Macierze i wyznaczniki  - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Macierze i wyznaczniki - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (351.1 KB)
7 strona
1Liczba pobrań
841Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu matematyki: Macierze i wyznaczniki, działania, szczególne typy macierzy, itd.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

     

     

nnnjn

iniji

nj

ji

aaa

aaa

aaa

M

......

......

......

1

1

1111





 Dla n=3, A=[a i j]33 ; wówczas DetA=   

  

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

= (-1)

N a11a22a33 ;(1,2,3);N=0 = a11a22a33

(-1) N a12a23a31 ;(2,3,1);N=2 = a12a23a31

(-1) N a13a21a32 ;(3,1,2);N=2 = a13a21a32

(-1)

N a13a22a31 ;(3,2,1);N=3 = - a13a22a31

(-1) N a11a23a32 ;(1,3,2);N=1 = - a11a23a32

+ (-1) N a12a21a33 ;(2,1,3);N=1 = - a12a21a33

=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31- a11a23a32- -a12a21a33.

 Dla nN ^ n>3 ; A=[a i j]nn obliczamy obecnie DetA

stosując tw. Laplace’a (o obliczaniu wyznacznika dowolnego stopnia n)

 W tym celu zdefiniujemy pojęcia pomocnicze do sformułowania tego twierdzenia: Definicja: Minorem macierzy A stopnia n nazywamy wyznacznik |Mij| macierzy stopnia n-1 powstałej z macierzy A przez skreślenie w niej i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Stąd:

 i-ty wiersz

Macierz stopnia n-1 j-ta kolumna

 DetM i j =|M i j| - wyznacznik stopnia n-1

docsity.com

 

 n

k

ik

ki

ik

n

k

ikik MaAaDetA 11

)1(

 

 n

k kj

jk

kj

n

k kjkj

MaAaDetA 11

)1(

21321

13014

21010

11121

54321

Definicja: Niech Aij oznacza dopełnienie algebraiczne

elementu aij macierzy A stopnia n, zaś A  oznacza

macierz dopełnień algebraicznych macierzy A:

    nnijij

ji

ij AA,n1,2,...,ji,dlaM1)(A   

df

Ćwiczenie: Wyznaczyć macierz A  , gdy

  

  



322

201

111

A

 Twierdzenie Laplace’a (zwane regułą Laplace’a).

Jeśli A=[a i j]nn , a i jR, to: - to jest wzór na obliczanie DetA przez rozwijanie względem i-tego wiersza; bądź - to jest wzór na obliczanie DetA przez rozwijanie względem j-tej kolumny. Przykład: Obliczyć poniższy wyznacznik stopnia 5 postaci:

dokończ!

Definicja: Macierz A stopnia n nazywamy nieosobliwą, gdy DetA≠0. W przeciwnym przypadku macierz A nazywamy macierzą osobliwą.

...)1(2)1()1(

)1(1)1(0

35

53

34

43

32

23

31

13



 



MM

MM

docsity.com

nnn

ini

n

nnn

ini

n

nnn

ininii

n

aa

bb

aa

aa

aa

aa

aa

baba

aa

...

...

...

...

...

...

...

...

...

1

1

111

1

1

111

1

11

111















 Dowodzi się między innymi następujące własności wyznaczników:

 Wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz, bądź jedna kolumna, składa się z samych zer, jest równy zero. (Dowód oczywisty!).

 Det A=DetA T , tzn. ...

 Przestawienie dwóch wierszy (bądź kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika tej macierzy.

 Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (bądź kolumnach) jest równy zero.

 Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (bądź kolumny) można wyłączyć przed znak wyznacznika.

 Wyznacznik, którego dwa wiersze (bądź kolumny) utworzone są z elementów odpowiednio proporcjonalnych jest równy zero.

 Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli do elementów jednego wiersza (bądź kolumny) dodamy odpowiednio elementy innego wiersza (bądź kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.



 Twierdzenie Cauchy’ego : Jeżeli A,BKnm , to

Det(AB) =DetADetB.

 Det(tA)= t n DetA, gdy tR, AKnn

. :

docsity.com

Przekształcenia elementarne macierzy

Definicja: Niech A=[a i j]nm , a i jR Przekształceniami elementarnymi I rodzaju (bądź na

wierszach) macierzy A nazywamy następujące działania: 1) pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza

przez liczbę różną od zera; 2) zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych

wierszy macierzy; 3) dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza

odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera.

 Działania analogiczne do 1) -3) na kolumnach macierzy nazywamy przekształceniami elementarnymi II rodzaju.

 Korzystając z własności wyznaczników dowodzi się między innymi, że:

1) Przy wykonywaniu przekształceń elementarnych macierzy nie zmieniamy rzędu macierzy.

2) Stopień podmacierzy EK macierzy danej w postaci kanonicznej jest równy rzędowi tej macierzy, czyli: rz(A)=rz(EK).

Definicja: Każdą macierz (w szczególności kwadratową) B utworzoną z macierzy A przez skreślenie w niej pewnej liczby wierszy i kolumn nazywamy podmacierzą macierzy A. Stąd w szczególności: 1) B jest stopnia od 1 do min(n,m), gdzie A jest

o wymiarach nxm; 2) B=A jest podmacierzą macierzy A.

docsity.com

 

  

 

21 00

RE A

k

  

  

0000

10110

3201

Postać kanoniczna macierzy Definicja: Każdą macierz A=[a i j]mn można za pomocą przekształceń elementarnych I rodzaju (bądź II rodzaju)

przekształcić w macierz postaci: ,

która nazywana jest postacią kanoniczną (bądź bazową) danej macierzy A; przy czym Ek jest jej podmacierzą

jednostkową stopnia k, kmin(n,m), R jest podmacierzą zwaną macierzą resztową, zaś 01,02 są to jej podmacierze zerowe. Definicja: Macierze otrzymane z danej macierzy w wyniku przekształceń elementarnych nazywamy macierzami równoważnymi, co będziemy zapisywać symbolem . Przykład: Wyznaczyć rząd macierzy A, gdy

  

  

5825

3201

4312

A

12

5

3

12

12

1

2

ww

ww

w

  

  

50

10110

21

2

1

2

1

2

3

2

1

23

31

2 ww

ww

E2 R Stąd rz(A)=rz(E2)=2. 01 02

docsity.com

434 3

3 CC

1824 2

3 CC

1214 1

3 CC

Ćwiczenie: Sprawdź, że rz(B)=2, gdy:

  

  







35156

13334

32523

B

Przy obliczaniu rzędu macierzy przydatna jest także poniższa definicja: Rzędem macierzy niezerowej A o wymiarze nxm nazywamy najwyższy stopień nieosobliwej podmacierzy B macierzy A. Przykład: Wyznaczyć rząd macierzy A za pomocą wyznaczników, gdy:

.

1540

1102

2123

  

  

A

Dla wyznaczenia rzędu macierzy A należy znaleźć podmacierz B macierzy A stopnia co najwyżej 3. Stąd: - podmacierzy stopnia 3 będzie: - podmacierzy stopnia 2 będzie: - podmacierzy stopnia 1 będzie: Sprawdź, że rz(A)=2. Definicja: Macierz kwadratowa A

-1 spełniająca równość

AA -1

=A -1

A=En nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A stopnia n. Twierdzenie: Jeśli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to istnieje do niej macierz odwrotna A

-1 , przy czym:

, gdzie A D jest macierzą dopełnień

algebraicznych elementów macierzy A.

TDA DetA

A )( 11 

docsity.com

TDA DetA

A )( 11 

. 2221

1211

 

  

 

AA

AA AD

  . 13

21 ,

12

31  

  



 

  



 

TDD AzaśA

  . 7

1

7 1

7 3

7 2

7 1

1

 

  

 

 

TDAA

 

 







mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

....

....

....

2211

22222121

11212111

Przykład: Wyznaczyć macierz odwrotną (o ile istnieje) do macierzy A, gdy:

. 13

21  

  

 A

Plan rozwiązania:

1) Badam nieosobliwość macierzy A: DetA= -1-6= -70, czyli A jest macierzą nieosobliwą.

2) Wobec spełnionego założenia w/w twierdzenia to istnieje A

-1 , przy czym:

 Wyznaczam macierz

A11=(-1) 1+1 |1|=1 ; A12=(-1)

1+2 |3|= -3

A12=(-1) 2+1 |2|= -2 ; A22=(-1)

2+2 |-1|= -1

Stąd:

 Wyznaczam macierz

Układy równań liniowych

Rozważmy układ m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2,..., xn: (1)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome