Zwartość, homeomorfizmy, rozmaitości topologiczne - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Zwartość, homeomorfizmy, rozmaitości topologiczne - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (144.8 KB)
1 strona
834Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: zwartość, homeomorfizmy, rozmaitości topologiczne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 7 (zwarto±¢, homeomomorzmy, rozmaito±ci topologiczne)

Zad 1. Pokaza¢, »e przestrze« dyskretna (X, τ) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest sko«czony.

Zad 2. Rozwa»my odcinek X = [0, 1] z topologi¡ τ = {∅, X, (0, 1), {1}, (0, 1]}. Czy jest to przestrze« zwarta?

Zad 3. Czy przestrze« R2 z metryk¡ studnia (patrz zadanie 6 lista 3) jest zwarta?

Zad 4. Twierdzenie Cantora mówi, »e je»eli F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ ... jest zst¦puj¡c¡ rodzin¡ domkni¦tych podzbiorów zwartej przestrzeni X, to⋂

n∈N

Fn 6= ∅.

Pokaza¢ na przykªadzie, »e zaªo»enia o zwarto±ci przestrzeni X w tezie tego twierdzenia nie mo»na opu±ci¢.

Zad 5. Czy nast¦puj¡ce podprzestrzenie pªaszczyzny euklidesowej R2

A = {(x, y) ∈ R2 : x = (1− 1 et

) cos t, y = (1− 1 et

sin t, t ∈ [0,∞), lub x2 + y2 = 1},

B = {(x, y) ∈ R2 : x = (1 + et) cos t, y = (1 + et sin t, t ∈ [0,∞), lub x2 + y2 = 1}

s¡ homeomorczne?

Zad 6. Dowie±¢, »e w przestrzeni euklidesowej kula otwarta nie jest homeomorczna z kul¡ domkni¦t¡.

Zad 7. Pokaza¢, »e na zbiorze X nie istniej¡ dwie ró»ne, porównywalne topologie zadaj¡ce na X struktur¦ zwartej przestrzeni Hausdora.

Zad 8. Poda¢ jawny wzór na homeomorzm h : A→ (0, 1), gdzie zbiór A jest wyposa»ony w topologi¦ indukowan¡ z pªaszczyzny euklidesowej R2, gdy

a) A = {0} × [0, 1) ∪ (0, 1)× {0}, b) A = {(x, y) : x2 + y2 = 1, y > 0},

c) A = {(x, y) : x2 + y2 = 1} \ {(1, 0)}

Zad 9. Wykaza¢, »e okr¡g, brzeg kwadratu oraz brzeg trójk¡ta wyposa»one w topologi¦ indukowan¡ z pªaszczyzny euklidesowej R2 s¡ parami homeomorczne.

Zad 10. Które ze zbiorów wyst¦puj¡cych w zadaniach 8, s¡ rozmaito±ciami topologicznymi?

Zad 11. Rozwa»my litery tworz¡ce poni»szy napis jako podprzestrzenie topologiczne pªasz- czyzny euklidesowej R2 (zaªó»my, »e s¡ one niesko«czenie cienkie i nie maj¡ ko«ców):

Pogrupowa¢ litery na klasy liter wzajemnie homeomorcznych, oraz wyró»ni¢ litery b¦d¡ce rozmaito±ciami topologicznymi?

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome