Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 1 , Notatki z Mechanika

Pobierz Momenty bezwładności - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 6.1. Rodzaje momentów bezw adno!ci W punkcie (4.4) poznali my wielko ci charakteryzuj!ce rozk"ad masy, nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) wspó"rz#dne wyst#puj! w pierwszej pot#dze. Przekonamy si#, $e w dynamice donios"! rol# odgrywaj! wielko ci, w których rozk"ad masy b#dzie opisany iloczynem masy punktu i kwadratu jego odleg"o ci od punktu, p"aszczyzny lub osi. Wielko ci te nazywamy masowymi momentami bezw adno!ci lub krótko momentami bezw adno!ci, albo momentami statycznymi drugiego rz#du. Momentem bezw adno!ci punktu materialnego wzgl"dem bieguna (punktu), p aszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odleg o!ci od bieguna, p aszczyzny lub osi. Z powy$szej definicji wynika, $e istniej! trzy rodzaje momentów bezw"adno ci: 1) biegunowe (momenty bezw"adno ci wzgl#dem punktu), 2) wzgl#dem p"aszczyzn, 3) wzgl#dem osi (osiowe momenty bezw"adno ci). W dalszej kolejno ci zajmiemy si# momentami bezw"adno ci uk"adu punktów materialnych i bry"y. docsity.com 6.2. Momenty bezw adno!ci uk adu punktów materialnych Za ó!my, !e mamy uk ad materialny z o!ony z n punktów materialnych o masach mk znajduj"cych si# w punktach Ak opisanych wektorami wodz"cymi (rys. 6.1). rk z O x y Ak xk yk hkz hky hkx zk mk rk Rys. 6.1. Opis po o!enia punktu materialnego r i jk k kx y z k . ! ! Biegunowym momentem bezw adno!ci IO uk adu punktów materialnych wzgl#dem punktu O nazywamy sum# iloczynów mas mk i kwadratów ich odleg o$ci od punktu 0, czyli rk 2 " #I m r m x y zO k k k k k k k n ! !$$ 2 2 2 2 1 y # . (6.1) Momentami bezw adno!ci Ixy, Iyz, Izx wzgl"dem p aszczyzn xy, yz, zx uk adu punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich odleg o$ci od tych p aszczyzn. Zatem mamy: I m z I m x I mxy k k k n yz k k k n zx k k k n $ $ $2 1 2 1 2 1 , , . (6.2) Momentami bezw adno!ci Ix, Iy, Iz wzgl"dem osi x, y, z uk adu punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odleg o$ci od tych osi: " # " " #% % % & % % % ' ( ! ! ! $ $ $$ $$ .yxmhmI ,xzmhmI ,zymhmI n 1k n 1k 2 k 2 kk 2 kzkz n 1k 2 k 2 kk n 1k 2 kyky n 1k 2 k 2 kk n 1k 2 kxkx (6.3) Oprócz zdefiniowanych wy!ej momentów bezw adno$ci wzgl#dem punktu, p aszczyzn i osi w dynamice wa!n" rol# odgrywaj" wielko$ci, które nazywamy momentami dewiacyjnymi (albo momentami mieszanymi lub od$rodkowymi). docsity.com ! " ! " ! " ) ) ) * )) ) + , $#$# $#$# $#$# ((( ((( ((( .dmydmxdmyxI ,dmxdmzdmxzI ,dmzdmydmzyI m 2 m 2 m 22 z m 2 m 2 m 22 y m 2 m 2 m 22 x (6.8) W powy szych wzorach !atwo mo na zauwa y$, e zwi%zki mi"dzy momentami bezw!adno#ci wzgl"dem osi i wzgl"dem p!aszczyzn s% nast"puj%ce: zxyzzyzxyyxyzxx III,III,III $#$#$# . (6.9) Z pierwszego wzoru (6.9) wynika, e moment bezw!adno#ci Ix wzgl"dem osi x jest sum% momentów bezw!adno#ci wzgl"dem p!aszczyzn xy i zx przecinaj%cych si" wzd!u tej osi. Podobne wnioski wynikaj% z dwóch pozosta!ych wzorów. Mo na zatem sformu!owa$ twierdzenie: Moment bezw adno!ci wzgl"dem osi jest równy sumie momentów bezw adno!ci wzgl"dem dwóch prostopad ych p aszczyzn przecinaj#cych si" wzd u$ tej osi. Je eli dodamy stronami wzory (6.9) i uwzgl"dnimy zale no#$ (6.7), to otrzymamy zale no#$ mi"dzy biegunowym momentem bezw!adno#ci i momentami bezw!adno#ci wzgl"dem osi: ! "zyxO III 2 1 I $$# . (6.10) Biegunowy moment bezw adno!ci jest równy po owie sumy momentów bezw adno!ci wzgl"dem trzech prostopad ych osi przechodz#cych przez ten biegun. Dewiacyjne momenty dla bry y mo!na zapisa" w postaci: ! " # $$ $$ $$ % % % .zxdmDD ,yzdmDD ,xydmDD m xzzx m zyyz m yxxy (6.11) Je!eli do wzorów (6.5), (6.6), (6.8) i (6.11) podstawimy zale!no#": dm = &dV, gdzie & jest g$sto#ci% bry y w punkcie o wspó rz$dnych x, y, z, a V obj$to#ci%, i za o!ymy, !e bry a jest jednorodna, to g$sto#" mo!emy wynie#" przed znak ca ki. Otrzymamy wtedy wzory na momenty bezw adno#ci w poni!szej postaci: a) biegunowy moment bezw adno#ci docsity.com ' (% ))$ V 222 O dVzyx&I , (6.12) b) momenty bezw adno#ci wzgl$dem p aszczyzn %%% $$$ V 2 xy V 2 zx V 2 yz dVz&I,dVy&I,dVx&I , (6.13) c) momenty bezw adno#ci wzgl$dem osi ' ( ' ( ' ( ! " # )$ )$ )$ % % % ,dVyx&I ,dVxz&I ,dVzy&I V 22 z V 22 y V 22 x (6.14) d) momenty dewiacyjne ! " # $$ $$ $$ % % % .zxdV&DD ,yzdV&DD ,xydV&DD V xzzx V zyyz V yxxy (6.15) Ca ki wyst$puj%ce we wzorach (6.12)–(6.15) nazywamy geometrycznymi momentami bezw adno#ci, zale!nymi tylko od kszta tu cia a. Ogólnie mo!na powiedzie", !e masowy moment bezw adno#ci jest iloczynem g$sto#ci przez geometryczny moment bezw adno#ci. Ka!dy moment bezw adno#ci I mo!na w sposób umowny przedstawi" w postaci iloczynu ca kowitej masy cia a (uk adu materialnego, bry y) m i kwadratu pewnej odleg o#ci i2 od przyj$tej p aszczyzny, osi lub bieguna. Odleg o#" t$ nazywamy promieniem bezw adno!ci cia a wzgl$dem danej p aszczyzny, osi lub bieguna. Ogólnie mo!na zapisa": I m i$ 2 . (6.16) Tak zdefiniowany promie' bezw adno#ci ma praktyczne zastosowanie przy obliczaniu momentów bezw adno#ci elementów maszyn. W obliczeniach teoretycznych w dynamice maszyn cz$sto wyst$puje konieczno#" przedstawienia momentu bezw adno#ci w postaci iloczynu pewnej masy mred i kwadratu znanej odleg o#ci k 2, czyli I m kred$ 2 . (6.17) Mas$ mred nazywamy mas# zredukowan#. docsity.com Jednostk% miary momentu bezw adno#ci jest: a) w uk adzie SI 1kg · m2, b) w uk adzie technicznym 1 kG · m · s2 . docsity.com