Miara - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Miara - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (119.8 KB)
1 strona
610Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: miara.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki Lista 3

Denicja. Niech (X,Σ, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ i niech fn, f : X → R b¦d¡ funkcjami mierzalnymi. Powiemy, »e ci¡g {fn}n∈N zbiega do f prawie jednostajnie wzgl¦dem miary µ, gdy

∀ε>0 ∃F∈Σ µ(F ) < ε ∧ ci¡g {fn|F}n∈N jest jednostajnie zbie»ny do f |F .

Zad 1. Sprawdzi¢, które z ci¡gów z Zadania 2 z Listy 2 s¡ prawie jednostajnie zbie»ne.

Zad 2. Niech {fn}n∈N zbiega do f prawie jednostajnie. Pokaza¢, »e fn µ−→ f oraz fn

p.w.−→ f .

Zad 3. Znale¹¢ przykªady ci¡gów zbie»nego wedªug miary oraz zbie»nego prawie wsz¦dzie, niezbie»nych prawie jednostajnie.

Zad 4. (Twierdzenie Jegorowa) Niech µ b¦dzie miar¡ sko«czon¡. Pokaza¢, »e ci¡g

{fn}n∈N zbiega do f prawie jednostajnie (wzgl¦dem µ) wtedy i tylko wtedy, gdy fn p.w.−→ f .

Zad 5. Pokaza¢, »e funkcja f : N → R caªkowalna wzgl¦dem miary licz¡cej wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

∑∞ n=0 f(n) jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

Zad 6. Niech (X,Σ, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ i niech f : X → R b¦dzie funkcj¡ mierzaln¡. Pokaza¢, »e

a) je±li f ≤ 0 i ∫ X f dµ = 0, to f = 0 prawie wsz¦dzie;

b) je±li ∫ A f dµ = 0 dla ka»dego A ∈ Σ, to f = 0 prawie wsz¦dzie;

c) je±li f jest funkcj¡ caªkowaln¡, to {x ∈ X : f(x) = +∞} jest zbiorem miary zero;

d) je±li f jest funkcj¡ caªkowaln¡, to

lim n→∞

n · µ({x ∈ X : |f(x)| ≥ n}) = 0.

Zad 7. Obliczy¢ caªk¦ Lebesgue'a z nast¦puj¡cych funkcji, po danych przedziaªach:1

funkcja przedziaª funkcja przedziaª

a) f(x) =

{ 1, x ∈ C 2, x /∈ C

[0,1] d) f(x) = 1 [x]!

[0,+∞)

b) f(x) =

{ sin x, x ∈ Q cosx, x /∈ Q

(0, π 2 ] e) f(x) =

{ 0, x ∈ C x−α β−α , x ∈ (α, β)

[0, 1]

c) f(x) = e−[x] [0,+∞) f) f(x) = sgn (sin π x ) [0, 1]

Zad 8. Obliczy¢ caªk¦ ∫ A f(x) dµ(x), gdy

A f(x) µ A f(x) µ

a) (0, 10] x2 ∑∞

k=1 1 k δk d) R cos(πx)

∑∞ k=1

(1/2)k

k δk

b) R+ exp(x) ∑∞

k=1 1 k! δk e) [0,

π 2 ) sin(x) m+ δ0

c) R+ (12) x

∑∞ k=0(

1 3 )kδk f) R |x| exp(−|x|) m+

∑∞ k=1

1 k2k

δk

gdzie m oznacza miar¦ Lebesgue'a.

1w podpunkcie e) przedziaª (α, β) jest jednym z przedziaªów usuni¦tych przy konstrukcji zbioru C.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome