Matematyka - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (2.7 MB)
90 strona
845Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka.Część 1.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

MATEMATYKA

Zbiory i odwzorowania 2 Liczby zespolone 4 4 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych 6 6 Algebra liniowa 2 2 Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 6 6 Ciągi i szeregi liczbowe 4 4 Przestrzeń metryczna 2 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 6 8 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 8 6 Całka nieoznaczona 6 6 Całka oznaczona 6 6 Równania różniczkowe zwyczajne 8 8 Prace kontrolne 4

60 60

1

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1 Zbiory i odwzorowania

1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej

Zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, 4, . . .}

oraz naturalne uporządkowanie tego zbioru, w którym po każdej liczbie naturalnej n następuje liczba naturalna n + 1, są pojęciami pierwotnymi. Wszystkie własnósci liczb naturalnych wynikają z kilku własnósci podstawowych, które przyjmuje się bez dowodu jako aksjomaty teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych należy zasada indukcji zupełnej, którą formułuje twierdzenie:

Twierdzenie 1.1 Jeżeli W jest własnóscią okrésloną w zbiorze N i taką, że:

1. liczba 1 ma własnósć W ,

2. dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja:

jeżeli n ma własnósć W , to n+ 1 ma własnósć W

to każda liczba naturalna ma własnósć W .

Wykażemy, że dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierównóśc

2n > n2 (1)

W tym celu udowodnimy, że funkcja f (n) = 2n − n2 przyjmuje wartósci dodatnie dla wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5. Dla n = n0 = 5 mamy f (n0) = f (n) = 32− 25 > 0. Mamy wykazác, że dla n ≥ 5 prawdziwa jest implikacja

f (n) > 0⇒ f (n+ 1) > 0

W wyniku przekształceń otrzymujemy

f (n+ 1) = 2n+1 − (n+ 1)2 = 2 · 2n − n2 − 2n− 1 = = 2 · 2n − 2n2 +

¡ n2 − 2n− 1

¢ = 2

¡ 2n − n2

¢ + ¡ n2 − 2n− 1

¢ =

= 2f (n) + (n− 3) (n+ 1) + 2

Widác stąd, że dla n ≥ 5 spełniona jest nierównóśc (1). Potęgę an o wykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej definiujemy indukcyjne za

pomocą równósci:

1. a1 = a,

2. an+1 = a · an dla dowolnego n naturalnego.

Z powyższych równósci wynika, że a2 = a · a, a3 = a · a · a itd. Możemy to wyrazíc jednym wzorem

an = a · a · a · . . . · a| {z } n razy

Uwaga 1.1 W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrz- nymi i każde z tych działań jest łączne. Zatem N jest półgrupą ze względu na dodawanie i półgrupą ze względu na mnożenie.

2

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne

Zbiór liczb całkowitych

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

składa się z:

1. liczb całkowitych dodatnich +1, +2, +3, . . ., które uważamy za identyczne z liczbami naturalnymi 1, 2, 3, . . .,

2. liczb całkowitych ujemnych −1, −2, −3, . . ., które są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych,

3. liczby zero 0, która jest liczbą całkowitą neutralną (ani dodatnią, ani ujemną).

Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jeżeli ich suma jest zerem. Liczbę przeciwną do n oznaczamy −n, a liczbę przeciwną do −n oznaczamy − (−n) = n. Liczbą przeciwną do zera jest zero.

Uwaga 1.2 W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi.

Liczbą wymierną nazywamy liczbę, którą można przedstawíc w postaci ułamka zwykłego

m

n n 6= 0

którego licznik m jest dowolną liczbą całkowitą, a mianownik n jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q. Zamiast m

n piszemy często m/n. Liczbę

całkowitą m utożsamiamy z ułamkiem m

1 .

Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest możliwe na nieskończenie wiele sposobów, bowiem

m

n = km

kn k 6= 0

Ułamek m

n nazywamy skróconym, jeżeli jego licznik i mianownik nie mają wspólnego

podzielnika, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.

Uwaga 1.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie są działaniami wewnętrznymi.

Możemy teraz rozszerzýc definicję potęgi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny dla dowolnej podstawy niezerowej

a0 = 1 a−n = 1/an dla a 6= 0

3

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1.3 Liczby rzeczywiste

1.3.1 Liczby niewymierne

Wśród wielkósci rozważanych w geometrii są takie, które nie dają się wyrazíc za pomocą liczb wymiernych. Do wielkósci tych należą:

1. pole okręgu o promieniu 1,

2. długóśc przekątnej kwadratu o boku jednostkowym,

3. długóśc krawędzi széscianu o objętósci równej 10 itp.

Dla wyrażenia tych wielkósci rozszerzono pojęcie liczby wprowadzając liczby niewymierne. Poszczególne liczby niewymierne są dane jako pierwiastki pewnych równań, jako granice pewnych ciągów lub za pomocą innych warunków. Uważamy, że liczba niewymierna jest przez dany warunek okréslona, jeżeli warunek ten pozwala o każdej liczbie wymiernej rozstrzygną́c czy jest mniejsza, czy większa od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb wymiernych na dwie klasy: dolną i górną. Mówimy, że liczba niewymierna jest przekrojem zbioru liczb wymiernych. Jednoczésnie warunek ten pozwala wyznaczýc przybliżenie wymierne danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. Zilustrujemy to opisem. Długóśc x krawędzi széscianu o objętósci 10 jest liczbą wyznaczoną przez warunek x3 = 10.

Okazuje się, że széscian dowolnej liczby wymiernej jest albo większy albo mniejszy od tej wartósci. Wówczas zaliczamy daną liczbę wymierną do klasy górnej lub dolnej. Jest to przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczający liczbę 3

√ 10.

Sprawdzenie Klasa Przekrój Klasa Sprawdzenie warunku dolna górna warunku

23 = 8 2.13 = 9.261 2.153 = 9.938375

2 2.1 2.15

3 2.2 2.16

33 = 27 2.23 = 10.648 2.163 = 10.077696

. . . . . . 3 √ 10 . . . . . .

Tak więc liczby wymierne 2.15 i 2.16 są przybliżeniami liczby niewymiernej 3 √ 10 z błędem

mniejszym od 0.01. W powyższy sposób możemy wyznaczýc przybliżenie wymierne liczby 3 √ 10 z błędem dowolnie małym.

1.3.2 Przekrój Dedekinda

Definicja 1.1 Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, że

1. każda liczba wymierna należy do A lub do B,

2. każda liczba wymierna należąca do A jest mniejsza od każdej liczby wymiernej należącej do B

nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych.

Nie jest możliwe, aby w klasie A istniała liczba największa a i aby jednoczésnie w klasie B istniała liczba najmniejsza b, gdyż wtedy średnia arytmetyczna nie mogłaby należéc do żadnej

4

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

z klas A, B i warunek 1 nie byłby spełniony. Fakt ten wyrażamy wówiąc: w zbiorze liczb wymiernych nie ma skoków. Jest możliwe, że w klasie A istnieje liczba największa c, a w klasie B nie ma liczby

najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c, a w klasie A nie ma liczby największej. Wówczas mówimy, że przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza liczbę wymierną c. Jeżeli w klasie A nie ma liczby największej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej,

to mówimy, że przekrój ujawnia lukę w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczbę niewymierną, która tę lukę zapełnia. Jednolite ujęcie liczb wymiernych i niewymiernych za pomocą przekrojów wprowadził

Dedekind.

1.3.3 Liczby rzeczywiste

Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzięte tworzą zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działań na liczbach rzeczywistych posługujemy się przybliżeniami wymiernymi tych liczb. Pokażemy to na przykładzie sumy 3 √ 10 +

√ 2. Biorąc przybliżenia dziesiętne tych liczb, dolne i górne, z błędem mniejszym od

0.01 i dodając je 2.15 < 3

√ 10 < 2.16

1.41 < √ 2 < 1.42

3.56 < 3 √ 10 +

√ 2 < 3.58

otrzymujemy przybliżenia sumy z błędem mniejszym od 0.02.

Uwaga 1.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie (przez liczbę różną od zera) oraz potęgowanie przy wykładniku całkowitym są działaniami wewnętrznymi.

Definicja 1.2 Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c nazywamy liczbę rzeczywistą

x = n √ c (2)

która jest rozwiązaniem równania xn = c (3)

przy zastrzeżeniu, że jeżeli n jest liczbą parzystą, to x ≥ 0 i c ≥ 0.

Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje, bowiem równanie (3) nie ma rozwiązania, gdy n jest parzyste, a c < 0. Jeżeli pierwiastek arytmetyczny istnieje, to jest okréslony jednoznacznie: n

√ 0 = 0, n

√ 1 = 1, 3

√ 8 = 2, 3

√ −8 = −2, 4

√ 16 = 2, 4

√ −16−

nie istnieje.

Definicja 1.3 Potęgę am/n o wykładniku wymiernym m n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n

liczbą naturalną, definiujemy wzorem

a

m

n = n √ am dla a > 0 (4)

ograniczając się do przypadku, gdy podstawa a jest liczbą dodatnią.

5

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Ograniczenie to wynika z faktu, że dla a ≤ 0 prawa strona (4) może tracíc sens lub miéc wartóśc zależną nie tylko od wartósci wykładnika wymiernego m

n , ale i od postaci, w jakiej ten

wykładnik napisano, np.

(−0.1)0.2 = ( (−1)1/5 = 5

√ −1 = −1

(−1)2/10 = 10 q (−1)2 = +1

Wynika stąd, że przekształcenie n √ am =

kn √ akm

może býc stosowane, jeżeli a > 0. Definiując liczby rzeczywiste za pomocą przekrojów w zbiorze liczb wymiernych, możemy

teraz konstruowác w analogiczny sposób przekroje w zbiorze liczb rzeczywistych. Udowadnia się, że każdy przekrój w zbiorze liczb rzeczywistych wyznacza jaką́s liczbę rzeczywistą. Oznacza to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma skoków i nie ma luk. Fakt ten wyrażamy mówiąc, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciągły.

1.3.4 Wartóśc bezwzględna (moduł)

Definicja 1.4 Wartósć bezwzględną (moduł) liczby rzeczywistej x oznaczamy symbolem |x| i definiujemy następująco:

• moduł zera jest zerem,

• moduł liczby dodatniej x jest równy x,

• moduł liczby ujemnej x jest równy liczbie przeciwnej do liczby x, a więc

|x| = ½ x dla x ≥ 0 −x dla x < 0 (5)

Na przykład: |a2| = a2, |−a2| = − (−a2) = a2, |cos2 x− 1| = − (cos2 x− 1) = sin2 x. Następnie mamy przykład uproszczenia wyrażenia

√ w2. Z definicji pierwiastka arytmetycznego

wynika, że √ w2 = w dla w ≥ 0√ w2 = −w dla w < 0

Jeżeli nie wiemy, jaką liczbą jest w, to zgodnie z definicją (5) piszemy

√ w2 = |w| dla w ∈ R

Natomiast

√ x2 + 2x+ 1 =

q (x+ 1)2 = |x+ 1| =

½ x+ 1 dla x ≥ −1 −x− 1 dla x < −1

6

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Twierdzenie 1.2 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są następujące związki1

|x| ≥ 0 moduł dowolnej liczby jest nieujemny |x| = 0⇔ x = 0 moduł liczby jest zerem wtw, gdy liczba jest zerem |x| = |−x| liczby przeciwne mają moduły jednakowe |xy| = |x| · |y| moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów¯̄̄̄ x

y

¯̄̄̄ = |x| |y| moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułów

|x+ y| ≤ |x|+ |y| moduł sumy jest niewiększy od sumy modułów |x− y| ≥ |x|− |y| moduł różnicy jest niemniejszy do różnicy modułów ||x|− |y|| ≤ |x± y| ≤ |x|+ |y| moduł sumy lub różnicy jest niewiększy od sumy modułów

i niemniejszy od różnicy modułów

1.4 Działania na zbiorach

Zbiór jest w matematyce pojęciem pierwotnym. Przedmioty należące do pewnego zbioru nazywamy elementami tego zbioru. Zdanie: przedmiot a należy do zbioru A zapisujemy

a ∈ A Zaprzeczenie tego zdania, że a nie należy do A (a nie jest elementem zbioru A) zapisujemy

a /∈ A Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i piszemy

A ⊂ B gdy każdy element zbioruA jest elementem zbioruB. Mówimy wówczas, żeA jest podzbiorem zbioru B, a B jest nadzbiorem zbioru A.

Uwaga 1.5 Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem.

Mówimy, że zbiory A i B są identyczne i piszemy A = B, jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A. A więc

(A = B)⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) (6) Przestrzeń. Zbiory rozważane w pewnym zagadnieniu są zwykle podzbiorami pewnego ustalonego

zbioruX, zwanego przestrzenią. Przestrzenią może býc zbiór punktów przestrzeni geometry- cznej, zbiór liczb rzeczywistych R, zbiór wielomianów itp. Zbiory skończone i nieskończone. Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną lub 0. Zbiór złożony z n elementów nazywamy

zbiorem skończonym (n−elementowym). Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli dla każdego n istnieje w tym zbiorze podzbiór złożony z n elementów. Na przykład, zbiór podziel- ników dowolnej liczby naturalnej jest skończony, natomiast zbiór jej wielokrotnósci jest nieskoń- czony. Jeżeli zbiór jest skończony, to można go zdefiniowác wymieniając wszystkie jego elementy.

Zdanie: A jest zbiorem złożonym z elementów a1, a2, a3, . . . , an zapisujemy

A = {a1, a2, a3, . . . , an} i rozumiemy przez to, że:

1wtw czytamy: wtedy i tylko wtedy

7

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1. każdy z przedmiotów a1, a2, a3, . . . , an należy do zbioru A,

2. tylko przedmioty a1, a2, a3, . . . , an należą do zbioru A.

Jeżeli zbiór jest nieskończonym podzbiorem pewnej przestrzeni, to definiujemy go podając warunek, który jest spełniony przez wszystkie elementy tego zbioru. Na przykład: A jest zbiorem złożonym z elementów przestrzeni X spełniających warunek W

A = {x ∈ X :W (x)}

Jeżeli nie ma wątpliwósci, o jaką przestrzeń chodzi, to mówimy: A jest zbiorem tych x, które spełniają warunek W i piszemy:

A = {x :W (x)}

Niech będą dane dwa zbiory A, B.

Definicja 1.5 Sumą zbiorów nazywamy zbiór utworzony ze wszystkich elementów zbioru A i wszystkich elementów zbioru B

A ∪B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Definicja 1.6 Iloczynem (czę́scią wspólną) zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, które są elementami zbioru B

A ∩B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Definicja 1.7 Różnicą zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, które nie są elementami zbioru B

A \B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}

Definicja 1.8 Mówimy, że zbiory A, B są rozłączne, jeżeli ich iloczyn jest zbiorem pustym (nie istnieje element, który należy do A i do B).

Definicja 1.9 Jeżeli zbiór A jest podzbiorem pewnej przestrzeni X, to różnicęX\B nazywamy dopełnieniem (uzupełnieniem) zbioru A.

1.4.1 Produkt kartezjański

Niech będą dane dwa zbiory X, Y . Nie wykluczamy możliwósci, że X, Y oznaczają jeden i ten sam zbiór. Jeżeli tak jest, to mówimy, że X i Y są dwoma egzemplarzami tego samego zbioru. Niech x oznacza dowolny element zbioru X, a y dowolny element zbioru Y . Utwórzmy parę

(x, y)

w której x jest pierwszym wyrazem, a y drugim. Zbiór takich par nazywamy produktem kartezjańskim zbiorów X, Y (lub produktem) i oznaczamy

X × Y = {(x, y) : (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y )}

Przykład.

8

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Na płaszczýznie obieramy prostokątny układ kartezjańskiOxy. Wówczas każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada para (x, y) liczb rzeczywistych i każdej parze (x, y) liczb rzeczywistych odpowiada punkt płaszczyzny. Zbiór par (x, y) liczb rzeczywistych jest produktem R×R. Produktem zbiorów {1, 2} i {1, 2, 3} jest zbiór par

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3)

Produktem zbiorów {1, 2, . . . ,m} i {1, 2, . . . , n} jest zbiór par

(1, 1) (1, 2) · · · (1, n) (2, 1) (2, 2) · · · (2, n) · · · · · · · · · · · · (m, 1) (m, 2) · · · (m,n)

Produkt N 2 = N ×N jest to zbiór par (i, j) liczb naturalnych

(1, 1) (1, 2) · · · (1, j) · · · (2, 1) (2, 2) · · · (2, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · · (i, 1) (i, 2) · · · (i, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

1.5 Zbiory liczb. Kres górny, kres dolny

W punkcie tym będziemy rozważác tylko podzbiory przestrzeni liczb rzeczywistych R. Litera Z będzie oznaczác podzbiór liczb rzeczywistychR. Poniżej przedstawiamy zapis ogólny zbioru liczb x spełniających warunek W

x :W (x)

oraz przykłady zbiorów

{x : x2 = 9} = {−3,+3} zbiór 2−elementowy {x : x2 = 0} = {0} zbiór 1−elementowy {x : x2 < 0} zbiór 0−elementowy, czyli pusty {x : x2 < 9} = {x : −3 < x < 3} zbiór nieskończony

Najważniejszy rodzaj zbiorów to przedziały. Definiujemy je poniżej, zakładając, że a ∈ R, b ∈ R i a < b.

Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a ≤ x ≤ b} < a; b > przedział domknięty {x : a < x < b} (a; b) przedział otwarty {x : a ≤ x < b} < a; b) przedział lewostronnie domknięty,

prawostronnie otwarty {x : a < x ≤ b} (a; b > przedział lewostronnie otwarty,

prawostronnie domknięty

9

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

O każdym z powyższych przedziałów mówimy, że ma końce a, b, długóśc b−a (skończoną) i że jest ograniczony. Poniższe przedziały

Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a ≤ x} < a; +∞) przedział lewostronnie domknięty,

prawostronnie nieograniczony {x : a < x} (a; +∞) przedział otwarty, prawostronnie

nieograniczony {x : x ≤ b} (−∞; b > przedział lewostronnie nieograniczony,

prawostronnie domknięty {x : x < b} (−∞; b) przedział otwarty, lewostronnie

nieograniczony

nazywamy nieograniczonymi, mówiąc, że mają długóśc nieskończoną, że mają jeden koniec w skończonósci, a drugi w nieskończonósci. Zapis (−∞; +∞) oznacza całą przestrzeń R.

Definicja 1.10 Elementem największym zbioru liczb Z nazywamy tę liczbę, która należy do zbioru Z i jest większa od każdej z pozostałych liczb należących do zbioru Z. Liczbę tę oznaczamy

maxZ (maksimum Z)

Definicja 1.11 Elementem najmniejszym zbioru liczb Z nazywamy tę liczbę, która należy do zbioru Z i jest mniejsza od każdej z pozostałych liczb należących do zbioru Z. Liczbę tę oznaczamy

minZ (minimum Z)

W każdym skończonym zbiorze liczb istnieje element największy i element najmniejszy, np.

min © 0.1, √ 0.1 ª = 0.1 max {x,−x} = |x|

W zbiorze nieskończonym element największy i najmniejszy mogą nie istniéc, np.

maxN− nie istnieje max (0; 1)− nie istnieje

Definicja 1.12 Liczbę b nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z, jeżeli dla każdego x należącego do Z jest x ≤ b

∧ x∈Z x ≤ b

Definicja 1.13 Zbiór Z nazywamy ograniczonym od góry, jeżeli istnieje ograniczenie górne zbioru Z

∨ b ∧ x∈Z x ≤ b

Definicja 1.14 Liczbę a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z, jeżeli dla każdego x należącego do Z jest a ≤ x

∧ x∈Z a ≤ x

Definicja 1.15 Zbiór Z nazywamy ograniczonym od dołu, jeżeli istnieje ograniczenie dolne zbioru Z

∨ b ∧ x∈Z a ≤ x

10

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Definicja 1.16 Zbiór nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór ten jest ograniczony od góry i od dołu. W przeciwnym razie zbiór nazywamy nieograniczonym.

Uwaga 1.6 Zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony. Zbiór odwrotnósci liczb naturalnych jest ograniczony.

Definicja 1.17 Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru. Kres górny zbioru Z oznaczamy

supZ (supremum Z)

Definicja 1.18 Kresem dolnym zbioru nazywamy największe z ograniczeń dolnych tego zbioru. Kres dolny zbioru Z oznaczamy

inf Z (infimum Z)

Uwaga 1.7 Kresem górnym przedziału (0; 1) jest liczba 1. Kresem dolnym zbioru odwrotnósci liczb naturalnych jest liczba 0.

Twierdzenie 1.3 Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od góry istnieje jeden kres górny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od dołu istnieje jeden kres dolny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego istnieje dokładnie jeden kres górny i dokładnie jeden kres dolny.

1.6 Odwzorowania (funkcje)

Definicja 1.19 Odwzorowanie jest w matematyce pojęciem pierwotnym.

YX

D W

x ( )xf

Rysunek 1: Odwzorowanie f(x).

Zamiast odwzorowanie mówimy też przekształcenie albo funkcja. Niech będą dane przestrzeń X,

której dowolny element oznaczamy przez x oraz przestrzeń Y , której dowolny element oznaczamy y = f (x). Zakładamy, że zbiory X i Y są niepuste. Niech D będzie pew- nym niepustym podzbiorem przes- trzeni X, co zapiszemy D ⊂ X

(patrz rys. 1), a W pewnym niepustym podzbiorem przestrzeni Y : W ⊂ Y . Jeżeli każdemu elementowi zbioru D został przyporządkowany dokładnie jeden element

zbioru Y , to mówimy, że zostało okréslone odwzorowanie zbioruD w zbiór Y czyli funkcja odwzorowująca zbiór D w zbiór Y . Funkcję tę oznaczamy przez f

f : D→ Y (czytamy: f jest funkcją odwzorowującą zbiór D w zbiór Y ). Każdy element zbioru D nazywamy argumentem funkcji f , a zbiór D− dziedziną funkcji f . Element zbioru Y , który funkcja f przyporządkowuje argumentowi x oznaczamy f (x)

x→ f (x) i nazywamywartóscią funkcji odpowiadającą argumentowi x. Pełny zapis omówionej funkcji ma postác:

f : D→ Y x→ f (x)

11

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

53.752.51.250

5

3.75

2.5

1.25

0

( ) 1162 +−= xxxf

XD =

W

Y

Rysunek 2: Odwzorowanie f(x) = x2 − 6x+ 11.

Zbiór wszystkich wartósci funkcji ozna- czamy W i nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Zapis

f : R→ R x→ f (x) = x2 − 6x+ 11

czytamy: f jest funkcją okrésloną na zbiorze liczb rzeczywistych i mającą wartósci w zbiorze liczb rzeczywistych dane wzorem f (x) = x2 − 6x + 11. Definicję tę i zapis często skracamy, mówiąc: f (x) jest funkcją okrésloną wzorem

f (x) = x2 − 6x+ 11 dla x ∈ R

W naszym przykładzie D = X = R, Y = R. Aby wyznaczýc przeciwdziedzinę W , zauważamy, że wartóśc funkcji f (x) = x2−6x+11 = (x− 3)2+2może býc równa 2 i może býc dowolną liczbą większą od 2. Zatem przeciwdziedzina W jest przedziałem < 2;∞) (patrz rys. 2).

Uwaga 1.8 X i Y mogą być różnymi przestrzeniami; w szczególnósci może być X = Y . DziedzinaD jest podzbiorem przestrzeni X, przy czym jest możliwe, żeD = X. Przeciwdziedzi- na W jest podzbiorem przestrzeni Y , ale może zachodzić W = Y .

Jednoznacznóśc funkcji Z okréslenia funkcji wynika, że każdemu argumentowi przyporządkowana jest tylko jedna

wartóśc funkcji. Fakt ten wyrażamy, mówiąc, że funkcja jest jednoznaczna. Funkcja różnowartósciowa (odwracalna) Jeżeli funkcja ma tę własnóśc, że każda jej wartóśc jest przyporządkowana tylko jednemu

argumentowi, czyli, że każdym dwom różnym argumentom odpowiadają różne wartósci funkcji

∧ x1∈D

∧ x2∈D

(x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2))

to mówimy, że funkcja jest różnowartósciowa, czyli odwracalna, a także jest wzajemnie jednoznaczna. Funkcja odwrotna Niech f (x) będzie funkcją różnowartósciową o dziedzinie D i przeciwdziedzinie W .

Definicja 1.20 Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję, której dziedziną jest W , a przeciwdziedziną D i która każdemu y należącemu do W przyporządkowuje ten element x zbioru D, któremu funkcja f przyporządkowała y. Jeżeli funkcję odwrotną do f oznaczymy ϕ, to

∧ y∈W

(ϕ (y) = x⇔ f (x) = y)

Jeżeli ϕ jest funkcją odwrotną do f , to także f jest funkcją odwrotną do ϕ

∧ x∈D

(f (x) = y ⇔ ϕ (y) = x)

zatem f i ϕ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

12

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

1.7 Typy odwzorowań

Definicja 1.21 NiechD = N , a Y będzie dowolnym zbiorem. OdwzorowanieN w Y nazywamy ciągiem nieskończonym lub krótko ciągiem.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Element zbioru Y przyporządkowany liczbie n nazywamy n−tym wyrazem ciągu i oznaczamy an. Liczbom

1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .

są przyporządkowane wyrazy

a1, a2, a3, . . . , an, an+1, . . .

Sam ciąg (czyli odwzorowanie) oznaczamy symbolem

(a1, a2, . . .) lub (an)

W zależnósci od rodzaju elementów zbioru Y mamy różne rodzaje ciągów. Na przykład:

1. jeżeli Y = R, to mamy ciąg liczb rzeczywistych;

2. jeżeli Y jest zbiorem punktów pewnej sfery, to mamy ciąg punktów na tej sferze;

3. jeżeli Y jest zbiorem sfer, to mamy ciąg sfer (ciąg sfer współ́srodkowych o promieniach 1/n);

4. jeżeli Y jest zbiorem wielomianów, to mamy ciąg wielomianów.

Definicja 1.22 Jeżeli D = {1, 2, 3, . . . , k}, odwzorowanie nazywamy ciągiem skończonym k−wyrazowym.

Liczbom 1, 2, 3, . . . , k

są przyporządkowane wyrazy a1, a2, a3, . . . , ak

Ciąg skończony o powyższych wyrazach oznaczamy

(a1, a2, a3, . . . , ak)

JeżeliD = N ×N , to odwzorowanie nazywamy ciągiem dwuwskáznikowym. Dziedziną jest tu zbiór par liczb naturalnych. Niech i, j będą dowolnymi liczbami naturalnymi. Element dowolnego zbioru Y przyporządkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem o wskáznikach i, j i oznaczamy aij lub ai,j. Tak więc parom liczb

(1, 1) (1, 2) · · · (1, j) · · · (2, 1) (2, 2) · · · (2, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · · (i, 1) (i, 2) · · · (i, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

13

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

są przyporządkowane wyrazy a11 a12 · · · a1j · · · a21 a22 · · · a2j · · · · · · · · · · · · · · · · · · ai1 ai2 · · · aij · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Ciąg dwuwskáznikowy oznaczamy symbolem

(aij) lub (ai,j)

Jeżeli w ciągu dwuwskáznikowym ustalimy pierwszy wskáznik, nadając mu na przykład wartóśc i, to otrzymamy ciąg

(ai1, ai2, . . . , aij, . . .)

który nazywamy i−tym wierszem danego ciągu dwuwskáznikowego. Podobnie ustalając drugi wskáznik j, otrzymamy ciąg zwany j−tą kolumną. JeżeliD = {1, 2, . . . ,m}×{1, 2, . . . , n}, to odwzorowanie nazywamymacierzą dwuwskáz-

nikową albo macierzą prostokątną. Dziedzina jest zbiorem par liczb naturalnych (i, j), gdzie: i ≤ m, j ≤ n. Element pewnego zbioru Y przyporządkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem o wskáznikach i, j danej macierzy i oznaczamy aij. Macierz zapisujemy w postaci tablicy⎡⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎦ lub [aij]i≤m,j≤n przy czym i nazywamy wskáznikiem wiersza, a j wskáznikiem kolumny. Parę liczb (m,n) nazywamy wymiarem macierzy. Jeżeli m = n, macierz nazywamy kwadratową i mówimy o niej, że jest stopnia n.

52.50-2.5-5

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

Rysunek 3: Odwzorowanie prostokątne.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

Rysunek 4: Odwzorowanie biegunowe.

Odwzorowanie nazywamy:

1. funkcją rzeczywistą, jeżeli Y = R;

2. funkcją zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = R;

3. funkcją rzeczywistą, zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = Y = R.

14

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Definicja 1.23 Wykresem dowolnego odwzorowania nazywamy zbiór par (x, y), gdzie x jest dowolnym elementem dziedziny, a y przyporządkowanym mu przez odwzorowanie elementem przeciwdziedziny.

W sensie praktycznym wykresem nazywamy obraz geometryczny, z którego w przybliżeniu można odczytác wartósci funkcji i sposób, w jaki są one przyporządkowane argumentom (patrz rys. 3 i 4). Jeżeli X = R×R, Y = R, to odwzorowanie nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch

zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest para liczb rzeczywistych, wartóscią funkcji - liczba rzeczywista:

y = f (x) x = (x1, x2) lub

z = f (x, y)

Zbiór par (x, y) liczb rzeczywistych można utożsamiác ze zbiorem punktów P płaszczyzny; liczby x, y są współrzędnymi tego punktu. Jeżeli X = R×R×R, Y = R, to odwzorowanie nazywamy funkcją rzeczywistą

trzech zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest trójka liczb rzeczywistych, wartóscią funkcji - liczba rzeczywista:

y = f (x) x = (x1, x2, x3) lub

u = f (x, y, z)

Zbiór trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych można utożsamiác ze zbiorem punktów P powierz- chni; liczby x, y są współrzędnymi tego punktu. Dla funkcji trzech zmiennych nie istnieje interpretacja geometryczna, analogiczna do

tych, jakie przedstawiamy dla funkcji 1 i 2 zmiennych. Natomiast możliwa jest interpretacja geometryczno-fizyczna. Możemy uważác, że u jest pewną skalarną wielkóscią fizyczną (np. temperatura, gęstóśc) przyporządkowaną punktowi (x, y, z). Funkcja tak interpretowana nazy- wa się w fizyce polem skalarnym.

1.8 Symbole i wzory

Symbol sumy Symbolem sumy jest grecka litera

P (sigma duże). Symbolem tym posługujemy się, gdy

składniki sumy są wyrazami pewnego ciągu, na przykład sumę

a1 + a2 + a3 + . . .+ an n > 1

zapisujemy w postaci nX k=1

ak (7)

Zapis ten odczytujemy: suma ak od k = 1 do k = n. Litera k jest tu wskáznikiem sumowania, liczby 1 i n są granicami sumowania (dolną i górną). Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do 8 zapisujemy

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 8X k=1

k2

15

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Symbolem sumy posługujemy się także w ogólniejszych przypadkach. Niech będzie dany ciąg nieskończony (a1, a2, . . .), a granice sumowania niech będą dowolnymi liczbami naturalnymi p, q, gdzie p < q. Wówczas symbol sumy ma następujący sens

qX k=p

ak = ap + ap+1 + . . .+ aq (8)

Dodatkowo, dla przypadku, gdy p = q, przyjmujemy

pX k=p

ak = ap (9)

Symbol sumy można też rozszerzýc na przypadek, gdy wskáznik sumowania przybiera wartóśc 0 lub wartósci całkowite ujemne, o ile odpowiadające tym wartósciom składniki sumy są okréslone, na przykład

2X k=−2 xk = x−2 + x−1 + x0 + x1 + x2 dla x 6= 0

Własnóśc 1.1 Zmiana litery oznaczającej wskáznik sumowania nie zmienia znaczenia sumy nX k=1

ak = nX j=1

aj = nX i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an (10)

Własnóśc 1.2 Jeżeli wyraz stojący pod znakiem sumy jest niezależny od wskáznika sumowania, to należy rozumiéc, że wszystkie składniki sumy mają jednakową wartósć i suma równa się iloczynowi tej wartósci przez liczbę składników

nX k=1

c = c+ c+ . . .+ c| {z } n razy

= nc (11)

Własnóśc 1.3 Czynnik niezależny od wskaźnika sumowania można wyłączyć przed znak sumy (lub wprowadzíc pod znak sumy)

nX k=1

tak = t nX k=1

ak (12)

Własnóśc 1.4 Obie granice sumowania można podwyższyć o dowolną liczbę r, jeżeli jednoczés- nie w wyrazie stojącym pod znakiem sumy odejmiemy od wskaźnika sumowania tę samą liczbę r

nX k=1

ak = n+rX k=1+r

ak−r = a1 + a2 + . . .+ an (13)

Suma podwójna Niech będzie dany ciąg dwuwskáznikowy o wyrazach aij, gdzie i = 1, 2, . . .m; j = 1, 2, . . . n

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn

(14)

16

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Suma wyrazów i−tego wiersza wyraża się wzorem

nX k=1

aik dla i = 1, 2, . . .m

Suma wszystkich takich sum wyraża się iterowanym znakiem sumy

mX i=1

à nX k=1

aik

! (15)

Suma wyrazów k−tej kolumny wyraża się symbolem

mX i=1

aik dla k = 1, 2, . . . n

Suma wszystkich takich sum wyraża się również iterowanym znakiem sumy

nX k=1

à mX i=1

aik

! (16)

Uwaga 1.9 Sumy iterowane (15) i (16) różnią się kolejnóscią sumowania, lecz są równe, gdyż każda z nich jest sumą wszystkich wyrazów ciągu (14)

mX i=1

à nX k=1

aik

! =

nX k=1

à mX i=1

aik

! =

X i=1,...m k=1,...n

aik (17)

Symbol iloczynu Do oznaczenia iloczynu posługujemy się grecką literą

Y (pi duże)

nY k=1

ak = a1 · a2 · . . . · an (18)

4Y k=1

sin kx = sinx sin 2x sin 3x sin 4x

3Y j=0

(z − j) = z (z − 1) (z − 2) (z − 3)

log nY i=1

ai = nX i=1

log ai ai > 0 i = 1, 2, . . . n

Średnie

17

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Niech będzie dany ciąg liczb dodatnich a1, a2, . . . , an. Definiujemy

A (a1, . . . , an) = 1

n

nX k=1

ak = a1 + . . .+ an

n średnia arytmetyczna

G (a1, . . . , an) = n

vuut nY k=1

ak = n √ a1 · . . . · an średnia geometryczna

H (a1, . . . , an) =

à 1

n

nX k=1

1

ak

!−1 =

n 1 a1 + . . .+ 1

an

średnia harmoniczna

K (a1, . . . , an) =

vuut1 n

nX k=1

a2k =

r a21 + . . .+ a

2 n

n średnia kwadratowa

(19)

Można udowodníc, że dla dowolnych dodatnich a1, . . . , an zachodzi

min (a1, . . . , an) ≤ H ≤ G ≤ A ≤ K ≤ max (a1, . . . , an)

Silnia Symbol n! (czytamy: n−silnia) oznacza funkcję, którą dla n = 0, 1, 2, . . . definiujemy

indukcyjnie wzorami

0! = 1 (n+ 1)! = (n+ 1)n! (20)

Mamy więc: 0! = 1! = 1, 2! = 1 · 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 i ogólnie dla dowolnego n naturalnego

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n

Silnia podwójna Do oznaczenia iloczynu kolejnych liczb parzystych lub kolejnych liczb nieparzystych używa-

my tak zwanej silnii podwójnej, oznaczanej podwójnym wykrzyknikiem

2 · 4 · 6 · 8 = 8!! 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 9!!

Symbol Newtona Symbol Newtona

³n k

´ (czytamy: n po k), w którym element górny n jest dowolną liczbą,

a element dolny k jest liczbą naturalną, oznacza liczbę³n k

´ = n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k + 1)

1 · 2 · 3 · . . . · k n ∈ R k ∈ N

w którym mianownik jest iloczynem k kolejnych liczb naturalnych od 1 do k, a licznik jest iloczynem liczby n oraz liczb otrzymywanych przez pomniejszanie liczby n o kolejne liczby naturalne, przy czym licznik ma zawierác tyle samo czynników co mianownik. Ponadto³n

0

´ = 1 n ∈ R

Przykłady

18

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

µ 4

0

¶ = 1

µ 4

1

¶ = 4

1 = 1

µ 4

2

¶ = 4 · 3 1 · 2 = 6µ

4

3

¶ = 4 · 3 · 2 1 · 2 · 3 = 4

µ 4

4

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 1 · 2 · 3 · 4 = 1

µ 4

5

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 · 0 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 0µ

4

6

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 · 0 · (−1) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 0

µ −2 3

¶ = (−2) · (−3) · (−4)

1 · 2 · 3 = −4µ 1/2

3

¶ = (1/2) · (−1/2) · (−3/2)

1 · 2 · 3 = 1

16

Ã√ 2

2

! =

√ 2 · ¡√ 2− 1

¢ 1 · 2 ≈ 0.2929

Jeżeli górny element symbolu Newtona ³n k

´ jest liczbą naturalną, nie mniejszą od dolnego

elementu, to zachodzą równósci³n k

´ =

n!

k! (n− k)!³n k

´ =

µ n

n− k

¶ ³n k

´ +

µ n

k + 1

¶ =

µ n+ 1

k + 1

¶ Dwumian Newtona (a+ b)n

Są to kolejne potęgi dwumianu a+ b o wykładnikach n = 0, 1, 2, . . .

(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = a + b

(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Współczynniki stojące przy poszczególnych wyrazach rozwinięcia dwumianu (a+ b)n tworzą tak zwany trójkąt Pascala:

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wzór dwumienny Newtona

(a+ b)n = nX k=0

³n k

´ an−kbk =

= ³n 0

´ an +

³n 1

´ an−1b+

³n 2

´ an−2b2 +

³n 3

´ an−3b3 + . . .+

³n n

´ bn (21)

19

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

lub

(a+ b)n = nX k=0

³n k

´ an−kbk =

= an + nan−1b+ n (n− 1) 1 · 2 a

n−2b2 + n (n− 1) (n− 2)

1 · 2 · 3 a n−3b3 + . . .+ bn (22)

20

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

2 Teoria liczb zespolonych

2.1 Trochę historii

Liczby zespolone po raz pierwszy pojawiły się w XVI wieku przy rozwiązywaniu równania trzeciego stopnia (wzory Cardano). Włoscy matematycy

N. Tartoglia

S. del Ferro

G. Cardano

poszukiwali rozwiązań równania typu

z3 + pz + q = 0

w którym niewiadoma z i współczynniki p, q są liczbami rzeczywistymi.

Recepta według S. Lem, Cyberiada, rozdz.III, Smoki prawdopodobieństwa

Smok x Smok = Niedosmok (w ilości 0.6)

Analogia

?1 =−=i ??×=× ii

1−=× ii

Rysunek 5: Smoki S. Lema a jednostka urojona.

Podczas analiz natknęli się na prob- lem, polegający na koniecznósci wyciąga- nia pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Wymienieni uczeni wprowa- dzili, jako pojęcie pierwotne, nową wielkóśc, nazwaną jednóscią urojoną

i (często również oznaczaną przez j)

przyjmując jako aksjomat równóśc

i2 = −1

Następnie utworzyli liczby, nazwane liczbami zespolonymi

x+ iy x, y,∈ R

i wykonywali na nich działania według znanych regułmatematyki. Przy pomocy

tych liczb już potrafili rozwiązác równanie

z3 + pz + q = 0

Uzyskali wzór, zwany dzís wzorem Cardano. Był to sukces, choć w tamtych czasach nie było jasne, czym tak na prawdę są liczby zespolone. Wyjásnili to pó́zniej Euler, Gauss i Hamilton. Było to pierwsze zastosowanie liczb zespolonych w historii matematyki. Dzisiaj wiemy, że:

i0 = 1 i4 = 1 i1 = i i−1 = −i i2 = −1 i−2 = −1 i3 = −i

√ i = ? ćwiczenia

21

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

2.2 Liczby zespolone

Definicja 2.1 Liczby zepolone to uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których dodawanie i mnożenie okréslamy za pomocą wzorów:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) (23)

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc) (24)

Ponadto zachodzi równóśc

(a, b) = (c, d)⇐⇒ (a = c) ∧ (b = d) (25)

Tak zdefiniowane działania na liczbach zespolonych mają te same algebraiczne własnósci co dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych.

Przykład 2.1 Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,−1) i (3, 7).

Rozwiązanie 2.1 Zgodnie z (23) i (24) mamy:

(2,−1) + (3, 7) = (2 + 3,−1 + 7) = (5, 6) (2,−1) (3, 7) = (2 · 3 + 1 · 7, 2 · 7− 1 · 3) = (13, 11)

Twierdzenie 2.1 Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem doda- wania i mnożenia.

Definicja 2.2 Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.

Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych. A więc

(a, b)− (c, d) = (a− c, b− d) (26)

Definicja 2.3 Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia.

Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych. Liczba zespolona (x, y) jest ilorazem liczby zespolonej (a, b) i liczby zespolonej (c, d), co oznaczamy (a, b) : (c, d) lub (a,b)

(c,d) , gdy

(x, y) (c, d) = (a, b)

A więc

(x, y) = (a, b)

(c, d) =

µ ac+ bd

c2 + d2 ,−ad− bc c2 + d2

¶ (27)

Przykład 2.2 Obliczyć iloraz (2,−1) (3, 7)

Rozwiązanie 2.2 Zgodnie z (27) mamy

(2,−1) (3, 7)

=

µ 2 · 3− 1 · 7 32 + 72

,−2 · 7− (−1) · 3 32 + 72

¶ =

µ −1 58 , −17 58

22

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

Zbiór liczb zespolonych (a, 0) można utożsamíc ze zbiorem liczb rzeczywistychR, a symbol (a, 0) możemy zastąpíc symbolem a. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy Z lub (niekiedy) C2. Ponieważ

(a, b) = (a, 0) · (1, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a · 1 + b · (0, 1) (28)

więc do zapisania dowolnej liczby zespolonej wystarczają liczby rzeczywiste i liczba zespolona postaci (0, 1), którą oznaczamy symbolem i

i = (0, 1) (29)

oraz nazywamy jednóscią urojoną. A więc

(a, b) = a+ bi (30)

Prawa strona (30) jest postacią algebraiczną (lub kartezjańską) liczby zespolonej. Liczbę rzeczywistą a nazywamy czę́scią rzeczywistą, a liczbę rzeczywistą b - czę́scią urojoną liczby zespolonej z = a+ bi. Zapisujemy to3

a = Re (a+ bi) b = Im(a+ bi) (31)

Natomiast, jak pamiętamy, jednóśc urojona i spełnia warunek

i2 = −1 (32)

czyli (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). Jest to nierzeczywiste rozwiązanie równania x2 = −1. Wielkóśc tę oznaczamy również jako i =

√ −1.

Uwaga 2.1 Dwie liczby zespolone z1 i z2 są równe, jeżeli ich czę́sci rzeczywiste i urojone są sobie równe, tzn. Re z1 = Re z2 i Im z1 = Im z2.

2.3 Płaszczyzna zespolona

y oś urojona

x oś rzeczywista

b

a1

i

z = a + bi

r = ( a2 +

b2 ) 1/2

ϕ

Rysunek 6: Płaszczyzna zespolona.

Płaszczyzna zespolona jest płaszczyzną z prostokątnym układem współrzędnych, której punkty są rozumiane jako liczby zespolone. Liczbę zespoloną z = a + bi przedstawiamy w tym układzie jako punkt o współrzędnych (a, b) lub jako wektor o współrzędnych [a, b] zaczepiony w początku układu. Każdemu punktowi (a, b) płaszczyzny odpowiada wówczas dokładnie jedna liczba zespolona postaci z = a+bi, a liczbie zespolonej z = a+bi odpowiada punkt o współrzędnych (a, b) - patrz rys. 6. We współrzędnych biegunowych (r, ϕ) położenie punktu

(a, b) na płaszczýznie wyznaczamy jednoznacznie przez podanie długósci r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąta ϕ4, który tworzy promień r z osią odciętych.

2Od łacińskiego słowa complexus - zespolony. 3Re od real (ang.); Im od imagine (ang.). 4Jest on skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

23

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

Modułem liczby zespolonej z = a+bi nazywamy liczbę równą pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów czę́sci rzeczywistej i urojonej

r = |z| = |a+ bi| = √ a2 + b2 (33)

Tak wię,moduł liczby z równa się odległósci punktu z od początku układu współrzędnych, czyli długósci wektora z. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 nazywa się każdą liczbę rzeczywistą ϕ okrésloną równaniami⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

cosϕ = a

|r| = Re z

|z| = a√ a2 + b2

sinϕ = b

|r| = Im z

|z| = b√ a2 + b2

(34)

Argument ϕ liczby z oznaczamy: ϕ = arg z. Jest on miarą łukową kąta skierowanego, który tworzy ós rzeczywista 0x z wektorem z. Każda liczba zespolona z 6= 0 ma nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli ϕ jest jednym z argumentów liczby z, to wszystkie inne jej argumenty wyrażają się wzorem

arg z = ϕ+ 2kπ (35)

gdzie: k− liczba całkowita. Argumentem głównym liczby zespolonej nazywa się taki argument, który zawiera się w

przedziale h−π, πi (wartóśc taka jest dokładnie jedna). Nie okrésla się argumentu liczby 0.

2.4 Postác trygonometryczna liczby zespolonej

Postác trygonometryczna liczby zespolonej5 jest to przedstawienie punktu płaszczyzny odpowiadającego liczbie zespolonej z zapisanej we współrzędnych biegunowych. Ważne są tu następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.2 Każdą liczbę zespoloną z 6= 0 można przedstawíc w postaci

z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) (36)

zwanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Twierdzenie 2.3 Jeżeli z = r (cosϕ+ i sinϕ) (37)

gdzie: r ≥ 0, to r jest modułem |z| liczby z, liczba ϕ jest jednym z argumentów liczby z.

Przykład 2.3 Liczba zespolona w postaci algebraicznej

z = 1 + √ 3i

ma postać trygonometryczną (biegunową)

z = 2 ³ cos π

3 + i sin

π

3

´ 5Postác tę często nazywa się postacią biegunową liczby zespolonej.

24

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

Rozwiązanie 2.3 Wykorzystamy wzory (33) i (34)

z = |z| (cosϕ+ i sinϕ)

|z| = √ a2 + b2 =

r 1 +

³√ 3 ´2 = √ 4 = 2

cosϕ = 1√ 1 + 3

= 1

2

sinϕ =

√ 3

2

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ stąd−−→ ϕ = π

3

A więc z = 2

³ cos π

3 + i sin

π

3

´ 2.5 Postác wykładnicza liczby zespolonej

Do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej wykorzystujemy wzór Eulera

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (38)

Uwaga 2.2 Dowodzi się, że e w równaniu (38) jest liczbą niewymierną i że jest ona w przybliżeniu równa 2.718281828459045235 . . .. Wprowadził ją w XVIII wieku szwajcarski mate- matyk Leonard Euler. Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego, oznaczanego symbolem ln.

A więc z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) = |z| eiϕ (39)

Ponieważ |z| ei(−ϕ) = |z| e−iϕ = |z| (cosϕ− i sinϕ) (40)

zatem

cosϕ = eiϕ + e−iϕ

2 sinϕ =

eiϕ − e−iϕ 2i

(41)

2.6 Liczby zespolone, sprzężone, przeciwne i odwrotne

Jeżeli z jest liczbą zespoloną, to przez z̄ i (−z) oznaczamy liczby z̄ = a− bi , −z = −a− bi (42)

x

z

-z z

0

Rysunek 7: Liczba zespolona, sprzężona i przeciwna.

Liczbę z̄ nazywamy sprzężoną do z (niekiedy zamiast z̄ piszemy z∗), a (−z) - przeciwną do z (rys. 7). Dla liczb z i z̄ zachodzą relacje:

Re z̄ = Re z Im z̄ = − Im z (43) Liczbami zespolonymi sprzężonymi są

i = −i 2 + 5i = 2− 5i −1− 7i = −1 + 7i Jeżeli z 6= 0, to przez 1

z oznaczamy liczbę zespoloną

1

z =

1

a+ ib =

a− ib (a+ ib) (a− ib) =

a

a2 + b2 − b a2 + b2

i (44)

i nazywamy ją liczbą odwrotną do z.

Uwaga 2.3 Liczba 0 nie ma liczby odwrotnej.

25

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

2.7 Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych

Są to działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zespolonych:

(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

(a1 + b1i)− (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2) i

(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1) i

(a1 + b1i) : (a2 + b2i) = a1 + b1i

a2 + b2i =

= (a1 + b1i) (a2 − b2i) (a2 + b2i) (a2 − b2i)

= a1a2 + b1b2 a22 + b

2 2

+ b1a2 − a1b2 a22 + b

2 2

i

(45)

Przy dzieleniu liczb zespolonych należy uwolníc mianownik od liczby zespolonej, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną z liczbą znajdującą się w mianowniku.

Przykład 2.4 Wykonaj działania algebraiczne: (2 + 3i) + (1 + 4i) , (4 + 3i) − (1 + 2i) , (2 + 3i) (−1 + 2i) , 2+3i

1−i .

Rozwiązanie 2.4

(2 + 3i) + (1 + 4i) = (2 + 1) + (3 + 4) i = 3 + 7i

(4 + 3i)− (1 + 2i) = (4− 1) + (3− 2) i = 3 + i

(2 + 3i) (−1 + 2i) = −2 + 6i2 + 4i− 3i = −8 + i

2 + 3i

1− i = (2 + 3i) (1 + i)

(1− i) (1 + i) = −1 + 5i 2

= −0.5 + 2.5i

Geometryczna interpretacja liczb zespolonych na płaszczýznie zespolonej pozwala na ilust- rowanie podstawowych działań arytmetycznych wykonywanych na liczbach zespolonych (rys. 8 − 10). Interpretacja mnożenia (rys. 9) i dzielenia (rys. 10) opiera się na następujących wzorach

z1 · z2 = |z1| (cosϕ1 + i sinϕ1) · |z2| (cosϕ2 + i sinϕ2) = (46)

= |z1| · |z2| · (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2))

z1 · z2 = |z1| eiϕ1 · |z2| eiϕ2 = |z1| · |z2| ei(ϕ1+ϕ2) (47)

z1 z2

= |z1| (cosϕ1 + i sinϕ1) |z2| (cosϕ2 + i sinϕ2)

= |z1| |z2|

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) (48)

z1 z2

= |z1| |z2| eiϕ1

eiϕ2 = |z1| |z2| ei(ϕ1−ϕ2) (49)

(patrz przypis6). 6(cosϕ1 + i sinϕ1) (cosϕ2 + i sinϕ2) =

26

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

Twierdzenie 2.4 Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych równa się iloczynowi modułów, a argument równa się sumie argumentów tych liczb.

Twierdzenie 2.5 Moduł ilorazu dwóch liczb zespolonych równa się ilorazowi modułów, a argument równa się różnicy argumentów tych liczb.

y

z10

z2

-z2

21 zz +

21 zz

Rysunek 8: Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych.

Twierdzenie 2.4 pozwala wyznaczýc na płaszczýznie zespolonej położenie iloczynu P = z1z2, gdy znamy położenie punktów |z1|, |z2| oraz liczby |1|. Przy konstrukcji korzystamy z podobieństwa trójkątów P0z2 i z1017. Zachodzi tu relacja

|P | |z2|

= |z1| |1| (50)

Stąd |P | = |z1| · |z2| (51)

Na podstawie Twierdzenia 2.5 wyznaczamy na płaszczýznie zespolonej iloraz P = z1

z2 liczb zespolonych (patrz rys. 10). W

tym przypadku zachodzi

|z1| |P | =

|z2| |1| stąd |P | =

|z1| |z2|

(52)

y

x

1

z1 1ϕ

z2

2z

P

P

A

0

Rysunek 9: Mnożenie liczb zespolonych.

y

x

1

z1

z2

1z

P

P

A

0

Rysunek 10: Dzielenie liczb zespolonych.

Przykład 2.5 Niech

z1 = 4 ³ cos π

6 + i sin

π

6

´ z2 = 2

³ cos π

3 + i sin

π

3

´ Obliczyć iloczyn z1 · z2 i iloraz z1z2 .

= cosϕ1 · cosϕ2 − sinϕ1 · sinϕ2 + i (sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2) = cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2) cosϕ1+i sinϕ1 cosϕ2+i sinϕ2

= (cosϕ1+i sinϕ1)(cosϕ2−i sinϕ2) cos2 ϕ2+sin

2 ϕ2 =

= cosϕ1 cosϕ2 + sinϕ1 sinϕ2 + i (sinϕ1 cosϕ2 − cosϕ1 sinϕ2) = cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2) 7Można również bezpósrednio skorzystác z twierdzenia Talesa: |0A||z2| =

|z1| |1| .

27

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

Rozwiązanie 2.5 Korzystamy z Twierdzeń 2.4 i 2.5:

z1 · z2 = 8 ³ cos π

2 + i sin

π

2

´ = 8i

z1 z2 = 2

³ cos π

6 − i sin π

6

´ = 2

Ã√ 3

2 − 1 2 i

! = √ 3− i

Przykład 2.6 Niech z1 = 2.5 (cos 35

◦ + i sin 35◦) z2 = 0.6 (cos 143

◦ + i sin 143◦) z3 = 5.8 (cos 257

◦ + i sin 257◦)

Obliczyć iloczyn z1 · z2 · z3.

Rozwiązanie 2.6

z1 · z2 · z3 = 2.5 · 0.6 · 5.8 [cos (35◦ + 143◦ + 257◦) + i sin (35◦ + 143◦ + 257◦)] = = 8.7 (cos 75◦ + i sin 75◦)

2.8 Potęgowanie liczb zespolonych

Potęgę zn o wykładniku naturalnym definiujemy indukcyjnie za pomocą równósci

z0 = 1 , zn+1 = zn · z (53)

Jeżeli z 6= 0, to definicję uogólnia się na wykładniki całkowite

z−n = 1

zn (54)

Do obliczania potęgi liczb zespolonych służy wzór de Moivre’a:

zn = (|z| (cosϕ+ i sinϕ))n = |z|n (cosnϕ+ i sinnϕ) (55)

W postaci wykładniczej zapisujemy go następująco

zn = ¡ |z| eiϕ

¢n = |z|n enϕi (56)

Przykład 2.7 Niech z = √ 2 + √ 2i = 2

³ cos π

4 + i sin

π

4

´ . Obliczyć z2.

Rozwiązanie 2.7 z2 = 22

³ cos π

2 + i sin

π

2

´ = 4i

Przykład 2.8 Na podstawie wzorów Newtona i de Moivre’a otrzymujemy wzory na sinus i kosinus wielokrotnósci kąta.

Rozwiązanie 2.8 Na przykład dla sin 3ϕ i cos 3ϕ mamy relacje:

• z wzoru Newtona (cosϕ+ i sinϕ)3 = cos3 ϕ+ 3i cos2 ϕ sinϕ− 3 cosϕ sin2 ϕ− i sin3 ϕ =

= ¡ cos3 ϕ− 3 cosϕ sin2 ϕ

¢ + i ¡ 3 cos2 ϕ sinϕ− sin3 ϕ

¢ 28

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

• z wzoru de Moivre’a (cosϕ+ i sinϕ)3 = cos 3ϕ+ i sin 3ϕ

Z równósci liczb zespolonych

z1 = z2 jeżeli a1 = a2 i b1 = b2

otrzymujemy wzory: cos 3ϕ = cos3 ϕ− 3 cosϕ sin2 ϕ

sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sinϕ− sin3 ϕ

2.9 Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy każdą taką liczbę zespoloną w, że wn = z.

Twierdzenie 2.6 Jeżeli z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) 6= 0

to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n−tego stopnia liczby z (czyli rozwiązań równania wn = z). Pierwiastki te otrzymujemy z wzoru

wk = n p |z| µ cos ϕ+ 2kπ

n + i sin

ϕ+ 2kπ

n

¶ (57)

k = 0, 1, . . . , n − 1. Wszystkie liczby wk (k = 0, 1, . . . , n− 1) mają równe moduły, punkty odpowiadające tym liczbom leżą na okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu n p |z|; dzielą okręg na n równych łuków.

W dziedzinie liczb zespolonych symbol n √ a dla a 6= 0, n = 2, 3, . . . , nie jest jednoznaczny.

Oznacza on dowolną z n liczb (57). Jedynie dla a = 0 symbol n √ a ma dokładnie jedną wartóśc

i jest nią 0. Wracając do rozwiązań równania wn = z otrzymujemy

wn = |w|n (cosnθ + i sinnθ)

z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) Moduły obu stron muszą býc równe, a argumenty mogą różníc się o wielokrotnóśc 2π, więc

|w|n = |z| i nθ = ϕ+ 2kπ , k = 0,±1,±2, . . .

Stąd

|w| = n p |z| , θ = ϕ+ 2kπ

n

ẃsród argumentów θ = ϕ+2kπ n , gdzie k = 0,±1,±2, . . . , istnieje dokładnie n takich, których

różnice nie są wielokrotnóscią liczby 2π. Są to liczby

θ = ϕ+ 2kπ

n , k = 0, 1, . . . , n− 1

Mówi o tym Twierdzenie 2.6.

29

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

Przykład 2.9 Obliczyć 3

q 1 + √ 3i

Rozwiązanie 2.9 Moduł liczby zespolonej z = 1+ √ 3i równa się

¯̄ 1 + √ 3i ¯̄ = √ 1 + 3 =

√ 4 =

2. Argument spełnia równania: cosϕ = 1 2 , sinϕ =

√ 3 2 . Czyli ϕ = π

3 . Na podstawie wzoru (57)

otrzymujemy

w0 = 3 √ 2 ³ cos π

9 + i sin

π

9

´ , k = 0

w1 = 3 √ 2

µ cos

9 + i sin

9

¶ , k = 1

w2 = 3 √ 2

µ cos

13π

9 + i sin

13π

9

¶ , k = 2

w1

w0

w2

x

y

Rysunek 11: Pierwiastki 3 stopnia z 1 + √ 3i.

3 1=z

y

x

Rysunek 12: Pierwiastki 3 stopnia z liczby 1.

Rozwiązanie 2.10 Rozwiązania te są przedstawione na rysunku 11. Pierwiastkami n−tego stopnia z jednósci są liczby

εk = cos 2kπ

n + i sin

2kπ

n (58)

k = 0, 1, 2, . . . , n−1. Otrzymujemy je podstawiając do (57) ϕ = 0 i |z| = 1 (1 = cos 0 + i sin 0). Pierwiastki te leżą na okręgu jednostkowym i dzielą go na n = 3 równych łuków.

Przykład 2.10 Obliczyć 3 √ 1, czyli rozwiązać równanie z3 = 1.

Rozwiązanie 2.11 Ponieważ 1 = cos 0 + i sin 0, to

3 √ 1 = cos

2kπ

3 + i sin

2kπ

3

30

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

k = 0, 1, 2. Stąd ε0 = cos 0 + i sin 0 = 1 , k = 0

ε1 = cos 2π

3 + i sin

3 = −1

2 +

√ 3

2 i , k = 1

ε2 = cos 4π

3 + i sin

3 = −1

2 − √ 3

2 i , k = 2

Przykład 2.11 Obliczyć √ i, tzn. rozwiązać równanie w2 − i = 0.

Rozwiązanie 2.12 Mamy znalézć pierwiastki w0 i w1, gdy w2 = i. Ponieważ

0 + 1 · i = cos π 2 + i sin

π

2 to

wk = √ i = cos

π 2 + 2kπ

2 + i sin

π 2 + 2kπ

2

dla k = 0, 1. Zatem

w0 = cos π

4 + i sin

π

4 =

√ 2

2 (1 + i)

w1 = cos 5π

4 + i sin

4 = − √ 2

2 (1 + i)

31

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

3 Macierze i wyznaczniki

3.1 Definicja macierzy. Działania na macierzach.

Definicja 3.1 Macierzą nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych lub zespolonych⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . anm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (59)

Z reguły oznaczamy ją dużymi pojedynczymi i pogrubionymi literami A, B itd.

Wramach wykładu będziemy omawiác wyłącznie macierze rzeczywiste. Symbole występują- ce w tablicy (59) nazywamy elementami macierzy. Zapis aik oznacza, że element a znajduje się w i−tym wierszu i k−tej kolumnie macierzyA lub znajduje się na przecięciu i−tego wiersza i k−tej kolumny.

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

↓ k a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m aik ←− i

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . anm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (60)

O macierzy mówimy, że jest wymiaru n×m (n na m lub n razy m, n− liczba wierszy, m− liczba kolumn). Możemy ją zapisác w postaci skróconej

A = [aik]n×m lub A = [aik] (i = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . ,m) (61)

Wśród macierzy prostokątnych w szczególnósci wyróżniamy macierz wierszową

X = £ x1 x2 . . . xn

¤ (62)

oraz macierz kolumnową

Y =

⎡⎢⎢⎢⎣ y1 y2 ... ym

⎤⎥⎥⎥⎦ (63) Oba rodzaje powyższych macierzy nazywamy wektorem lub wektorem wierszowym i

wektorem kolumnowym. Gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn (n = m), to macierz (60) jest macierzą kwadratową stopnia n; liczbę n nazywamy stopniem macierzy.

Definicja 3.2 Dwie macierze A = [aik] , B = [bik] tego samego wymiaru n ×m nazywamy równymi, jeżeli wszystkie odpowiednie elementy obu macierzy są równe, tzn.

aik = bik dla i = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . ,m

32

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Relacja równósci macierzy jest zwrotna, tzn. A = A symetryczna, tzn. jeżeli A = B, to B = A przechodnia, tzn. jeżeli A = B i B = C, to A = C.

Definicja 3.3 Macierzą transponowaną (przestawioną) nazywamy macierz, która powstaje z danej macierzy przez zamianę wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejnósci, tj. pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz - drugą kolumną itd. Oznaczamy ją symbolem AT lub A

08. Jeżeli A = [aik]n×m, to A T = [aki]m×n = [bik]. Ponadto, jeżeli A

T = A, to A jest macierzą symetryczną.

Jeżeli

A =

∙ a b c d e f

¸ (64)

to

AT =

⎡⎣ a db e c f

⎤⎦ = A0 = A∗ (65) Transpozycją wektora wierszowego jest wektor kolumnowy (i odwrotnie).

Definicja 3.4 Macierzą zerową nazywamy taką macierz dowolnego wymiaru, której wszyst- kie elementy są równe zeru, tzn. aik = 0 dla i = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . ,m. Macierz zerową wymiaru n×m oznacza się symbolem 0n×m lub wprost symbolem 0.

Przykłady macierzy zerowych:

01×1 = [0] , 03×1 =

⎡⎣ 00 0

⎤⎦ , 02×4 = ∙ 0 0 0 00 0 0 0 ¸

(66)

3.2 Szczególne rodzaje macierzy kwadratowych

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy pewne ich charakterystyczne postacie, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań algebraicznych lub innych zagadnień fizyki matematycznej.

Definicja 3.5 Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową, której elementy poło- żone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe, czyli aik = aki (i, k = 1, 2, . . . , n). Na przykład

Asym =

⎡⎢⎢⎣ a b c d b k v s c v l p d s p m

⎤⎥⎥⎦ (67) Macierz symetryczna jest macierzą równą swojej transpozycji, Asym = AT .

8Niekiedy A∗

33

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Definicja 3.6 Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie ele- menty położone poza przekątną gwną są równe zeru, czyli aik = 0 przy i 6= k (i, k = 1, 2, . . . , n). Na przykład

D =

⎡⎣ k 0 00 l 0 0 0 m

⎤⎦ (68) W praktyce inżynierskiej bardzo często mamy do czynienia z macierzami trójdiagonalnymi

D1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ D2 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (69)

lub macierzami pięciodiagonalnymi. Elementy różne od zera niekoniecznie muszą znajdowác się na przekątnych głównych

D3 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (70)

Ogólnie macierze takie nazywamy macierzami wstęgowymi.

Definicja 3.7 Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której elementy poło- żone na przekątnej głównej są równe 1, czyli

I =

⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

⎤⎥⎥⎦ (71) W zapisie ogólnym mamy

aik =

⎧⎨⎩ 1 dla i = k 0 dla i 6= k

(72)

(i, k,= 1, 2, . . . , n). Macierz jednostkową oznacza się często [δik]n lub [δik], gdzie tak zwany symbol (lub delta)

Kroneckera δik jest zdefiniowany wzorem

δik =

⎧⎨⎩ 1 dla i = k 0 dla i 6= k

(73)

34

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Przez macierz trójkątną rozumiemy macierz

L =

⎡⎢⎢⎢⎣ l11 0 . . . 0 l21 l22 . . . 0 ...

... . . .

... ln1 ln2 . . . lnn

⎤⎥⎥⎥⎦ macierz trójkątna dolna

R = U =

⎡⎢⎢⎢⎣ r11 r12 . . . r1n 0 r22 . . . r2n ...

... . . .

... 0 0 . . . rnn

⎤⎥⎥⎥⎦ macierz trójkątna górna (74)

3.3 Działania na macierzach

Dodawanie macierzy jest możliwe tylko w przypadku macierzy tego samego wymiaru. Sumę dwóch macierzy A = [aik] i B = [bik] tego samego wymiaru n × m tworzymy w ten sposób, że dodajemy do siebie elementy o tych samych wskáznikach wiersza i kolumny, tzn.

[aik]n×m + [bik]n×m = [aik + bik]n×m (75)

Dodawanie macierzy tego samego wymiaru jest łączne

A+(B+C) = (A+B) +C (76)

oraz przemienne A+B = B+A (77)

Odejmowanie macierzy jest wykonalne również tylko w przypadkumacierzy tego samego wymiaru. Różnicę macierzy A = [aik] i B = [bik] okrésla się za pomocą wzoru

[aik]n×m − [bik]n×m = [aik − bik]n×m (78)

Iloczyn liczby α przez macierzA = [aik] okréslamy jako macierz [α · aik], którą otrzymuje- my z macierzy A przez pomnożenie każdego (!) jej elementu przez liczbę α, tzn.

α [aik] = [α · aik] (79)

W formie przykładu obliczymy elementy macierzy

2 ·

⎡⎣ −1 2−4 3 0 7

⎤⎦ + 1 2

⎡⎣ 4 126 −8 −2 0

⎤⎦ =

=

⎡⎣ −2 4−8 6 0 14

⎤⎦ + ⎡⎣ 2 63 −4 −1 0

⎤⎦ = ⎡⎣ 0 10−5 2 −1 14

⎤⎦ (80)

Mnożenie macierzy przez macierz jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Iloczynem macierzy A = [aij] wymiaru n×r i macierzy B = [bjk] wymiaru r×m nazywamy macierz C = [cik] wymiaru n ×m, w której element cik położony w i−tym wierszu i k−tej kolumnie macierzy C równy

35

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

jest sumie iloczynów odpowiednich elementów i−tego wiersza macierzy A i elementów k−tej kolumny macierzy B, tzn.

cik = ai1b1k + ai2b2k + . . .+ airbrk = rX j=1

aijbjk (81)

Przy mnożeniu macierzy często stosuje się poniższy schemat

m kolumn

k - t

a ko

lu m

na i - ty wiersz ikc

r w ie

rs zy

n w

ie rs

zy

B

A AB

Rysunek 13: Schemat Falka.

Nosi on nazwę schematu Falka.

Przykład 3.1 Obliczyć iloczyn macierzy

A =

⎡⎣ 2 3−1 4 5 1

⎤⎦ B = ∙ 3 −1 2 0−2 −3 1 4 ¸

Rozwiązanie 3.1 Macierz A jest wymiaru 3 × 2, a B wymiaru 2 × 4; mnożenie jest więc wykonalne. Zgodnie ze schematem Falka mamy⏐⏐⏐y 3 −1 2 0−2 −3 1 4

−−−−−→ 2 3 −1 4 5 1

Następnie obliczamy kolejne elementy macierzy C = A ·B

3 −1 2 0 −2 −3 1 4

2 3 3 · 2− 2 · 3 · · · −1 4 −1 · 3− 2 · 4 · · · 5 1 3 · 5− 2 · 1 · · ·

3 −1 2 0 −2 −3 1 4

2 3 0 −1 · 2− 3 · 3 · · −1 4 −11 −1 · (−1)− 3 · 4 · · 5 1 13 · · ·

36

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Ostatecznie 3 −1 2 0 −2 −3 1 4

2 3 0 −11 7 12 −1 4 −11 −11 2 16 5 1 13 −8 11 4

A więc

A ·B = AB =

⎡⎣ 0 −11 7 12−11 −11 2 16 13 −8 11 4

⎤⎦ = C Uwaga 3.1 W tym przykładzie iloczyn BA nie istnieje. Macierz B ma 4 kolumny, a macierz A tylko 3 wiersze. Oznacza to, że w przypadku iloczynu dwóch macierzy własnóśc przemien- nósci nie jest spełniona, gdyż:

• AB nie zawsze równa się BA, a więc AB 6= BA,

• BA może nie istniéc.

Przykład 3.2 Obliczyć iloczyny macierzy AB i BA

a) A = £ 2 3

¤ B =

∙ 3 −2

¸

b) A = £ 2 3

¤ B =

∙ −1 −3

¸ Rozwiązanie 3.2 Mnożenie AB jest wykonalne, ponieważ A ma wymiar 1× 2, a B wymiar 2×1. W tym przypadku jest również wykonalne mnożenie BA, ponieważ macierz B ma jedną kolumnę, a macierz A jeden wiersz. Mamy więc

a) AB :

⏐⏐⏐y 3−2 −−−→ 2 3 0

czyli AB = [0]

BA :

⏐y 2 3 −−→ 3 −2

6 9 −4 −6

czyli BA = ∙

6 9 −4 −6

¸

Widzimy, że AB 6= BA.

b) AB :

⏐⏐⏐y −1−3 −−−→ 2 3 −11

czyli AB = [−11]

BA :

⏐y 2 3 −−→ −1 −3

−2 −3 −6 −9

czyli BA = ∙ −2 −3 −6 −9

¸

37

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Wniosek 3.1 Z powyższych przykładów wnioskujemy, że jeżeli iloczyn AB istnieje, to iloczyn BA może nie istniéc, a jeżeli istnieje, to na ogół BA 6= AB.

Przykład 3.3 Obliczyć iloczyn macierzy A i macierzy jednostkowej I, gdzie

A =

⎡⎣ a bc d e f

⎤⎦ (82) Rozwiązanie 3.3 Macierz A ma wymiar 3×2. Aby istniał iloczyn AI, musimy jako macierz jednostkową wziąć macierz drugiego stopnia, tzn. wymiaru 2× 2. Mamy więc⏐⏐⏐y 1 00 1

−−−−→ a b c d e f

a b c d e f

A więc AI = A. Obliczymy dodatkowo IA. Zauważmy, że aby ten iloczyn był wykonalny, to macierz jednostkowa I musi być stopnia 3. Stosując schemat Falka otrzymujemy⏐⏐⏐⏐⏐y

a b c d e f

−−−−−−→ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

a b c d e f

Oznacza to, że również IA = A.

Wykazalísmy, że dla dowolnej macierzy A zachodzą związki

AI = A oraz IA = A

Przykład 3.4 Znalézć iloczyn macierzy

A =

∙ 2 −4 3

−12 6 −3

¸ B =

⎡⎣ 1 25 10 6 12

⎤⎦ Rozwiązanie 3.4 Macierz A ma wymiar 2×3, a B wymiar 3×2. Ich iloczyn jest wykonalny. W wyniku otrzymamy macierz o wymiarze 2× 2. Ponownie wykorzystamy schemat Falka⏐⏐⏐⏐⏐y

1 2 5 10 6 12

−−−−−−−−−−−→ 2 −4 3

−12 6 −3 0 0 0 0

Zatem AB = 0. Widzimy, że iloczyn macierzy niezerowych może być równy macierzy zerowej.

38

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Zadanie 3.1 Znalézć iloczyn macierzy trójkątnych A i B

1. A =

⎡⎣ 2 0 0−1 2 0 0 −1 2

⎤⎦ B = ⎡⎣ 4 0 01 4 0 0 4 1

⎤⎦ Odp. AB = ⎡⎣ 8 0 0−2 8 0 −1 4 2

⎤⎦

2. A =

⎡⎣ 2 0 0−1 2 0 0 −1 2

⎤⎦ B = ⎡⎣ 4 1 00 4 1 0 0 4

⎤⎦ Odp. AB = ⎡⎣ 8 2 0−4 7 2

0 −4 7

⎤⎦ Wniosek 3.2 Tylko iloczyn macierzy trójkątnych tego samego typu (dolnych lub górnych) jest macierzą trójkątną. Poniżej zamieszczamy algorytm mnożenia macierzy napisany w języku Fortran.

subroutine multmat(a,b,c,in) dimension a(2,2),b(2,2),c(2,2) do 1 i=1,in do 1 m=1,in

s=0.0 do 2 n=1,in

s=s+a(i,n)*b(n,m) 2 continue 1 c(i,m)=s return end

3.4 Wyznacznik. Definicja. Własnósci

Każdej macierzy kwadratowej

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . .

an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n

an1 an2 . . . ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (83) możemy przyporządkowác liczbę, zwaną wyznacznikiem, którą oznaczamy jednym z poniż- szych symboli: detA, |A|9, A lub¯̄̄̄

¯̄̄̄ ¯̄̄ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . .

an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n

an1 an2 . . . ann

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄ (84)

Wyznacznik (84) jest stopnia n.

9Zapis |·| w tym przypadku nie oznacza wartósci bezwzględnej.

39

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Jak już powiedzielísmy, wyznacznik jest liczbą. Ogólny algorytm okréslania wartósci (84) jest złożony i wymaga wprowadzenia dodatkowych poję́c. Na początku podamy metodę obliczania wartósci wyznaczników stopnia n = 1, 2, 3.

1. Wyznacznik stopnia pierwszego, n = 1, ma wartóśc

|a| = a (85)

2. Wartóśc wyznacznika stopnia drugiego, n = 2, obliczamy¯̄̄̄ a b c d

¯̄̄̄ = ad− bc (86)

tzn. od iloczynu elementów z przekątnej głównej ad odejmujemy iloczyn elementów z drugiej przekątnej, bc.

3. Do obliczania wartósci wyznacznika stopnia n = 3¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ (87)

najczę́sciej wykorzystuje sięmetodę (schemat) Sarrusa. Jej algorytm jest następujący. Pod wyznacznikiem (87) najpierw dopisujemy jego pierwszy wiersz¯̄̄̄

¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄

a11 a12 a13

(88)

a następnie drugi ¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄

a11 a12 a13 a21 a22 a23

W dalszej kolejnósci tworzymy iloczyny elementów stojących na przekątnych 1, 2 i 3 i dodajemy je do siebie.

1

2

3

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13

& a21 a22 a23

& & a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

& & a11 a12 a13

& a21 a22 a23

(89)

Otrzymujemy wyrażenie

a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

40

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Odejmujemy od niego iloczyny elementów stojących na przekątnych 4, 5 i 6.¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13

. a21 a22 a23

. . a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

4

5

6 . .

a11 a12 a13 .

a21 a22 a23

(90)

Otrzymujemy −(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)

W wyniku dochodzimy do równania

detA =

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = a11a22a33 + a21a32a13++a31a12a23 − a13a22a31−

−a23a32a11 − a33a12a21 (91)

Uwaga 3.2 Przy pomocy schematu Sarrusa obliczamy wartósć wyznacznika wycznie trze- ciego stopnia. Wykorzystywanie tej metody przy okréslaniu wartósci wyznaczników stopnia n > 3 jest błędne.

Innym sposobem obliczania wartósci wyznacznika trzeciego stopnia przy pomocy metody Sarrusa jest dopisanie po jego prawej stronie dwóch kolumn (najpierw pierwszej, a następnie drugiej). Przedstawimy to na przykładzie wyznacznika (87)

& 1 & 2 & 3. . 4 . 5 a11 a12 a13 a11 a12

& . & . a21 a22 a23 a21 a22

. & . & a31 a32 a33 a31 a32

(92)

Dodajemy do siebie iloczyny elementów stojących na przekątnej 1, 2 i 3

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

i odejmujemy iloczyny elementów stojących na przekątnych 3, 4 i 5 (w drugą stronę)

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

W rezultacie mamy

detA =

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = a11a22a33 + a12a23a31++a13a21a32 − a13a22a31−

−a11a23a32 − a12a21a33 (93)

Łatwo sprawdzíc, że wyrażenie (93) jest równoważne wyrażeniu (91).

41

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

3.5 Obliczanie wartósci wyznacznika dowolnego stopnia

Nawstępie wprowadzimy kilka nowych poję́c, które są podstawowe w rachunkumacierzowym.

Definicja 3.8 Minorem (podwyznacznikiem) danej macierzy (danego wyznacznika) nazywamy każdy wyznacznik okréslony tablicą kwadratową powstałą z danej macierzy (wyznacznika) przez skréslenie pewnej liczby wierszy i kolumn.

Definicja 3.9 Minorem odpowiadającym elementowi aik macierzy kwadratowej A lub danego wyznacznika |A| nazywamy wyznacznik, który powstaje z elementów pozostałych po skrésleniu i−tego wiersza i k−tej kolumny. Oznaczamy go symbolem Mik.

A =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯

a11 a12 · · · a1k · · · a1n a21 a22 · · · a2k · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · ai1 ai2 · · · aik · · · ain · · · · · · · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ank · · · ann

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯

(94)

Mik =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄

a11 a12 · · · a1k−1 a1k+1 · · · a1n a21 a22 · · · a2k−1 a2k+1 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · ai−1,1 ai−1,2 · · · ai−1k−1 ai−1k+1 · · · ai−1,n ai+1,1 ai+1,2 · · · ai+1k−1 ai+1k+1 · · · ai+1,n · · · · · · · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · an,k−1 an,k+1 · · · ann

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄

(95)

Minor (95) jest stopnia n− 1.

Definicja 3.10 Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik nazywamy liczbę równą iloczynowi minora Mik odpowiadającego temu elementowi i wyrażenia (−1)i+k:

Aik = (−1)i+kMik (96)

Definicja 3.11 Macierz zbudowaną z dopełnień algebraicznych Aik elementów aik macierzy A = [aik] stopnia n, tj. macierz

DA = [Aik] (97)

nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.

Twierdzenie 3.1 W danym wyznaczniku sumy iloczynów elementów dowolnego wiersza (lub dowolnej kolumny) i ich dopełnień algebraicznych mają tę samą stałą wartósć równą wartósci wyznacznika

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin = nP k=1

aikAik = const (i = 1, 2, . . . , n) (98)

Powyższe twierdzenie ma duże znaczenie praktyczne. Sprawdzimy je dla n = 2 i n = 3.

42

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

1. Dla n = 2 mamy¯̄̄̄ a11 a12 a21 a22

¯̄̄̄ = a11A11 + a12A12 = a11 (−1)1+1M11 + a12 (−1)1+2M12 = = a11a22 − a12a21

(99)

Widzimy, że otrzymany wynik jest zgodny z relacją (86).

2. Dla n = 3 otrzymujemy¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = a11A11 + a12A12 + a13A13 (100)

Ponieważ

M11 =

¯̄̄̄ ¯̄ · · ·· a22 a23 · a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = ¯̄̄̄ a22 a23a32 a33

¯̄̄̄ (101)

M12 =

¯̄̄̄ ¯̄ · · ·a21 · a23 a31 · a33

¯̄̄̄ ¯̄ = ¯̄̄̄ a21 a23a31 a33

¯̄̄̄ (102)

M13 =

¯̄̄̄ ¯̄ · · ·a21 a22 · a31 a32 ·

¯̄̄̄ ¯̄ = ¯̄̄̄ a21 a22a31 a32

¯̄̄̄ (103)

Kontynuując obliczenia według (100) dochodzimy do wyniku¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = a11 (−1)1+1M11 + a12 (−1)1+2M12 + a13 (−1)1+3M13 = = a11

¯̄̄̄ a22 a23 a32 a33

¯̄̄̄ − a12

¯̄̄̄ a21 a23 a31 a33

¯̄̄̄ + a13

¯̄̄̄ a21 a22 a31 a32

¯̄̄̄ =

= a11 (a22a33 − a32a23)− a12 (a21a33 − a31a23)+

+a13 (a21a32 − a31a22)

(104)

Wynik ten jest zgodny z zależnóscią (91).

Definicja 3.12 (Definicja ogólna wyznacznika) Przez wyznacznik stopnia n (n ≥ 2) rozumiemy sumę iloczynów elementów dowolnego wier-

sza (kolumny) i ich dopełnień algebraicznych.

Znając definicję wyznacznika możemy wprowadzíc pojęcie macierzy osobliwej i nieosobliwej.

Definicja 3.13 Macierzą osobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik rów- na się zeru.

43

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Na przykład, macierze

A =

∙ 2 −3 −4 6

¸ B =

⎡⎣ 1 2 52 4 10 −1 0 6

⎤⎦ (105) są osobliwe, ponieważ detA = 0 i detB = 0.

Definicja 3.14 Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.

W przypadku ogólnym wzór (98) możemy zapisác

1. Według elementów pierwszego wiersza

detA = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1kA1k + . . .+ a1nA1n = nX j=1

a1jA1j (106)

2. Według elementów i−tego wiersza

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ aikAik + . . .+ ainAin = nX j=1

aijAij (107)

3. Według elementów pierwszej kolumny

detA = a11A11 + a21A21 + . . .+ ak1Ak1 + . . .+ an1An1 = nX l=1

al1Al1 (108)

4. Według elementów k−tej kolumny

detA = a1kA1k + a2kA2k + . . .+ aikAik + . . .+ ankAnk = nX l=1

alkAlk (109)

dla k = 1, 2, . . . , n.

Ponieważ wszystkie powyższe rozwinięcia prowadzą do tego samego wyniku, zatem najwy- godniej jest obliczác wartóśc wyznacznika według wiersza lub kolumny z najwiekszą ilóscią zer.

Przykład 3.5 Wyznaczyć wartósć wyznacznika D

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ 10 5 0 −10 8 7 0 0 4 2 6 1 3 0 1

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ (110)

44

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Rozwiązanie 3.5 Poszukiwaną wartósć możemy wyznaczyć na podstawie rozwinięcia według drugiej kolumny

D = 5 (−1)1+2 ¯̄̄̄ ¯̄ 0 7 00 2 6 1 0 1

¯̄̄̄ ¯̄+ 8 (−1)2+2

¯̄̄̄ ¯̄ 10 0 −10 2 6 1 0 1

¯̄̄̄ ¯̄+

+4 (−1)3+2 ¯̄̄̄ ¯̄ 10 0 −10 7 0 1 0 1

¯̄̄̄ ¯̄+ 3 (−1)4+2

¯̄̄̄ ¯̄ 10 0 −10 7 0 0 2 6

¯̄̄̄ ¯̄ =

= −5 · 42 + 8 · 22− 4 · 77 + 3 · 420 = 918

ale możemy również wyznaczyć na podstawie rozwinięcia względem pierwszej kolumny

D = 10 (−1)1+1 ¯̄̄̄ ¯̄ 8 7 04 2 6 3 0 1

¯̄̄̄ ¯̄+ 1 (−1)4+1

¯̄̄̄ ¯̄ 5 0 −18 7 0 4 2 6

¯̄̄̄ ¯̄ =

= 10 · 114− 1 · 222 = 918

lub drugiego wiersza

D = 8 (−1)2+2 ¯̄̄̄ ¯̄ 10 0 −10 2 6 1 0 1

¯̄̄̄ ¯̄+ 7 (−1)2+3

¯̄̄̄ ¯̄ 10 5 −10 4 6 1 3 1

¯̄̄̄ ¯̄ =

= 8 · 22− 7 · (−106) = 918

Za każdym razem otrzymujemy ten sam wynik, jednak w drugim i trzecim przypadku wymaga to o połowę mniej obliczeń.

3.6 Własnósci wyznaczników

Wpunkcie tym podamy bez dowodów kilka twierdzeń pomocnych przy obliczaniu wyznacz- ników. Twierdzenia te odnoszą się do wyznaczników dowolnego stopnia. Dla większej przejrzy- stósci będą one ilustrowane wyznacznikami stopnia trzeciego.

Twierdzenie 3.2 Przestawienie dwóch kolumn zmienia wartósć wyznacznika na przeciwną

Jeżeli D =

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄, to

¯̄̄̄ ¯̄ a12 a11 a13a22 a21 a23 a32 a31 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = −D

Twierdzenie 3.3 Pomnożenie kolumny przez pewną liczbę powoduje pomnożenie wartósci wyznacznika przez tę liczbę

Jeżeli D =

¯̄̄̄ ¯̄ a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄, to

¯̄̄̄ ¯̄ ta11 a12 a13ta21 a22 a23 ta31 a32 a33

¯̄̄̄ ¯̄ = tD

45

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Twierdzenie 3.4 Jeżeli do pewnej kolumny wyznacznika dodamy: - inną kolumnę tego wyznacznika lub - inną kolumnę tego wyznacznika pomnożoną przez dowolną liczbę lub - dowolną kombinację liniową innych kolumn tego wyznacznika, to wartósć wyznacznika nie ulegnie zmianie.

D =

¯̄̄̄ ¯̄ a1 b1 c1a2 b2 c2 a3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ a1 + b1 b1 c1a2 + b2 b2 c2 a3 + b3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ =

=

¯̄̄̄ ¯̄ a1 + tb1 b1 c1a2 + tb2 b2 c2 a3 + tb3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ a1 + (kb1 + lc1) b1 c1a2 + (kb2 + lc2) b2 c2 a3 + (kb3 + lc3) b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ = D

Twierdzenie 3.5 Jeżeli wyznacznik zawiera - kolumnę zerową lub - dwie kolumny identyczne, to jego wartósć jest równa zero¯̄̄̄

¯̄ 0 b1 c10 b2 c2 0 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

¯̄̄̄ ¯̄ a a xb b y c c z

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

Zauważmy, że jeżeli ai = t · bi, dla i = 1, 2, 3, to¯̄̄̄ ¯̄ a1 b1 c1a2 b2 c2 a3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ tb1 b1 c1tb2 b2 c2 tb3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ = t

¯̄̄̄ ¯̄ b1 b1 c1b2 b2 c2 b3 b3 c3

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

Twierdzenie 3.6 W dowolnym wyznaczniku D

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄ a11 · · · a1k · · · a1n · · · · · · · · · · · · · · · ai1 · · · aik · · · ain · · · · · · · · · . . . · · · an1 · · · ank · · · ann

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄̄ (111)

suma elementów dowolnej kolumny pomnożonych przez dopełnienie algebraiczne elementów innej kolumny jest zerem

a1kA1j + . . .+ ankAnj = nX i=1

aikAij =

⎧⎨⎩ 0 gdy k 6= j D gdy k = j

(112)

Twierdzenie 3.7 Jeżeli w wyznaczniku wszystkie wyrazy stojące po jednej stronie przekątnej głównej są zerami, to wyznacznik równa się iloczynowi elementów przekątnej głównej.¯̄̄̄

¯̄ a 0 0p b 0 q r c

¯̄̄̄ ¯̄ = abc

¯̄̄̄ ¯̄ a x y0 b z 0 0 c

¯̄̄̄ ¯̄ = abc (113)

46

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Twierdzenie 3.8 Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie, bez zamiany ich kolejnósci, nie zmienia wartósci wyznacznika

Jeżeli A =

⎡⎣ a b cf g h p q r

⎤⎦, to AT = ⎡⎣ a f pb g q c h r

⎤⎦ (114) i zachodzi równósć

detA = detAT (115)

Wniosek 3.3 Zastępując w Twierdzeniach 3.2 - 3.6 słowo kolumna słowemwiersz, otrzymu- jemy twierdzenia prawdziwe.

Na zakończenie podamy kolejne ważne twierdzenie.

Twierdzenie 3.9 (Cauchy’ego) Jeżeli macierze A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to

det (AB) = (detA) (detB) (116)

Przykład 3.6 Wykorzystać poznane twierdzenia do obliczania wartósci wyznacznika

D =

¯̄̄̄ ¯̄ 220 −2 −1330 −3 −5 150 2 19

¯̄̄̄ ¯̄ (117)

Rozwiązanie 3.6 Wykonujemy kolejno przekształcenia

1. Z pierwszej kolumny wyłączamy czynnik 10

D = 10

¯̄̄̄ ¯̄ 22 −2 −133 −3 −5 15 2 19

¯̄̄̄ ¯̄

2. Do pierwszej kolumny dodajemy drugą pomnożoną przez 11 (drugą kolumnę przepisujemy bez zmian!)

D = 10

¯̄̄̄ ¯̄ 0 −2 −10 −3 −5 37 2 19

¯̄̄̄ ¯̄

3. Do drugiej kolumny dodajemy trzecią pomnożoną przez (−2) (trzecią kolumnę przepisuje- my bez zmian!)

D = 10

¯̄̄̄ ¯̄ 0 0 −10 7 −5 37 −36 19

¯̄̄̄ ¯̄

4. Przestawiamy pierwszą kolumnę z trzecią

D = −10

¯̄̄̄ ¯̄ −1 0 0−5 7 0 19 −36 37

¯̄̄̄ ¯̄

47

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

5. Stosujemy Twierdzenie 3.7

D = −10 · (−1) · 7 · 37 = 2590

Przykład 3.7 Obliczyć wartósć wyznacznika

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

3 2 −1 −5 4 7 6 −3 −7 12 −9 −6 4 3 −2 4 3 −2 −2 1 5 −2 6 −3 4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

Rozwiązanie 3.7 Wykonujemy działania:

1. Mnożymy pierwszy wiersz przez 3 i odejmujemy od drugiego (przepisujemy go bez zmian!)

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

3 2 −1 −5 4 −2 0 0 8 0 −9 −6 4 3 −2 4 3 −2 −2 1 5 −2 6 −3 4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

2. Czwarty wiersz mnożymy przez 2 i dodajemy do trzeciego

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

3 2 −1 −5 4 −2 0 0 8 0 −1 0 0 −1 0 4 3 −2 −2 1 5 −2 6 −3 4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯̄

3. Rozwijamy otrzymany wyznacznik względem elementów trzeciego wiersza

D = (−1) (−1)3+1

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ 2 −1 −5 40 0 8 0

3 −2 −2 1 −2 6 −3 4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄+ (−1) (−1)3+4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ 3 2 −1 4−2 0 0 0

4 3 −2 1 5 −2 6 4

¯̄̄̄ ¯̄̄̄

4. Rozwijamy pierwszy i drugi wyznacznik względem elementów drugiego wiersza

D = (−1) · 8 (−1)2+3 ¯̄̄̄ ¯̄ 2 −1 43 −2 1 −2 6 4

¯̄̄̄ ¯̄+ (−2) (−1)2+1

¯̄̄̄ ¯̄ 2 −1 43 −2 1 −2 6 4

¯̄̄̄ ¯̄

5. Wyznaczniki stopnia trzeciego obliczamy metodą Sarrusa

D = 8 (−16 + 72 + 2− 16− 12 + 12) + 2 (−16 + 72 + 2− 16− 12 + 12) = 420

48

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

3.7 Macierz dołączona, odwrotna i macierz ortogonalna

Na wstępie podamy definicję pojęcia bardzo ważnego przy rozwiązywaniu układów równań.

Definicja 3.15 Rzędem macierzyA nazywamy najwyższy stopień różnych od zera wyznacz- ników (minorów) tej macierzy.

Rząd macierzy A oznaczamy przez R (A) lub rank (A)10. Wprowadzimy zapis A R= B, gdy R (A) = R (B) (rankA = rankB).

Uwaga 3.3 Rząd macierzyA nie ulega zmianie, jeżeli do elementów dowolnego wiersza macie- rzy dodamy odpowiednie elementy innego wiersza tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę lub jeżeli skréslimy jedną z dwóch identycznych kolumn (wierszy) macierzy.

Przykład 3.8 Znalézć rząd macierzy

A =

⎡⎣ 1 1 22 1 0 3 2 2

⎤⎦ Rozwiązanie 3.8 Najwyższy stopień wyznacznika macierzy A wynosi 3, a macierz posiada elementy niezerowe (wyznaczniki stopnia 1), a więc 1 ≤ R (A) ≤ 3. Ponieważ

1 1 2 (−2) 2 1 0 3 2 2 ↓

= 1 1 2 (−1) 2 1 0 ↓ 1 0 −2

=

¯̄̄̄ ¯̄ 1 1 21 0 −2 1 0 −2

¯̄̄̄ ¯̄ = 1 (−1)(1+2) ¯̄̄̄ 1 −21 −2

¯̄̄̄ = 0

musimy obliczyć wyznaczniki niższych stopni. Jednym z nich może być wyznacznik drugiego

stopnia

¯̄̄̄ 2 1 3 2

¯̄̄̄ = 1 6= 0. Oznacza to, żę rząd macierzy A wynosi 2; rankA = 2.

Przykład 3.9 Znalézć rząd macierzy

A =

⎡⎣ 5 3 4 −18 6 13 0 1 −7 4 6 6 3 6 −27 9 3

⎤⎦ Rozwiązanie 3.9 Przekształcamy macierz tak, aby najprósciej obliczyć wyznacznik trzeciego stopnia ⎡⎣ 5 3 4 −18 6 13 0 1 −7 4 6

6 3 6 −27 9 3

⎤⎦ (−1) ↓ R =

⎡⎣ 5 3 4 −18 6 13 0 1 −7 4 6 1 0 2 −9 3 2

⎤⎦ Obliczamy wartósć wyznacznika¯̄̄̄

¯̄ 5 3 43 0 1 1 0 2

¯̄̄̄ ¯̄ = 3 (−1)1+2 ¯̄̄̄ 3 11 2

¯̄̄̄ = −3 · (6− 1) = −15 6= 0

A więc rząd macierzyA wynosi 3; R (A) = 3. Rząd macierzy mówi nam o wielu jej własnósciach.

10W starszych podręcznikach można spotkać symbole r (A) lub rz (A).

49

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Definicja 3.16 Rzędem macierzy A = [a1,a2, . . . , an] nazywamy maksymalną liczbę kolumn liniowo niezależnych.

Przykład 3.10 Macierz

A =

⎡⎣ 5 3 4 −183 0 1 −7 6 3 6 −27

⎤⎦ ma rząd równy 3 (R (A) = 3), gdyż kolumny a1,a2, i a3 są liniowo niezależne.

Rozwiązanie 3.10 Rzeczywíscie

α

⎡⎣ 53 6

⎤⎦+ β ⎡⎣ 30 3

⎤⎦+ γ ⎡⎣ 41 6

⎤⎦ = ⎡⎣ 00 0

⎤⎦⇐⇒ ⎧⎨⎩ α = 0β = 0 γ = 0

Definicja 3.17 Mówimy, że macierz A jest równoważna macierzy B (A R= B, A ≡ B) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A możemy otrzymać z macierzy B przez wykonanie na niej skończonej liczby operacji elementarnych (są one opisane w punkcie 3.6 i 4.5).

Definicja 3.18 Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A = [aik] nazywamy macierz AD = [Aki], czyli macierz transponowaną macierzy dopełnień algebraicznych, AD = [Aik]

T . Relacje między macierzami A i AD opisuje twierdzenie.

Twierdzenie 3.10 Jeżeli AD jest macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A, to zachodzą wzory

AAD = ADA = (detA) I (118)

Pamiętamy, że Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu aik macierzy A (patrz (96)) obliczanym z wzoru

Aik = (−1)i+kMik (119)

gdzie: Mik− minor. Biorąc pod uwagę Definicję 3.11 oraz wzór (97) możemy macierz dołączonąAD przedstawíc

jako

AD = (DA) T = [Aik]

T (120)

Przykład 3.11 Mając daną macierz A

A =

⎡⎣ 2 1 30 4 −1 1 0 2

⎤⎦ zbuduj macierz dopełnień algebraicznych DA oraz macierz dołączoną AD.

50

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Rozwiązanie 3.11 Skonstruujemy macierz dopełnień algebraicznych obliczając jej poszczegól- ne elementy. Mamy więc:

A11 = (−1)1+1 ¯̄̄̄ 4 −1 0 2

¯̄̄̄ = 8 A12 = (−1)1+2

¯̄̄̄ 0 −1 1 2

¯̄̄̄ = −1

A13 = (−1)1+3 ¯̄̄̄ 0 4 1 0

¯̄̄̄ = −4 A21 = (−1)2+1

¯̄̄̄ 1 3 0 2

¯̄̄̄ = −2

A22 = (−1)2+2 ¯̄̄̄ 2 3 1 2

¯̄̄̄ = 1 A23 = (−1)2+3

¯̄̄̄ 2 1 1 0

¯̄̄̄ = 1

A31 = (−1)3+1 ¯̄̄̄ 1 3 4 −1

¯̄̄̄ = −13 A32 = (−1)3+2

¯̄̄̄ 2 3 0 −1

¯̄̄̄ = 2

A33 = (−1)3+3 ¯̄̄̄ 2 1 0 4

¯̄̄̄ = 8

Zatem macierz dopełnień algebraicznych przyjmie postać

DA =

⎡⎣ 8 −1 −4−2 1 1 −13 2 8

⎤⎦ natomiast macierz dołączona postać

AD = (DA) T =

⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ Przykład 3.12 Na przykładzie macierzy A z Przykładu 3.11 sprawdzimy słusznósć relacji (118)

AAD = (detA) I

Rozwiązanie 3.12 Wyznaczając iloczyn AAD otrzymujemy macierze

8 −2 −13 −1 1 2 −4 1 8

2 1 3 0 4 −1 1 0 2

3 0 0 0 3 0 0 0 3

A więc

AAD =

⎡⎣ 3 0 00 3 0 0 0 3

⎤⎦ = 3 ⎡⎣ 1 0 00 1 0 0 0 1

⎤⎦ = 3I Rzeczywíscie, wyznacznik macierzy A jest równy 3, tzn. detA = 3. Zatem powyższe obliczenia potwierdzają słusznósć analizowanego wzoru.

Podamy teraz definicję macierzy odwrotnej macierzy A.

51

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Definicja 3.19 Macierzą odwrotną macierzy nieosobliwej A nazywamy macierz A−1 taką, że

A−1A = AA−1 = I (121)

Twierdzenie 3.11 Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to macierzą odwrotną A jest macierz dołączona macierzy A podzielona przez wartósć wyznacznika macierzy A

A−1 = 1

detA ·AD (122)

Uwaga 3.4 Macierz odwrotna macierzy diagonalnej D jest macierzą diagonalną, której elementy są równe odwrotnósciom elementów macierzy D.

D =

⎡⎣ k 0 00 l 0 0 0 m

⎤⎦ D−1 = ⎡⎣ 1k 0 00 1

l 0

0 0 1 m

⎤⎦ Twierdzenie 3.12 Operacje elementarne, które przekształcają macierz nieosobliwą A w macierz jednostkową I, przekształcają jednoczésnie macierz I w macierz A−1.

Przykład 3.13 Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy

A =

⎡⎣ 2 1 30 4 −1 1 0 2

⎤⎦ Rozwiązanie 3.13 Po prawej stronie A dopiszemy macierz jednostkową I⎡⎣ 2 1 30 4 −1

1 0 2

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 00 1 0 0 0 1

⎤⎦ w1 − w3 . .

⎡⎣ 1 1 10 4 −1 1 0 2

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 −10 1 0 0 0 1

⎤⎦ . . w3 − w1

⎡⎣ 1 1 10 4 −1 0 −1 1

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 −10 1 0 −1 0 2

⎤⎦ . . w2 + 4w3

⎡⎣ 1 1 10 4 −1 0 0 3

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 −10 1 0 −4 1 8

⎤⎦ .

3w2 + w3 .

⎡⎣ 1 1 10 12 0 0 0 3

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 −1−4 4 8 −4 1 8

⎤⎦ . w2/4 .

⎡⎣ 1 1 10 3 0 0 0 3

⎤⎦ ⎡⎣ 1 0 −1−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ 3w1 − w3 . .

⎡⎣ 3 3 00 3 0 0 0 3

⎤⎦ ⎡⎣ 7 −1 −11−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ w1 − w2 . .

⎡⎣ 3 0 00 3 0 0 0 3

⎤⎦ ⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦⎡⎣ 1 0 00 1 0 0 0 1

⎤⎦ ⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ · 1 3

52

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

A więc

A−1 = 1

3

⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ Przykład 3.14 Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy A zdefiniowanej w Przykładzie 3.11.

Rozwiązanie 3.14 Rozwiązanie Macierz dołączona AD ma postać

AD =

⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ Wartósć wyznacznika macierzy A jest równa

detA = 3

Zatem macierz A−1 będzie równa

A−1 = 1

3

⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ = ⎡⎢⎢⎣

8 3 −2 3 −13

3

−1 3

1 3

2 3

−4 3

1 3

8 3

⎤⎥⎥⎦ Sprawdzamy

AA−1 = 1

3

⎡⎣ 2 1 30 4 −1 1 0 2

⎤⎦⎡⎣ 8 −2 −13−1 1 2 −4 1 8

⎤⎦ = 1 3

⎡⎣ 3 0 00 3 0 0 0 3

⎤⎦ = I Twierdzenie 3.13 Macierz

A =

⎡⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦ nazywamymacierzą ortogonalną, jeżeli macierz odwrotna A−1 równa się macierzy transpo- nowanej AT , tzn.

A−1 = AT (123)

Jeżeli macierz A jest macierzą ortogonalną, to

AAT = AA−1 = I oraz ATA = I (124)

Z równósci (124) wynikają własnósci macierzy ortogonalnej.

1. Suma kwadratów wszystkich elementów dowolnego wiersza oraz dowolnej kolumny ma- cierzy ortogonalnej równa się 1, tzn.

a2i1 + a 2 i2 + . . .+ a

2 in = 1 dla i = 1, 2, . . . , n (125)

a21k + a 2 2k + . . .+ a

2 nk = 1 dla k = 1, 2, . . . , n (126)

53

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

2. Suma iloczynów wszystkich odpowiednich elementów dwóch różnych wierszy oraz dwóch różnych kolumn macierzy ortogonalnej równa się zeru, tzn.

ai1aj1 + ai2aj2 + . . .+ ainajn = 0 dla i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n (127)

a1ka1l + a2ka2l + . . .+ ankanl = 0 dla k 6= l, k, l = 1, 2, . . . , n (128)

Ponadto zauważamy, że z równań (124) wynika wartóśc wyznacznika macierzy ortogonalnej. Mianowicie

detAdetAT = det I

ale detAT = detA, det I = 1, więc (detA)2 = 1. Stąd otrzymujemy

detA = ±1 (129) Wyznacznik macierzy ortogonalnej może býc równy tylko +1 lub −1.

Przykład 3.15 Macierz pewnego przekształcenia liniowego ma postać

w =

∙ cosα − sinα sinα cosα

¸ (130)

Sprawdzíc własnósci (125) i (126).

Rozwiązanie 3.15 Jest to macierz nieosobliwa, ponieważ

detw = cos2 α+ sin2 α = 1 6= 0

Macierz transponowana jest równa

wT =

∙ cosα sinα − sinα cosα

¸ Natomiast macierz dołączona wD jest następująca

wD =

∙ cosα sinα − sinα cosα

¸ Ponieważ detw = 1, to

w−1 = wD =

∙ cosα sinα − sinα cosα

¸ Widzimy więc, że w tym przypadku zachodzi równósć wT = w−1. Oznacza to, że macierz w jest macierzą ortogonalną. Sprawdzimy własnósci (125) i (126). Rzeczywíscie:

1 wiersz: cos2 α+ sin2 α = 1 2 wiersz: (− sinα)2 + cos2 α = 1 1 kolumna: cos2 α+ (− sinα)2 = 1 2 kolumna: sin2 α+ cos2 α = 1

Własnósci (127) i (128) również są spełnione, bowiem:

1. mnożenie względem wierszy: cosα (− sinα) + sinα cosα = 0 2. mnożenie względem kolumn: cosα sinα+ (− sinα) cosα = 0

54

docsity.com

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

3.8 Równanie charakterystyczne macierzy

Z danej macierzy kwadratowej A stopnia n o elementach aik (i, k = 1, 2, . . . , n)

A =

⎡⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦ (131) utworzymy nową macierz zgodnie z zapisem A− λI = C. W rezultacie otrzymamy

C =

⎡⎢⎢⎢⎣ a11 − λ a12 · · · a1n a21 a22 − λ · · · a2n · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ann − λ

⎤⎥⎥⎥⎦ (132) Przyrównując do zera wyznacznik macierzy (132)¯̄̄̄

¯̄̄̄ ¯ a11 − λ a12 · · · a1n a21 a22 − λ · · · a2n · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ann − λ

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯ = 0 (133)

otrzymamy równanie stopnia n względem λ, które nazywamy równaniem charakterystycz- nym macierzy A. Pierwiastki λi tego równania, różne od zera dla macierzy nieosobliwej, nazywamy wartósciami własnymi macierzy A. Równanie

det (A− λI) = 0 (134)

ma dokładnie n pierwiastków rzeczywistych lub zespolonych, jeżeli każdy pierwiastek liczy się tyle razy, ile wynosi jego krotnóśc. Znając wszystkie wartósci własne macierzy możemy obliczýc wartóśc jej wyznacznika

det(A) = λ1 · λ2 · · · · · λn = nY i=1

λi (135)

oraz tak zwany ślad macierzy (ang. trace)

tr(A) = λ1 + λ2 + · · ·+ λn = nX i=1

λi (136)

Wniosek 3.4 Z relacji (135) wynika, że macierz A jest macierzą osobliwą, jeżeli co najmniej jedna wartósć własna jest równa 0.

Wniosek 3.5 Suma wartósci własnych macierzy A jest równa sumie elementów znajdujących się na przekątnej gwnej tej macierzy: λ1 + λ2 + · · ·+ λn = a11 + a22 + ...+ ann = tr(A).

Moduł maksymalnej wartósci własnej macierzy A nazywamy jej promieniem spektral- nym i oznaczamy

ρ(A) = max λ∈σ(A)

|λ| (137)

55

docsity.com

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

Przykład 3.16 Wyznaczyć równanie charakterystyczne oraz wartósci własne macierzy

A =

∙ 2 1 1 5

¸ Rozwiązanie 3.16 Tworzymy równanie charakterystyczne tej macierzy¯̄̄̄

2− λ 1 1 5− λ

¯̄̄̄ = 0

Stąd (2− λ) (5− λ)− 1 = 0 −→ λ2 − 7λ+ 9 = 0 (138)

Łatwo zauważyć, że równanie charakterystyczne (138) ma dwa pierwiastki rzeczywiste

λ1 = 1

2

¡ 7− √ 13 ¢

λ2 = 1

2

¡ 7 + √ 13 ¢

Są to wartósci własne macierzy A.

56

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

4 Równania liniowe. Układy równań liniowych

4.1 Równanie liniowe

Definicja 4.1 Równaniem liniowym o n zmiennych (niewiadomych) nazywamy równanie otrzymane przez przyrównanie do zera funkcji liniowej n zmiennych11, tzn.

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn + a0 = 0 (139)

Równanie liniowe zapisujemy

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b (140)

Nazywamy je jednorodnym, gdy b = 0 i niejednorodnym, gdy b 6= 0. Liczby a1, . . . , an nazywamy współczynnikami równania, liczbę b− wyrazem wolnym (albo prawą stroną równania), liczby te są znane. Zmienne x1, . . . , xn nazywamy niewiadomymi. Jeżeli niewiadomych jest niewiele, zwykle oznaczamy je x, y, z, t. Ciąg niewiadomych x1, . . . , xn zapisujemy w skrócie x = (x1, . . . , xn) lub x = [x1, . . . , xn]

T .

Rozwiązaniem równania liniowego (140) nazywamy każdy ciąg n liczb rzeczywistych

(c1, c2, . . . , cn) (141)

który spełnia równanie (140), tzn. po podstawieniu za zmienne x1, x2, . . . , xn liczb c1, c2, . . . , cn prawdziwa jest relacja (140). Rozwiązác równanie oznacza to samo, co podác wszystkie jego rozwiązania, względnie

stwierdzíc, że rozwiązań nie ma. Zbiór wszystkich rozwiązań danego równania liniowego nazywamy rozwiązaniem ogólnym, a każde pojedyncze rozwiązanie rozwiązaniem szcze- gólnym.

4.2 Układ równań

Rozważmy układ równań ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 · · · fm (x) = 0

(142)

Ciąg c = (c1, c2, . . . , cn) nazywamy rozwiązaniem układu (142), jeżeli jest on rozwiązaniem każdego równania zawartego w tym układzie. Gdy m = 1, układ (142) zawiera tylko jedno równanie liniowe

f1 (x) = 0

11Funkcją liniową 2 zmiennych nazywamy wyrażenie spełniające warunek: f(γx + ωy) = f(γx) + f(ωy) = γf(x) + ωf(y). Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.

57

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

4.3 Kombinacja liniowa równań

Mając dany układ równań możemy każde równanie pomnożýc przez pewną stałą i dodác je do siebie. Tak skonstruowane równanie ma postác

k1f1 (x) + . . .+ kmfm (x) = 0 (143)

gdzie: ki, i = 1, 2, . . . ,m− stałe. Równanie (143) nazywamy kombinacją liniową równań danego układu. Są one niezależ-

ne liniowo, jeżeli równóśc (143) zachodzi tylko wtedy, gdy k1 = k2 = . . . = km = 0. W przeciwnym przypadku równania te nazywamy liniowo zależnymi.

Przykład 4.1 Dany jest układ równań⎧⎨⎩ f1 (x) = 2x+ y = 0 f2 (x) = x+ 2y = 0

(144)

Utworzyć kombinację o współczynnikach 1, 1 oraz 2, 2. Czy równania są liniowo niezależne?

Rozwiązanie 4.1 Tworzymy kombinację o współczynnikach 1, 1 oraz kombinację o współczyn- nikach 2, 2. Otrzymujemy układ

1 · f1 (x) + 1 · f2 (x) = 0

1 · 2x+ 1 · y + 1 · x+ 1 · 2y = 0

3x+ 3y = 0

2 · f1 (x) + 2 · f2 (x) = 0

2 · 2x+ 2 · y + 2 · x+ 2 · 2y = 0

6x+ 6y = 0

Układ ⎧⎨⎩ 3x+ 3y = 0 6x+ 6y = 0

(145)

wynika z poprzedniego, ale nie jest mu równoważny.

Twierdzenie 4.1 Poniższe dwa układy równań, w których t jest stałą dowolną

A :

⎧⎨⎩ f1 (x) = 0 f2 (x) = 0

B :

⎧⎨⎩ f1 (x) = 0 f2 (x) + tf1 (x) = 0

(146)

są równoważne.

Twierdzenie 4.2 Poniższe dwa układy równań, w których t1, . . . , tk oznaczają stałe dowolne, k ≥ 1

A :

⎧⎪⎨⎪⎩ f1 (x) = 0 . . . fk (x) = 0 f (x) = 0

B :

⎧⎪⎨⎪⎩ f1 (x) = 0 . . . fk (x) = 0 f (x) + t1f1 (x) + . . .+ tkfk (x) = 0

(147)

są równoważne.

58

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

4.4 Układ równań liniowych. Macierz układu. Macierz rozszerzona.

Układ m równań liniowych o n niewiadomych zapisujemy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · am1x1 am2x2 + . . .+ amnxn = bm

lub Ax = b (148)

Współczynniki aij układu i wyrazy wolne bi, i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n są znanymi liczbami rzeczywistymi. Okréslają one układ równań, a więc i jego rozwiązanie. Zapiszemy je w postaci macierzy

macierz współczynnikówz }| {

A =

⎡⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

⎤⎥⎥⎦

macierz wyrazów wolnychz }| {⎡⎢⎢⎣

b1 b2 . . . bm

⎤⎥⎥⎦ = b | {z }

macierz rozszerzona

(149)

Macierz

A =

⎡⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

⎤⎥⎥⎦ (150) nazywamy macierzą układu, a macierz

[A|b] = C =

⎡⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm

⎤⎥⎥⎦ (151) macierzą rozszerzoną. Powstaje ona po dołączeniu kolumny wyrazówwolnych b domacierzy układu A. Macierz rozszerzoną często oznacza się symbolem [A|b]. W niektórych podręczni- kach ostatnia kolumna jest oddzielona od macierzy układu pionową linią kropkowaną lub ciągłą. Np.

[A|b] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n

... b1

a21 a22 . . . a2n ... b2

. . . . . . . . . . . . ... . . .

am1 am2 . . . amn ... bm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (152)

[A|b] =

⎡⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm

⎤⎥⎥⎦ (153) 59

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

4.5 Przekształcenia elementarne i zmiana numeracji niewiadomych

Przekształceniami elementarnymi układu równań liniowych nazywamy

1. przestawienie ze sobą dwóch równań układu,

2. pomnożenie równania układu przez liczbę różną od 0,

3. pomnożenie pewnego równania układu przez dowolną liczbę i dodanie do innego równania tego układu.

Twierdzenie 4.3 Jeżeli do danego układu równań liniowych zastosujemy przekształcenie ele- mentarne, to otrzymamy układ równoważny danemu układowi.

Przekształceniom elementarnym układu równań (148) odpowiadają następujące przekształ- cenia elementarne macierzy (149):

1. przestawienie dwóch wierszy,

2. pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,

3. pomnożenie pewnego wiersza przez dowolną liczbę i dodanie do innego wiersza.

Uwaga 4.1 Przekształcenia elementarne wykonywane są na macierzy rozszerzonej, a więc również na kolumnie wyrazów wolnych.

Jeżeli w równaniu 5x1 + 6x2 + 7x3 = 8 przestawimy pierwsze dwa wyrazy, to otrzymamy 6x2 + 5x1 + 7x3 = 8. W celu uporządkowania niewiadomych zgodnie ze wzrostem wskáznika wprowadzamy nowe niewiadome x̄1, x̄2, x̄3 takie, że

x1 = x̄2 x2 = x̄1 x3 = x̄3 (zmiana numeracji)

Analizowane równanie przyjmie postác 6x̄1 + 5x̄2 + 7x̄3 = 8. Jeżeli z układu równań F przez zmianę numeracji niewiadomych powstaje układ równańG,

to z każdego rozwiązania układu F przez analogiczne przekształcenie otrzymujemy rozwiązanie układu G. Znalezienie rozwiązań układu G jest równoważne znalezieniu rozwiązań układu F . Zmiana numeracji niewiadomych w układzie (148) powoduje odpowiednie przestawienie

kolumn w macierzy współczynników tego układu (kolumna wyrazów wolnych pozostaje na swoim miejscu). Każdy układ równań liniowych można sprowadzíc za pomocą przekształceń elementarnych

i zmianę numeracji niewiadomych do tzw. układu normalnego. Z układu normalnego łatwo odczytác rozwiązanie lub stwierdzíc, że rozwiązań nie ma.

4.6 Sprowadzanie macierzy do postaci normalnej

Twierdzenie 4.4 Dowolną macierz

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n a31 a32 . . . a3n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (154)

60

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

w której nie wszystkie wyrazy aij są zerami, można za pomocą przekształceń elementarnych i przestawienia kolumn sprowadzić do macierzy zwanej półnormalną

P =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

p11 p12 p13 . . . p1r p1,r+1 . . . p1n 0 p22 p23 . . . p2r p2,r+1 . . . p2n 0 0 p33 . . . p3r p3,r+1 . . . p3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . prr pr,r+1 . . . prn 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (155)

gdzie: p11 6= 0, p22 6= 0, . . . , prr 6= 0; r ≥ 1, r ≤ n, r ≤ m, a następnie do macierzy zwanej normalną

C =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

c11 0 0 . . . 0 c1,r+1 . . . c1n 0 c22 0 . . . 0 c2,r+1 . . . c2n 0 0 c33 . . . 0 c3,r+1 . . . c3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . crr cr,r+1 . . . crn 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (156)

gdzie: c11 6= 0, c22 6= 0, . . . , crr 6= 0; r ≥ 1, r ≤ n, r ≤ m. W macierzach P i C liczba r ma taką samą wartósć. Dzieląc i−ty wiersz macierzyC przez cii, i = 1, . . . , r, możemy uzyskać w miejscu c11, . . . , crr

jedynki. Jeżeli r = m, to w macierzach P i C nie ma u dołu wierszy wypełnionych zerami. Jeżeli r = n, to r−ta kolumna jest ostatnią kolumną.

Przykład 4.2 Sprowadzíc do postaci normalnej macierz

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −4 0 3 1 −1 −2 −2 −2 1 −3 0 −4 0 0 1 −1 1 1

⎤⎥⎥⎦ (157) Rozwiązanie 4.2 Pierwszy wiersz pomnożony przez (−1) dodajemy do drugiego i trzeciego wiersza. Zapisujemy to umownie następująco:

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −4 0 3 1 −1 −2 −2 −2 1 −3 0 −4 0 0 1 −1 1 1

⎤⎥⎥⎦ −1 −1 ↓

W wyniku otrzymamy

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −4 0 3 0 −2 2 −2 −5 0 −4 4 −4 −3 0 1 −1 1 1

⎤⎥⎥⎦ −2↓ 61

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

Następnie, drugi wiersz mnożymy przez (−2) i dodajemy do trzeciego

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −4 0 3 0 −2 2 −2 −5 0 0 0 0 7 0 1 −1 1 1

⎤⎥⎥⎦ Czwarty wiersz mnożymy przez 2 i dodajemy do niego wiersz drugi

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −4 0 3 0 −2 2 −2 −5 0 0 0 0 7 0 0 0 0 −3

⎤⎥⎥⎦ Ponieważ a33 = 0, a34 = 0, a a35 6= 0, to przestawiamy trzecią kolumnę z piątą

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 3 0 −4 0 −2 −5 −2 2 0 0 7 0 0 0 0 −3 0 0

⎤⎥⎥⎦ Trzeci wiersz mnożymy przez 3, czwarty przez 7 i dodajemy trzeci do czwartego

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 3 0 −4 0 −2 −5 −2 2 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ Pierwszy wiersz pomnożymy przez 7, trzeci przez (−3) i do pierwszego dodamy trzeci

A =

⎡⎢⎢⎣ 7 7 0 0 −28 0 −2 −5 −2 2 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ Drugi wiersz pomnożymy przez 7, trzeci przez 5 i do drugiego dodamy trzeci

A =

⎡⎢⎢⎣ 7 7 0 0 −28 0 −14 0 −14 14 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ Pierwszy wiersz pomnożymy przez 2 i dodamy do niego drugi

A =

⎡⎢⎢⎣ 14 0 0 −14 −42 0 −14 0 −14 14 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ ·1/14 · (−1/14) ·1/7 .

(158)

Macierz (158) ma postać normalną. Jeżeli pomnożymy jej wiersze przez zaznaczone mnożniki, to otrzymamy jeszcze prostszą postać:

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 −1 −3 0 1 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ (159) 62

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Metoda sprowadzania macierzy układu do postaci normalnej jest pomocna przy rozwiązy- waniu układów równań liniowych. W ogólnym przypadku nosi ona nazwęmetody eliminacji Gaussa.

Przykład 4.3 Rozwiązać układ równań liniowych⎧⎨⎩ 5x + 3y + 4z = −183x + z = −7 6x + 3y + 6z = −27

(160)

sprowadzając macierz rozszerzoną układu do postaci normalnej.

Rozwiązanie 4.3 Biorąc pod uwagę definicję macierzy rozszerzonej (patrz (149)) mamy

[A|b] =

⎡⎣ 5 3 4 −183 0 1 −7 6 3 6 −27

⎤⎦ −2w2 + w3 = ⎡⎣ 5 3 4 −180 3 4 −13 6 3 6 −27

⎤⎦ 5w3 − 6w1

=

=

⎡⎣ 5 3 4 −180 3 4 −13 0 −3 6 −27

⎤⎦ w2 + w3

=

⎡⎣ 5 3 4 −180 3 4 −13 0 0 10 −40

⎤⎦ w3/10

=

=

⎡⎣ 5 3 4 −180 3 4 −13 0 0 1 −4

⎤⎦ w1 − w2 = ⎡⎣ 5 0 0 −50 3 4 −13 0 0 1 −4

⎤⎦ w1/5w2 − 4w3 .

=

=

⎡⎣ 1 0 0 −10 3 0 3 0 0 1 −4

⎤⎦ w2/3 = ⎡⎣ 1 0 0 −10 1 0 1 0 0 1 −4

⎤⎦ A więc macierz normalna C ma postać

C =

⎡⎣ 1 0 0 −10 1 0 1 0 0 1 −4

⎤⎦ (161) Czwarta kolumna tej macierzy zawiera poszukiwane rozwiązania układu (160). Są one odpowie- dnio równe:

x = −1 y = 1 z = −4

(162)

Przedstawiona metoda jest często wykorzystywana przy rozwiązywaniu układów równań z tymi samymi współczynnikami, tzn. z tą samą macierzą układu i różnymi prawymi stronami. Układ równań (160) z innymi prawymi stronami zapiszemy następująco⎧⎨⎩ 5x + 3y + 4z = 63x + z = 4

6x + 3y + 6z = 9 (163)

63

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

lub ⎧⎨⎩ 5x + 3y + 4z = 193x + z = 6 6x + 3y + 6z = 21

(164)

W tym przypadku macierz rozszerzona (149) przyjmie postác

[A|b] =

⎡⎣ 5 3 4 −18 6 193 0 1 −7 4 6 6 3 6 −27 9 21

⎤⎦ (165) a macierz normalna postác

C =

⎡⎣ 1 0 0 −1 1 20 1 0 1 −1 3 0 0 1 −4 1 0

⎤⎦ (166) Elementy ci4 są rozwiązaniem układu (160), ci5− układu (163), a ci6− układu (164) (i = 1, 2, 3).

Zauważmy, że zapisując układ wyj́sciowy w postaci⎧⎨⎩ 5x + 3y + 4z = −186x + 3y + 6z = −27 3x + z = −7

(167)

zmniejszamy liczbę przekształceń przy konstruowaniu macierzy normalnej; element a22 jest już różny od zera. Dodatkowo, dzieląc drugie równanie obustronnie przez 3, operujemymniejszymi liczbami ⎧⎨⎩ 5x + 3y + 4z = −182x + y + 2z = −9

3x + z = −7 (168)

4.7 Metoda eliminacji Gaussa

Twierdzenie 4.5 Dowolny układ m równań liniowych o n niewiadomych⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

(169)

można za pomocą przekształceń elementarnych i zmiany numeracji niewiadomych sprowadzíc do układu normalnego⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

c11x̄1 0 0 + c1,r+1x̄r+1 + . . .+ c1nx̄n = q1 0 c22x̄2 0 + c2,r+1x̄r+1 + . . .+ c2nx̄n = q2

· · · · · · · · · · · · 0 0 crrx̄r + cr,r+1x̄r+1 + . . .+ crnx̄n = qr 0 0 0 0 0 0 0 = qr+1

· · · 0 0 0 0 0 0 0 = qm

(170)

w którym liczby c11, c22, . . . , crr są różne od 0, a kreski nad niewiadomymi zaznaczają możliwósć zmiany numeracji niewiadomych.

64

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

4.7.1 Dyskusja układu równań w postaci normalnej

Wyróżnimy dwa przypadki.

1. Jeżeli r < m i ẃsród liczb qr+1, . . . , qm istnieje co najmniej jedna różna od 0, to układ jest sprzeczny.

2. Jeżeli r < m, ale qr+1 = . . . = qm = 0 lub jeżeli r = m, to układ jest rozwiązywalny. Rozróżniamy wtedy dwa przypadki:

• r < n; zmienne dzielą się na dwie grupy

x̄1, x̄2, . . . , x̄r| {z } zmienne bazowe

x̄r+1, x̄r+2, . . . , x̄n| {z } parametry

Zmiennych bazowych jest r, parametrów n − r. W tym przypadku za parametry podstawiamy dowolne liczby, a następnie z równań (170) wyznaczamy wartósci zmiennych bazowych. Istnieje więc nieskończenie wiele rozwiązań, tyle, ile jest różnych ciągów n− r liczb podstawianych za parametry.

• r = n; parametrów nie ma; układ ma postác

c11x̄1 0 0 = q1 0 c22x̄2 0 = q2

. . . · · · 0 0 crrx̄r = qr

(171)

i ma dokładnie jedno rozwiązanie

x = (q1/c11, q2/c22, . . . , qn/cnn) (172)

Z powyższej dyskusji wynika, że układ równań liniowych może býc:

• oznaczony (zbiór rozwiązań jest jednoelementowy, jest nim wektor (172)),

• nieoznaczony (zbiór rozwiązań jest nieskończony, zależny od dowolnych wartósci parame- trów),

• sprzeczny (zbiór rozwiązań jest pusty).

Algorytm dochodzenia do układu półnormalnego, a następnie normalnego nosi nazwę metody eliminacji Gaussa. Jest to najważniejsza i najefektywniejsza metoda bezpósrednie- go rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych. Jej idea polega na eliminacji niewia- domych w pewien systematyczny sposób. Rozważmy układ równań (169) dla m = n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

· · · · · · . . . · · · · · · an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

(173)

65

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

Zakładamy, że macierz A układu (173) jest nieosobliwa, tzn. detA 6= 0. Wówczas układ

Ax = b (174)

ma jednoznaczne rozwiązanie. Niech a11 6=0. Przy tym założeniu z n − 1 ostatnich równań możemy wyeliminowác x1

odejmując od i−tego równania pierwsze równanie pomnożone przez

mi1 = ai1 a11

(i = 2, 3, . . . , n) (175)

Przekształcone równania przybierają postác⎧⎨⎩ a (2) 22 x2 + a

(2) 23 x3 + . . .+ a

(2) 2nxn = b

(2) 2

· · · · · · · · · · · · a (2) n1x1 + a

(2) n2x2 + . . .+ a

(2) nnxn = b

(2) n

(176)

gdzie: a (2) ij = aij −mi1a1j (j = 2, . . . , n)

b (2) i = bi −mi1b1 (i = 2, . . . , n)

(177)

Nowy układ składa się z n− 1 równań i zawiera n− 1 niewiadomych x2, x3, . . . , xn. Jeżeli a (2) 22 6= 0, to w podobny sposób możemy wyeliminowác x2 z ostatnich n − 2 równań układu. Otrzymamy wtedy układ n− 2 równań z niewiadomymi x3, . . . , xn. Przyjmując

mi2 = a (2) i2

a (2) 22

(i = 3, . . . , n) (178)

otrzymamy wyrażenie na nowe współczynniki

a (3) ij = a

(2) ij −mi2a

(2) 2j (j = 3, . . . , n)

b (3) i = b

(2) i −mi2b

(2) 2 (i = 3, . . . , n)

(179)

Elementy a11, a (2) 22 , a

(3) 33 , . . . występujące w trakcie eliminacji Gaussa nazywa się elementami

głównymi. Jeżeli każdy z nich jest różny od zera, to możemy kontynuowác eliminację aż do otrzymania po n− 1 krokach jednego równania

a (n) nnxn = b

(n) n stąd xn = b

(n) n /a

(n) nn (180)

Wprowadzając oznaczenia a(1)ij = aij, b (1) i = bi otrzymujemy układ w postaci półnormalnej⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a (1) 11 x1 + a

(1) 12 x2 + a

(1) 13 x3 + . . .+ a

(1) 1nxn = b

(1) 1

a (2) 22 x2 + a

(2) 23 x3 + . . .+ a

(2) 2nxn = b

(2) 2

a (3) 33 x3 + . . .+ a

(3) 3nxn = b

(3) 3

. . . . . . . . . a (n) nnxn = b

(n) n

(181)

66

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Zauważmy, że prawą stronę b układu (174) przekształca sie tak samo, jak kolumnymacierzy A. Dlatego opis metody eliminacji Gaussa uprósci się, jeżeli uznamy b (jak w poprzednich przykładach) za ostatnią kolumnę tej macierzy i przyjmiemy, że

a (k) i,n+1 = b

(k) i (1 ≤ k ≤ i ≤ n) (182)

Rozwiązując kilka układów równań o wspólnej macierzy A

Ax1 = b1 Ax2 = b2 . . . Axp = bp (183)

możemy przekształcíc je łącznie, traktując bj jako (n+ j)−tą kolumnę macierzy rozszerzonej.

Przykład 4.4 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ x1 + x2 + x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2 x1 + 2x2 + 2x3 = 1

(184)

metodą eliminacji Gaussa.

Rozwiązanie 4.4 Tworzymy macierz rozszerzoną

[A|b] =

⎡⎣ 1 1 1 11 1 2 2 1 2 2 1

⎤⎦ i wykorzystujemy poznany algorytm. Wyznacznik macierzy A układu jest różny od zera; detA = −1 6= 0. Oznacza to, że macierz A jest nieosobliwa. Z drugiego i trzeciego wiersza eliminujemy x1 odejmując od drugiego wiersza pierwszy wiersz pomnożony przez m21 = a21a11 (patrz (175)). Współczynnik ten jest równy

m21 = 1

1 = 1

Podobnie m31 =

a31 a11

= 1

1 = 1

A więc ⎡⎣ 1 1 1 11 1 2 2 1 2 2 1

⎤⎦→ ⎡⎣ 1 1 1 10 0 1 1 0 1 1 0

⎤⎦ Widzimy, że już po pierwszym kroku jeden z elementów głównych jest równy 0 : a22 = 0. Możemy oczywíscie zamieníc trzeci wiersz z drugim lub trzecią kolumnę z drugą (ale to zmienia numerację niewiadomych) i kontynuować obliczenia.

4.8 Wybór elementów głównych

1. Metoda eliminacji Gaussa z przestawianiem wierszy.

Jest to metoda z tzw. czę́sciowym wyborem elementu głównego. Wybiera się r jako najmniejszą liczbę całkowitą, dla której¯̄̄

a (k) rk

¯̄̄ = max k≤i≤n

¯̄̄ a (k) ik

¯̄̄ i następnie przestawia się wiersze k i r.

67

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

2. Metoda eliminacji Gaussa z przestawianiem wierszy i kolumn.

Jest to metoda z tzw. pełnym wyborem elementu głównego. Wybiera się r i s jako najmniejsze liczby całkowite, dla których¯̄

a(k)rs ¯̄ = max k≤i,j≤n

¯̄̄ a (k) ij

¯̄̄ a następnie przestawia się wiersze k i r oraz kolumny k i s. Drugie podej́scie polega na wyszukiwaniu współczynnika o największej wartósci bezwzględnej w pozostałej czę́sci macierzy.

Powyżej przedstawiamy algorytm odwracania macierzy A metodą Gaussa z wyborem maksymalnego elementu (elementu głównego) napisany w języku Fortran. Powrócimy do Przykładu 4.4.

Przykład 4.5 (Ciąg dalszy Przykładu 4.4)

Rozwiązanie 4.5 Mamy więc (rozpatrujemy macierz rozszerzoną)⎡⎣ 1 1 1 11 1 2 2 1 2 2 1

⎤⎦→ ⎡⎣ 1 1 1 10 0 1 1 0 1 1 0

⎤⎦ Przestawimy wiersz trzeci i drugi⎡⎣ 1 1 1 10 0 1 1

0 1 1 0

⎤⎦→ ⎡⎣ 1 1 1 10 1 1 0 0 0 1 1

⎤⎦ (185) Otrzymalísmy macierz półnormalną (trójkątną górną), z której wynika, że

x1 + x2 + x3 = 1 x2 + x3 = 0

x3 = 1 (186)

Podstawiając ostatnie rozwiązanie do poprzedzających je równań otrzymamy poszukiwany wektor x = (1,−1, 1), czyli x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1. Układ (181) można przekształcać dalej do postaci normalnej. Mając rozwiązanie xn = b

(n) n /a

(n) nn będziemy je eliminować ze wszystkich równań

stojących powyżej n−tego wiersza. W tym celu równania te pomnożymy przez współczynniki odpowiadające (175) np. wiersz n − 1 pomnożymy przez mn = a

(n) nn

an−1nm,n i odejmiemy od niego

wiersz ostatni. Procedurę powtarzamy przesuwając się od wiersza ostatniego do pierwszego. Wynikiem będzie macierz normalna, której ostatnia kolumna zawiera poszukiwane rozwiązania. Kontynuujemy rozwiązywanie Przykładu 4.4 (patrz macierz (185)). Od wiersza pierwszego i drugiego odejmujemy wiersz trzeci:⎡⎣ 1 1 1 10 1 1 0

0 0 1 1

⎤⎦→ ⎡⎣ 1 1 0 00 1 0 −1 0 0 1 1

⎤⎦ Od wiersza pierwszego odejmujemy wiersz drugi:⎡⎣ 1 1 0 00 1 0 −1

0 0 1 1

⎤⎦→ ⎡⎣ 1 0 0 10 1 0 −1 0 0 1 1

⎤⎦ (187) Macierz (187) jest macierzą normalną z jedynkami na przekątnej głównej. Ostatnia kolumna zawiera poszukiwane rozwiązania.

68

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

subroutine gauss(n,eps,a,ib,jb,is) dimension a(2,2),ib(2),jb(2)

is=0 do 1 i=1,n

jb(i)=0 1 CONTINUE

do 8 k=1,n gmax=0.0 do 3 i=1,n

if(jb(i).ne.0) GOTO 3 do 2 j=1,n

if(jb(j).ne.0) GOTO 2 if(abs(gmax).ge.abs(a(j,i))) GOTO 2

gmax=a(j,i) ip=i jq=j

2 CONTINUE 3 CONTINUE

jb(jq)=ip nq=n-k+1 IF(k.eq.1) eps=eps*abs(gmax) ib(nq)=jq if(abs(gmax).lt.eps) GOTO 11 gmax=1.00/gmax do 4 i=1,n

tm=a(i,jq) sm=gmax IF(i.ne.jq) sm=gmax*a(i,ip)

a(i,jq)=sm IF(ip.ne.jq) a(i,ip)=tm

4 CONTINUE do 7 i=1,n

IF(i.eq.jq) GOTO 7 sm=-a(jq,i) do 6 j=1,n

IF(j.eq.jq) GOTO 15 tm=a(j,i)+a(j,jq)*sm GOTO 5 15 tm=gmax*sm

5 a(j,i)=tm 6 CONTINUE 7 CONTINUE 8 CONTINUE

do 10 k=1,n ip=ib(k) IF(jb(ip).eq.ip) GOTO 10 iq=jb(ip) do 9 i=1,n

sm=a(ip,i) a(ip,i)=a(jq,i)

9 a(jq,i)=sm 10 CONTINUE return

69

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

4.9 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Układ Cramera.

Układ równań ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

(188)

możemy zapisác w postaci macierzowej

Ax = b (189)

gdzie:

A =

⎡⎢⎢⎢⎣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ...

... am1 am2 . . . amn

⎤⎥⎥⎥⎦ , x = ⎡⎢⎢⎢⎣ x1 x2 ... xn

⎤⎥⎥⎥⎦ , b = ⎡⎢⎢⎢⎣ b1 b2 ... bm

⎤⎥⎥⎥⎦ (190) lub w postaci wektorowej⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a21 ... am1

⎤⎥⎥⎥⎦x1 + ⎡⎢⎢⎢⎣ a12 a22 ... am2

⎤⎥⎥⎥⎦x2 + . . .+ ⎡⎢⎢⎢⎣ a1n a2n ... amn

⎤⎥⎥⎥⎦xn = ⎡⎢⎢⎢⎣ b1 b2 ... bm

⎤⎥⎥⎥⎦ (191) Przypomnienie

1. Rozwiązaniem układu (188) nazywamy układ n liczb (x1, x2, . . . , xn), który spełnia wszys- tkie równania układu (188).

2. Układ (188) nazywamy sprzecznym, gdy nie posiada żadnego rozwiązania.

3. Układ (188) nazywamy oznaczonym, gdy posiada tylko jedno rozwiązanie.

4. Układ (188) nazywamy nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiazań.

Dodatkowo podamy, że

5. Zbiór wszystkich rozwiązań stanowi k−parametrową rodzinę, jeżeli każde rozwiązanie układu (188) jest postaciÃ

α01 + kX i=1

αi1ti, α02 + kX i=1

αi2ti, . . . , α0n + kX i=1

αinti

! gdzie: t1, t2, . . . , tk ∈ R;αij− odpowiednio dobrane współczynniki takie, że dla ustalonego i = 1, 2, . . . , k nie wszystkie αij, j = 1, 2, . . . , n, są równe zero.

Twierdzenie 4.6 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań Ax = b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R (A) = R (A|b), przy

czym układ jest sprzeczny, gdy R (A) 6= R (A|b) układ jest oznaczony, gdy R (A) = R (A|b) = n układ jest nieoznaczony, gdy R (A) = R (A|b) < n, przy czym rozwiązania stanowią

k−parametrową rodzinę, gdzie k = n−R (A).

70

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Przykład 4.6 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ x1 + x2 = 0x1 − x3 = 1 2x1 + x2 − x3 = 2

(192)

Rozwiązanie 4.6 Utworzymy macierz rozszerzoną

C =

⎡⎣ 1 1 0 01 0 −1 1 2 1 −1 2

⎤⎦ i poddamy ją przekształceniom elementarnym

C =

⎡⎣ 1 1 0 01 0 −1 1 2 1 −1 2

⎤⎦ w2 − w1 w3 − 2w1

R =

⎡⎣ 1 1 0 00 −1 −1 1 0 −1 −1 2

⎤⎦ w3 − w2

=

R =

⎡⎣ 1 1 0 00 −1 −1 1 0 0 0 1

⎤⎦ Wyznacznik macierzy A

detA =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 1 00 −1 −1 0 0 0

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

zás wyznacznik najwyższego stopnia macierzy rozszerzonej

det (A|b) =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 1 00 −1 1 0 0 1

¯̄̄̄ ¯̄ = −1 6= 0

Wobec tego R (A) 6= R(A|b)

A więc rozwiązywany układ jest sprzeczny.

Przykład 4.7 Sprawdzíc, czy układ równań niejednorodnych⎧⎨⎩ x1 − x2 + x3 = 1x1 + x2 − x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 3

ma rozwiązania.

Rozwiązanie 4.7 Tworzymy macierz rozszerzoną

(A|b) =

⎡⎣ 1 −1 1 11 1 −1 1 1 1 1 3

⎤⎦ 71

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

i okréslamy jej rząd. W tym celu obliczymy wartósć wyznacznika¯̄̄̄ ¯̄ 1 1 11 −1 1 1 1 3

¯̄̄̄ ¯̄ = −4 6= 0

oraz wyznacznika macierzy układu

detA =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 −1 11 1 −1 1 1 1

¯̄̄̄ ¯̄ = 4 6= 0

Ponieważ R (A) = R (A|b) = 3 = n, możemy powiedziéc, że zgodnie z Twierdzeniem Kroneckera-Capelliego układ jest układem oznaczonym.

Definicja 4.2 (Układu Cramera) Układ (188) nazywamy układem Cramera, gdy m = n, detA 6=0.

Twierdzenie 4.7 (Cramera) Układ Cramera jest oznaczony, a jedyne rozwiązanie (x1, x2, . . . , xn) wyraża się wzorami:

x1 = D1 D , x2 =

D2 D , . . . , xn =

Dn D

(193)

gdzie: D = detA, zás Dk, k = 1, 2, . . . , n, są wyznacznikami macierzy, które powstają z macierzy A przez zastąpienie k−tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b1, b2, . . . , bn układu.

Twierdzenie 4.8 Jeżeli D = 0 i co najmniej jedna z liczb D1, D2, . . . , Dn nie jest zerem, to układ Cramera (188) dla m = n jest sprzeczny.

Twierdzenie 4.9 Jeżeli D = 0 oraz D1 = D2 = . . . = Dn = 0, to układ Cramera (188) dla m = n jest nieoznaczony lub sprzeczny.

Zapisując układ (188) w postaci (189)

Ax = b (194)

rozwiązanie układu Cramera można otrzymác z wzoru

x = A−1b (195)

Przy czym:

1. Rozwiązanie układu (188) w przypadku, gdy jest to układ oznaczony im > n otrzymujemy w ten sposób, że odrzucamy m − n równań tak, żeby zredukowany układ był układem Cramera. Znajdujemy rozwiązanie zredukowanego układu i to rozwiązanie jest w przypa- dku

rank (A) = rank (A|b) = n

rozwiązaniem całego układu (188).

72

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

2. Jeżeli układ Cramera (188) jest nieoznaczony, rank(A) = rank (A|b) = r, to odrzucamy m− r równań, a w pozostałych równaniach przenosimy na prawą stronę n− r niewiado- mych tak, żeby macierz zredukowanego i przekształconego układu była nieosobliwa. Za niewiadome po prawej stronie układu obieramy parametry t1, t2, . . . , tk. Przykładowa postác takiego układu jest następująca

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ a11x1 + a12x2 + . . .+ a1rxr = b1 − a1r+1t1 + . . .− a1ntk a21x1 + a22x2 + . . .+ a2rxr = b2 − a2r+1t1 + . . .− a2ntk · · · · · · . . . · · · · · · · · · · · · ar1x1 + ar2x2 + . . .+ arrxr = br − arr+1t1 + . . .− arntk

(196)

Przykład 4.8 Rozwiązać układ równań

⎧⎨⎩ x1 − x2 + x3 = 1x1 + x2 − x3 = 1 x1 + x2 + x3 = 3

(197)

Rozwiązanie 4.8 Sprawdzamy, czy układ (197) jest układem Cramera. W tym celu obliczamy wyznacznik macierzy układu

detA =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 −1 11 1 −1 1 1 1

¯̄̄̄ ¯̄ 1 −11 1 1 1

= 4

A więc, detA 6= 0. Układ (197) jest układem Cramera. Posiada jedno rozwiązanie definiowane wzorami

x1 = D1 D

, x2 = D2 D

, x3 = D3 D

(198)

gdzie: D = detA, natomiast D1,D2, D3 są równe

D1 =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 −1 11 1 −1 3 1 1

¯̄̄̄ ¯̄ = 4 , D2 =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 1 11 1 −1 1 3 1

¯̄̄̄ ¯̄ = 4 , D3 =

¯̄̄̄ ¯̄ 1 −1 11 1 1 1 1 3

¯̄̄̄ ¯̄ = 4

Zatem x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1. Jedynym rozwiązaniem układu (197) jest (1, 1, 1).

Przykład 4.9 Rozwiązać układ równań

⎧⎨⎩ x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 1x1 − x2 + x3 + x4 − x5 = 1 x1 − x2 + x3 + 3x4 − 3x5 = 1

(199)

73

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

Rozwiązanie 4.9 Obliczamy rank (A) i rank (C).

C =

⎡⎢⎢⎣ 1 −1 1 −1 1 ... 1

1 −1 1 1 −1 ... 1 1 −1 1 3 −3 ... 1

⎤⎥⎥⎦ .w2 − w1 w3 − w1

R =

R =

⎡⎢⎢⎣ 1 −1 1 −1 1 ... 1

0 0 0 2 −2 ... 0 0 0 0 4 −4 ... 0

⎤⎥⎥⎦ .. w3 − 2w2

R =

R =

⎡⎢⎢⎣ 1 −1 1 −1 1 ... 1

0 0 0 2 −2 ... 0 0 0 0 0 0

... 0

⎤⎥⎥⎦ 12w2 R= R =

⎡⎢⎢⎣ 1 −1 1 −1 1 ... 1

0 0 0 1 −1 ... 0 0 0 0 0 0

... 0

⎤⎥⎥⎦w1 + w2 R= R =

⎡⎣ 1 −1 1 0 0 10 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0

⎤⎦ Widzimy, że każdy minor stopnia 3 macierzy C jest równy 0, a wyznaczniki

M2A =

¯̄̄̄ 1 0 0 1

¯̄̄̄ = 1 i M2C =

¯̄̄̄ 0 1 −1 0

¯̄̄̄ = 1

A więc R (A) = R (C) = 2. Układ (199) jest nieoznaczony, a zbiór rozwiązań jest zależny od n − R (C) = 5 − 2 = 3 parametrów. Jako zmienne bazowe przyjmiemy x3 i x4, ponieważ występują one w minorze M2A 6= 0. Jako parametry przyjmiemy x1, x2 i x5 (leżą one poza minorem bazowym). Z układu (199) dochodzimy do układu Cramera (patrz macierz C)

x3 = −x1 + x2 + 1 x4 = x5

(200)

i wstawiamy x1 = t1 x2 = t2 x5 = t3 t1, t2, t3 ∈ R

stąd x3 = −t1 + t2 + 1 x4 = t3

Ostateczne rozwiązanie układu (199) jest następujące: (t1, t2,−t1 + t2 + 1, t3, t3).

Przykład 4.10 Rozwiazać za pomocą wyznaczników układ równań⎧⎨⎩ 2x − y − 5z = 03x + 4y − 2z = 11 3x − 2y + 4z = 11

(201)

74

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Rozwiązanie 4.10 Obliczamy wyznacznik układu

D =

¯̄̄̄ ¯̄ 2 −1 −53 4 −2 3 −2 4

¯̄̄̄ ¯̄ = 132

Układ jest układem Cramera, gdyż D 6= 0. Obliczamy wartósci wyznaczników D1, D2 i D3. Mamy

D1 =

¯̄̄̄ ¯̄ 0 −1 −511 4 −2 11 −2 4

¯̄̄̄ ¯̄ = 396 D2 =

¯̄̄̄ ¯̄ 2 0 −53 11 −2 3 11 4

¯̄̄̄ ¯̄ = 132 D3 =

¯̄̄̄ ¯̄ 2 −1 03 4 11 3 −2 11

¯̄̄̄ ¯̄ = 132

Rozwiązaniem są liczby x1 = 3, x2 = 1, x3 = 1.

Przykład 4.11 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ 10x − 2y + 8z = 15x + y − 8z = 0 15x − y = 0

(202)

za pomocą wyznaczników.

Rozwiązanie 4.11 Stwierdzamy, że D = 0, ale D1 = −8 6= 0. Oznacza to, że układ (202) jest sprzeczny.

Przykład 4.12 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ 2x + y + z = 1x − y + z = 0 4x − y + 3z = 1

(203)

Rozwiązanie 4.12 Stwierdzamy, że D = 0 oraz D1 = D2 = D3 = 0. A więc układ (203) jest albo nieoznaczony albo sprzeczny. Aby okréslíc typ układu opúscimy (na razie) trzecie równanie i rozwiążemy układ z parametrem½

2x + y = 1− z x − y = −z (204)

Jego rozwiązaniem są liczby

x = 1− 2z 3

y = 1 + z

3 z− dowolne (205)

Podstawiając je do trzeciego równania otrzymujemy 4

3 (1− 2z)− 1

3 − 1 3 z + 3z =

4

3 − 8 3 z − 1

3 − 8 3 z = 1

A więc (205) spełniają również trzecie równanie. Są rozwiązaniem układu (204). Układ jest układem nieoznaczonym.

Przykład 4.13 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ x+ y + z = 1x+ y + z = 0 x+ y + z = 0

(206)

Rozwiązanie 4.13 Obliczamy wyznaczniki D,D1, D2, D3. Są one wszystkie równe 0. D = D1 = D2 = D3 = 0. Mamy ponownie układ sprzeczny lub nieoznaczony. Odejmując równanie trzecie od pierwszego otrzymujemy, że 0 = 1. A więc układ (206) jest sprzeczny.

75

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

4.10 Uwarunkowanie macierzy

Przy rozwiązywaniu układu równań

Ax = b (207)

istotne znaczenie ma tzw. wskáznik uwarunkowania macierzy A.

Twierdzenie 4.10 Jeżeli λ1, λ2, . . . , λn są wartósciami własnymi macierzy A i λ1 < λ2 . . . < λn, to liczbę

cond(A) = λn λ1 = λmax λmin

(208)

nazywamy wskáznikiem uwarunkowania macierzy A ze względu na zaburzenie prawej strony b. Wartósć cond(A) charakteryzuje również wrażliwósć rozwiązania układu (207) na zaburzenia macierzy A.

Jeżeli cond(A) jest duży, to mówimy, że macierz A jest źle uwarunkowana. W takich przypadkach rozwiązania zagadnienia (207) są bardzo czułe na zaburzenia prawych stron.

Przykład 4.14 Niech

A =

∙ 1 1 1 1.0001

¸ Należy rozwiązać układ równań Ax = b dla prawych stron odpowiednio równych: b1 =∙

2

2.0001

¸ , b2 =

∙ 2

2.0002

¸ i b3 =

∙ 2

2.0003

¸ .

Rozwiązanie 4.14 Przybliżone wartósci własne macierzy A są równe λ1 = 4.9999 × 10−5 i λ2 = 2.0001, a wskáznik uwarunkowania macierzy cond(A) = 40002. Wartósć ta sugeruje, że A jest źle uwarunkowana. Czy rzeczywíscie tak jest? Otóż:

1. Dla b1 = ∙

2

2.0001

¸ konstruujemy układ równań

x + y = 2 x + 1.0001y = 2.0001

Jego rozwiązaniami są wartósci: {x = 1.0; y = 1.0}.

2. Rozwiążmy ten sam układ z nieznacznie zaburzoną prawą stroną (często nazywaną warun-

kiem początkowym). Dla b2 = ∙

2

2.0002

¸ mamy

x + y = 2 x + 1.0001y = 2.0002

Rozwiązaniami są liczby: {x = 0; y = 2.0}. Wyráznie inne niż w poprzednim przypadku.

3. Natomiast dla b3 = ∙

2

2.0003

¸ otrzymujemy

x + y = 2 x + 1.0001y = 2.0003

Powyższy układ ma rozwiązania: {x = −1.0; y = 3.0}. Jak widzimy, jeszcze inne.

76

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Wniosek 4.1 Układy równań ze źle uwarunkowanymi macierzami są zagadnieniami niepopra- wnie postawionymi.

Wniosek 4.2 Mówimy, że zagadnienie jest poprawnie postawione, jeżeli małym zmianom warunków początkowych (prawym stronom) odpowiadają małe zmiany rozwiązania.

Przykład 4.15 Niech

A =

∙ 0.0001 1 1 1

¸ Należy rozwiązać układ równań Ax = b dla prawych stron z poprzedniego przykładu.

Rozwiązanie 4.15 Przybliżone wartósci własne macierzy A są równe λ1 = −0.61796, λ2 = 1.6181, a wskáznik uwarunkowania macierzy cond(A) = 2.6184. Może to oznaczać, że macierz A jest dobrze uwarunkowana. Sprawdzimy to.

1. Dla b1 = ∙

2

2.0001

¸ rozwiązaniem układu

0.0001x +y = 2 x +y = 2.0001

są liczby {y = 2.0; x = 1.0001× 10−4}.

2. Dla b2 = ∙

2

2.0002

¸ 0.0001x +y = 2

x +y = 2.0002

liczby {y = 2.0; x = 2.0002× 10−4}.

3. Dla b3 = ∙

2

2.0003

¸ 0.0001x +y = 2

x +y = 2.0003

rozwiązaniami są {y = 2.0; x = 3.0003× 10−4}.

Analizując powyższe przykłady możemy jednoznacznie stwierdzíc, że wskáznik uwarunko- wania macierzy wpływa w sposób decydujący na dokładnóśc rozwiązania układu równańAx = b. Poniżej przedstawiamy przykłady dowolnie wybranych macierzy i ich wskázniki uwarunko-

wania:

cond

∙ 0 1 1 0

¸ = 1.0 cond

∙ 21 −5 1 −3

¸ = 8.0832

cond

⎡⎢⎢⎣ 2 1 2

3 1 2

1 2 3

1 2

2 5

2 3

1 2

2 5

1 3

1 2

2 5

1 3

2 7

⎤⎥⎥⎦ = 6.4459× 10−5 cond∙ 1 11 1.000001 ¸ = 4.0× 106

77

docsity.com

4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH MATEMATYKA

4.11 Układy jednorodne

Definicja 4.3 Układem jednorodnym n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 · · · · · · . . . · · · · · · an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0

(209)

Definicja 4.4 Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe

x1 = x2 = . . . = xn = 0 (210)

Istnienie rozwiązań niezerowych zależy od wyznacznika układu

D =

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · . . . · · · an1 an2 · · · ann

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ ¯ (211)

Twierdzenie 4.11 Układ jednorodny (209) o wyznaczniku różnym od zera

D 6= 0

ma jedynie zerowe rozwiązanie.

Dowód 4.1 W przypadku D 6= 0 istnieje jedno rozwiązanie. Jest ono dane wzorami Cramera. Ponieważ wszystkie wyrazy wolne są zerami, to wyznaczniki D1,D2, . . . , Dn zawierają kolumnę zerową. Ich wartósć jest więc równa 0.

Twierdzenie 4.12 Układ jednorodny (209) o wyznaczniku równym zero

D = 0

ma, oprócz rozwiązań zerowych, nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych. Rozwiązanie ogólne jest zależne od n − r parametrów, gdzie n jest liczbą niewiadomych, a r− rzędem macierzy współczynników.

Przykład 4.16 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ x + y + 2z = 02x − y + 2z = 0 4x + y + 4z = 0

(212)

Rozwiązanie 4.16 Wyznacznik macierzy układu

A =

⎡⎣ 1 1 22 −1 2 4 1 4

⎤⎦ jest równy 6. Ponieważ jest różny od zera, to układ (212) ma jedynie rozwiązania zerowe: x = y = z = 0.

78

docsity.com

MATEMATYKA 4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Przykład 4.17 Rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ 2x − 3y + z = 03x + 2y − 2z = 0 5x − y − z = 0

(213)

Rozwiązanie 4.17 Okréslamy macierz A układu i obliczamy jej wyznacznik

A =

⎡⎣ 2 −3 13 2 −2 5 −1 −1

⎤⎦ D = ¯̄̄̄ ¯̄ 2 −3 13 2 −2 5 −1 −1

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

Ponieważ D = 0, to istnieją rozwiązania niezerowe. Aby je wyznaczyć wyodrębniamy z A tzw. macierz bazową, której wyznacznik jest różny od zera. Może nią być macierz

M =

∙ 2 −3 3 2

¸ (214)

Konstruujemy układ równań z parametrem z:½ 2x − 3y = −z 3x + 2y = 2z

(215)

Jego rozwiązaniem są liczby x = 4 13 z, y = 7

13 z, z− dowolne.

79

docsity.com

5. ALGEBRA LINIOWA MATEMATYKA

5 Algebra liniowa

5.1 Definicja przestrzeni wektorowej

Niech będzie dany niepusty zbiór X o elementach a, b, c, . . . , u, v, w, x, y, . . . oraz zbiór liczb rzeczywistych R o elementach α, β, γ, . . ..

Definicja 5.1 Przestrzenią wektorową X nad ciałem K liczb rzeczywistych (K = R) nazywamy niepusty zbiór V , którego elementy nazywamy wektorami i w którym są zdefiniowa- ne dwie operacje: dodawanie i mnożenie, spełniające następujące własnósci:

1. dodawanie jest przemienne i łączne

x+ y = y + x - przemiennósć (x+ y) + z = x+ (y + z) - łącznósć

(216)

2. istnieje element zerowy 0 ∈ V , nazywany wektorem zerowym, taki, że v + 0 = v dla każdego v ∈ V 12,

3. 0 · v = 0, 1 · v = v, gdzie 1 i 0 są odpowiednio jednóscią i zerem ciała K liczb rzeczywistych,

4. dla każdego elementu v ∈ V istnieje element przeciwny −v zawarty w V taki, że v+ (−v) = 0,

5. rozdzielnósć mnożenia względem dodawania

∀α ∈ K, ∀v,w ∈ V α(v +w) = αv + αw

∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V (α+ β)v = αv + βv (217)

6. łącznósć mnożenia skalarnego wektora przez liczby

∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V (αβ)v = α(βv) (218)

Definicja 5.2 Element 0 ·x nazywamy elementem zerowym i oznaczamy symbolem Θ, tzn. 0 · x = Θ.

Twierdzenie 5.1 W przestrzeni wektorowej X istnieje dokładnie jeden element zerowy Θ.

Zbiór V z działaniami + i · nazywamy również przestrzenią liniową i oznaczamy < V,+, · >. A więc przestrzeń wektorowa jest przykładem przestrzeni liniowej. Przykładami przestrzeni wektorowych są:

• V = Rn : n−wymiarowy zbiór liczb rzeczywistych, n ≥ 1,

• V = Pn : zbiór wielomianów pn(x) = Σnk=0akxk stopnia mniejszego lub równego n, n ≥ 0, o współczynnikach ak rzeczywistych,

12Element zerowy jest również oznaczany przez Θ.

80

docsity.com

MATEMATYKA 5. ALGEBRA LINIOWA

• V = Cp ([a, b]) : zbiór funkcji zmiennej rzeczywistej, ciągłych na [a, b] wraz z pochodnymi do rzędu p włącznie, 0 ≤ p ≤ ∞.

Wniosek 5.1 Układ (X,R,+, ·) złożony ze zbioruX, który jest zbiorem wektorów odpowiednio na prostej R, na płaszczýznie R2 i w przestrzeni R3; ciała liczb rzeczywistych R oraz dwóch działań "+- dodawania wektorów i mnożenia "·"wektora przez skalar tworzy przestrzeń wekto- rową.

Wniosek 5.2 Dla dowolnej liczby całkowitej p przestrzeń Cp ([a, b]) jest przestrzenią nieskoń- czenie wymiarową. Przestrzeń Rn ma wymiar równy n, jest więc przestrzenią n−wymiarową.

5.2 Liniowa zależnóśc i niezależnóśc układu wektorów

Definicja 5.3 Niech w przestrzeni wektorowej X nad ciałem liczb rzeczywistychR będzie dany ciąg n−wektorów (układ wektorów)

(x1,x2, . . . ,xn) xj ∈ X j = 1, 2, . . . , n (219)

oraz niech będzie dany ciąg n liczb z ciała R

(α1, α2, . . . , αn) αj ∈ R j = 1, 2, . . . , n (220)

wówczas wektor w okréslony wzorem

w = nX j=1

αjxj (221)

nazywamy kombinacją liniową układu wektorów (219). Zbiór wszystkich kombinacji linio- wych (221) układu wektorów (219) nazywamy powłoką liniową rozpiętą na układzie (219), co oznaczamy

lin (x1,x2, . . . ,xn) =

( w ∈ X; w =

nX j=1

αjxj, αj ∈ R )

(222)

Przykład 5.1 W przestrzeni wektorowej wyznaczyć powłokę liniową generowaną przez układ wektorów będących rozwiązaniem fundamentalnym jednorodnego układu równań liniowych⎧⎨⎩ −3x1 + 2x2 + x3 − x4 = 03x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0

x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = 0 (223)

Rozwiązanie 5.1 Macierz układu równań (223) ma postać

A =

⎡⎣ −3 2 1 −13 −2 −1 1 1 −1 2 5

⎤⎦ (224) Stosując przekształcenia elementarne macierz A zapiszemy w postaci równoważnej

A =

⎡⎣ 0 0 0 01 0 −5 −9 0 1 −7 −14

⎤⎦ (225) 81

docsity.com

5. ALGEBRA LINIOWA MATEMATYKA

Macierz A ma rząd równy R (A) = rankA = 2. Zatem mamy n − R (A) = 4 − 2 = 2 rozwiązania fundamentalne. Zapisując układ równań (223) w postaci równoważnej (225) otrzymujemy ½

x1 = 5x3 + 9x4 x2 = 7x3 + 14x4

Stąd kolejno dla: 1◦ x3 = 1, x4 = 0 x1 = 5, x2 = 7 2◦ x3 = 0, x4 = 1 x1 = 9, x2 = 14

A więc: v1 = [5, 7, 1, 0] T , v2 = [9, 14, 0, 1]

T . Wobec tego mamy w = α1v1 + α2v2

W = lin (v1,v2) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ⎡⎢⎢⎣ 5α1 + 9α2 7α1 + 14α2 α1 α2

⎤⎥⎥⎦ ; αj ∈ R, j = 1, 2 ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

Definicja 5.4 Układ wektorów {v1,v2 . . . ,vn} przestrzeni wektorowej V nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli z relacji

v = nX i=1

αivi = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = Θ (226)

dla α1, α2, . . . , αn ∈ K wynika, że α1 = α2 = · · · = αn = 0. W przypadku, gdy chociaż jeden współczynnik αi jest różny od zera, układ nazywamy układem liniowo zależnym.

Jeżeli istnieją takie liczby α1, α2, . . . , αn ∈ K nie wszystkie równe zero, że Xn

i=1 αivi =

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = Θ, to wektory v1,v2 . . . ,vn są liniowo zależne. Jeżeli wektory v1,v2 . . . ,vn są liniowo niezależne, to wektor vmożna przedstawíc w postaci

v = Xn

i=1 αivi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v1,v2 . . . ,vn,v są liniowo zależne.

Definicja 5.5 Każdy układ liniowo niezależnych wektorów przestrzeni wektorowej V nazywamy bazą tej przestrzeni.

Definicja 5.6 Niech będzie dana macierz A rzędu R (A) , R > 0. W macierzy tej istnieje co najmniej jedna podmacierz kwadratowa stopnia R, o wyznaczniku różnym od zera. Nazywamy jąmacierzą bazową. Jej wyznacznik nazywamyminorem bazowym. Jest to minor niezero- wy. Wiersze i kolumny, w których leży ta macierz, nazywamy bazowymi, pozostałe wiersze i kolumny nazywamy niebazowymi.

W przestrzeni Rn istnieją układy n wektorów liniowo niezależnych (baza przestrzeni), a każdy układ n+ 1 wektorów jest liniowo zależny. Najprostszą bazą przestrzeni Rn jest układ n wektorów w postaci:

v1 =

⎡⎢⎢⎢⎣ 1 0 ... 0

⎤⎥⎥⎥⎦ v2 = ⎡⎢⎢⎢⎣ 0 1 ... 0

⎤⎥⎥⎥⎦ · · · vn = ⎡⎢⎢⎢⎣ 0 0 ... 1

⎤⎥⎥⎥⎦

82

docsity.com

MATEMATYKA 5. ALGEBRA LINIOWA

Przykład 5.2 Wykazać, że w przestrzeni R3 każde 4 wektory są liniowo zależne.

Rozwiązanie 5.2 Mamy pokazać, że jeżeli

x1 =

⎡⎣ a11a21 a31

⎤⎦ x2 = ⎡⎣ a12a22 a32

⎤⎦ x3 = ⎡⎣ a13a23 a33

⎤⎦ x4 = ⎡⎣ a14a24 a34

⎤⎦ to istnieją takie α1, α2, α3, α4 nie wszystkie równe zero, że α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4 =

Θ

⎛⎝Θ = ⎡⎣ 00 0

⎤⎦⎞⎠. Otrzymujemy stąd układ równań ⎧⎨⎩ a11α1 + a12α2 + a13α3 + a14α4 = 0a21α1 + a22α2 + a23α3 + a24α4 = 0 a31α1 + a32α2 + a33α3 + a34α4 = 0

(227)

i należy wykazać, że posiada on co najmniej jedno rozwiązanie niezerowe (α1, α2, α3, α4). Łatwo zauważyć, że R (A) = R (C) ≤ 3, a ponieważ liczba niewiadomych wynosi 4,

więc zbiór rozwiązań układu (227) jest co najmniej jednoparametrową rodziną, czyli oprócz rozwiązania (0, 0, 0, 0) zawiera jeszcze inne rozwiązania.

Przykład 5.3 Wyznaczyć macierz bazową macierzy

A =

⎡⎣ 3 2 1 13 2 1 0 3 2 1 0

⎤⎦ Rozwiązanie 5.3 Rząd macierzyA jest równy 2, ponieważ wszystkie minory trzeciego stopnia są równe zeru. Wśród minorów stopnia drugiego istnieją niezerowe¯̄̄̄

1 1 1 0

¯̄̄̄ lub

¯̄̄̄ 2 1 2 0

¯̄̄̄ lub

¯̄̄̄ 3 1 3 0

¯̄̄̄ Bazą może więc być, na przykład, macierz∙

1 1 1 0

¸ Definicja 5.7 Jeżeli układ {u1,u2 . . . ,un} jest bazą przestrzeni wektorowej V , to wyrażenie v = v1u1+v2u2+· · ·+vnun nazywamy rozkładem wektora v w tej bazie, a liczby v1, v2, . . . , vn ∈ K nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie {u1,u2 . . . ,un}.

Twierdzenie 5.2 Jeżeli liczba wierszy macierzy jest większa od rzędu macierzy, to każdy wiersz niebazowy jest liniową kombinacją wierszy bazowych.

Twierdzenie 5.3 Jeżeli liczba kolumn macierzy jest większa od rzędu macierzy, to każda kolumna niebazowa jest liniową kombinacją kolumn bazowych.

Twierdzenie 5.4 Każda przestrzeń wektorowa X nad ciałem R posiada bazę.

83

docsity.com

5. ALGEBRA LINIOWA MATEMATYKA

Własnóśc 5.1 Niech bazą przestrzeni wektorowej V będzie n wektorów. Każdy układ liniowo niezależnych wektorów przestrzeni V zawiera co najwyżej n elementów. Liczbę n nazywamy wymiarem przestrzeni wektorowej V i oznaczamy dim(V ) = n.

Własnóśc 5.2 Jeżeli dla każdego n zawsze istnieje n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni V , to taką przestrzeń wektorową nazywamy przestrzenią nieskończenie wymiarową.

Przykład 5.4 Wykazać, że wektory

x1 =

⎡⎣ 01 1

⎤⎦ x2 = ⎡⎣ 12 3

⎤⎦ x3 = ⎡⎣ 11 1

⎤⎦

są liniowo niezależne i przedstawíc wektor x =

⎡⎣ −10 1

⎤⎦ w postaci x = α1x1 + α2x2 + α3x3. Rozwiązanie 5.4 Do wykazania liniowej niezależńósci wektorów x1, x2, x3 wystarczy stwier- dzíc, że układ równań ⎧⎨⎩ α2 + α3 = 0α1 + 2α2 + α3 = 0

α1 + 3α2 + α3 = 0 (228)

posiada jedynie rozwiązanie zerowe (0, 0, 0). Tak jest istotnie, gdyż wyznacznik

¯̄̄̄ ¯̄ 0 1 11 2 1 1 2 1

¯̄̄̄ ¯̄ = 1,

a więc układ (228) jest układem Cramera. Aby otrzymać α1, α2, α3 takie, że x = α1x1+α2x2+α3x3 należy rozwiązać układ równań⎧⎨⎩ α2 + α3 = −1α1 + 2α2 + α3 = 0

α1 + 3α2 + α3 = 1

Jego rozwiązaniem jest trójka liczb (0, 1,−2). Stąd x = x2 − 2x3.

Przykład 5.5 Wykazać, że w przestrzeni R4 układ wektorów

x1 =

⎡⎢⎢⎣ 1 2 1 −2

⎤⎥⎥⎦ x2 = ⎡⎢⎢⎣

2 3 1 −2

⎤⎥⎥⎦ x3 = ⎡⎢⎢⎣

1 2 2 −4

⎤⎥⎥⎦ jest liniowo niezależny.

Rozwiązanie 5.5 Pokażemy, że układ równań⎧⎪⎪⎨⎪⎩ α1 + 2α2 + α3 = 0 2α1 + 3α2 + 2α3 = 0 α1 + α2 + 2α3 = 0

−2α1 − 2α2 − 4α3 = 0

ma zerowe rozwiązanie. W tym celu przy pomocy przekształceń (operacji) elementarnych przekształcimy macierz A powyższego układu równań do równoważnej postaci. Mamy więc:

84

docsity.com

MATEMATYKA 5. ALGEBRA LINIOWA

1. wiersz pierwszy mnożymy przez (−2) i dodajemy do wiersza drugiego, następnie wiersz pierwszy mnożymy przez (−1) i dodajemy do trzeciego

A =

⎡⎢⎢⎣ 1 2 1 2 3 2 1 1 2 −2 −2 −4

⎤⎥⎥⎦ =⇒ ⎡⎢⎢⎣

1 2 1 0 −1 0 0 −1 1 −2 −2 −4

⎤⎥⎥⎦ 2. wiersz pierwszy mnożymy przez (2), trzeci przez (2) i dodajemy do wiersza czwartego⎡⎢⎢⎣

1 2 1 0 −1 0 0 −1 1 −2 −2 −4

⎤⎥⎥⎦ =⇒ ⎡⎢⎢⎣ 1 2 1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ 3. wiersz trzeci mnożymy przez (−1) i dodajemy do pierwszego⎡⎢⎢⎣

1 2 1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ =⇒ ⎡⎢⎢⎣ 1 3 0 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ 4. wiersz drugi mnożymy przez (3) i dodajemy do wiersza pierwszego, w wiersz drugi mno- żymy przez (−1) i dodajemy do wiersza trzeciego⎡⎢⎢⎣

1 3 0 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ =⇒ ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ 5. wiersz drugi mnożymy przez (−1)⎡⎢⎢⎣

1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ =⇒ ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ Otrzymujemy zatem układ α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0. Wobec tego układ wektorów (x1,x2,x3)

jest liniowo niezależny.

Przykład 5.6 W przestrzeni wektorowej R3 wyznaczyć bazę podprzestrzeni V rozpiętej na wektorach

v1 =

⎡⎣ 11 2

⎤⎦ v2 = ⎡⎣ −13

0

⎤⎦ v3 = ⎡⎣ 20 3

⎤⎦ 85

docsity.com

5. ALGEBRA LINIOWA MATEMATYKA

Rozwiązanie 5.6 Wystarczy zbadać liniową zależnósć układu wektorów (v1,v2,v3). W tym celu badamy za pomocą przekształceń elementarnych rząd macierzy A utworzonej z wektorów v1,v2,v3. Otrzymujemy

A =

⎡⎣ 1 −1 21 3 0 2 0 3

⎤⎦ =⇒ ⎡⎣ 0 0 00 3 0 2 0 0

⎤⎦ Stąd rank (A) = 2. Bazę przestrzeni V stanowią na przykład wektory v1 i v2. Zatem V = lin (v1,v2).

Przykład 5.7 Wprzestrzeni wektorowejR5 znalézć bazę i wymiar podprzestrzeni V generowa- nej układem równań ⎧⎨⎩ 3x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0x3 − x4 − 3x5 = 0

2x3 − 2x4 − 6x5 = 0 (229)

Rozwiązanie 5.7 Bazą podprzestrzeni V są wektory stanowiące fundamentalny układ rozwią- zań układu równań (229). Fundamentalny układ rozwiązań wyznaczamy stosując przekształcenia elementarne macierzy A układu (229). W ich wyniku otrzymujemy

A =

⎡⎣ 3 2 1 3 50 0 1 −1 −3 0 0 2 −2 −6

⎤⎦ =⇒ ⎡⎣ 94 64 2 1 0−3

4 −2 4 −1 0 1

0 0 0 0 0

⎤⎦ (230) A więc rząd macierzy A wynosi rank (A) = 2. Zatem mamy n− rank (A) = 5−2 = 3 wektory stanowiące fundamentalny układ rozwiązań. Aby je wyznaczyć zapiszemy układ równań (229) w postaci uwzględniającej prawą stronę (230):½

9 4 x1 +

6 4 x2 + 2x3 + x4 = 0

−3 4 x1 − 24x2 − x3 + x5 = 0

=⇒

=⇒ ½ x4 = −94x1 −

6 4 x2 − 2x3

x5 = 3 4 x1 +

2 4 x2 + x3

Stąd odpowiednio dla

a) x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = −94 , x5 = 3 4

b) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = −32 , x5 = 2 4

c) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = −2, x5 = 1

otrzymujemy układ wektorów

v1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 1 0 0 −9 4 3 4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ v2 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 −3 2 2 4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ v3 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 1 −2 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ które stanowią bazę podprzestrzeni V . Zatem dimV = 3.

86

docsity.com

MATEMATYKA 5. ALGEBRA LINIOWA

5.3 Macierz przej́scia. Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy.

Definicja 5.8 Niech w n−wymiarowej przestrzeni wektorowej X nad ciałem R będą dane dwie bazy

S = (v1,v2, . . . ,vn)− stara N = (v10 ,v20 , . . . ,vn0)− nowa (231) Jeżeli wektory v10 ,v20 , . . . ,vn0 wyrażają się w bazie v1,v2, . . . ,vn wzorami⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

v10 = p110v1 + p210v2 + · · ·+ pn10vn v20 = p120v1 + p220v2 + · · ·+ pn20vn · · · · · · vn0 = p1n0v1 + p2n0v2 + · · ·+ pnn0vn

(232)

to macierz P = [pjj0 ] nazywamy macierzą przej́scia od bazy S do bazy N (od bazy starej do bazy nowej). Ostatnie wzory można zapisać w postaci macierzowej

N = SP stąd P = S−1N (233)

lub w postaci indeksowanej z wykorzystaniem konwencji sumacyjnej Einsteina (sumowanie po powtarzających się indeksach od 1 do n)

vj0 = pjj0vj j = 1, 2, . . . , n (234)

A ponieważ macierz P jest nieosobliwa, to mamy

S = NP−1 (235)

lub vj = pj0jvj0 (236)

Macierz P−1 nazywamy macierzą przej́scia od bazy N do bazy S (od bazy nowej do bazy starej).

Przykład 5.8 W przestrzeni R4 dane są dwie bazy

S = (e1, e2, e3, e4) : e1 =

⎡⎢⎢⎣ 1 2 −1 0

⎤⎥⎥⎦ e2 = ⎡⎢⎢⎣

1 −1 1 1

⎤⎥⎥⎦ e3 = ⎡⎢⎢⎣ −1 2 1 1

⎤⎥⎥⎦ e4 = ⎡⎢⎢⎣ −1 −1 0 1

⎤⎥⎥⎦

N = (v1,v2,v3,v4) : v1 =

⎡⎢⎢⎣ 2 1 0 1

⎤⎥⎥⎦ v2 = ⎡⎢⎢⎣ 0 1 2 2

⎤⎥⎥⎦ v3 = ⎡⎢⎢⎣ −2 1 1 2

⎤⎥⎥⎦ v4 = ⎡⎢⎢⎣ 1 3 1 2

⎤⎥⎥⎦ Wyznaczyć macierz przej́scia z bazy S do bazy N.

Rozwiązanie 5.8 Macierze S i N mają postać

S =

⎡⎢⎢⎣ 1 1 −1 −1 2 −1 2 −1 −1 1 1 0 0 1 1 1

⎤⎥⎥⎦ N = ⎡⎢⎢⎣ 2 0 −2 1 1 1 1 3 0 2 1 1 1 2 2 2

⎤⎥⎥⎦ (237) 87

docsity.com

5. ALGEBRA LINIOWA MATEMATYKA

Biorąc pod uwagę wzór (235) S = NP−1 mamy N−1S = N−1NP−1 = P−1. Stąd

P−1 = N−1S = 1

13

⎡⎢⎢⎣ 4 −6 −8 11 2 −3 9 −1 −3 −2 −7 8 −1 8 2 −6

⎤⎥⎥⎦ ⎡⎢⎢⎣

1 1 −1 −1 2 −1 2 −1 −1 1 1 0 0 1 1 1

⎤⎥⎥⎦ = ⎡⎢⎢⎣

0 1 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 −1

⎤⎥⎥⎦ (238)

Czyli

P−1 =

⎡⎢⎢⎣ 0 1 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 −1

⎤⎥⎥⎦ Stąd

P =

⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

⎤⎥⎥⎦ Zatem dla dowolnych wektorów x i x0 mamy

x0 = P−1x =

⎡⎢⎢⎣ 0 1 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 −1

⎤⎥⎥⎦x oraz x = Px0 = ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0

⎤⎥⎥⎦x0 (239)

gdzie x =

⎡⎢⎢⎣ ξ1 ξ2 ξ3 ξ4

⎤⎥⎥⎦ x0 = ⎡⎢⎢⎣ ξ10 ξ20 ξ30 ξ40

⎤⎥⎥⎦ (240)

88

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6 Wektory w przestrzeni R3

6.1 Skalary i wektory

Wielkóśc fizyczną, którą możemy wyrazíc za pomocą jednej liczby nazywamy skalarem, czyli wielkóscią bezkierunkową. Skalarem jest masa, temperatura, czas, praca. Jeżeli do okréslenia pewnej wielkósci fizycznej nie wystarcza jej miara liczbowa, lecz trzeba podác kierunek i zwrot, to mówimy, że jest to wielkóśc kierunkowa. Przykładami wielkósci kierunkowych są prędkóśc, przyspieszenie, siła. Wielkósci kierunkowe przedstawia się za pomocą wektorów (odcinków skierowanych), a związki między tymi wielkósciami za pomocą działań na wektorach. Mogą one býc wykonywane metodą wykréslną lub rachunkową. Z metody wykréslnej korzysta się głównie wtedy, gdy rozważane wektory leżą w jednej płaszczýz- nie. Metoda rachunkowa (analityczna) polega na wprowadzeniu odpowiedniego układu współ- rzędnych i wyrażeniu każdego wektora przestrzeni za pomocą trójki liczb (zwanych współrzęd- nymi wektora) i zamiast działań geometrycznych na wektorach wykonujemy odpowiednie działania rachunkowe na ich współrzędnych. Następnie z otrzymanych wyników odczytujemy tréśc geometryczną.

Definicja 6.1 (Wektora) Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy

początkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - końcem wektora. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy

−→ AB i przedstawiamy na rysunku w postaci odcinka AB

zakończonego w punkcie B grotem strzałki. Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego początek i koniec pokrywają się. Wektor zerowy oznaczamy zerem: 0.

Definicja 6.2 (Modułu wektora) Modułem (czyli długóscią) wektora nazywamy długósć odcinka czącego początek wektora

z jego końcem. Moduł wektora zerowego jest zerem. Moduł wektora niezerowego jest liczbą dodatnią. Moduł wektora

−→ AB oznaczamy¯̄̄−→

AB ¯̄̄ lub AB (241)

Często oznaczamy wektor jedną literą: w pismie ręcznym literą ze strzałką, np. v, w druku literą pogrubioną v. Wówczas moduł wektora oznaczamy

|v| lub |v| lub v (242)

Linia działania wektora Jeżeli punkty A,B leżą na prostej l, to mówimy, że wektor

−→ AB leży na prostej l i że prosta

l jest linią działania wektora −→ AB.

6.1.1 Równoległóśc i prostopadłóśc wektorów

Podamy twierdzenie:

Twierdzenie 6.1 Dwa wektory niezerowe nazywamy równoległymi, jeżeli linie działania tych wektorów są równoległe.

Relację tę oznaczamy znakiem k. Jest ona

89

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

• zwrotna: ∀ a a k a (243)

• symetryczna ∀ a ∀ b (a k b⇒ b k a) (244)

• przechodnia (jeżeli wektor pósredniczący jest niezerowy): ∀ a ∀ b ∀ c ((a k b ∧ b 6= 0 ∧ b k c)⇒ a k c) (245)

Wektor zerowy jest równoległy do wektora niezerowego.

Twierdzenie 6.2 Dwa wektory niezerowe nazywamy prostopadłymi, jeżeli linie działania tych wektorów są prostopadłe.

Linie te mogą się przecinác lub nie miéc punktu wspólnego. Relację tę oznaczamy ⊥. Jest ona symetryczna. Wektor zerowy jest prostopadły do wektora niezerowego.

6.1.2 Kierunek i zwrot wektora

Pojęcia te opisują definicje:

Definicja 6.3 Kierunkiem wektora niezerowego nazywamy kierunek prostej, na której leży wektor.

Definicja 6.4 Zwrotem wektora niezerowego −→ AB nazywamy ten zwrot prostej AB, w którym

punkt A poprzedza punkt B.

Dwa niezerowe wektory równoległe mają ten sam kierunek, ich zwroty mogą býc zgodne lub przeciwne. Rozróżniamy więc: wektory zgodnie równoległe i wektory przeciwnie równoległe.

Wektor zerowy nie ma kierunku ani zwrotu.

Wniosek 6.1 Wektor niezerowy jest okréslony, jeżeli znamy jego początek, kierunek, zwrot i moduł.

6.1.3 Równóśc wektorów

D

B

A

C E

F

K

L

S1 = S2

DB

A C

Rysunek 14: Wektory równe.

Dwa wektory niezerowe nazy- wamy równymi, jeżeli mają ten sam kierunek, ten sam zwrot i równe moduły (rys. 14). Każde dwa wektory zerowe są równe. Wektory AB i CD są równe

wtedy i tylko wtedy, gdy środek S1 odcinka AD pokrywa się ze środkiem S2 odcinka BC. Termin równóśc w odniesieniu do wektorów nie oznacza identy- cznósci, bowiem dwa wektory równe mogą miéc różne punkty zaczepienia, a wówczas nie są identyczne.

90

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome