Postępowanie w przypadku degeneracji - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Postępowanie w przypadku degeneracji - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin

PDF (341.1 KB)
4 strony
628Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące badań operacyjnych: postępowanie w przypadku degeneracji; dualizm w programowaniu liniowym.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Postępowanie w przypadku degeneracji

Zdegenerowane rozwiązanie dopuszczalne posiada pewne rozwiązania bazowe równe zeru. Dla rozwiązania dopuszczalnego zdegenerowanego istnieje możliwość obliczenia

„tety” równej zeru:

= x ( i,we x

x

x

x dla x

wy

wy we

i B

i we i B

, ,

min | )  

  

    0 0 0 (Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..11)

Wprowadzenie nowego wektora do bazy nie zmieni więc wartości funkcji celu. Teoretycznie można wejść w cykl rozwiązań dopuszczalnych. Jest to jednak możliwe gdy dopuszczalne rozwiązanie bazowe posiada co najmniej dwie zmienne bazowe o wartości równej zeru. Ponieważ w praktyce nie spotkano żadnych cyklicznych rozwiązań,

pominiemy ten problem, wspominając jedynie że idea rozwiązania (metoda peturbacji) jest opisana w książce [Gass80].

docsity.com

Dualizm w programowaniu liniowym

Wprowadzenie

Dla każdego zadania programowania liniowego (dalej nazywanym zadaniem pierwotnym) można zbudować tzw. zadanie dualne, które też jest zadaniem programowania liniowego. Pomiędzy tymi zadaniami występują interesujące zależności. Dane jest zadanie programowania liniowego w następującej postaci:

TWIERDZENIE: Zadanie pierwotne jest

zadaniem dualnym do swojego zadania dualnego. WNIOSEK: Zadania (P) i (D) są dualne względem

siebie. Powyższą pierwotną-dualną parę zadań można przedstawić w zapisie macierzowym:

Przejście między zadaniami jest w dwie strony i jest sprawą umowną, które z zadań jest zadaniem pierwotnym. Dozwolone są następujące przejścia (i tylko te!):

zadanie pierwotne zadanie dualne

max zp ... <= ...

min zd ... >= ...

Uwaga - nie ma ograniczenia by wektor b był >=0. W przypadku, gdy ograniczenia są dane w postaci równań, należy je zastąpić przez odpowiednie pary nierówności:

ograniczenie: Aix = bi zamieniamy na ograniczenia: Aix >= bi oraz Aix <= bi

PRZYKŁAD: Zbudować zadanie dualne do zadania:

Zadaniem dualnym sprzężonym z zadaniem pierwotnym nazywamy

następujące zadanie (D):

(min) zd=b Ty (D)

ogr.: ATyc y yRm

Zadanie pierwotne (P):

(max) zp=c

Tx (P) ogr,: Axb x xRn

c T

x

(max) zp =

A

x

b

x

0

(min) zd

=

A T

c

y 

b T

y

y

0

docsity.com

(max) zp=x1+4x2 ogr. 3x1+2x2<=6 2x1+x2=5 x1-3x2>=7 x1,x2>=0 TWIERDZENIE: Jeżeli w zadaniu pierwotnym i-te ograniczenie ma postać równania, to i-ta zmienna w zadaniu dualnym jest dowolna co do znaku. Jeżeli j-ta zmienna zadania pierwotnego jest dowolna co do znaku, to j-te ograniczenie zadania dualnego ma

postać równania. TWIERDZENIE Dantziga i Ordena: Jeżeli dla optymalnych rozwiązań dopuszczalnych zadania pierwotnego i dualnego k-te ograniczenie dowolnego zadania jest spełnione jako nierówność (odpowiednia zmienna osłabiająca jest dodatnia) to k-ta zmienna w zadaniu dualnym jest równa 0. Jeśli k-ta zmienna jest dodatnia w dowolnym zadaniu, to k-te ograniczenie w jego zadaniu dualnym jest równością (odpowiednia zmienna osłabiająca jest równa 0). Twierdzenie to pozwala ustalić rozwiązanie zadania pierwotnego znając rozwiązanie zadania dualnego ale można to zrobić prościej odczytując z ostatniej tablicy sympleksów.

Własności rozwiązań zadań dualnych

TWIERDZENIE: Jeżeli jedno z zadań dualnych ma skończone rozwiązanie optymalne, to drugie z tych zadań ma także skończone rozwiązanie optymalne oraz zachodzi równość:

Yyzxz dp  y X,x )( (min) )( (max)

TWIERDZENIE: Jeżeli w jednym z zadań dualnych rozwiązanie optymalne jest nieograniczone, to drugie z tych zadań jest sprzeczne.

TWIERDZENIE: Jeżeli jedno z zadań dualnych jest sprzeczne, to drugie z tych zadań jest sprzeczne albo nie ma skończonego rozwiązania optymalnego.

Z wcześniejszego twierdzenia wiemy, że istnieje związek między i-tą zmienną w jednym zadaniu a i-tym ograniczeniem w drugim zadaniu. Ponadto można wskazać inny związek: zmienne pierwotne i dualne grupują się we wzajemnie sprzężone pary:

xj oraz ym+j i xn+j oraz yj

W każdej z par jeżeli jedna ze zmiennych jest zmienną decyzyjną, to druga jest zmienną osłabiającą (dodatkową) i na odwrót. Oprócz tego, jeśli jedna ze zmiennych jest zmienną bazową, to druga jest zmienną niebazową i na odwrót. TWIERDZENIE: Jeżeli para zadań dualnych ma skończone rozwiązania optymalne to w

rozwiązaniu optymalnym zadania dualnego zmienna decyzyjna yj jest równa wskaźnikowi optymalności zn+j-cn+j zmiennej dodatkowej (osłabiającej) xn+j w rozwiązaniu optymalnym zadania pierwotnego. Natomiast zmienna dodatkowa ym+j jest równa wskaźnikowi optymalności zj-cj zmiennej decyzyjnej xj w rozwiązaniu optymalnym zadania pierwotnego. Wskaźniki optymalności zadania pierwotnego - maksymalizacja (rozwiązanie optymalne; m<n):

Zadanie dualne : (min) zd=6y1+5(y2-y3)- 7y4 ogr. 3y1+2(y2-y3)-y4 >= 1 2y1+(y2- y3)+3y4>=4 y1,y2,y3,y4>=0

przekształcamy do wymaganej postaci

(max) zp=x1+4x2 ogr. 3x1+2x2<=6 2x1+x2<=5 -2x1-x2<=-5 -x1+3x2<=-7 x1,x2>=0

docsity.com

zmienne decyzyjne zmienne osłabiające

M+ 1

zz1-c1 ... zn-cn zn+1 - cn+1 ... zn+m- cn+m

Wskaźniki optymalności zadania dualnego - minimalizacja (rozwiązanie optymalne; m>n):

zmienne decyzyjne zmienne osłabiające

n+1 zz1-c1 ... zm-cm zm+1 - cm+1

... zm+n - cm+n

Znak minus wynika, że w zadaniu pierwotnym odejmuje się zmienne osłabiające i aby rozpocząć obliczenia z dodatnią macierzą jednostkową, należy pomnożyć układ ograniczeń przez -1. WNIOSEK: Jeżeli zadanie pierwotne ma wymiary m x n takie, że m > n, to wtedy wygodniej jest wyznaczyć rozwiązanie optymalne zadania dualnego a dopiero na jego podstawie rozwiązanie optymalne zadania pierwotnego. Korzyści rozwiązywania zadania dualnego

zadanie pierwotne zadanie dualne

duża liczba ograniczeń i niewielka liczba zmiennych

baza mniejsza - obliczenia szybsze

mamy rozwiązanie optymalne i dodajemy ograniczenie (algorytmy programowania całkowitoliczbowego) i trzeba obliczenia prowadzić od początku

tutaj dodajemy zmienną z wartością 0, baza się nie zmienia, zadanie optymalne nadal jest dopuszczalne i można kontynuować obliczenia.

yj = xm+1 , n+j (czyli zn+j -

cn+j)

xj = -yn+1 , m+j (czyli zm+j - cm+j)

ym+j = xm+1 , j (czyli zj - cj)

xn+j = -yn+1 , j (czyli zj-cj)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.