Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 1 , Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 1 , Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (372.4 KB)
10 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: momenty bezwładności; rodzaje momentów bezwładności, momenty bezwładności bryły.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 10
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
momenty_bezwladnosci cz1.pdf

6.1. Rodzaje momentów bezw adno!ci

W punkcie (4.4) poznali my wielko ci charakteryzuj!ce rozk"ad masy,

nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) wspó"rz#dne

wyst#puj! w pierwszej pot#dze. Przekonamy si#, $e w dynamice donios"! rol#

odgrywaj! wielko ci, w których rozk"ad masy b#dzie opisany iloczynem masy

punktu i kwadratu jego odleg"o ci od punktu, p"aszczyzny lub osi. Wielko ci te

nazywamy masowymi momentami bezw adno!ci lub krótko momentami

bezw adno!ci, albo momentami statycznymi drugiego rz#du.

Momentem bezw adno!ci punktu materialnego wzgl"dem bieguna (punktu),

p aszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odleg o!ci

od bieguna, p aszczyzny lub osi.

Z powy$szej definicji wynika, $e istniej! trzy rodzaje momentów bezw"adno ci:

1) biegunowe (momenty bezw"adno ci wzgl#dem punktu),

2) wzgl#dem p"aszczyzn,

3) wzgl#dem osi (osiowe momenty bezw"adno ci).

W dalszej kolejno ci zajmiemy si# momentami bezw"adno ci uk"adu punktów

materialnych i bry"y.

docsity.com

6.2. Momenty bezw adno!ci uk adu punktów materialnych

Za ó!my, !e mamy uk ad

materialny z o!ony z n punktów

materialnych o masach mk

znajduj"cych si# w punktach Ak

opisanych wektorami wodz"cymi

(rys. 6.1).

rk

z

O

x

y

Ak

xk yk

hkz

hky

hkx zk

mk

rk

Rys. 6.1. Opis po o!enia punktu

materialnego

r i jk k kx y z k . ! !

Biegunowym momentem

bezw adno!ci IO uk adu punktów

materialnych wzgl#dem punktu O

nazywamy sum# iloczynów mas mk i

kwadratów ich odleg o$ci od

punktu 0, czyli

rk 2

" #I m r m x y zO k k k k k k k

n

! !$$

2 2 2 2

1

y

#

.

(6.1)

Momentami bezw adno!ci Ixy, Iyz, Izx wzgl"dem p aszczyzn xy, yz, zx uk adu

punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich

odleg o$ci od tych p aszczyzn. Zatem mamy:

I m z I m x I mxy k k k

n

yz k k

k

n

zx k k

k

n

$ $ $2

1

2

1

2

1

, , . (6.2)

Momentami bezw adno!ci Ix, Iy, Iz wzgl"dem osi x, y, z uk adu punktów

materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odleg o$ci

od tych osi:

" #

"

" #% % %

&

% % %

'

(

!

!

!

$ $

$$

$$

.yxmhmI

,xzmhmI

,zymhmI

n

1k

n

1k

2

k

2

kk

2

kzkz

n

1k

2

k

2

kk

n

1k

2

kyky

n

1k

2

k

2

kk

n

1k

2

kxkx

(6.3)

Oprócz zdefiniowanych wy!ej momentów bezw adno$ci wzgl#dem punktu,

p aszczyzn i osi w dynamice wa!n" rol# odgrywaj" wielko$ci, które nazywamy

momentami dewiacyjnymi (albo momentami mieszanymi lub od$rodkowymi).

docsity.com

Momentami dewiacyjnymi Dxy, Dyz, Dzx uk adu punktów materialnych

nazywamy sum# iloczynów mas mk przez iloczyn ich odleg o$ci od dwóch

prostopad ych p aszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz. Momenty te wyra!aj" wzory:

% % %

&

% % %

'

(

$

$

$

.xzmDD

,zymDD

,yxmDD

n

1k

kkkxzzx

n

1k

kkkzyyz

n

1k

kkkyxxy

(6.4)

Momenty dewiacyjne mog" przyjmowa% warto$ci zarówno dodatnie, jak i

ujemne, poniewa! w powy!szych wzorach ) w przeciwie&stwie do momentów bezw adno$ci ) wyst#puj" iloczyny, a nie kwadraty wspó rz#dnych. Ponadto wyka!emy, !e je!eli jedna z dwóch p aszczyzn, wzgl#dem których obliczamy

momenty dewiacyjne, jest p aszczyzn" symetrii rozpatrywanego uk adu

materialnego (bry y), to odpowiednie momenty dewiacyjne s" równe zeru.

Za ó!my, !e p aszczyzn" symetrii jest p aszczyzna xy. W tym przypadku

ka!demu punktowi Ak o wspó rz#dnych xk, yk, zk i masie mk odpowiada ) na zasadzie symetrii ) inny punkt o wspó rz#dnych xA k* k, yk, –zk i takiej samej masie mk. Momenty dewiacyjne tych dwóch punktów b#d" równe zeru:

" # " # " # " # ,0zzymzymzym

,0zzxmzxmzxm

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkkk

) )!

) )!

czyli dwa z trzech momentów dewiacyjnych b#d" równe zeru:

Dzx = Dyz = 0.

'atwo si# przekona%, !e je!eli uk ad materialny ma dwie p aszczyzny symetrii, to

wszystkie momenty dewiacyjne b#d" równe zeru.

Powy!sza w asno$% momentów dewiacyjnych ma du!e znaczenie w

obliczeniach praktycznych.

docsity.com

6.3. Momenty bezw adno!ci bry y

Je eli bry!" o masie m podzielimy my#lowo na n ma!ych elementów o masach

mk (rys. 6.2), to przybli one warto#ci momentów bezw!adno#ci

tych elementów, traktowanych jako

punkty materialne, mo emy obliczy$

ze wzorów (6.1)–(6.4) na momenty

bezw!adno#ci uk!adu punktów

materialnych.

z

y

x

rk

O

mk

Rys. 6.2. Opis po!o enia dowolnego elementu

bry!y sztywnej

Dok!adne warto#ci momentów

bezw!adno#ci otrzymamy, bior%c

granic" sum przy liczbie elementów

n d% %cych do niesko&czono#ci.

Wtedy zamiast sum otrzymamy ca!ki

rozci%gni"te na ca!% mas" m.

Biegunowy moment bezw adno!ci

! "I m r r dm x y z dmO k k k

n

m m

# # # $ $ %&

# ' ( (limn

2

1

2 2 2 2 Z rachunku ca!kowego

wiadomo, e ca!ka sumy funkcji jest równa sumie ca!ek poszczególnych funkcji:

! " (((( $$#$$# m

2

m

2

m

2

m

222

O dmzdmydmxdmzyxI . (6.5)

Wyst"puj%ce w powy szym wzorze ca!ki s% momentami bezw adno!ci wzgl"dem

p aszczyzn:

((( ### m

2

xy

m

2

zx

m

2

yz dmzI,dmyI,dmxI . (6.6)

Ze wzoru (6.5) wynika nast"puj%ce twierdzenie:

Biegunowy moment bezw adno!ci jest równy sumie momentów bezw adno!ci

wzgl"dem trzech prostopad ych p aszczyzn przechodz#cych przez ten biegun:

xyzxyzO IIII $$# . (6.7)

Zale no#ci na momenty bezw adno!ci wzgl"dem osi maj% posta$:

docsity.com

! " ! " ! "

) ) )

*

)) )

+

,

$#$#

$#$#

$#$#

(((

(((

(((

.dmydmxdmyxI

,dmxdmzdmxzI

,dmzdmydmzyI

m

2

m

2

m

22

z

m

2

m

2

m

22

y

m

2

m

2

m

22

x

(6.8)

W powy szych wzorach !atwo mo na zauwa y$, e zwi%zki mi"dzy

momentami bezw!adno#ci wzgl"dem osi i wzgl"dem p!aszczyzn s% nast"puj%ce:

zxyzzyzxyyxyzxx III,III,III $#$#$# . (6.9)

Z pierwszego wzoru (6.9) wynika, e moment bezw!adno#ci Ix wzgl"dem osi x

jest sum% momentów bezw!adno#ci wzgl"dem p!aszczyzn xy i zx przecinaj%cych

si" wzd!u tej osi. Podobne wnioski wynikaj% z dwóch pozosta!ych wzorów.

Mo na zatem sformu!owa$ twierdzenie:

Moment bezw adno!ci wzgl"dem osi jest równy sumie momentów bezw adno!ci

wzgl"dem dwóch prostopad ych p aszczyzn przecinaj#cych si" wzd u$ tej osi.

Je eli dodamy stronami wzory (6.9) i uwzgl"dnimy zale no#$ (6.7), to

otrzymamy zale no#$ mi"dzy biegunowym momentem bezw!adno#ci i momentami

bezw!adno#ci wzgl"dem osi:

! "zyxO III 2

1 I $$# . (6.10)

Biegunowy moment bezw adno!ci jest równy po owie sumy momentów

bezw adno!ci wzgl"dem trzech prostopad ych osi przechodz#cych przez ten biegun.

Dewiacyjne momenty dla bry y mo!na zapisa" w postaci:

!

"

#

$$

$$

$$

%

%

%

.zxdmDD

,yzdmDD

,xydmDD

m

xzzx

m

zyyz

m

yxxy

(6.11)

Je!eli do wzorów (6.5), (6.6), (6.8) i (6.11) podstawimy zale!no#": dm = &dV, gdzie & jest g$sto#ci% bry y w punkcie o wspó rz$dnych x, y, z, a V obj$to#ci%, i za o!ymy, !e bry a jest jednorodna, to g$sto#" mo!emy wynie#" przed znak ca ki.

Otrzymamy wtedy wzory na momenty bezw adno#ci w poni!szej postaci:

a) biegunowy moment bezw adno#ci

docsity.com

' (% ))$ V

222

O dVzyx&I , (6.12)

b) momenty bezw adno#ci wzgl$dem p aszczyzn

%%% $$$ V

2

xy

V

2

zx

V

2

yz dVz&I,dVy&I,dVx&I , (6.13)

c) momenty bezw adno#ci wzgl$dem osi

' ( ' ( ' (

!

"

#

)$

)$

)$

%

%

%

,dVyx&I

,dVxz&I

,dVzy&I

V

22

z

V

22

y

V

22

x

(6.14)

d) momenty dewiacyjne

!

"

#

$$

$$

$$

%

%

%

.zxdV&DD

,yzdV&DD

,xydV&DD

V

xzzx

V

zyyz

V

yxxy

(6.15)

Ca ki wyst$puj%ce we wzorach (6.12)–(6.15) nazywamy geometrycznymi

momentami bezw adno#ci, zale!nymi tylko od kszta tu cia a. Ogólnie mo!na

powiedzie", !e masowy moment bezw adno#ci jest iloczynem g$sto#ci przez

geometryczny moment bezw adno#ci.

Ka!dy moment bezw adno#ci I mo!na w sposób umowny przedstawi" w postaci

iloczynu ca kowitej masy cia a (uk adu materialnego, bry y) m i kwadratu pewnej

odleg o#ci i2 od przyj$tej p aszczyzny, osi lub bieguna. Odleg o#" t$ nazywamy

promieniem bezw adno!ci cia a wzgl$dem danej p aszczyzny, osi lub bieguna.

Ogólnie mo!na zapisa":

I m i$ 2 . (6.16)

Tak zdefiniowany promie' bezw adno#ci ma praktyczne zastosowanie przy

obliczaniu momentów bezw adno#ci elementów maszyn.

W obliczeniach teoretycznych w dynamice maszyn cz$sto wyst$puje

konieczno#" przedstawienia momentu bezw adno#ci w postaci iloczynu pewnej

masy mred i kwadratu znanej odleg o#ci k 2, czyli

I m kred$ 2 . (6.17)

Mas$ mred nazywamy mas# zredukowan#.

docsity.com

Jednostk% miary momentu bezw adno#ci jest:

a) w uk adzie SI 1kg · m2,

b) w uk adzie technicznym 1 kG · m · s2 .

docsity.com

6.4. Transformacja równoleg a momentów bezw adno!ci

Przyjmijmy dwa uk ady wspó rz!dnych x, y, z i x , y z o osiach odpowiednio równoleg ych. Uk ad x, y, z ma pocz"tek w dowolnym punkcie O, a uk ad

w #rodku masy C bry y (rys. 6.3).

x , y z

$rodek masy bry y C jest opisany w uk adzie wspó rz!dnych x, y, z przez wektor wodz"cy

kjir CCCC zyx !!" .

Po o%enie elementu masy dm jest okre#lone w uk adzie x, y, z przez wektor wodz"cy r i j k" ! !x y z ,

a w uk adzie x , y z przez wektor " ! ! r i jx y z k .

Wektory te s" zwi"zane zale%no#ci":

r r r" ! C .

z

x

z

y

y

x

r

rCr

dm

C

O

Rys. 6.3. Opis po o%enia dowolnego elementu bry y sztywnej wzgl!dem osi równoleg ych Zatem wspó rz!dne elementu masy dm w uk adzie wspó rz!dnych x, y, z b!d" wyra%a y wzory:

zzz,yyy,xxx CCC !" !" !" . (6.18)

Biegunowy moment bezw adno#ci wzgl!dem punktu O wyra%a wzór:

docsity.com

# $ # $

# $ .dmrdm2dmr

dmrdm2dmrdmdmrI

m

2

m

C

m

2

C

m

2

m

C

m

2

C

m

2

C

m

2

O

%%%

%%%%%

! &!"

" ! &!" !""

rr

rrrr

Pierwsza ca ka jest ca kowit" mas" bry y, a druga momentem statycznym wzgl!dem #rodka masy, czyli jest równa zeru. Zatem

%% " " mm

0dmorazdmm r .

Trzecia z ca ek jest biegunowym momentem bezw adno#ci wzgl!dem #rodka masy:

# $I r dC m

" % 2

m

C

C 2

.

Ostatecznie biegunowy moment bezw adno#ci wzgl!dem dowolnego punktu

I I m rO C" ! 2 . (6.19)

Na podstawie powy%szego równania mo%na sformu owa& twierdzenie, nazywane twierdzeniem Steinera dla biegunowych momentów bezw adno#ci:

Moment bezw adno!ci bry y (cia a materialnego) wzgl"dem dowolnego punktu

jest równy sumie momentu bezw adno!ci wzgl"dem !rodka masy i iloczynu masy

bry y przez kwadrat odleg o!ci danego punktu od !rodka masy.

Obecnie udowodnimy twierdzenie Steinera dla momentów bezw adno#ci wzgl!dem p aszczyzn i wzgl!dem osi. Je%eli we wzorze (6.19) moment IC wyrazimy przez momenty bezw adno#ci wzgl!dem p aszczyzn

(wzór 6.7) oraz podstawimy

x y , y z i z y

r x y zC C C 2 2 2" ! ! ,

to po uporz"dkowaniu otrzymamy:

# $ # $ # $ # $

I I I I m x y z

I mz I mx I my

O x y y z z x C C C

x y C y z C z x C

" ! ! ! ! ! "

" ! ! ! ! !

2 2 2

2 2 .2

Wyra%enia w nawiasach w powy%szym wzorze s" momentami bezw adno#ci wzgl!dem p aszczyzn xy, yz i zx.

docsity.com

' (

' )

*

!"

!"

!"

.myII

,mxII

,mzII

2

Cxzzx

2

Czyyz

2

Cyxxy

(6.20)

Wzory te wyra%aj" twierdzenie Steinera dla momentów bezw adno#ci wzgl!dem p aszczyzn:

Moment bezw adno!ci cia a materialnego wzgl"dem dowolnej p aszczyzny jest

równy sumie momentu bezw adno!ci wzgl"dem p aszczyzny równoleg ej

przechodz#cej przez !rodek masy oraz iloczynu masy cia a i kwadratu odleg o!ci

mi"dzy tymi p aszczyznami.

Je%eli dodamy do siebie kolejno równania trzecie i pierwsze, pierwsze i drugie oraz drugie i trzecie, to zgodnie ze wzorami (6.9) otrzymamy momenty

bezw adno#ci odpowiednio wzgl!dem osi x, y i z.

' (

' )

*

!"!!!"

!"!!!"

!"!!!"

,hmIyxmIII

,hmIxzmIII

,hmIzymIII

2 zz

2 C

2 Cxzzyz

2 yy

2 C

2 Czyyxy

2 xx

2 C

2 Cyxxzx

)(

)(

)(

(6.21)

gdzie 2 C

2 C

2 z

2 C

2 C

2 y

2 C

2 C

2 x yxh,xzh,zyh !"!"!"

i s" to kwadraty odleg o#ci odpowiednio mi!dzy osiami x i x , y i y oraz . z i z Wzory (6.21) przedstawiaj" twierdzenie Steinera dla momentów bezw adno#ci wzgl!dem osi:

Moment bezw adno!ci cia a materialnego wzgl"dem dowolnej osi jest równy

sumie momentu bezw adno!ci wzgl"dem osi równoleg ej przechodz#cej przez

!rodek masy oraz iloczynu masy cia a i kwadratu odleg o!ci mi"dzy osiami.

Twierdzenia opisane wzorami (6.20) i (6.21) mo%na te% udowodni&, podstawi- wszy do wzorów (6.13) i (6.14) zale%no#ci (6.18). Po podstawieniu do wzorów (6.11) zale%no#ci (6.18) i uwzgl!dnieniu, %e momenty statyczne wzgl!dem p aszczyzn przechodz"cych przez #rodek masy s" równe zeru, otrzymamy twierdzenie Steinera dla momentów dewiacyjnych.

' (

' )

*

!"

!"

!"

.xmzDD

,zmyDD

,ymxDD

CCxzzx

CCzyyz

CCyxxy

(6.22)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome