Ciągłość, zbieżność - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok
panna_ania
panna_ania15 March 2013

Ciągłość, zbieżność - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki'z Probabilistyka. University of Bialystok

PDF (97.8 KB)
1 strona
545Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu probabilistyki: ciągłość, zbieżność.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

probabilistyka matematyka, II stopień

lista 6

1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

2. Wykazać, że jeśli X,X1, X2, . . . są zmiennymi losowymi, t.że Xn D−→ X, gdzie P (X = c) = 1, c ∈ R, to

Xn P−→ c.

3. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, a, b ∈ R, to aXn + b

D−→ aX + b.

4. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn

D−→ 0, to Xn + Yn D−→ X.

5. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn

D−→ c, to Xn + Yn D−→ X + c.

6. Podać przykład zmiennych losowych Xn, Yn, X, Y t.że Xn D−→ X oraz Yn

D−→ Y, ale nieprawda, że Xn + Yn

D−→ X + Y.

7. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn

D−→ 0, to XnYn D−→ 0.

8. Udowodnić, że jeśli Xn D−→ X, Yn

D−→ a, to XnYn D−→ aX.

9. (owad i mrówki) Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem a. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione, wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba złożonych jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości), itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby jaj ocalonych przed mrówkami?

10. Niech Xn D−→ X, lim

n→∞ an = a, a - punkt ciągłości dystrybuanty FX . Udowodnić, że limn FXn(an) = F (a).

11. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Exp( 1n ) natomiast Yn ∼ U [0, 1 n ]. Zbadać zbieżność

tych ciągów według rozkładu.

12. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Exp( √ n) natomiast P (Yn = 0) = 12 +

1 n , P (Yn =

1) = 12 − 1 n . Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu.

13. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U [0, 1] oraz Yn = n ·min(X1, . . . , Xn). Czy istnieje taka zmienna losowa Y , że Yn

D−→ Y ?

14. Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że Xn ∼ N(0, σn). Zakładając, że limn→∞ σn = 0 zbadać zbieżność tego ciągu zmiennych losowych według rozkładu.

15. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Cauchy(0, 1n ) natomiast Yn ∼ Cauchy(0, n). Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome