Zbieżność, operacje na zbiorach, zbiory otwarte i domkniete - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Zbieżność, operacje na zbiorach, zbiory otwarte i domkniete - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (157.6 KB)
1 strona
956Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: zbieżność, operacje na zbiorach, zbiory otwarte i domkniete.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia Lista 2 (zbieżność, operacje na zbiorach, zbiory otwarte i domknięte)

Zad 1. Zbadać zbieżność ciągu {an}∞n=1 punktów na płaszczyźnie R2 we wszystkich metrykach z zadań 5,6,7 z listy 1, gdzie

an an an an a) (1, 2− 1

n ) c) ( (−1)

n

n , 3 n2 ) e) (1−2n

n , π) g) (2n+1

n , 2n+1

n )

b) (−1,−1) d) (3 + 1 n , 2− 1

2n ) f) (−2, (1+n)

2

n2+2n+1 ) h) ((1 + 1

n )n, 0)

Zad 2. Scharakteryzować zbieżność ciągu w przestrzeni z metryką dyskretną. Zad 3. Wyznaczyć wnętrze, domknięcie, brzeg oraz pochodną danego podzbioru prostej euk- lidesowej (R, de):

A = N, B = Z, C = Q, D = R \Q, E = R, F = (0, 3], G = (−∞, 5],

H = (1, 2) \Q, I = [−3, 3) ∪ (5,+∞), J = { x = 2

1 n : n ∈ N

} ∪ {x : |x− 4| < 1},

K =

{ x = (−1)n

( 1 +

1

n

) : n ∈ N

} ∪ {x : |x| > 2}, L =

{ (−1)n

n : n ∈ N

} ∪ ( [1, 2] ∩Q

) .

Zad 4. Na płaszczyźnie euklidesowej (R2, de) wyznaczyć wnętrze, domknięcie, brzeg oraz pochodną zbioru

A = [0, 1]× [0, 1), B = {(

1

n , (−1)n

) : n ∈ N

} , C = {(x, y) : y = sin 1

x , x > 0},

D = {(x, y) : x, y ∈ Q}, E = { (x, y) : y =

1

n x, n ∈ N

} , F = {(x, y) : y = qx, q ∈ Q} ,

G =

{ (x, y) : y2 + x2 =

( 1− 1

n

)2 , n ∈ N

} , H = {(x, y) : x ∈ [1, 2) ∩Q, y ∈ (1, 2) \Q} .

Zad 5. Sprawdzić, czy zbiór {tp + (t − 1)q : t ∈ (0, 1)} ⊂ R2, gdzie p, q ∈ R2, jest otwarty w metryce: a) euklidesowej, b) rzeka, c) studnia. Zad 6. Wyznaczyć wszystkie zbiory otwarte i wszystkie zbiory domknięte w przestrzeni z metryką dyskretną. Zad 7. Wyznaczyć wnętrze, domknięcie, brzeg oraz pochodną wszystkich zbiorów z zadania 4 w metryce a) studnia, b) rzeka c) stoku górskiego (patrz zadania 6, 7, lista 1). Zad 8. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest podzbiorem otwartym, a kula domknięta podzbiorem domkniętym. Zad 9. Podać przykład przestrzeni metrycznej, w której: a) domknięcie kuli otwartej nie pokrywa się z kulą domkniętą, b) wnętrze kuli domkniętej nie pokrywa się z kulą otwartą. Zad 10. Niech τ będzie rodziną wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, d). Wykazać, że

i) ∅ ∈ τ i X ∈ τ , ii) U1, U2 ∈ τ =⇒ U1 ∩ U2 ∈ τ , iii) {Ui}i∈I ⊂ τ =⇒ ⋃

i∈I Ui ∈ τ . Zad 11. Pokazać na przykładzie, że przekrój nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie musi byc zbiorem otwartym. Zad 12. Wykazać, że podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie X \ A jest zbiorem otwartym. Zad 13. Niech D będzie rodziną wszystkich zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, d). Wykazać, że

i) ∅ ∈ D i X ∈ D, ii) F1, F2 ∈ D =⇒ F1 ∪ F2 ∈ D, iii) {Fi}i∈I ⊂ D =⇒ ⋂

i∈I Fi ∈ D. Zad 14. Pokazać na przykładzie, że suma nieskończonej ilości zbiorów domkniętych nie musi byc zbiorem domkniętym.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome