Podstawy statystyki - Notatki - Statystyka - Część 8, Notatki'z Statystyka. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8424 March 2013

Podstawy statystyki - Notatki - Statystyka - Część 8, Notatki'z Statystyka. Warsaw School of Economics

PDF (956.6 KB)
25 strona
378Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach wyeksponowane zostają zagadnienia z zakresu statystyki: podstawy statystyki. Część 8.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 25
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
(Microsoft PowerPoint - wyklad_8_STUD [tryb zgodno\234ci])

Z m ie nn

a lo so w a dw

uw ym

ia ro w a

W sp ó ła u to rk ą p o n iŜ sz yc h

sl a jd ó w j es t

d r K a ta rz yn a K o co t- G ó re ck a

docsity.com

D w u w ym

ia ro w a z m ie n n a l o so w a je st z m ie nn

ą

sk o k o w ą je śl i p

rz yj m uj e sk oń cz on ą lu b co

na jw yŜ ej p rz el ic za ną li cz bę w ar to śc i

( ((( ) )))

( ((( ) )))

,.. .

2,1 ,

, = ===j

i y

x j

i

Z M IE N N E L

O SO

W E D

W U W Y M IA

R O W E

T Y P Y S K O K O W E G O

od po w ie dn

io z p ra w do po do bi eń st w am

i

Z ac ho dz i p rz y ty m w ar un

ek :

j i p

1 = ===

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

j i

j i

p

docsity.com

Z M IE N N E L

O SO

W E D

W U W Y M IA

R O W E

T Y P Y S K O K O W E G O

Z bi ór p ra w do po do bi eń st w g dz ie :

sp eł ni aj ąc y w ar un

ek ok re śl am

y m ia ne m f u n k cj i

p ra w d o p o d o b ie ń st w a d w u w ym

ia ro w ej z m ie n n ej

j i p

( ((( ) )))

( ((( ) )))

,.. .

2,1 ,

, = ===

= === = ===

= === j

i y

Y x

X P

p j

i j

i

1 = ===

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

j i

j i

p

( ((( ) )))

Y X ,

D ys tr yb u a n tą

d w u w ym

ia ro w ej z m ie n n ej

lo so w ej

sk o k o w ej n az yw

am y fu n kc ję r ze cz yw

is tą

ok re śl on ą w zo re m :( (((

) ))) y

x F

,

( ((( ) )))

Y X ,

( ((( ) )))

j i

y y

x x

p y

x F

j i

≤ ≤≤≤ ≤ ≤≤≤

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

= === ,

p ra w d o p o d o b ie ń st w a d w u w ym

ia ro w ej z m ie n n ej

ty p u sk o k o w eg o .

j i

( ((( ) )))

Y X ,

docsity.com

P O S T A Ć T

A B E L A R Y C Z N A R

O Z K Ł A D U Z

M IE N N E J

L O S O W E J D W U W Y M IA

R O W E J

y 1

y 2

… Y l

x 1

p 1 1

p 1 2

… P 1 l

P 1 .

x 2

p 2 1

p 2 2

… p 2 l

p 2 .

.. .

… …

… . .

x p

p …

p P

ix ∑ j

ij p

j y

R o

zk ła

d b

rz e

g o

w y X

∑ ∑∑∑ = === = ===

l j

ij i

p p

1

. x k

p k 1

p k 2

… p k l

P k .

p . 1

p . 2

p . 3

p . l

1 ∑ i

ij p

1 1

1 1

= = ∑ ∑

∑ =

= =

k i

l j ij

l j j

p p

R o

zk ła

d

b rz

e g

o w

y

Y ∑ ∑∑∑ = ===

= === k i

ij j

p p

1

.

= ===j 1

docsity.com

Y

X

1 2

3 p i.

0 1

2 01

2 04

2 02

2 4

207 7

R o z k ła d p ra w d o p o d o b ie ń s tw a z m ie n n e j d w u w y m ia ro w e j (X ,Y )

X - lic z b a s a m o c h o d ó w w r o d z in ie d w u o s o b o w e j

Y - lic z b a b a n k ó w , d o k tó ry c h w p ła c a n e s ą o s z c z ę d n o ś c i

1 2 p .j

1

2 01 2 01

2 01

2 02

2 04

2 04

207 206

206

207

207

docsity.com

D e f. : Z b io ry p ra w d o p o d o b ie ń s tw

tw o rz ą f u n k c je p ra w d o p o d o b ie ń s tw r o z k ła d ó w b rz e g o w y c h ,

( )

p P Y

y j

j ⋅ =

=

( )

p P

X x

i i

⋅ =

= (

) i

k = 1, .. .,

( )

j l

= 1, .. .,

R O Z K Ł A D Y B

R Z E G O W E Z

M IE N N E J L O S O W E J

D W U W Y M IA

R O W E J T Y P U S K O K O W E G O

P A R A M E T R Y

D e f. : W

a rt o ś c ią o c z e k iw a n ą ro z k ła d u b rz e g o w e g o z m ie n n e j lo s o w e j s k o k o w e j

X n a z y w a m y w y ra Ŝ e n ie :

D e f. : W a ri a n c ją ro z k ła d u b rz e g o w e g o z m ie n n e j lo s o w e j s k o k o w e j X n a z y w a m y

w y ra Ŝ e n ie :

( )

E X

x p

i i

i

= ⋅

∑ ⋅

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

D X

E X

E X

x E X

p i

i i

2 2

2 =

− =

− ∑

docsity.com

y 1

y 2

… Y l

x 1

p 1 1

p 1 2

… P 1 l

P 1 .

x 2

p 2 1

p 2 2

… p 2 l

p 2 .

.. .

… …

… . .

x p

p …

p P

ix ∑ j

ij p

j y

R o

zk ła

d b

rz e

g o

w y X

W a rt o ś ć o c z e k iw a n a

R O Z K Ł A D Y B

R Z E G O W E Z

M IE N N E J L O S O W E J

D W U W Y M IA

R O W E J T Y P U S K O K O W E G O

P A R A M E T R Y

x k

p k 1

p k 2

… p k l

P k .

p . 1

p . 2

p . 3

p . l

1 ∑ i

ij p

R o

zk ła

d

b rz

e g

o w

y

Y

( )

E X

x p

i i

i

= ⋅

∑ ⋅

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

D X

E X

E X

x E X

p i

i i

2 2

2 =

− =

− ∑

W a ri a n c ja

= 0 ,9 5

=

= 0 ,6 4 = > D (X )= 0 ,8

docsity.com

( )

E X

x p

i i

i

= ⋅

∑ ⋅

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

D X

E X

E X

x E X

p i

i i

2 2

2 =

− =

− ∑

W a ri a n c jaW

a rt o ś ć o c z e k iw a n a = 0 ,9 5

= 0 ,6 4 = > D (X )= 0 ,8

R O Z K Ł A D Y B

R Z E G O W E

P A R A M E T R Y (

) 0 5

, 2

= Y

E

i

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

0 6 4 7 5

2 0

/ 9 5

, 1 2

.

2 2

2 =

= −

= −

= ∑ j

j j

p Y

E y

Y E

Y E

Y D

( )

8, 0

= Y

D

docsity.com

PA R A M E T R Y R

O Z K Ł A D U Z

M IE N N E J L O S O W E J

D W U W Y M IA

R O W E J T Y P U S K O K O W E G O

W a rt o śc ią o cz ek iw

a n ą d w u w ym

ia ro w ej z m ie n n ej l o so w ej

(X Y ) t y p u s k o k o w eg

o n az y w am

y w

y ra Ŝe n ie :

W a ri a n cj ą d w u w ym

ia ro w ej z m ie n n ej l o so w ej

(X Y ) ty p u

sk o k o w eg

o n az y w am

y w

y ra Ŝe n ie :

( ((( ) )))

j i

j i

j i

p y

x X Y

E ∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑ = ===

sk o k o w eg

o n az y w am

y w

y ra Ŝe n ie :

( ((( ) )))

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]] = ===

− −−− − −−−

= === = ===

Y E

Y X

E X

E X Y

X Y

D )

co v(

2

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

) (

) (

) (

) (

) (

Y E

X E

X Y

E Y

E X

E p

y x

p Y

E y

X E

x

i j

ij j

i

j i

j i

j i

− −−− = ===

− −−− = ===

= === − −−−

− −−− ∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑ = ===

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

docsity.com

PA R A M E T R Y R

O Z K Ł A D U Z

M IE N N E J L O S O W E J

D W U W Y M IA

R O W E J T Y P U S K O K O W E G O

W ar ia n cj a w r o zk

ła d zi e d w u w y m ia ro w y m

n az y w an

a je st k ow

ar ia n cj ą

co v( X ,Y ) = E (X Y ) - E (X )* E (Y )

G d y z m ie n n e s ą n ie z a le Ŝ n e :

E (X Y )= E (X )• E (Y )

c o v (X Y )= 0

docsity.com

P O S T A Ć T

A B E L A R Y C Z N A R

O Z K Ł A D U Z

M IE N N E J

L O S O W E J D W U W Y M IA

R O W E J

y 1

y 2

… Y l

x 1

p 1 1

p 1 2

… P 1 l

P 1 .

x 2

p 2 1

p 2 2

… p 2 l

p 2 .

.. .

… …

… . .

x p

p …

p P

ix ∑ j

ij p

j y

R o

zk ła

d ł

ą cz

n y X

Y

x k

p k 1

p k 2

… p k l

P k .

p . 1

p . 2

p . 3

p . l

1 ∑ i

ij p

( ((( ) )))

j i

j i

j i

p y

x X Y

E ∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑ = ===

W a ri a n c ja =

W a rt o ś ć o c z e k iw a n a =

= 2 ,2 5 = K o w a ri a n c ja

= 0 ,3

docsity.com

R O Z K Ł A D Y W

A R U N K O W E Z M IE N N Y C H L O S O W Y C H

D W U W Y M IA

R O W Y C H T Y P U S K O K O W E G O

Z b io ry p ra w d o p o d o b ie ń s tw

( ((( ) )))

( ((( ) )))

( ((( ) )))

jij

j

j i

j i

pp

y Y

P

y Y

x X

P y

Y x

X P

⋅ ⋅⋅⋅

= === = ===

= === = ===

= === = ===

= ===

( ((( ) )))

( ((( ) )))

( ((( ) )))

= === = ===

= === = ===

= === = ===

ij j

i p

y Y

x X

P x

X y

Y P

, ( (((

) ))) ( (((

) ))) ( (((

) ))) ⋅ ⋅⋅⋅

= === = ===

= === = ===

= === = ===

= === iij

i

j i

i j

pp

x X

P

y Y

x X

P x

X y

Y P

,

tw o rz ą f u n k c je p ra w d o p o d o b ie ń s tw a r o z k ła d ó w o k re ś la n y c h ,

o d p o w ie d n io , ja k o r o z k ła d w a ru n k o w y z m ie n n e j lo s o w e j

s k o k o w e j X p o d w a ru n k ie m o ra z r o z k ła d

w a ru n k o w y z m ie n n e j lo s o w e j s k o k o w e j Y p o d w a ru n k ie m

( ((( ) ))) l

j y

Y j

,.. .,

1 = ===

= ===

( ((( ) )))

k i

x X

i ,.. .,

1 = ===

= ===

docsity.com

P ra w d o p o d o b ie ń s tw o z a is tn ie n ia z d a rz e n ia A , p o d w a ru n k ie m , Ŝ e

z re a liz o w a ło s ię z d a rz e n ie B :

,

g d z ie :

- p ra w d o p o d o b ie ń s tw o i lo c z y n u z d a rz e ń A

i B

( ((( ) )))

( ((( ) )))

( ((( ) )))

B P

A B

P B

A P

= === ( (((

) ))) ( (((

) ))) 0 > >>>

B P

( ((( ) )))

A B

PJe s t to z g o d n e z d e fi n ic ją p ra w d o p o d o b ie ń s tw a

w a ru n k o w e g o z a is tn ie n ia z d a rz e n ia A :

( ((( ) )))

1 1

1 1

= === = ===

= === = ===

= === ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

= === = ===

⋅ ⋅⋅⋅ ∑ ∑ ∑∑

∑ ∑∑∑ ii

l

j

ij

l

j i

i j

pp p

p x

X y

Y P

( ((( ) )))

∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

= === = ===

⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅ ⋅⋅⋅

= === = ===

= === = ===

= === k i

k i jj

ij

j

j i

pp p

p y

Y x

X P

1 1

1 1

docsity.com

Y

X

1 2

3 p i.

0 72 4

2 07 7

71

64

206 : 204

1.11 = ===

= === pp

1 2 Σ 1

1 1

7174

2 07 2 06

61

72 74

( )

E X Y

y x

p p j

i i

ij j

= = ∑

( )

( )

[ ]

∑ ⋅

= −

= =

i jij

j i

j

pp y

Y X

E x

y Y

X D

2 2

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

61

206 : 201

1.21 = ===

= === pp

1

docsity.com

Y

X 1

1 2

3 p i.

0 164

2 07 7

71

72

207 : 202

2.12 = ===

= === pp

4 7

4 p

1 2 Σ 1

61

71

2 07 2 06

61

72 74

( )

E X Y

y x

p p j

i i

ij j

= = ∑

( )

( )

[ ]

∑ ⋅

= −

= =

i jij

j i

j

pp y

Y X

E x

y Y

X D

2 2

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

207

74

207 : 204

2.22 = ===

= === pp

docsity.com

R o z k ła d y w a ru n k o w e p ra w d o p o d o b ie ń s tw

a z m ie n n e j

d w u w y m ia ro w e j (X /Y )

Y

X 1

1 2

3 p i.

0 164

72 4

2 07 7

71

1 2 Σ 1

1 1

1

61

7174

2 07 2 06

61

72 74

( )

E X Y

y x

p p j

i i

ij j

= = ∑

( )

( )

[ ]

∑ ⋅

= −

= =

i jij

j i

j

pp y

Y X

E x

y Y

X D

2 2

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

docsity.com

W a ru n k o w e w

a rt o ś c i o c z e k iw a n e z m ie n n e j

d w u w y m ia ro w e j (X /Y )

Y

X 1

1 2

3 p i.

0 164

72 4

2 07 7

71

( ((( ) )))

jij

i

i j

pp x

y Y

X E

⋅ ⋅⋅⋅ ∑ ∑∑∑

= === = ===

1 2 Σ 1

1 1

1

61

7174

2 07 2 06

61

72 74

( )

E X Y

y x

p p j

i i

ij j

= = ∑

( )

( )

[ ]

∑ ⋅

= −

= =

i jij

j i

j

pp y

Y X

E x

y Y

X D

2 2

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

( ((( ) )))

5,0 61

* 2

61 *

1 64

* 0

1 = ===

+ +++ + +++

= === = ===

Y X

E

docsity.com

Y

X 1

1 2

3 p i.

0 164

72 4

2 07 7

71

W a ru n k o w e w

a rt o ś c i o c z e k iw a n e z m ie n n e j

d w u w y m ia ro w e j (X /Y )

( ((( ) )))

jij

i

i j

pp x

y Y

X E

⋅ ⋅⋅⋅ ∑ ∑∑∑

= === = ===

1 2 Σ 1

1 1

1

61

7174

2 07 2 06

61

72 74

( )

E X Y

y x

p p j

i i

ij j

= = ∑

( )

( )

[ ]

∑ ⋅

= −

= =

i jij

j i

j

pp y

Y X

E x

y Y

X D

2 2

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

docsity.com

D ef in ic ja

W ar ia n cj ą

ro zk

ła d u

w ar u n k o w eg

o

zm ie n n ej

lo so w ej

X

p o d -

w ar u n k ie m

( )

Y y

j l

j =

= 1, .. .,

n az y w am

y w

y ra Ŝe n ie :

P ar am

et ry r oz k ła du

w ar un

k ow

eg o (X /Y )

W ar ia n cj a

( ((( ) )))

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

∑ ∑∑∑ ⋅ ⋅⋅⋅

= === − −−−

= === = ===

− −−− = ===

= === i

jij j

i j

j

pp y

Y X

E x

y Y

X E

x E

y Y

X D

2 2

docsity.com

W a ru n k o w e w a ri a n c je z m ie n n e j d w u w y m ia ro w e j (X /Y )

Y

X 1

1 2

3 p i.

0 164

72 4

2 07 7

71

( ((( ) )))

( ((( ) )))

[ [[[ ] ]]]

58, 0

61 *

) 5,

0 2(

61 *

) 5,

0 1(

64 *

) 5,

0 0(

) 1

| (

2 2

2 2

2 2

= === − −−−

+ +++ − −−−

+ +++ − −−−

= === = ===

= === − −−−

= === = ===

∑ ∑∑∑ ⋅ ⋅⋅⋅

Y X

D

pp y

Y X

E x

y Y

X D

i jij

j i

j

1 2 Σ 1

1 1

1

61

7174

2 07 2 06

61

72 74

E (X |Y = 1 )= 0 ,5

E (X |Y = 2 )= 0 ,8 6

E (X |Y = 3 )= 1 ,4 3

D (X /Y = 1 )= 0 ,7 6 D (X /Y = 2 )= 0 ,6 4 D (X /Y = 3 )= 0 ,7 3

docsity.com

D ef in ic ja

Z d ar ze n ia l o so w e A i B s ą n ie za le Ŝn

e, j eś li s p eł n io n a je st r ó w n o ść :

( )

( )

( )

P A B

P A

P B

=

R ó w n o ść p o w y Ŝs za z ac h o d zi w

te d y , g d y

N IE

Z A

L E

Ż N

O Ś

Ć Z

D A

R Z

E Ń

L O

S O

W Y

C H

( )

( )

P A B

P A

=

lu b

( )

( )

P B A

P B

=

p rz y

( )

P A

> 0

i (

) P

B > 0

docsity.com

N IE Z A L E ś N O Ś Ć Z

M IE N N Y C H L

O SO

W Y C H

D ef in ic ja

Z m ie n n e lo so w e X i Y t y p u s k o k o w eg

o s ą n ie za le Ŝn

e, j eś li d la k aŜ d ej

p ar y (

) x

y i

j ,

s p eł n io n y j es t w ar u n ek :

(

) (

) (

) P

X x

Y y

P X

x P Y

y i

j i

j =

= =

= =

,

co m

o Ŝn a za p is ać :

p

p p

=

p

p p

ij i

j =

⋅ ⋅

W ar u n ek

p o w y Ŝs zy

je st sp eł n io n y w te d y ,

g d y d la k aŜ d ej p ar y

w sk aź n ik ó w ( i, j) z ac h o d zi :

(

) (

) P

X x Y

y p p

P X

x p

i j

ij j i

i =

= =

= =

= ⋅

o ra z (

) (

) P Y

y X

x p p

P Y

y p

j i

ij i j

j =

= =

= =

= ⋅

docsity.com

R o zk

ła d p ra w d o p o d o b ie ń st w a zm

ie n n ej d w u w y m ia ro w ej ( X ,Y

)

X –

w y n ik r zu

tu p ie rw

sz ą m o n et ą (r es zk

a - 0 ; o rz eł –

1 )

Y - w y n ik r zu

tu d ru g ą m o n et ą (r es zk

a - 0 ; o rz eł –

1 )

Y

X

0 1

p i.

N IE Z A L E ś N O Ś Ć Z

M IE N N Y C H L

O SO

W Y C H

X

0 1 p .j

1

41

41

41

41

21 21

21

21

docsity.com

Y Y

Y

W SP

Ó Ł C Z Y N N IK

K O R E L A C JI L IN

IO W E J ρ

1 1

≤ ≤

− ρ

X X

X

K o re la c ja d o d a tn ia

K o re la c ja n e g a ty w n a

B ra k k o re la c ji

0 =

ρ 0

< ρ

0 >

ρ

docsity.com

0 =

ρ

E (X /Y )

E (Y /X )

Y

g d y co v( X ,Y ) = E (X Y ) - E (X )* E (Y )= 0

N ie sk o re lo w an

ie ( li n io w e) z m ie n n y ch

l o so w y ch

X i Y za ch

o d zi , g d y

w sp ó ln a w ar ia n cj a zm

ie n n y ch

n az y w an

a k o w ar ia n cj ą zm

ie n n y ch

X i

Y w y n o si z er o , cz y li w

sp ó łc zy

n n ik k o re la cj i li n io w ej ρ w

y n o si z er o

E (X /Y )

X

Je Ŝe li m

ię d zy b a d a n ym

i zm

ie n n ym

i n ie m

a z w ią zk u s to ch

a st yc zn eg

o

to i n ie m

a r ó w n ie Ŝ zw

ią zk u k o re la cy jn eg

o . T w ie rd ze n ie o d w ro tn e

n ie j es t p ra w d zi w e.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome