Równania liniowe jednorodne - Ćwiczenia - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Równania liniowe jednorodne - Ćwiczenia - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok

PDF (107.7 KB)
1 strona
725Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z dziedziny równań różniczkowych zwyczajnych: równania liniowe jednorodne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Równania ró»niczkowe

Lista 7

Zad 1. Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce szukanej funkcji):1

równanie równanie równanie

a) (1 + x2)y′′ + y′2 + 1 = 0 c) xy′′ = y′ e) xy′′ = y′ ln y ′

x

b) y′′ + 2xy′ = 0 d) y′(1 + y′2) = ay′′ f) x(ln x) · y′′ = y′

Zad 2. Rozwi¡za¢ zagadnienie Cauchy'ego dla nast¦puj¡cych równa« oraz warunków pocz¡t- kowych, zbada¢ uprzednio zagadnienie istnienia i jednoznaczno±ci poszukiwanych rozwi¡za«:

równanie x0 y0 y ′ 0 równanie x0 y0 y

′ 0 y

′′ 0

a) y′′ = (1 + y′2) 3 2 0 1 0 c) 4y′ + y′′2 = 4xy′′ 0 0 -1 ...

b) y′′2 = y′ 0 0 1 d) 2xy′′ + y′′′ = 0 0 1 1 1

Zad 3. Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce zmiennej niezale»nej):

równanie równanie równanie a) yy′′ = y′3 c) 1 + y′2 = 2yy′′ e) y′′ = 1

8 √

y

b) yy′′2 = 1 d) 2yy′′ + y′2 + y′4 = 0 f) y′′ = −y′2 + 2e−y

Zad 4. Znale¹¢ rozwi¡zanie równania speªniaj¡cego warunki pocz¡tkowe wykazuj¡c uprzednio, »e poszukiwane rozwi¡zanie istnieje i jest jednoznaczne:

a) 2yy′′ − 3y′2 = 4y2, y = 1, y′ = 0, x = 0; b) 3y′y′′ = ey, y = 0, y′ = 1, x = −3.

Zad 5. Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡ równania y′′+y′2 = 1, przechodz¡c¡ przez punkt(0, 1) i b¦d¡c¡ styczn¡ w tym punkcie do prostej x + y = 1.

Zad 6. Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡ równania yy′y′′ = y′3 + y′′2 styczn¡ w pocz¡tku ukªadu do prostej x + y = 0.

Zad 7. Znale¹¢ krzywe pªaskie, których promie« krzywizny jest proporcjonalny do dªugo±ci odcinka normalnej. Rozpatrzy¢ przypadek, gdy wspóªczynnik proporcjonalno±ci k jest równy liczbom ±1 i ±2. 2

Zad 8. Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania liniowe jednorodne

równanie równanie równanie a) y′′ − 6y′ + 8y = 0 i) y′′ + 4y = 0 r) y′′′ − 7y′′ + 16y′ − 12y = 0 b) y′′ + 3y′ + 2y = 0 j) y′′′ = y s) y(4) + 2y′′ − 8y′ + 5y = 0 c) y′′ + 3y′ = 0 k) y′′′ − 2y′′ + 9y′ = 18y t) y(4) − 2y′′′ + 2y′′ − 2y′ + y = 0 d) y′′ − y′ − 2y = 0 l) y(4) − y = 0 u) y(4) − 4y′′′ + 8y′′ − 16y′ + 16y = 0 e) y′′ − 2y′ = 0 m) y(4) + 10y′′ + 9y = 0 w) y(4) + 8y′′ + 16y = 0 f) y′′′ + 2y = 2y′′ + y′ n) y(4) + y = 0 x) y(4) + 2y′′′ + 3y′′ + 2y′ + y = 0

g) y(4) + 4y = 5y′′ o) y(6) − y = 0 y) y(5) + 8y′′′ + 16y′ = 0 h) y(5) + 9y′ = 10y′′′ p) y′′′ − 6y′′ + 12y′ = 8y z) y(5) + y(4) + 2y′′′ + 2y′′ + y′ + y = 0

1a) jednym z rozwi¡za« jest y = ln |x|. 2zastosowa¢ wzór na promie« krzywizny R = (1+y

′2) 3 2

y′′ .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome