Macierze i wyznaczniki - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Macierze i wyznaczniki - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (529.0 KB)
8 strona
1Liczba pobrań
622Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu matematyki: Macierze i wyznaczniki, działania, szczególne typy macierzy, itd.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

  nmji

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

 

   

   

...

...

...

21

22221

11211

Macierze i Wyznaczniki

Przykład: W fabryce wytwarza się n różnych produktów złożonych z części produkowanych na m stanowiskach. Plan określa ilość godzin potrzebnych na wykonanie tej części jednostki danego produktu, która przypada na dane stanowisko. Jak krótko można by zapisać ten plan?

 Niech aij oznacza ilość godzin, w ciągu których ma być wykonana na stanowisku i , gdzie  mi ,...,2,1 , część produktu o numerze j , gdzie  nj ,...,2,1 .

Wówczas pojawia się zapis (w formie następującej tablicy):

oznacza: i-ty wiersz oznacza: j-tą kolumnę To jest macierz prostokątna

o wymiarach mxn Ten nowy obiekt będziemy nazywać macierz(-ą) i oznaczać dużymi literami A, B, C. Stąd w/w macierz oznaczamy:

A=[a i j]mn

docsity.com

   i n

i

i

n

i

ii

n

i

ii eTxexTxTexx  

 

  

 

111

;

     

 m

k

kkii

m

i eaeTReT 1

' czyli,

 

 





mnmnmm

nn

yxaxaxa

yxaxaxa

...

...

2211

11212111

Definicja Macierzą o wymiarze mn nad ciałem K (bądź krótko: macierzą) nazywamy odwzorowanie

T:{1,2,3,...,m}{1,2,...,n} K.

Np. A=[a i j]mn , gdzie a i j = T(i,j) dla  mi ,...,2,1 ,  nj ,...,2,1 .

  

  

22

110

421

2 1

–– macierz o wymiarze 33

Przykład: Macierz przekształcenia liniowego. Niech dane będą dwie przestrzenie linowe R

n i R

m nad ciałem R

generowane przez bazy kanoniczne, odpowiednio: ē12,...,ēn oraz ē1’,ē2’,...,ēm’ Niech T będzie odwzorowaniem liniowym R

n w R

m oraz

nRx . Wówczas (1) ale (2) Ze związków (1) i (2) otrzymujemy równość (3):

    

m

k

kknn

m

k

kk eaxeaxxT 11

11 '...'

    '......'... 1111111 mnmnmnn exaxaexaxa 

Oznaczając   '...'11 mmeyeyxTy  przez (4) otrzymujemy z (3) i (4) następujący układ równań:

docsity.com

  

 

ji dla 1

ji dla 0 δa ijij

   

   

1...00

0...010

0...001



Uwaga! W powyższym układzie współczynniki aij przy niewiadomych: x1,x2,...,xn tworzą prostokątną tablicę (macierz)

  nmji

mnm

n

n

a

aa

aa

xx

A

  

  

 

...

...

...

1

111

1



zwaną macierzą odwzorowania (przekształcenia) liniowego T: R

n R

m .

Szczególne rodzaje macierzy.

Niech A=[a i j]mn ,gdzie , K-ciało (w szczególności: K=R, bądź K=C)

(1) Macierz A nazywa się macierzą kwadratową (krótko: kwadratową), gdy m=n; wówczas n nazywa się stopniem macierzy A.

 W szczególności macierz przekształcenia liniowego T: R

n R

n jest kwadratowa stopnia n.

(2) Macierz przekształcenia liniowego   nRx dlaxxT 

nazywa się macierzą jednostkową stopnia n, którą oznaczamy En ; przy czym:

En =[a i j]nn , gdzie || Symbol Kroneckera

Kaij

n}{1,2,...,

docsity.com

  

 

ji dla a

ji dla 0 a

ij

ij

  

  

 

 

  

 

10

23

11

, 121

0 T A

31 A

mn

ozn m

n K K 

KbK,aK,λ jiji 

nmjiji ]ba[BA 

      nmjiji

df

nmjinmji ba ba

 

  nmji

aA

 

    nmji

df

nmji aλaλ

 

(3) Macierz A=[a i j]nn, gdzie

nazywa się macierzą diagonalną stopnia n.

(4) Macierz A T=[b i j]nm ,

gdzie bij = aji ^A = [aji]mxn nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A o wymiarze mxn. Np.

Działania na macierzach Niech oznacza zbiór macierzy o wymiarach

mxn i wyrazach z ciała K.

Definicja Sumę macierzy A i B o wymiarze mxn będziemy

oznaczać A+B; przy czym:

Stąd :

Definicja Iloczyn skalara  i macierzy A o wymiarach mxn

będziemy oznaczać A, przy czym: Stąd: Np. Znaleźć A+B oraz (-2)A, gdy

;K]b[B,]a[A mnnmjinmji  

n}{1,2,...,

docsity.com

 

  

  

  

 

i

ii B

i

i A

10

32 ,

301

21

 

  



 

 

  



 

6022i

2i42 2)A(

, i31i1

34i1 BA

   .,...,1,,...,1 1

njsidlabac m

k

kjikji  

23

W1

32 23

12

11

B , 211

31-2 A

   

  

 

  

 

  , 43

99 bacAB

22

3

1k

kjik22ji  

  

 

  

 

  

Zatem po zastosowaniu w/w definicji otrzymujemy:

Definicja: Iloczynem macierzy A = [aij]sm i B = [bij]mn

nazywamy macierz C=[c i j]sn=AB taką, że: Uwaga! Dowolny element c i j macierzy C=AB (iloczynu macierzy A i B) jest „iloczynem skalarnym” i-tego wiersza macierzy A oraz j-tej kolumny macierzy B. Np. K1  Istnieje AB (dlaczego?)

 przy czym 911 c bo:

9332)1(12 3

1 1111

 k

kk bac

 BA także istnieje (dlaczego?) , m=2

docsity.com

;abBA 33

2

1k

kjik

  

  

 

  

 



 1354

415

521

np.

 Wniosek z powyższego wynika, że: ABBA ; czyli mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Zad: Wyznaczyć macierz A odwzorowania T: Rm(x) Rn(x), gdzie Rk(x) jest zbiorem wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej k przy bazie 1,x,x

2 ,...,x

k ; zaś

          xx'x xTxRxR:T 33 www 

 Niech w3(x)=0+1x+2x 2 +3x

3 R3(x), wówczas ten

wielomian można utożsamić z ciągiem liczbowym

postaci: (0, 1, 2, 3) i 30. Ale bazą przestrzeni wektorowej R3(x) nad ciałem R są wektory: 1,x,x

2 ,x

3 . Ich obrazy poprzez przekształcenie T

(które jest przekształceniem liniowym (sprawdź)) są postaci:

 1T   1'1  x 1 32 00011 xxx   xT   xxx  ' x2 32 00210 xxx   2xT   22 ' xxx  23x 32 03010 xxx   3xT   33 ' xxx  34x 32 40010 xxx 

Stąd macierz A odwzorowania liniowego T: R3(x) R3(x) jest o wymiarach 4x4 i jest postaci:

4)2(132 2

1 3223

 k

kk abc

docsity.com

   

   

4000

0300

0020

0001

A

Rząd macierzy Definicja Rzędem macierzy A=[aij]mn nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych tej macierzy i oznacza się: rzA, bądź r(A). Dowodzi się, że:

 Maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy równa się maksymalnej liczbie niezależnych wektorów wierszowych tej macierzy.

 Jeśli A=[a i j]mn , to r(A)min(m,n)

 Jeśli A jest macierzą diagonalną (przekątniową) stopnia n, to jej rząd r(A) jest liczbą nie zerujących się elementów przekątnej tej macierzy.

Np. Niech En jest macierzą jednostkową stopnia n, wówczas r(En)=n; bo jej wektory kolumnowe tworzą bazę kanoniczną (czyli stanowią układ n wektorów liniowo niezależnych). Zad: Wykazać, że r(A)=2, gdy

3

2

1

w

w

w

61053

8217

1432

A

  

  



Zauważmy, że: W2=2W1-W3, tzn. wiersz W2 jest kombinacją liniową wierszy W1 i W3; czyli r(A)<3.

Stąd, jeśli 1 W1+ 3W3=0, to 1=3=0, zatem r(A)=2, ckd.

docsity.com

  n

n

njjj jj

N df

aaaDetA   ...1 21

1

21 ),...,(

    2112221112212211

11 aaaaaaaaDetA NN

df



Pojęcie inwersji Niech (an) będzie dowolnym skończonym ciągiem liczb rzeczywistych Definicja: Mówimy, że uporządkowana para liczb (aj,ak),

gdzie aj,ak są wyrazami skończonego ciągu (an), anR, tworzy inwersję, o ile aj>ak dla j<k. Np. Niech (an): (2,1,4,5,3); wówczas (2,1) , (4,3) , (5,3) są inwersjami w tym ciągu, ale (1,4), (4,5) nie są inwersjami powyższego ciągu. Ćwiczenie: Wyznaczyć inwersje w ciągu liczbowym (an): (-3,1,3,7,1,2,6)

Pojęcie wyznacznika macierzy kwadratowej Niech A=[a i j]nn , a i j R Definicja: Wyznacznik macierzy A stopnia n o elementach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem DetA, bądź |A|; przy czym:

gdzie sumowanie rozciąga się tutaj na wszystkie permutacje (j1,j2,...,jn) zbioru {1,2,...,n}, czyli od 1 do n!; zaś N oznacza tutaj liczbę inwersji w permutacji (j1,j2,...,jn). Np. Obliczyć DetA, gdy A jest macierzą stopnia n.

 Dla n=1, Det[an]= an

 Dla n=2, A=[a i j]22 , wówczas:

(1,2);N=0 (2,1);N=1

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome