Statystyki swobodne i zupełne - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics
atom_86
atom_8611 March 2013

Statystyki swobodne i zupełne - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics

PDF (282.3 KB)
3 strony
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu statystyki opisowej: statystyki swobodne i zupełne; rodziny wykładnicze rozkładów, przykłady.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Statystyki swobodne i zupełne.

Definicja. Statystykę  XV nazywamy statystyką swobodną (swobodną pierwszego rzędu) jeżeli jej rozkład (wartość oczekiwana   XVE ) nie zależy od .

Definicja. Mówimy, że rodzina rozkładów   :P pewnego elementu

losowego X jest zupełna, jeżeli prawdziwy jest następujący warunek:

   p.w. 0 0 E   PhXh

Statystyka T jest zupełna, jeżeli rodzina jej rozkładów jest zupełna.

Innymi słowy można powiedzieć, że dla statystyki zupełnej jedynymi

funkcjami tej statystyki o wartościach oczekiwanych niezależnych od

parametru  są funkcje stałe. Zatem można przypuszczać, że maksymalna

redukcja danych bez straty informacji zawartej w próbie o parametrze

rozkladu następuje wówczas, gdy statystyka dostateczna jest zupełna. Nie

można wówczas podać żadnej (różnej od stałej) funkcji zupełnej statystyki dostatecznej, której wartość oczekiwana byłaby niezależna od .

Obrazowo mówiąc z zupełnej statystyki dostatecznej nie można już "wycisnąć" żadnych zbędnych informacji.

Twierdzenie. Jeżeli T jest statystyką dostateczną zupełną, to jest

minimalną statystyką dostateczną.

Dowód. Pomijamy problem istnienia minimalnej statystyki dostatecznej.

Niech S będzie minimalną statystyką dostateczną. Pokażemy, że T i S

równoważne. Z definicji minimalnej dostateczności istnieje taka funkcja h,

że S= h(T). Wystarczy zatem pokazć istnienie takiej funkcji g, że T=g(S). Z definicji warunkowej wartości oczekiwanej mamy     TST  E|E E  , czyli    0|E E  TST . Wyrażenie   TST |E jest funkcją statystyki T ponieważ S=h(T). Z zupełności T otrzumujemy zatem, że   P prawie

wszędzie  STT |E=  , czyli istnieje taka funkcja g, że T=g(S). 

Pozostaje do rozstrzygnięcia jeszcze jedno pytanie - czy każda minimalna

statystyka dostateczna jest zupełna? Odpowiedż na to pytanie jest

negatywna. Oznacza to, że w pewnych sytuacjach z minimalnej statystyki dostatecznej można "wycisnąć" coś co nie zależy od .

Przykład. Rozważmy rodzinę rozkładów Cauchyego {C(,1), R1}. Dla

tej rodziny rozkładów wektor statystyk porządkowych  nnnn XXX ::2:1 ,,,  jest

minimalną statystyką dostateczną. Jednakże z uwagi na fakt, że  jest

parametrem położenia to różnica      nnnnnn XXXX :1::1: ma rozkład

niezależny od , a więc jest różną od stałej statystyką swobodną. Tym

samym statystyka porządkowa nie jest zupełna.

docsity.com

Rodziny wykładnicze rozkładów.

Rozważmy rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa   :P . Przez p

oznaczmy funkcję gęstości rozkładu P w przypadku, gdy jest to rozkład

typu ciągłego lub funkcję prawdopodobieństwa dla rozkładu dyskretnego.

Definicja. Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa   :P nazywamy rodziną wykładniczą, jeżeli dla każdego  gęstość (funkcja

prawdopodobieństwa) p ma postać

         ,exp 1

xhbxTcxp k

j

jj    

  

  



gdzie      xTxTxT k,,, 21  są funkcjami liniowo niezależnymi oraz

        :,,, 21 kccc

jest pewnym k-wymiarowym zbiorem w Rk.

Przykład. a). Rodzina rozkładów Bernoulliego     1,0 ,1,b  jest wykładnicza. Istotnie, funkcję prawdopodobieństwa możemy zapisać jako

    .10 ,1ln 1

lnexp    

  

 

  

  xxxp

 

b). Rodzina rozkładów normalnych   0, :,N 1   R jest rodziną wykładniczą, ponieważ gęstość prawdopodobieństwa można przedstawić w

postaci

    .2ln 22

1 exp

2

2

2

2

2,

  

  

 

  

  

  xxxf

Bez straty ogólności możemy założyć, że rozkłady z rodziny wykładniczej

mają naturalną parametryzację

          ,,,, ,exp 21 1

   

  

  

k

k

j

jj xhbxTxp  

gdzie  jest pewnym k-wymiarowym zbiorem w Rk.

Twierdzenie. Jeżeli   :P , Rk jest wykładniczą rodziną rozkładów,

dla której

          ,,,, ,exp 21 1

   

  

  

k

k

j

jj xhbxTxp  

to       xTxTxT k,,, 21  jest statystyką dostateczną zupełną.

Z ostatniego twierdzenia oraz z własności funkcji wykładniczej wynika

natychmiast następujące twierdzenie.

docsity.com

Twierdzenie. Jeżeli X X Xn1 2, , ,K jest prostą próbą losową z rozkładu P

należącego do wykładniczej rodziny rozkładów   :P , to

      

  

  

n

i

in

n

i

i

n

i

i xTxTxT 11

2

1

1 ,,, 

jest minimalną, zupełną statystyką dostateczną.

Twierdzenie to w prosty sposób pozwala wyznaczać minimalne, zupełne

statystyki dostateczne dla wykładniczych rodzin rozkładów.

Przykład. a) Dla próby losowej z rozkładu Bernoulliego z rodziny     1,0 ,1,b  mamy

    .10 ,1ln 1

lnexp,,, 1

21    

  

 

  

  

i

n

i

in xnxxxxp  

  

Zatem statystyka

 

 n

i

i

n

i

i X n

XTXT 11

1 lub

jest minimalną, zupełną statystyką dostateczną.

b) Podobnie dla próby losowej z rozkładu normalnego z rodziny

  0, :,N 1   R minimalną, zupełną statystyką dostateczną jest

 ,, lub , 2 1

2

1

sXTXXT n

i

i

n

i

i  

  

  



ponieważ gęstość próby jest równa

    .2ln 22

1 exp,,

2

2

1 2

1

2

221,

  

  

 

  

  



 

  nxxxxxf

n

i

i

n

i

in

c) Niech nXXX ,,, 21  będzie prostą próbą losową z rozkładu gamma z

rodziny   0,0 :,   , wówczas

       

  .0,,minlnln1exp,, 21 11

21,    

  

 

  

  



n

n

i

i

n

i

in xxxnxxxxxf  I

 



Zatem statystyka

  ln, 1 1

 

  

   

 

n

i

n

i

ii XXT

jest minimalną, zupełną statystyką dostateczną dla próby z rozkładu

gamma.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.