Dyfrakcja - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Dyfrakcja - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (549.5 KB)
10 strona
363Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z fizyki: dyfrakcja; pojedyncza szczelina.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 10
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 29

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 29

29. Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają- cym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro- magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru). Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

S

B C

P a)

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natę- żenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj. wektory E). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ: • elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od

punktu P. • światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami. Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń- czonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne. Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi- dać na rysunku (b).

do bardzo odległego ekranu z bardzo

odległęgo źródła

b)

θ

B

29-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek (rysunek c).

S

ff B C

P

θ

c)

Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga. W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.

29.1 Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Rozpatrzmy punkt środkowy P0 ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fa- zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie P0 będzie maksimum.

P0

f B

a

C

Rozpatrzmy teraz inny punkt P1 na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do P1 wychodzą ze szczeliny pod kątem θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi w jej środku. (Promień xP1 przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchy- lany).

29-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a

θ θ

b’

b

λ/2

x

P1

P0

Jeżeli wybierzemy punkt P1 tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła λ/2 to promienie zgod- ne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P1 fazy przeciwne i wygaszą się. Podob- nie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P1 będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to minimum ma następującą postać

λθ 2 1sin

2 1

=a

czyli asinθ = λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerza- nia szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozwa- żania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci asinθ = mλ, m = 1, 2, 3,...... (minimum) (29.1) Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście maksima natężenia.

29.2 Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe

Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyj- nym w funkcji kąta θ. Teraz zrobimy to jakościowo. Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szeroko- ści ∆x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie określone zaburzenie falowe.

29-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a θ

θ

∆x sinθ

B C

P

P0

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi ∆xsinθ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

λ θ

π ϕ sin

2 x

= ∆

czyli

θ λ πϕ sin2 x∆=∆

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę sa-

mą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę). • Dla małych kątów θ amplitudy ∆E0 zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od

różnych pasków przyjmujemy za jednakowe. Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu- dzie ∆E0, tej samej częstości i tej samej różnicy faz ∆ϕ między kolejnymi wektorami. Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych ką- tów θ, tzn. dla różnych ∆ϕ. Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc na ekranie. • Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆ϕ=0°). • Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum środkowego (∆ϕ=5°).

• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆ϕ=30°). • Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)

(∆ϕ=42°).

29-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Eθ = EM

Eθ Eθ

Eθ = 0a)

b)

c)

d)

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa EM ale amplituda Eθ jest różna. Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natę- żenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe.

29.3 Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej na poprzednim rysunku (b).

R

R

Em Em

Eθ

αα ϕ

ϕ

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi Em czyli równa jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn. ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli- ny.

29-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widać z rysunku

2 sin2 ϕ

θ

= R

E

czyli

2

sin2 ϕθ RE = (29.2)

W mierze łukowej

R Em

Stąd

ϕ mER =

Podstawiając do równania (29.2) otrzymamy

2 sin

2

ϕ ϕθ

mEE =

czyli

α αθ

sinm EE = (29.3)

gdzie α = ϕ/2. Przypomnijmy, że ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny. Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asinθ (a szerokość szczeliny) więc możemy posłużyć się znanym związkiem

różnica faz/2π = różnica dróg/λ otrzymując

θ λ πϕ sin2 a=

lub

θ λ

πϕα sin 2

a == (29.4)

Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc

29-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2sin

  

  =

α α

θ mII (29.5)

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α = mπ, m = 1, 2, 3,.... Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy

asinθ = mλ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe). Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych. Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α = (m+1/2)π, m = 1, 2, 3,....... Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy Iθ/Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją. Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe Iθ dla różnych szerokości szczeliny (w sto- sunku do długości fali λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).

a=10λ

a=5λ

a=λ

10510 5

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

θ (deg)

29-7

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a << λ) tak, że każda ze szczelin oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywali- śmy prążki o jednakowym natężeniu. Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a << λ. Oznacza to, że pojedyn- cza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ- rym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od te- go obrazu dyfrakcyjnego. Odejście od założenia a << λ powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich poło- żenia pozostają prawie nie zmienione). Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem

βθ 2

int,int, cosmII = gdzie

θ λ

πβ sind=

przy czym d jest odległością między szczelinami. Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

2

,, sin

  

  =

α α

θ dyfmdyf II

gdzie

θ λ

πα sina=

przy czym a jest szerokością szczeliny. Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli- tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymu- jemy

2

2 sin)(cos   

  =

α αβθ mII (29.6)

Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy- frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują). Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50λ i trzech wartości sto- sunku a/λ.

29-8

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 a = λ

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 5λ

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 10λ

1010 55

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

θ (deg)

29-9

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyj- nym. Obraz jest więc iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego (rysunek poniżej). Czynnik interferencyjny (cos2β) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik dyfrakcyjny (sinα/α)2 na środkowym, a ich iloczyn na dolnym.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 w

zg lę

dn e

na tę że

ni e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1010 55 θ (deg)

a = 5λ

w zg

lę dn

e na

tę że

ni e

29-10

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome