Statyka - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Statyka - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (399.4 KB)
11 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z mechaniki: statyka; środek ciężkości powierzchni jednorodnej, twierdzenia Pappusa-Guldina, momenty statyczne mas.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 11
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Statyka cz4.pdf

dz

z

b

bz

b

z

y

x

h

O

C

Rys. 4.3. Wyznaczanie rodka ci!"ko ci ostros#upa

z

zdV

V C

V !

. (a)

W mianowniku tego wzoru wyst!puje obj!to $ ostros#upa:

V b h

2

3 . (b)

W celu wyznaczenia ca#ki wyst!puj%cej w liczniku wzoru (a) ostros#up podzielimy

na elementy dV w postaci cienkich p#ytek kwadratowych, równoleg#ych do

podstawy xy, o boku bz i grubo ci dz. Obj!to $ tak przyj!tego elementu

dV b dzz 2 .

Bok kraw!dzi elementu znajdziemy z proporcji wynikaj%cej z rysunku:

b

b

h z

h

z "

, st%d # $b b h

h zz " .

docsity.com

Mamy wi!c:

# $ dzzh h

b dV

2

2

2

" . (c)

Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu ca#kowania otrzymamy

szukan% wspó#rz!dn% rodka ci!"ko ci:

# $ z

b

h h z z dz

b h

h C

h

"

!

2

2

2

0

2

3

4 .

docsity.com

4.2.2. rodek ci!"ko#ci powierzchni jednorodnej Takie bry y, jak cienkie p yty, blachy, pow oki itp., których grubo!" jest

znikomo ma a w porównaniu z pozosta ymi wymiarami, b#dziemy nazywali

powierzchniami materialnymi. Je$eli

ci#$ar jednostki powierzchni jest sta y,

to powierzchni# tak% nazywamy

powierzchni jednorodn . Gdy ci#$ar

jednostki powierzchni oznaczymy

przez , powierzchni# ca kowit%

przez F, a powierzchni# elementarn%

przez dF (rys. 4.4), to mo$emy napisa":

C

z

y

x

O G

dG

dFF

Rys. 4.4. Wyznaczanie po o$enia

!rodka ci#$ko!ci powierzchni

F

G F,F

dF! dG = F .

Po podstawieniu tych zale$no!ci do wzorów (4.6) i po skróceniu licznika

i mianownika przez otrzymamy wzory na wspó rz#dne !rodka

ci#$ko!ci powierzchni jednorodnej:

F const!

. F

zdF

z, F

ydF

y, F

xdF

x FC F

C F

C

""" !!! (4.13)

Wyst#puj%ce w tych wzorach ca ki s% ca kami powierzchniowymi rozci%gni#tymi

na ca % powierzchni# F.

Je$eli powierzchnia jednorodna jest figur% p ask% i le$y na p aszczy&nie np. xy,

to wspó rz#dna oraz zC ! 0

x

xdF

F

ydF

F C

F! ! " "

, yC F . (4.14)

Punkt C o wspó rz#dnych okre!lonych wzorami (4.14) nazywamy !rodkiem

ci"#ko!ci figury p$askiej.

docsity.com

4.2.3. rodek ci!"ko#ci linii jednorodnej

W zastosowaniach technicznych cz sto spotykamy bry!y, takie jak druty, pr ty,

liny itp., których dwa wymiary s" znikomo ma!e w porównaniu z d!ugo#ci". Bry!y

te nazywamy liniami materialnymi,

tzn. przyjmujemy, $e ca!a masa jest

roz!o$ona wzd!u$ linii #rodków

przekrojów poprzecznych. Je$eli

ci $ar jednostki d!ugo#ci jest sta!y, to

tak" lini nazywamy lini

jednorodn .

Po oznaczeniu ci $aru jednostki

d!ugo#ci przez , a d!ugo#ci linii

AB (rys. 4.5) przez L ci $ar

ca!kowity linii i ci $ar elementu

d!ugo#ci b d" wyra$a!y wzory:

L

y

z

x

O

C dG

G

dL

A

B

Rys. 4.5. Wyznaczanie po!o$enia

#rodka ci $ko#ci linii jednorodnej

G LL! , dG = L dL .

Post puj"c analogicznie jak w przypadku powierzchni jednorodnej ze wzorów

(4.6), otrzymamy wzory na wspó!rz dne #rodka ci $ko#ci C linii jednorodnej:

x

xdL

L

ydL

L z

zdL

L C

L L C

L! ! ! " "

, y ,C

" , (4.15)

gdzie L jest d!ugo#ci" linii.

docsity.com

4.3. Twierdzenia Pappusa-Guldina

Do wyznaczania rodków ci !ko"ci jednorodnych linii p#askich i jednorodnych

figur p#askich stosuje si dwa twierdzenia Pappusa-Guldina. Podamy je bez

dowodów, a ich zastosowanie zilustrujemy prostymi przyk#adami. Zaznajomienie

si z dowodami podanych ni!ej twierdze$ pozostawiamy Czytelnikowi.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni F, powsta ej przez obrót jednorodnej i p askiej linii o d ugo!ci

L dooko a osi le"#cej w p aszczy$nie tej linii i nie przecinaj#cej jej, jest równe

d ugo!ci linii pomno"onej przez d ugo!% okr&gu opisanego przy obrocie przez jej

!rodek ci&"ko!ci:

F hC L 2! , (4.16)

gdzie jest odleg#o"ci% "rodka ci !ko"ci linii od osi obrotu. hC

Drugietwierdzenie Pappusa-GuldinaObj&to!% bry y V, powsta ej przy obrocie figury p askiej o polu F dooko a osi

le"#cej w p aszczy$nie tej figury i nie przecinaj#cej jej, jest równe polu powierzchni

figury pomno"onemu przez d ugo!% okr&gu opisanego przy obrocie przez jej !rodek

ci&"ko!ci:

V hC F 2! , (4.17)

przy czym jest tutaj odleg#o"ci% "rodka ci !ko"ci figury od osi obrotu. hC

docsity.com

Przyk ad 4.2. Wyznaczy& po#o!enie "rodka ci !ko"ci jednorodnego #uku

&wiartki ko#a przedstawionego na rys. 4.6.

xC x

y

C

O

r

yC

Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do

wyznaczenia "rodka ci !ko"ci #uku ko#owego

Rozwi#zanie. Z uwagi na to, !e przedstawiony #uk ma o" symetrii, jego "rodek

ci !ko"ci b dzie le!a# na tej osi. Poniewa! o" symetrii jest dwusieczn% k%ta

prostego zawartego mi dzy osi% x i y, wspó#rz dne "rodka ci !ko"ci C

b d% równe: . Wystarczy zatem wyznaczy& jedn% z nich. Wyznaczymy

wspó#rz dn% , korzystaj%c z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy

obrocie #uku wokó# osi y otrzymamy powierzchni w postaci po#owy kuli o

powierzchni

x i yC C

Cx yC

xC

F r 2 2! . D#ugo"& #uku

L r

! 2

.

Po podstawieniu tych warto"ci do wzoru (4.16) otrzymamy równanie:

2 2 2

2! ! !

r x r

C ,

st%d

!

r2 yx CC .

docsity.com

Przyk ad 4.3. Wyznaczy& po#o!enie "rodka ci !ko"ci figury p#askiej

przedstawionej na rys. 4.7.

x

y

O

r

r/2

Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do

wyznaczenia "rodka ci !ko"ci figury p#askiej

Rozwi#zanie. Do wyznaczenia wspó#rz dnych "rodka ci !ko"ci

przedstawionej na rysunku figury p#askiej zastosujemy drugie twierdzenie

Pappusa--Guldina. Wspó#rz dn% wyznaczymy przez obrócenie figury wokó#

osi x, a wspó#rz dn% przez obrót wokó# osi y. Przy obrocie figury wokó# osi x

otrzymamy bry# o obj to"ci równej ró!nicy pó#kuli o promieniu r i kuli o promie-

niu 0,5r.

x i yC C

yC

xC

V r r r

" # $%

& '(

2

3

4

3 2 2

3

3 3

! ! !

.

Pole figury

F r r

" # $%

& '(

! ! !2

2 2

4 2 2 8

r .

Po podstawieniu obliczonych warto"ci V i F do wzoru (4.17) otrzymamy:

! !

!r y

r C

3 2

2 2

8 ,

st%d

y r

C 2

! .

Przy obrocie figury wokó# osi y otrzymamy bry# o obj to"ci

docsity.com

) V xC2 F! . (a)

Wielko"& jest ró!nic% obj to"ci V)V 1 pó#kuli o promieniu r i po#owy torusa o obj to"ci V2, powsta#ego z obrotu pó#kuli o promieniu 0,5r wokó# osi y:

) "V V V1 2 .

Do obliczenia obj to"ci V2 po#owy torusa równie! zastosujemy drugie twierdzenie

Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast hC wstawimy 0,5r.

V r r

2

2 2 3

2 2 2 2 8

# $%

& '(

# $%

& '(

! ! ! r

.

Zatem

* +) " "V r r2 3 8

16 3 24

3 2 3! ! !

! r3 .

Po podstawieniu tej warto"ci oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru

(a) otrzymamy równanie:

* +16 3 24

2 8

3 2

" ! !

! !r

x r

C ,

a st%d

* +x rC "16 3 6

! !

.

docsity.com

4.4. Momenty statyczne mas

Za ó!my, !e mamy uk ad n punktów materialnych o masach mk, których

po o!enie wzgl"dem dowolnego punktu O okre#laj$ promienie wodz$ce rk (rys.

4.1). Rozk ad mas tego uk adu materialnego wzgl"dem przyj"tego punktu O

charakteryzuj$ momenty pierwszego rz"du, nazywane momentami statycznymi.

Momentem statycznymSuk adu punktów materialnych wzgl!dem dowolnego

punktu O nazywamy sum! iloczynów mas mk przez ich promienie wodz"cerk.

S r

! k k k

n

m 1

. (4.18)

Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego

wzoru wektora rk zapisanego za pomoc$ wspó rz"dnych prostok$tnych:

r i jk k k kx y z k " "

wektor S wyrazi wzór:

S i j " "

! ! !x m y m z mk k k

n

k k

k

n

k k

k

n

1 1 1

k

m 1

. (4.19)

Wspó rz"dne tego wektora nazywamy momentami statycznymi wzgl!dem

p aszczyzn yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez S S i Syz zx xy, .

S x m S y m S zyz k k k

n

zx k k

k

n

xy k k

k

n

! ! ! 1 1

, , . (4.20)

Momentem statycznym uk adu punktów materialnych wzgl!dem dowolnej

p aszczyzny nazywamy sum! iloczynów mas punktów przez ich odleg o#ci od tej

p aszczyzny.

docsity.com

Aby otrzyma% moment statyczny bry y wzgl"dem punktu, dzielimy bry "

na n elementów o masach mk (rys. 4.2). Je!eli za o!ymy, !e liczba elementów n

d$!y do niesko&czono#ci, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy

ca k" rozci$gni"t$ na ca $ mas" m. Moment statyczny bry y wzgl"dem pocz$tku

uk adu O wyra!a wzór:

S r r #$

! %limn k k k

n

m

m d& 1

m

%

. (4.21)

Z kolei momenty statyczne bry y wzgl"dem poszczególnych p aszczyzn

prostok$tnego uk adu wspó rz"dnych b"d$ dane wzorami:

S xdm S ydm S zdmyz m

zx

m

xy

m

% %, , . (4.22)

Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promie& wodz$cy rC #rodka

masy (ci"!ko#ci) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na wspó rz"dne #rodka

masy wynika, !e ca ki wyst"puj$ce w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) s$

momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny

wzgl"dem pocz$tku uk adu wspó rz"dnych O, a w drugim s$ to momenty statyczne

wzgl"dem p aszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promie& wodz$cy

rC #rodka masy C i jego wspó rz"dne xC, yC, zC mo!emy wyrazi% za pomoc$

momentów statycznych:

r S

C m

, (4.23)

x S

m

S

m z

S

m C

yz zx C

xy , y ,C . (4.24)

Znaj$c po o!enie #rodka masy C bry y lub uk adu materialnego, odpowiednie

momenty statyczne mo!emy wyznaczy% z powy!szych wzorów. Otrzymamy

wtedy:

S r C m , (4.25)

mzS,myS,mxS CxyCzxCyz . (4.26)

docsity.com

Wzory (4.25) i (4.26) zosta y wyprowadzone dla bry y, jednak do

analogicznych wzorów dojdziemy, prowadz$c podobne rozwa!ania dla uk adu

punktów materialnych. St$d wynikaj$ce z tych wzorów wnioski b"d$ dotyczy y

równie! momentów statycznych uk adu punktów materialnych. Oto one:

a) Moment statyczny bry y lub uk adu punktów materialnych wzgl"dem

dowolnego punktu jest równy momentowi statycznemu masy ca kowitej skupionej

w #rodku masy (ci"!ko#ci) wzgl"dem tego punktu.

b) Moment statyczny bry y lub uk adu punktów materialnych wzgl"dem

dowolnej p aszczyzny jest równy momentowi statycznemu masy ca kowitej

skupionej w #rodku masy (ci"!ko#ci) wzgl"dem tej p aszczyzny.

c) Moment statyczny bry y lub uk adu punktów materialnych wzgl"dem #rodka

masy (ci"!ko#ci) jest równy zeru.

d) Moment statyczny bry y lub uk adu punktów materialnych wzgl"dem

p aszczyzny przechodz$cej przez #rodek masy (ci"!ko#ci) jest równy zeru.

Analogicznie do momentów statycznych mas (masowych momentów

statycznych) wprowadza si" poj"cie momentów statycznych obj"to#ci bry ,

powierzchni i linii. Momenty statyczne obj"to#ci, powierzchni i linii wzgl"dem

p aszczyzn prostok$tnego uk adu wspó rz"dnych s$ ca kami wyst"puj$cymi

odpowiednio w licznikach wzorów (4.12), (4.13) i (4.15).

Na szczególn$ uwag" zas uguj$

momenty statyczne powierzchni figur

p askich wzgl"dem osi, poniewa! maj$

du!e zastosowanie w wytrzyma o#ci

materia ów. Ca ki wyst"puj$ce w

licznikach wzorów s$ momentami

statycznymi figury p askiej wzgl"dem

osi y i x (rys. 4.8):

yC

S x dF y dFy F F

% %, Sx . (4.27)

Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na wspó rz"dne #rodka ci"!ko#ci figury

p askiej mo!na zapisa% w nast"puj$cy sposób:

x S

F

S

F C

y x , yC

F

. (4.28)

St$d gdy znamy wspó rz"dne #rodka ci"!ko#ci, mo!emy wyznaczy% momenty

statyczne:

S y F, xx C C Sy , (4.29)

gdzie F jest polem ca kowitym powierzchni figury p askiej

xC

y

xO

C

Rys. 4.8. Wyznaczanie po o!enia

#rodka

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome