Liczby zespolone, zadania - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Liczby zespolone, zadania - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (311.5 KB)
7 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: liczby zespolone, zadania. Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 7
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Lista nr 1 - Liczby zespolone Zadanie 1. Obliczyć:

a) ( 3− i)32

b) (6 2 i−

12

)18 c) (1+

3i)8

(i−1)6

d) 1 + 3−i 2 +

(3−i 2

)2 + . . .+

(3−i 2

)20 e) ( 1 2

3 2 i )77

f*) ( 1

3−i 2

)24 g) ( 1+

3i

1− √ 3i

)2 h) (1+

3i)15

(1−i)20

i) 1 1

2i

Zadanie 2. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:

a) 5+i2+3i

b*) 1 + sinα− i cosα

c) ( 6−i

2)6

(1−i)7·i99

d) ( 1−i 1+i

3

)20 e) (1−i

3)6

(1+i √ 3)9

Zadanie 3. Przedstawić w postaci algebraicznej:

a) ( cos π5 − i sin

π 5

)25 b) 3

√ −5i

c) 1 + 2i (z definicji pierwiastka zespolonego)

d) 4 √ −16

Zadanie 4. Rozwiązać równanie:

a) z4 + 4 = 0

b) z2 + (2 + 2i)z + 1 + 2i = 0

c) z4 3z2 + 4 = 0

d) i · (z + z) + i · (z − z) = 2i− 3

e) (z + i)3 = 3+i

1+ 3i

f) |z|2 + z = 2 + i

g) iz2 + (1 + i)z − 12 = 0

h) z3 = (1− √ 3i)6

i*) z6 = (1 + 3i)12

1

docsity.com

j) (z)3 − iz = 0

k) |z|2 = |z| 2

z−i

l) z2 3z = 3− i

m) z4 − iz2 + 2 = 0

n) (1 + i)4 · z4 = 1

o) (z)3 · i = 1

Zadanie 5. Naszkicować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:

a) π3 < arg(z + i) < π

b) π < arg(z3) < 32π

c) ∣∣ z i + 5

∣∣ > 3 d) Re(z + 1)2 > 0

e) { 1 < |z + 1− i| < 2 Im(iz) < 2

f)

{ ∣∣∣ z−1z−i ∣∣∣ > 1 π < arg(z) < 2π

g) Re[z · (1− i)] ¬ 1

h*) |z − i|+ |z + i| ¬ 4

i) |z − 2| ¬ Imz + 3

2

docsity.com

Lista nr 2 - Wielomiany, funkcje wymierne Zadanie 6. Udowodnić, że jeżeli liczba z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to również z jest jego pierwiastkiem.

Zadanie 7. Liczba i jest jednym z pierwiastków wielomianu f(z) = z4+z3+2z2+z+1. Znaleźć pozostałe pierwiastki.

Zadanie 8. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu f(z) = 2z3 3z2 + 2z − 1. Rozłożyć f na czynniki liniowe.

Zadanie 9. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian f(z) = z4 6z3 + 15z2 18z + 10, jeżeli wiadomo, że liczba 2 + i jest jednym z jego pierwiastków.

Zadanie 10. Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu f(z) = z110 2z55 + 1 przez wielomian p(z) = z2 + 1.

Zadanie 11. Funkcję wymierną (właściwą) f przedstawić w postaci sumy ułamków prostych:

a) f(x) = x 2

x3+x24x−4

b) f(x) = 1x(x2+1)2

c) f(x) = 1+x 3

(x−x2)2

d) f(x) = 1x5−x4+x3−x2+x−1

e*) f(x) = 1+xx4+81

f) 4x 33x22x+2 x4−x3 ,

g) x2x3−x24x+3 ,

Zadanie 12. Funkcję wymierną f przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych:

a) f(x) = 5x 2

x21

b) f(x) = x 42

x3+x

3

docsity.com

Lista nr 3 - Macierze i wyznaczniki Zadanie 13. Obliczyć wyznacznik:

a)

1 1 1 1 1 i 1 2 1 1 1 4 1 −i 1 8

b)

0 1 0

. . . 1 0

(wyznacznik n× n, odp: (1)n−1(n− 1))

c)

5 3 4 2 0 3 1 2 5 1 7 2 8 3 1 4 5 4 7 2 2 2 3 0 3

(odp: 299)

d) cos(φ) sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(θ)

−r sin(φ) sin(θ) cos(φ) sin(θ) 0 r cos(φ) cos(θ) r sin(φ) sin(θ) −r sin(θ)

(odp: r2 sin(θ))

Zadanie 14. Wyznaczyć wszystkie α ∈ R, dla których macierz A =

 α 0 11 α− 1 0 1 1 1

 jest nieosobliwa. Dla α = 1 wyznaczyć dwoma metodami A−1. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że A·A−1 = A−1·A = I.

Zadanie 15. Rozwiązać równanie, gdzie X ∈ Rn×k:

a) X + ( 1 3 2 0

) = ( 1 3 2 0

) ·X

b) X ·

 1 1 21 1 0 0 1 1

 = ( 1 3 2 0 1 2

)

c)

 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 0 1 1 2 3

 ·X = ( 1 0 0 13 1 1 2 )T

(stosować operacje elementarne)

d)

 1 2 30 1 2 1 0 1

1 ·X = X +  11 1

 Zadanie 16. Wyznaczyć rząd macierzy:

a)

 1 1 1 2 0 12 4 2 2 2 4 4 5 2 7 4 4

T

b)

 1− α 2 1 α1 2− α 1 0 1 2 1− α α

, gdzie α ∈ R jest parametrem

4

docsity.com

Lista nr 4 - Układy równań liniowych, twierdzenie Kroneckera- Capellego Zadanie 17. Sprawdzić, czy układ równań jest układem Cramera:

a)

 2x+ 3y = 2 x+ y + 5z + 2t = 1 2x+ y + 3t = 3 x+ y + 3z = 3

Wyznaczyć x i t.

b)

 3x+ y + z + t = 0 3x+ 3y + z + t = 0 3x+ 3y + 3z + t = 0 3x+ 3y + 3z + 3t = 3

Wyznaczyć y i z.

Zadanie 18. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań:

a)

 x+ 2y + z = 1 3x+ 7y + 6z = 3 x+ 3y + 4z = 1 2x+ 3y − z = 2 x+ 4y + 7z = 1

b)

 5y + z = 0 3x− y + 2z + 2w = 7 y + w = 2 −x− 2z = 1

Zadanie 19. Dla jakich wartości parametru a układ równań

 (2− a)x+ y + 2z = 02x+ (1− a)y + 2z = 02x+ y + (2− a)z = 0 ma niezerowe rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania.

Zadanie 20. Dany jest układ równań

 mx+ y + z = 4x+my + z = 4m x+ y +mz = 4m2

, gdzie m ∈ R jest parametrem. Wyznaczyć

te wartości m, dla których układ ten jest układem Cramera. Następnie dla m = 2 rozwiązać ten układ stosując:

• wzory Cramera,

• metodę macierzy odwrotnej,

• metodę eliminacji Gaussa.

Zadanie 21. Zbadać rozwiązywalność układu równań. Wyznaczyć, jeśli istnieją, rozwiązania (a ∈ R - parametr):

a)

 x+ y = 12x+ 3y = 54x+ 5y = 7 b)

 x− 2y + z + w = 1x− 2y + z − w = 1 x− 2y + z + 5w = 5

c)

 ax+ ay + 2az = 5x+ 3y + az = 5 x+ y + 2z = 3

d)

 ax− 4y = 0x+ 3y = 2a+ 15x− y = 9 5

docsity.com

e)

 x+ 2y − z + 4t = 22x− y + z + t = 1 x+ 7y − 4z + 11t = a

Zadanie 22. Zbadać rozwiązywalność układu równań

 y + 2z + u+ 3v = 1 x+ 2y + 3z + v = 1 −x+ z + 2u+ 5v = 5 2x− 2y − 2z + 2u+ 4v = 4

.

6

docsity.com

Lista nr 5 - ???

7

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.