl i

je j m o Ŝl iw e

w a rt o śc i n a le Ŝą

d o

p rz ed

zi a łu

ze zb io ru

lic zb

rz ec

zy w is ty ch

.

docsity.com

x i

0

1

2

3

p i

1 /8

3 /8

3 /8

1 /8

Z d a rz en ia e le m en ta rn e:

P P P , P P T , P T P , T P P , T P T , T T P , P T T , T T T

Z m ie n n a l o so w a : li cz b a t ra fi eń

n

P rz y k ła d : D o t a rc zy o d d a je s ię w s p o só b n ie za le Ŝn

y 3 s tr za ły .

P ra w d o p o d o b ie ń st w o t ra fi en

ia w t a rc zę p = 1 /2 ;

X –

li cz b a t ra fi eń

w t a rc zę

W y k r e s fu n k c ji p r a w d o p o d o b ie ń st w a z m ie n n e j lo so w e j X

p

3/ 8

.

.

1 /8 .

.

0

1

2

3 x

∑ = =

n

i ip 1

1

docsity.com

R o z k ła d z m ie n n e j lo s o w e j s k o k o w e j

= f u n k c ja p ra w d o p o d o b ie ń s tw a

to u p o rz ą d k o w a n y zb ió r w sz ys tk ic h w a rt o śc i z m ie n n ej x

i

w ra z z p rz yp

o rz ą d k o w a n ym

i i m

p ra w d o p o d o b ie ń st w a m i p

1 , p

2 , p

3 ,.. .p

n .

F u n k c ja p ra w d o p o d o b ie ń s tw a : p

= P (X = x

), g d z ie

F u n k c ja p ra w d o p o d o b ie ń s tw a : p

i = P (X = x

i ), g d z ie

• g d y z m ie n n a l o s o w a X

p rz y jm

u je s k o ń c z o n ą l ic z b ę n

w a rt o ś c i,

lu b

• g d y

z m ie n n a

lo s o w a

X p rz y jm

u je

n ie s k o ń c z o n ą

lic z b ę

w a rt o ś c i

∑ = =

n

i ip 1

1

) 2(

,1 1

= ∑∞ =i

i p

docsity.com

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

zm ie n n ej

zm ie n n ej

zm ie n n ej

zm ie n n ej

lo so

w ej

lo so

w ej

lo so

w ej

lo so

w ej

X je s t to

fu n k c ja

F (x ) o k re ś lo n a n a z b io rz e lic z b rz e c z y w is ty c h

F (x )

= P (X

≤ x ),

c z y li

je s t

to

p ra w d o p o d o b ie ń s tw o ,

Ŝ e

z m ie n n a

lo s o w a

X

p rz y jm

ie w a rt o ś ć n ie

w ię k s z ą o d w a rt o ś c i x .

D la

z m ie n n e j

lo s o w e j

X s k o k o w e j,

k tó ra

D la

z m ie n n e j

lo s o w e j

X s k o k o w e j,

k tó ra

p rz y jm

u je

w a rt o ś c i

x 1 ,

x 2 ,

.. .

z

p ra w d o p o d o b ie ń s tw a m i p

1 , p

2 , .. .,

d y s tr y b u a n ta

m a p o s ta ć :

( )

( )

∑ ∑

≤ ≤

= =

= x

x x

x i

i

i i

p x

X P

x F

( )

∞ <

< ∞

− x

docsity.com

D y st ry b u a n ta z m ie n n e j lo so w e j X

( )

  

< ≤

< ≤

< ≤

<

=

,3 1

,3 2

8/ 7

,2 1

8/ 4

,1 0

8/1

,0 0

x d la

x d la

x d la

x d la

x d la

x F

R oz kł ad p ra w do

po do

bi eń st w a

x 0

1 2

3

F (x ) 1 /8

4 /8

7 /8

1 iR oz kł ad d ys tr yb

ua nt y

F (x )

1

7

/8

4

/8

1

/8

0

1

2

3 x

  ≥

,3 1

x d la

docsity.com

W ła s n o ś c i d y s tr y b u a n ty :

• ( )

,1 0

≤ ≤

x F

d la − ∞ <

< +∞

x ,

• ( )

0 li m

= −∞

→ x

F x

or az

( )

,1 li m

= +∞

→ x

F x

( )

• ( ) x

F je st fu

nk cj ą ni em

al ej ąc ą

( dl a x 1 < x 2 z ac ho dz i

( )

( ) )

2 1

x F

x F

≤ i pr ze dz ia ła m i s ta łą ,

• ( ) x

F je st fu

nk cj ą pr aw

os tr on ni e ci ąg łą .

P (a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a )

docsity.com

R o z k ła d z m ie n n e j lo s o w e j

c ią g łe j

o p is a n y

je s t

p rz e z

fu n k c ją

g ę st o ś c i

p ra w d o p o d o b ie ń st w a

f( x ),

o k re ś lo n ą

n a

zb io rz e

li c zb

rz e c zy w is ty c h ja k o :

( )

( )

x

x x

X x

P x

f x

∆ ∆

+ ≤

< =

→ ∆

0 li m

docsity.com

W ła s n o ś c i fu n k c ja g ę s to ś c i

z m ie n n e j X

• ( )

,0 ≥

x f

b

( )

( )

x

x x

X x

P x

f x

∆ ∆

+ ≤

< =

→ ∆

0 li m

• ( )

( )

∫ ≤

< =

b a

b X

a P

d x

x f

dl a do

w ol ny ch a < b .

• ( )

( )

∫∞+ ∞− =

+∞ ≤

< ∞

− =

1 X

P d x

x f

cz yl i, po

zw al a ob

li cz ać p ra w do

po do

bi eń st w o zn al ez ie ni a zm

ie nn

ej

lo so w ej w d ow

ol ny

m p rz ed zi al e.

docsity.com

F u n k c ja g ę s to ś c i

p ra w d o p o d o b ie ń s tw a

f( x )

f( x)

( )

( )

∫ =

≤ <

b a

d x

x f

b X

a P

∫b a d x

x f

) (

a b

x C a łk o w it e p o le po

d w yk

re se m f( x)

w y n o si 1

docsity.com

D ef . D ys tr yb u a n tę z m ie n n ej l o so w ej X

t yp u c ią g łe g o

m oŜ na o kr eś lić n as tę pu ją co :

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

D ys tr yb

u a n ta

zm ie n n ej

zm ie n n ej

zm ie n n ej

zm ie n n ej

lo so

w ej

lo so

w ej

lo so

w ej

lo so

w ej

X XXX je s t to

fu n k c ja

F (x )

o k re ś lo n a n a z b io rz e lic z b rz e c z y w is ty c h

F (x ) = P (X

≤ x ), c z y li je s t to

p ra w d o p o d o b ie ń s tw o , Ŝ e

z m ie n n a lo s o w a X

p rz y jm

ie w a rt o ś ć n ie

w ię k s z ą o d

w a rt o ś c i x .

m oŜ na o kr eś lić n as tę pu ją co :

( )

() ()

∫ ∞− =

x

t d

t f

x F

,

gd zi e f( t) je st fu

nk cj ą gę st oś ci z m ie nn ej lo so w ej X

W ła sn o śc i d ys tr yb u a n ty F

(x ) zm

ie n n ej l o so w ej X

t yp u

ci ą g łe g o s ą t a k ie s a m e ja k d la z m ie n n ej s k o k o w ej .

docsity.com

D ef . W a rt o śc ią o

cz ek

iw a n ej z m ie n n ej l o so w ej X

n az yw

am y

w yr aŜ en ie :

 ∑

sk ok

ow ej

lo so w ej

zm ie nn

ej dl a

p x

i i

i

Ś re d n ia z m ie n n ej lo

so w ej =

w a rt o ść o cz ek

iw a n a z m ie n n ej lo

so w ej =

n a d zi ej a m

a te m a ty cz n a

(

) ( )

   =

∫∑ ∞ ∞− ej

ci ąg

lo so w ej

zm ie nn

ej dl a

l d x

x xf

X E

i

gd zi e p i o

zn ac za ją w ar to śc i f un

kc ję p ra w do

po do

bi eń st w a

zm ie nn

ej lo

so w ej X p rz yj m uj ąc ej w ar to śc i x

i (i = 1 ,2 ,. .. ) ,

na to m ia st f( x) je st f un

kc ją g ęs to śc i p

ra w do

po do

bi eń st w a.

docsity.com

R o zk

ła d z m ie n n ej l o so w ej s k o k o w ej

L ic zb

a t ra fi eń

d o t a rc zy

N ad zi ej a m at em

at yc zn a = w ar to ść o cz ek iw

an a

zm ie nn

ej lo

so w ej s ko

ko w ej

1 /8

3 /8

3 /8

1 /8

Ś re dn

ia li cz ba tr af ie ń do

ta rc zy :

E (X

)= 0 * 1 /8 + 1 * 3 /8 + 2 * 3 /8 + 3 * 1 /8 = 1 ,5

docsity.com

W ła ś c iw o ś c i E (X )

• E (b ) = b

• E (a X ) = a E (X )

• E (a X + b ) = a E (X )+ b

• E (a X + b ) = a E (X )+ b

• J e ś li Y = X - E (X ) t o E (Y ) = 0

• E (X + Y ) = E (X )+ E (Y )

• E (X Y ) = E (X )* E (Y ) je ś li X i Y s ą

n ie z a le Ŝ n e

docsity.com

docsity.com

R o zk

ła d z m ie n n ej l o so w ej s k o k o w ej

L ic zb

a t ra fi eń

d o t a rc zy

W ar ia nc ja od

ch yl en ie s ta nd

ar do

w e

( )

∑ −

= n

p X

E x

X D

2 2

) (

1 /8

3 /8

3 /8

1 /8

( )

∑ = −

= i

i i

p X

E x

X D

1

2 2

) (

L ic zb a tr af ie ń do

ta rc zy :

D ²( X )= (0 -1 ,5 )² * 1 /8 + (1 -1 ,5 )² * 3 /8 + (2 -1 ,5 )² * 3 /8 +

+ (3 -1 ,5 )² * 1 /8 = 0 ,7 5

D (X

)= 0 ,8 7

docsity.com

D ef . Z m ie nn

a lo so w a

X m a

ro zk ła d ze ro -j ed

y n k o w y , je śl i

pr zy jm

uj e w ar to ść 1

z p

ra w do

po do

bi eń st w em

0 < p < 1 o

ra z

w ar to ść 0 z p ra w do

po do

bi eń st w em

q = 1 -p .

F u n k cj a p ra w d o p o d o b ie ń st w a r o zk ła d u z er o -j ed

y n k o w eg o :

x i

0

1

p i

1 -p

p

D y st ry b u a n ta z m ie n n ej l o so w ej z er o -j ed

y n k o w ej :

re sz ka = 0; o rz eł = 1, p = 0, 5

( )

  

< ≤

<

=

1 ,1

1 0

, 1

0 ,0

x d la

x d la

p

x d la

x F

W a rt o ść o cz ek iw a n a i w a ri a n cj a z m ie n n ej l o so w ej z er o -j ed

y n k o w ej :

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

). 1

1 1

0

, 1

1 0

2 2

2 p

p p

p p

p X

D

p p

p X

E

− =

− +

− −

=

= ⋅

+ −

⋅ =

E (X

)= 0*

0, 5+

1* 0, 5=

0, 5

D (X

)= 0, 5

docsity.com

R O Z K Ł A D D W U M IA N O W Y

Z a ło Ŝ e n ie

z m ie n n a lo s o w a X

je s t lic z b ą s u k c e s ó w

z a o b s e rw

o w a n y c h w

e k s p e ry m e n c ie

p rz e p ro w a d z o n y m

z g o d n ie

z e

s c h e m a te m

B e rn o u lli e g o ,

S c h e m a t B e rn o u ll ie g o

• w y k o n u je m y d o ś w ia d c z e n ie , k tó re g o re z u lt a te m

m o Ŝ e b y ć z d a rz e n ie

A

(s u k c e s ) z p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

p lu b z d a rz e n ie

p rz e c iw n e (p o ra Ŝ k a )

Ja co b B er no

ul li

(1 65

4- 17

05 )

(s u k c e s ) z p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

p lu b z d a rz e n ie

p rz e c iw n e (p o ra Ŝ k a )

A ’ z p ra w d o p o d o b ie ń s tw e m

q = 1 -p ,

• d o ś w ia d c z e n ie

p o w ta rz a m y n -k ro tn ie

w s p o s ó b n ie z a le Ŝ n y c o o z n a c z a ,

Ŝ e

p ra w d o p o d o b ie ń s tw o

s u k c e s u

p o z o s ta je

w p o je d y n c z y c h

p ró b a c h

s ta łe

i ró w n e p ,

• lic z b a s u k c e s ó w

ja k ą z a o b s e rw

u je m y w

w y n ik u n -k ro tn e g o p o w tó rz e n ia

d o ś w ia d c z e n ia , m o Ŝ e b y ć ró w n a k = 0 ,1 ,2 ,. .. ,n .

docsity.com

• Z m ie n n a l o s o w a X

m a r o z k ła d d w u m ia n o w y ,

je ś li p rz y jm

u je w a rt o ś c i k = 0 , 1 , 2 ,…

z

p ra w d o p o d o b ie ń s tw a m i o k re ś lo n y m i w z o re m

R O Z K Ł A D D W U M IA N O W Y

• L ic z b ę d o ś w ia d c z e ń n

o ra z

p ra w d o p o d o b ie ń s tw o s u k c e s u p

n a z y w a m y

p a ra m e tr a m i te g o r o z k ła d u

docsity.com

0

0 ,0 5

0 ,1

0 ,1 5

0 ,2

0 ,2 5

0 ,3

0 ,3 5

0 2

4 6

8 1 0

1 2

W a rt o śc i zm

ie n n ej l o so w ej X

Prawdopodobieństwo pi

n = 1 0 i p = 0 ,2

2 ,0 0 E -0 1

2 ,5 0 E -0 1

3 ,0 0 E -0 1

Prawdopodobieństwo pi

n = 1 0 i p = 0 ,7

R O Z K Ł A D D W U M IA N O W Y

0

0 ,0 5

0 ,1

0 ,1 5

0 ,2

0 ,2 5

0 ,3

0 2

4 6

8 1 0

1 2

W a rt o śc i zm

ie n n ej l o so w ej X

Prawdopodobieństwo pi

n = 1 0 i p = 0 ,5

0 ,0 0 E + 0 0

5 ,0 0 E -0 2

1 ,0 0 E -0 1

1 ,5 0 E -0 1

2 ,0 0 E -0 1

0 2

4 6

8 1 0

1 2

W a rt o śc i zm

ie n n ej l o so w ej X

docsity.com

S tu de nt z dą Ŝy ł p

rz yg

ot ow

ać ty

lk o 40

o dp

ow ie dz i n

a 60

eg za m in ac yj ny

ch p yt ań . N

a eg za m in ie w yl os uj e 5 py

ta ń. J a k ie

je st p ra w d o p o d o b ie ń st w o w

y lo so w a n ia t rz ec h p y ta ń , n a k tó re

zn a o d p o w ie d ź, c zy li z d a n ia e g za m in u n a o ce n ę d o st a te cz n ą

P rz yk

ła d

k= 3, n

= 5,

docsity.com

W a rt o ść o cz ek iw

a n a i w

a ri a n cj a

(

) (

) ,

1 1

n p

X E

X E

X E

n i i

n i i

= =

   

= ∑

∑ =

=

R O Z K Ł A D D W U M IA N O W Y

(

) (

) (

) . 1

1

2

1

2 2

p n p

X D

X D

X D

i

n i

n i i

− =

=  

  =

∑ ∑

= =

docsity.com

Z r o z k ła d e m n o rm

a ln y m m

a m y d o c z y n ie n ia g d y

n a d a n e z ja w is k o o d d z ia łu je d u Ŝ a l ic z b a

n ie z a le Ŝ n y c h c z y n n ik ó w , k tó ry c h w p ły w

tr a k to w a n y o d rę b n ie j e s t m a ło z n a c z ą c y . N a

p rz y k ła d r o z k ła d n o rm

a ln y l u b b a rd z o z b liŜ o n y

d o n o rm

a ln e g o m

a ją t a k ie z m ie n n e j a k :

R O Z K Ł A D N O R M A L N Y - z m ie n n a c ią g ła

d o n o rm

a ln e g o m

a ją t a k ie z m ie n n e j a k :

• w a g a i w z ro s t o s o b n ik ó w j e d n o ro d n y c h

p o p u la c ji lu d z k ic h l u b z w ie rz ę c y c h ,

• lo s o w e b łę d y p o m ia ró w ,

• w y k o n a n ie n o rm

p ra c y p rz e z r o b o tn ik ó w w

je d n o ro d n y c h w a ru n k a c h p ra c y p rz e z

je d n o ro d n ą g ru p ę w y k o n a w c ó w .

docsity.com

R O Z K Ł A D N O R M A L N Y - z m ie n n a c ią g ła

• Z m ie n n a l o s o w a X

m a r o z k ła d n o rm

a ln y o

p a ra m e tr a c h m

o ra z σ σσσ , je Ŝ e li je j fu n k c ja

g ę s to ś c i w y ra Ŝ a s ię w z o re m :

( )

( )

+∞ <

< ∞

− =

− −

x e

x f

m x

, 21

2

2

π σ

( )

( ) 22

2 e

21 σ

π σ

m x

x f

− −

=

p rz y c z y m σ > 0

• J e j k o n k re tn a p o s ta ć o k re ś lo n a j e s t

p rz e z d w a p a ra m e tr y :

– w a rt o ś ć o c z e k iw a n ą m

– o d c h y le n ie s ta n d a rd o w e σ

2π σ

2π σ

docsity.com

R o z k ła d n o rm

a ln y z m ie n n e j X ~ N (m

, σ )

ro z k ła d G

a u s s a

f( x )

k rz y w a G

a u s s a

f( x)

W ła s n o ś c i

• J e s t s y m e tr y c z n a w z g lę d e m

( )

( ) 22

2 e

21 σ

π σ

m x

x f

− −

=

x µ

σ σ

m

• J e s t s y m e tr y c z n a w z g lę d e m

p ro s te j x = m

• O s ią g a m

a k s im

u m r ó w n e

• J e j ra m io n a m

a ją p u n k ty

p rz e g ię c ia d la x = m -σ

i

x = m + σ

docsity.com

W ła s n o ś c i fu n k c ja g ę s to ś c i z m ie n n e j lo s o w e o

ro z k ła d z ie n o rm

a ln y m X ~ N (m

, σ )

• ( )

,0 ≥

x f

( )

( )

∫ ≤

< =

b a

b X

a P

d x

x f

dl a do

w ol ny ch a < b .

• ( )

( )

∫∞+ =

+∞ ≤

< ∞

− =

1 X

P d x

x f

( )

( )

∫ ∞− =

+∞ ≤

< ∞

− =

1 X

P d x

x f

a b

docsity.com

m = 0, σ = 0, 45

m = 0, σ = 1, 0

m = 0, σ = 2, 0

m = -2 , σ

= 0, 7

W ła sn oś ci f un

kc ji g ęs to śc i z

m ie nn

ej lo

so w ej X

~ N (m

, σ )

docsity.com

R e g u ła 3 s ig m

P ra w do

po do

bi eń st w o te go

, Ŝ e zm

ie nn

a lo so w a X o

ro zk ła dz ie n or m al ny

m N (m

, σ ) pr zy jm

ie w ar to ść r óŜ ni ąc ą

si ę od

ś re dn

ie j o

:

docsity.com

R o z k ła d n o rm

a ln y z e ś re d n ią m

= 0 o ra z o d c h y le n ie m

s ta n d a rd o w y m σ = 1 n a z y w a m y s ta n d a rd o w y m

ro z k ła d e m n o rm

a ln y m

i o z n a c z a m y N (0 ,1 )

fu n k c ja g ę s to ś c i: φ (u )=

φ (- u ) X

U X

U

docsity.com

X ~ N (m

,σ )

X

docsity.com

W ła s n o ś c i d y s tr y b u a n ty z m ie n n e j lo s o w e X ~

N (0 , 1 )

•Φ (- u) = 1- Φ (u )

•1 -Φ

(- u) = Φ (u )

-u u

•P (- u1 < U < -u

2)= P (u

1< U < u2 )

•1 -Φ

(- u) = Φ (u )

-u

-u u

-u 1 -u

2 u1

u2

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome