Zad 1015dodatkowe, Ćwiczenia i Zadania'z Matematyka. Nie jest zdefiniowana Uniwersytet
strawberryicecream
strawberryicecream22 September 2016

Zad 1015dodatkowe, Ćwiczenia i Zadania'z Matematyka. Nie jest zdefiniowana Uniwersytet

PDF (219.5 KB)
18 strona
30Liczba odwiedzin
Opis
..
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 18
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

1

Algebra z geometri a analityczn a  MAP1015, MAP1016, MAP1017 Zadania dodatkowe (utrwalaj ace)

Zadania z list dodatkowych zawieraj a gÃlownie zadania rachunkowe, uÃlatwiaj ace utrwalenie materiaÃlu poznanego na wykÃladzie. S a one o ro znym stopniu trudnosci. Do zadan doÃl aczone s a odpowiedzi.

Niektore z poni zszych zadan s a mojego autorstwa, wi ekszosc jednak jest zaczerpni eta lub wzorowana na zadaniach ze zbiorow zadan cytowanych na listach podstawowych. Zadania z plusem wykraczaj a nieznacznie poza obowi azuj acy program. Zadania z gwiazdk a obowi azuj a na WydziaÃlach: Elektrycznym, Elektroniki oraz Elektroniki Mikrosystemow i Fotoniki.

WiesÃlaw Dudek

Uwaga. Nadal obowi azuj a listy podstawowe i uzupeÃlniaj ace, opracowane przez prof. Krystyn e Zi etak.

Macierze 1. Obliczyc podane iloczyny macierzy:

a) [

1 2 3 2 1 1

] ·  

2 3 0 1 4 2

3 1 1

  , b)

[ 1 1 1 1 0 2

]T · [

1 2 3 0 1 2

] ,

c)

 

3 4 5 2 3 3 3 5 1

  ·

 

3 29 2 18 0 3

  , d)

[ 1 1 1 1 1 2 3 0

] · [ 0 1 2 3 ]T .

2. Dla macierzy A = [

1 1 2 0 2 1

] oraz B =

[ 2 3 1 2 1 0

] obliczyc (o ile to mo zliwe) podane wyra zenia:

a) 2A−B, b) AB, c) ABT , d) AT B, e) A3, f) (BT A)2, g) A + B − I .

3. Obliczyc AB i BA dla macierzy: A = [

1 2 3 4 1 0 1 2

] , B =

 

3 4 1 3 0 2 1 1

  .

4. Obliczyc B = AAT − 4I oraz C = AT A − 4I , gdzie A = [

0 1 1 2 1 2

] , a I jest macierz a

jednostkow a.

5. Wyznaczyc wszystkie macierze przemienne z macierz a

 

1 0 0 0 2 0 0 0 3

  .

6. Uzasadnic, ze iloczyn macierzy diagonalnych jest macierz a diagonaln a. Czy iloczyn macierzy trojk atnych gornych jest macierz a trojk atn a gorn a?

7. Obliczyc B13 + B dla macierzy:

a)

 

1 2

3

2

− √

3 2

1 2

  , b)

 

0 1 1 0 0 1 0 0 1

  , c)

 

1 0 1 0 1 0 0 0 0

  .

8. Znalezc macierz rzeczywist a X speÃlniaj ac a rownanie:

a) 2X − 3XT = [

1 0 5 4

] , b) X + XT =

[ 0 0 0 0

] , c) XXT =

[ 0 1 1 0

] ,

d) XXT = [

0 1 1 1

] , e)

( AAT

) X =

[ 3 6 1 2

] , gdzie A =

[ 1 1 1 0 0 2 1 2

] .

2

9. Rozwi azac poni zsze rownania macierzowe:

a) [

1 0 1 2 1 2

] ·X =

[ 1 1

] , b)

[ 2 1 2 0

] ·X ·

[ 2 1 3 1

] =

[ 29 12 14 6

] ,

c) XT · [ 1 2 3 ] = [

0 0 0 1 2 3

] , d) X +

 

0 2 0 2 2 1

  = 2X −

 

1 2 1 1 0 1

  ,

e)

 

1 1 1 1 2 2 1 2 2

  ·X +

 

0 5 0 5 0 3 4 3 3

  =

 

0 0 3 2 0 8 4 5 5

  .

10. Wyznaczyc macierze X i Y speÃlniaj ace rownanie XA = I + Y wiedz ac, ze dwie pierwsze kolumny macierzy Y skÃladaj a si e z samych zer, macierz I jest macierz a jednostkow a odpowiedniego wymiaru oraz

A = [

1 1 1 0 2 3

] .

11. Znalezc wszystkie macierze rzeczywiste X speÃlniaj ace warunek:

a) X2 = [

1 1 0 1

] , b) X2 =

[ 4 0 1 1

] , c) X2 =

[ 1 1 0 1

] .

12. Znalezc wszystkie macierze trojk atne gorne stopnia dwa speÃlniaj ace warunek A3 = 0.

13. Znalezc wzor na nt a pot eg e macierzy:

a) A = [

1 1 0 1

] , b) B =

 

1 0 1 0 1 0 1 0 1

  , c) C =

 

cos x sin x 0 sin x cos x 0

0 0 1

  .

14. Macierz A speÃlniaj ac a warunek A = −AT nazywamy macierz a antysymetryczn a (lub skosnie symetryczn a). Podac przykÃlady takich macierzy. Co mo zna powiedziec o elementach zerowych wyst epuj acych w tych macierzach?

15. O macierzach B = [bij ] i X wiadomo jedynie, ze X jest antysymetryczna oraz b11 = 3, b12 = 1, b31 =

2. Czy na tej podstawie mo zna rozwi azac rownanie (AX)T = B + AT , gdzie A = [

2 1 1 0 1 1

] ?

16. Niech A b edzie dowoln a macierz a kwadratow a. Pokazac, ze macierz B = A + AT jest symetryczna, a macierz C = A−AT antysymetryczna.

17. Poni zsz a macierz przedstawic jako sum e macierzy symetrycznej i antysymetrycznej 

1 2 3 4 5 0 2 1 1

 .

Czy ka zd a macierz kwadratow a mo zna przedstawic jako sum e macierzy symetrycznej i antysymetrycznej?

18. Znalezc wszystkie macierze trojk atne gorne (dolne) A stopnia 2 speÃlniaj ace warunek AAT = I.

19. Rozwi azac rownanie AX = I, gdzie A = [

1 1 1 0 1 1

] . Czy X = A−1 ? Obliczyc XA.

20+. Wyznaczanie macierzy odwrotnej A−1 metod a przeksztaÃlcen elementarnych (metod a bezwyznacznikow a) polega na wykonywaniu takich elementarnych operacji na wierszach macierzy [A, I], by otrzymac macierz postaci [I, X]. Wowczas otrzymana macierz X b edzie macierz a odwrotn a do macierzy A. Jesli w trakcie wykonywania przeksztaÃlcen elementarnych oka ze si e, ze otrzymanie macierzy [I, X] nie jest mo zliwe, to macierz A−1 nie istnieje. Zastosowac powy zsz a metod e do wyznaczenia macierzy odwrotnych do nast epuj acych macierzy:

A =

 

1 2 4 0 1 2 0 0 1

  , B =

 

0 1 1 1 2 1

2 1 0

  , C =

  5 3 1

2 4 1 0 5 1

  , D =

 

1 2 3 1 1 0 1 1 3 1 4 1 0 1 1 2

  .

3

Czy wszystkie macierze odwrotne istniej a?

21. Obliczyc macierz 1 2 C−1DT dla

C =

 

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1

  , D =

 

2 0 0 1 1 18 18 17 2 0 0 1 4 0 0 2

  .

22. Rozwi azac poni zsze rownania macierzowe:

a) [

2 1 0 1

] ·X ·

[ 2 1 0 1

]1 =

[ 1 4 2 2

] ;

b) [

3 4 1 1

]1 ·X ·

[ 3 4 1 1

] =

[ 0 1 0 0

] ;

c)

 

1 4 3 1 5 3

1 6 4

  1

·X ·  

1 4 3 1 5 3

1 6 4

  1

=

 

5 16 17 2 3 1

4 0 3

  .

Wyznaczniki 1. Obliczyc wyznaczniki:

a)

∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 5 0 6 0 0

∣∣∣∣∣∣ , b)

∣∣∣∣∣∣

1 0 2 0 3 0 2 0 5

∣∣∣∣∣∣ , c)

∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 2 3 2 5 6

∣∣∣∣∣∣ .

2. Czy rownosc ∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 0 ex

1 e−x 0

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ sin x cos x

cos x sin x

∣∣∣∣∣

jest prawdziwa? Jesli tak, to dla jakiego x?

3. Obliczyc dane wyznaczniki, stosuj ac rozwini ecie Laplace'a:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 0 3 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ , b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 8 7 0 0 6 5 4 3 0 0 2 1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ , c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 4 0 2 0 1 5 0 1 2 0 6 4 3 2 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 6 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 6 1 3 2 0 0 2 0 1 3 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 4 6 0 0 5 1 1 1 5 9 2 4 8 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

4. Obliczyc wyznacznik macierzy C = AB oraz D = ABT , gdzie

A =

 

1 2 3 4 0 1

2

3

0 0 1

7 0 0 0 5

  , B =

 

1 0 0 0 2 1 0 0 5

5 5 0

7 8

8 4

  .

5. Obliczyc poni zsze wyznaczniki, wykonuj ac przeksztaÃlcenia elementarne na wierszach i kolumnach:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 1 1 1 2 3 3 3 1 3 2 3 3 1 3 3 2 3 1 3 3 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

6. Stosuj ac przeksztaÃlcenia elementarne na wierszach lub kolumnach, przeksztaÃlcic dane wyznaczniki do postaci trojk atnej i nast epnie obliczyc ich wartosc:

4

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 1 1 1 3 4 2 1 2 1 4 3 1 2 3 1 4 1 2 3 4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

7. Obliczyc wyznacznik macierzy A = [ aij ] stopnia 6 o elementach aij okreslonych wzorem

aij = {

x dla i 6 j y dla i > j .

8. Niech macierze A, B, C b ed a macierzami kwadratowymi czwartego stopnia takimi, ze detA = 128, detB = 4, det C = 2 . Obliczyc: a) det (2BCT ) , b) det ((A−1B)T (2C))1.

9. Czy istnieje nieosobliwa macierz A stopnia 3 taka, ze A = −AT ? A czy mo ze istniec taka macierz nieosobliwa A dowolnego stopnia n?

10. Wiadomo, ze liczby 1798, 2139, 3255, 4867 s a podzielne przez 31. Bez obliczania wyznacznika wykazac, ze wyznacznik

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ dzieli si e przez 31.

11. Elementami macierzy kwadratowej pi atego stopnia s a liczby 0 i 1 rozmieszczone w taki sposob, ze w ka zdym wierszu wyst epuj a dokÃladnie trzy jedynki. Wykazac, ze wyznacznik tej macierzy dzieli si e przez trzy.

12. Wykazac, ze macierze A oraz B = S−1AS maj a takie same wyznaczniki. Czy z rownosci SB = AS wynika rownosc detA = detB ? Uzasadnic odpowiedz.

13. Jakie s a mo zliwe wartosci wyznacznika macierzy X speÃlniaj acej rownanie macierzowe X2 − XT = 0 . Podac odpowiednie przykÃlady.

14. Udowodnic nast epuj ace rownosci:

a)

∣∣∣∣∣∣

a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3 a1 + c1 a2 + c2 a3 + c3

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ ,

b)

∣∣∣∣∣∣

a1 + b1x a2 + b2x a3 + b3x a1 − b1x a2 − b2x a3 − b3x

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = 2x

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

15. Wykorzystuj ac wÃlasnosci wyznacznikow, wykazac, ze nast epuj ace wyznaczniki s a rowne zeru: ∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 a b c

b + c a + c a + b

∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a2 b2 c2 d2

(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2

(a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2

(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

16. Podac warunki, jakie musz a speÃlniac liczby x, y ∈ R , by istniaÃly macierze odwrotne do danych macierzy:

a) [

cos x ex

e−x cos x

] , b)

 

x 0 y 0 1 0 y 0 x

  , c)

 

0 x 0 x x 0 x 1 0 x 1 x x 1 x 1

  .

17. Niech macierz A b edzie odwracalna. Czy rownania AX = B oraz Y A = B maj a takie same rozwi azania? Wyznaczaj ac odpowiednie macierze odwrotne, rozwi azac te rownania dla:

5

A =

 

2 1 0 1 0 1 1 2 2

  , B =

 

1 7 1 2 3 0

2 5 1

  .

18. Za pomoc a macierzy doÃl aczonej dopeÃlnien algebraicznych wyznaczyc macierze odwrotne do macierzy:

a)

 

32 14 1 2 1 0

25 11 1

  , b)

 

2 0 2 3 1 4 4 2 6

  , c)

 

3 2 1 2 7 5 2 5 0 0 9 4 0 0 11 5

  , d)

 

3 3 4 3 0 6 1 1 5 4 2 1 2 3 3 2

  .

19+ Podac wartosci parametru x ∈ R , dla ktorych wyznaczniki macierzy A = [aij ] stopnia n > 4 s a rowne zero, gdzie

a) aij = {

i dla i = j < n x dla pozostalych , b) aij =

  

x dla i = j j − 1 dla i < j

j dla i > j .

20+ Obliczyc wyznacznik macierzy A = [ aij ] stopnia n > 4, gdzie

a) aij = {

0 dla i = j > 2 1 dla pozostalych , b) aij = i · j

2,

c) aij =

  

1 dla |i− j| = 1 2 dla i = j 0 dla pozostalych

, d) aij =

  

i dla i = j j dla i = 1 −i dla j = 1, i > 2 0 dla pozostalych

21+ Udowodnic nast epuj ace wzory dla wyznacznikow Un,Wn, Vn stopnia n > 2:

a) Un =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 3 0 . . . 0 0 2 5 3 . . . 0 0 0 2 5 . . . 0 0 ...

... ... . . .

... ...

0 0 0 . . . 5 3 0 0 0 . . . 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 3n+1 2n+1,

b) Wn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1 1 1 2 2 . . . 2 2 1 2 3 . . . 3 3 ...

... ... . . .

... ...

1 2 3 . . . n− 1 n− 1 1 2 3 . . . n− 1 n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 1,

c) Vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a −b 0 . . . 0 0 0 a −b . . . 0 0 0 0 a . . . 0 0 ...

... ... . . .

... ...

0 0 0 . . . a −b −b 0 0 . . . 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= an − bn.

UkÃlady rownan liniowych 1. Rozwi azac dane ukÃlady rownan liniowych niejednorodnych metod a Gaussa:

a)

  

2x − 3y − 4z = 6 −x + y + z = 2 3x + y + 5z = 2

b)

  

4x + 3y + z = 8 2x − 2y − 3z = 3

2x + 15y + 16z = 29

c)

  

x − y − z = 1 3x + 4y − 2z = 1 3x − 2y − 2z = 1 x − 3y + 3z = 1

d)

  

15x1 + 12x3 3x3 − x4 = 14 7x1 + 12x2 + 4x3 + x4 = 8

12x1 3x3 + 2x4 = 14 10x2 + x3 + 4x4 = 4

6

e)

  

x + 5y + z = 0 −x + y + 7z = 2 3x + 7y − z = 4 x + 3y + 3z = 4

2x + 5y + 2z = 5

f)

  

x1 + 2x2 3x3 3x4 = 4 2x1 − x2 3x3 − x4 = 3 3x1 + x2 4x3 4x4 = 7 x1 3x2 + 2x3 + 2x4 = 1

g)

  

x + y − z − 2u = 5 x − y − z = 1

2x − 2z − 2u = 6 3x − y − 2z − 2u = 7 2x − 2y + z = 2

h)

  

x + 2y = 3 2x − y = 0 4x + 3y = 1 5x − y = 4

2. Do ukÃladu rownan {

x + 2y + 3z = 1 x− 2y + 2z = 2 dopisac trzecie rownanie tak, by otrzymac ukÃlad, ktory b edzie

ukÃladem: a) sprzecznym, b) nieoznaczonym (czyli maj acym niejednoznaczne rozwi azanie), c) Cramera.

3. Podac wartosci parametru p ∈ R, dla ktorych dane ukÃlady rownan:

a) {

(p− 2)x + py = 1 3x + (p + 2)y = p b)

  

2px + 4y − pz = 1 2x + y + pz = 2

(4 + 2p)x + 6y + pz = 3

c)

  

x − y − z − t = px −x + y − z − t = py −x − y + z − t = pz −x − y − z + t = pt

d)

  

px + 3y + pz = p px − 2z = 1 x + 2y + pz = p

s a ukÃladami Cramera.

4. Rozwi azac dane ukÃlady rownan za pomoc a wzorow Cramera:

a)

  

x + 2y + 3z = 6 2x + 3y + z = 6 3x + y + 2z = 6

b)

  

x + 2y + 3z = 14 3x + y − z = 2 5x + 7y + 8z = 43

5. Stosuj ac wzory Cramera, wyznaczyc tylko wartosc niewiadomej y z danych ukÃladow:

a)

  

x + y + z + t = 1 2x + 2y + z + t = 0 3x + 2y + 3z + 2t = 3 6x + 4y + 3z + 2t = 2

b)

  

x − 2y + 3s + t = 1 2x − 3y + z + 8s + 2t = 3 x − 2y + z + 3s − t = 1

y + 3s + 5t = 0 x − 2y + 5s + 8t = 1

6. Niech A b edzie ustalon a macierz a i niech rownanie macierzowe AX = I ma rozwi azanie. Czy zawsze tym rozwi azaniem jest macierz odwrotna do A?

7. Niech A b edzie niesobliw a macierz a stopnia n. Dane s a dwa ukÃlady rownan liniowych niejednorodnych o tej samej macierzy ukÃladu A i o ro znych prawych stronach B1, B2 (macierze jednokolumnowe):

AX1 = B1, AX2 = B2.

Zadanie rozwi azania tych dwoch ukÃladow rownan jest rownowa zne zadaniu rozwi azaniu rownania macie- rzowego AX = B, gdzie X = [X1, X2] i B = [B1, B2] s a macierzami dwukolumnowymi. Rownanie macierzowe AX = B mo zna rozwi azac za pomoc a eliminacji Gaussa w nast epuj acy sposob:

PrzeksztaÃlcamy jednoczesnie macierz ukÃladu A i macierz prawych stron B za pomoc a elementarnych przeksztaÃlcen tak, by macierz ukÃladu zostaÃla przeksztaÃlcona do postaci gornej trojk atnej. Uwaga. To post epowanie jest rownowa zne jednoczesnemu przeksztaÃlcaniu rownan w obu ukÃladach. To jest mo zliwe, bo ukÃlady maj a wspoln a macierz ukÃladu.

7

Nast epnie rozwi azujemy odpowiednie ukÃlady rownan liniowych o wspolnej trojk atnej macierzy ukÃladu (otrzymanej w pierwszym etapie) i o przeksztaÃlconych w pierwszym etapie r o znych prawych stronach, ktore s a kolumnami przeksztaÃlconej macierzy prawych stron.

Uwaga. Powy zszy sposob mo zna zastosowac do wi ekszej liczby ukÃladow rownan liniowych ze wspoln a macierz a ukÃladu. Wowczas macierz B ma wi ecej kolumn. Zastosowac powy zsz a metod e do jednoczesnego rozwi azania par ukÃladow rownan liniowych AX1 = B1, AX2 = B2 dla nast epuj acych macierzy:

a) A =

 

1 1 1 2 1 1 3 2 1

  , B1 =

 

6 1 4

  , B2 =

 

3 0 1

  ,

b) A =

 

1 2 1 3 4 1 0 1 1

  , B1 =

 

1 1 1

  , B2 =

 

1 2 3

  .

8. Metod e opisan a w poprzednim zadaniu mo zna zastosowac do obliczenia macierzy odwrotnej A−1 poprzez rozwi azanie rownania macierzowego AX = I. Ten sposob zastosowac do obliczenia macierzy odwrotnych do nast epuj acych macierzy:

A = [

1 2 1 1

] , B =

 

1 2 5 0 1 2 0 0 1

  , C =

 

2 1 1 0 1 1 1 0 1

  .

9+. Niech A b edzie nieosobliw a macierz a stopnia n. Wyznaczenie macierzy odwrotnej A−1 jest rownoznaczne z rozwi azaniem rownania macierzowego AX = I. To rownanie macierzowe mo zna interpretowac jako n ukÃladow rownan liniowych

AXi = Ei i = 1, . . . , n,

gdzie Ei jest i-t a kolumn a macierzy jednostkowej I stopnia n, a Xi  i-t a kolumn a macierzy odwrotnej X = A−1. Korzystaj ac z dwoch poprzednich zadan, uzasadnic, ze wyznaczenie macierzy odwrotnej A−1 jest rownowa zne przeksztaÃlceniu (za pomoc a elementarnych operacji na wierszach) macierzy C = [A, I] do postaci [I,X]. Otrzymana w ten sposob macierz X jest macierz a odwrotn a A−1 (zob. zadanie 20 z listy o macierzach).

10. Dwoma sposobami wyznaczyc macierze odwrotne do macierzy:

a)

 

32 14 1 2 1 0

25 11 1

  , b)

 

1 1 1 1 2 2 1 1 2

  , c)

 

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

  , d)

 

3 2 0 0 7 5 0 0 0 0 9 4 0 0 2 1

  .

11. Wyznaczyc rz ad macierzy:

a)

 

2 1 3 2 4 4 2 5 2 7 2 1 1 8 2

  , b)

 

1 3 5 1 2 1 3 4 5 1 1 7 7 7 9 1

  , c)

 

3 2 1 2 0 1 4 1 0 3 0 2 2 1 2 1 1 3 3 1 3 9 1 6 3 1 5 7 2 7

 

.

12. Wyznaczyc rz ad macierzy w zale znosci od wartosci parametru p:

a)

 

1 p −1 2 2 1 p 5 1 10 6 1

  , b)

 

3 1 1 4 p 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3

  , c)

 

1 2 1 1 5 1 2 1 4 1 p 0 3 p 4 1

  , d)

 

p 1 1 1 1 p 1 1 1 1 p 1 1 1 1 p 1 1 1 1

 

.

13. Wiadomo, ze liczby x = 2, y = 3, z = 4 s a rozwi azaniami podanych ukÃladow rownan:

a)

  

x − y − 2z = 9 px + y + z = 9 2x + py = 7p

b)

  

x + 2y − z = 4 x − py + 2z = 4

+4x + 4y − z = 8p

8

Czy te ukÃlady maj a jeszcze jakies inne rozwi azania ?

14. Wyznaczyc wartosci parametru p ∈ R dane ukÃlady maj a rozwi azania:

a)

  

2x + 3y + z + 2t = 3 4x + 6y + 3z + 4t = 5 6x + 9y + 5z + 6t = 7 8x + 12y + 7z + pt = 9

b)

  

2x − y + z + t = 1 x + 2y − z + 4t = 2 x + 7y − 4z + 11t = p

3x + 6y − 3z + 12t = p + 1

15. Bez rozwi azywania poni zszych ukÃladow okreslic liczb e rozwi azan i liczb e zmiennych wolnych w tych rozwi azaniach:

a)

  

2x + y − z + 4u = 1 x − y + 2z − 3u = 2

3x + z u = 3 b)

  

x + 2y + 3z = 1 2x + 4y + 5z = 2 3x + 6y + 7z = 5 4x + 8y + 11z = 0

c)

  

2x − 2y + 6z = 7 6x + y + 8z = 5 4x + 3y + 2z = 12 4x + 5y + 2z = 1

16. Okreslic liczb e rozwi azan w podanych ukÃladach rownan w zale znosci od wartosci parametru p:

a)

  

2x − y − 3z + 4u = 5 4x − 2y + 5z + 6u = 7 6x − 3y + 7z + 8u = 9 px − 4y + 9z + 10u = 11

b)

  

px + y + z = 1 x + py + z = 1 x + y + pz = 1

c)

  

px + y + z = 1 x + py + z = p− 1

4x + y + pz = (p− 1)2

17. Rozwi azac dane ukÃlady rownan w zale znosci od parametru p:

a)

  

2x + y + z = 2 x + 3y + z = 3

2x + y + pz = p b)

  

px + py + (p + 1)z = p px + py + (p− 1)z = p

(p + 1)x + py + (2p + 3)z = 1

c)

  

(p + 3)x + y + 2z = p px + (p− 1)y + z = 2p

3(p + 1)x + py + (p + 3)z = 5 d)

  

x + py = 1 py + z = 0 px + z = 1

18. Rozwi azac dane ukÃlady rownan dowoln a metod a: a) 2 + x + 2y − z − t = 1 + x + y + z + 3t = 3x + 5y − z + t = 3 , b) 2x− y + z + 3t = 8x + 6y + 10z + 14t = 5 + x + 2y + 2z + 2t = 4 , c) x1 + x2 + 5x3 2x5 + 3x6 + 1 = 4x1 3x3 + x4 + x5 + 3x6 + 1 = x1 + 6x3 + x5 + x6 = 2 .

19. W pewnym kurniku mieszkaj a kury i szczury. Razem maj a one 35 gÃlow i 94 nogi. Ile jest kur, a ile szczurow?

20. Do uÃlo zenia podÃlogi planowano u zyc klepek d ebowych o powierzchni 1, 8 dm2 ka zda. Z powodu braku takich klepek u zyto klepek bukowych o powierzchni 2, 1 dm2, wskutek czego liczba potrzebnych klepek zmniejszyÃla si e o 200 sztuk. Jaka jest powierzchnia pokoju i ile zu zyto klepek bukowych?

21. Producent do wykonania pewnego urz adzenia u zywa czterech ro znych elementow. Elementy te zostaÃly dostarczone w czterech partiach w ilosciach uwidocznionych w tabelce.

element a b c d dostawa 1 30 10 20 5 dostawa 2 20 15 15 10 dostawa 3 30 20 20 20 dostawa 4 40 20 25 20

Jaka byÃla cena poszczegolnych elementow, je zli za pierwsz a dostaw e zapÃlacono 135 euro, za drug a 135 euro, za trzeci a 210 euro, a za czwart a 235 euro?

22. Znalezc rownanie paraboli przechodz acej przez punkty: a) A(1, 9), B(1,−1), C(2,−3), b) A(1, 1), B(2, 3), C(3, 5).

9

23. W wyniku przeprowadzonej kontroli w magazynie stwierdzono spore braki w dokumentacji. Magazynier twierdzi, ze w ci agu ostatniego tygodnia wydaÃl cztery rodzaje artykuÃlow w ilosciach przedstawionych w tabelce.

a b c d poniedziaÃlek 20 30 40 10

wtorek 10 30 20 70 sroda 10 10 20 10

czwartek 15 10 20 10 pi atek 25 15 10 10

WpÃlywy do kasy wygl adaÃly nast epuj aco: poniedziaÃlek  350 tys., wtorek  690 tys., sroda  170 tys., czwartek  200 tys., pi atek  205 tys. Czy na tej podstawie mo zna odtworzyc cen e poszczegolnych artykuÃlow?

Liczby zespolone

1. Znalezc liczby rzeczywiste x, y ∈ R speÃlniaj ace dane rownania: a) x(32i) + y(45i) = 109i, b) x(−√2 + i) + y(32 + 5i) = 8i, c) x(43i)2 + y(1 + i)2 = 712i, d) (2 + 3yi)(x− 2i) = 2 + xi, e) x

3 + i +

y

13i = 1, f) x 2 + i 3− i + y

( 4− i 13i

)2 = 1 + i.

2. Znalezc wszystkie liczby zespolone speÃlniaj ace dane rownania: a) 2z + z + 5i = 6, b) 2z + (1 + i)z + 3i = 1, c) 4z = z2 + 4.

3. Znalezc liczby zespolone z, u speÃlniaj ace dane ukÃlady rownan:

a) {

(2 + i)z + (2− i)u = 6, (3 + 2i)z + (32i)u = 8, b)

{ (4 + 2i)z − (2 + 3i)u = 5 + 4i, (3− i)z + (4 + 2i)u = 2 + 6i.

4. Znalezc wszystkie liczby zespolone z takie, ze z2 jest liczb a rzeczywist a.

5. Wyznaczyc wszystkie liczby zespolone speÃlniaj ace dane rownania: a) z2 = z , b) z3 = z , c) (z)2 = z2.

6. Punkty z1 = 0, z2 = 3+2i, z3 = 2+3i s a kolejnymi wierzchoÃlkami rownolegÃloboku. Wyznaczyc czwarty wierzchoÃlek tego rownolegÃloboku.

7. Na pÃlaszczyznie zespolonej narysowac zbiory punktow odpowiadaj acych liczbom zespolonym speÃlniaj acym dane warunki: a) Re (iz − 1) 6 0, b) Im (z2) > 0, c) z + i = z − i, d) 9 > z · z, e) 0 < |z + i| < 4, f) Re 1− z

1 + z = 1.

8. Znalezc postac trygonometryczn a danych liczb zespolonych: a) 3 + 3i , b) 3

33i , c) 5 + 53 i.

9. Znamy postac trygonometryczn a liczby z. Jak wygl ada postac trygonometryczna liczby z ?

10. Obliczyc wartosc danego wyra zenia:

a) (22i)10, b) (232i)30, c) ( cos

π

5 − i sin π

5

)25 ,

d) (1 + i) 22

(1−√3 i)6 , e) (

3 + i)(1−√3 i) 1− i , f)

( −√3 + i

2

)15 .

Wynik podac w postaci algebraicznej.

11. Wykazac, ze ( 1 + i ctg

π

24

)12 +

( 1− i ctg π

24

)12 = 0.

12. Przedstawic w postaci algebraicznej liczb e z = (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + . . . + (1 + i)8.

10

13. Prostok at przedstawiony na rysunku skÃlada si e z trzech kwadratow o boku dÃlugosci a. Obliczyc sum e zaznaczonych k atow.

¡ ¡

¡¡

©© ©©

©© ©

³³ ³³

³³ ³³

³³

14. Narysowac zbiory punktow odpowiadaj acych liczbom zespolonym speÃlniaj acym dane warunki: a) π 6 arg (iz) < 2π, b) π

3 6 arg (−z) 6 π

2 ,

c) |z − 12i| > 3 oraz |z − 3| < 5, d) arg (−z) > π 2 ,

e) |z + 4| 6 6, Im z > 0, arg z > π 2 , f) |z + 2i| < 2, −π < arg z < π.

15. Udowodnic, ze dla ka zdej liczby zespolonej z speÃlniona jest rownosc: |z|2 + |iz|2 = |z − iz|2. Jaki jest sens geometryczny tej rownosci?

16. Liczba z = 1 + 3 i jest jednym z wierzchoÃlkow kwadratu. Wyznaczyc pozostaÃle wierzchoÃlki tego kwadratu, gdy jego srodkiem jest: a) pocz atek ukÃladu wspoÃlrz ednych, b) punkt z0 = 1, c) punkt z0 = 3 + i.

17. Obliczyc i zaznaczyc na pÃlaszczyznie punkty odpowiadaj ace danym pierwiastkom: a) √−11 + 60i , b) 3√i , c) 4√−4.

18. Odgaduj ac jeden z elementow danych pierwiastkow, obliczyc pozostaÃle:

a) √

(54i)4 , b) 3 √

(22i)9 , c) 4 √

(2 + 3i)4 , d) 4 √

(

3− i)12 .

19. Rozwi azac dane rownania: a) z · z4 = 32, b) z · z3 + z · 8i = 0, c) (i + z)4 = (1− z)4, d) (i− z)4 = (z − 1)4.

20. Wykazac, ze liczba zespolona z jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby rzeczywistej w wtedy i tylko wtedy, gdy takim pierwiastkiem jest liczba z. Czy tak samo b edzie, gdy w b edzie liczb a zespolon a?

21. Obliczyc sum e oraz iloczyn wszystkich pierwiastkow zespolonych n-tego stopnia z jedynki, gdzie n jest ustalon a liczb a naturaln a.

22. Przedstawic w postaci wykÃladniczej liczby: a) 8i , b) 22i , c) (−√3 + i)3 , d) (1 + i)20.

23. Stosuj ac postac wykÃladnicz a, rozwi azac dane rownania:

a) z3 = 8i, b) z4 = 4 , c) z4 = 1 2 − √

3 2

i. Wynik podac w postaci algebraicznej.

24?. Korzystaj ac z postaci trygonometrycznej lub wykÃladniczej, rozwi azac rownania: a) |z4| = z , b) z3 · (z)2 = 1 , c) z3 = (2 + 2i)6.

25?. Stosuj ac postac trygonometryczn a lub wykÃladnicz a, rozwi azac podane rownania:

a) z7 = z , b) (z5) = z2|z3| , c) (z)2 |z4| = 1 z2

, d) |z|4 = iz4 , e) z6 = (z)6 , f) |z4| = z2 .

26?. Korzystaj ac z postaci trygonometrycznej lub wykÃladniczej liczb zespolonych, wyprowadzic wzor na cosϕ2 .

27?. Wykazac, ze dÃlugosc boku n-k ata foremnego wpisanego w okr ag o promieniu r jest rowna r

22 cosϕ, gdzie ϕ = 2πn . Wyprowadzic na tej podstawie wzor na dÃlugosc okr egu.

Wielomiany i uÃlamki proste

11

1. Nie wykonuj ac dzielenia, znalezc reszt e z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q: a) P (x) = x5 + x2 + x + 1, Q(x) = x2 1; b) P (x) = x7 − x5 + x4 + x3 + x + 3, Q(x) = x3 − x; c) P (x) = 2x5 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 2, Q(x) = x2 + 1; d) P (x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + 5x, Q(x) = x2 2x + 2.

2. Znaj ac jeden z pierwiastkow wielomianu, znalezc pozostaÃle: a) W (x) = x4 5x3 + 7x2 5x + 6, x1 = i; b) W (x) = x4 5x3 + 10x2 10x + 4, x1 = 1− i; c) W (x) = x5 − x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 5, x1 = 1 + 2i; d) W (x) = x5 + 8x4 + 22x3 18x2 19x + 30, x1 = 2− i.

3. Podac przykÃlady wielomianow rzeczywistych najni zszego stopnia, dla ktorych liczby a) 22i, 2i s a pierwiastkami pojedynczymi, a liczba 3 jest pierwiastkiem potrojnym, b) 2− i, 1− i, i s a pierwiastkami pojedynczymi, a liczba 1 jest pierwiastkiem podwojnym, c) 1 + 2i, −3 s a pierwiastkami pojedynczymi, a liczba 1 + i jest pierwiastkiem podwojnym.

4. Dane wielomiany przedstawic w postaci iloczynu rzeczywistych wielomianow nierozkÃladalnych: a) P (x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + 6x− 4; b) P (x) = x6 1; c) P (x) = x5 2x2 − x + 2; d) P (x) = x4 81; e?) P (x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.

5. RozÃlo zyc na rzeczywiste uÃlamki proste nast epuj ace funkcje wymierne:

a) 2x 2 2x + 3

(x2 2x + 2)(x2 + 1) ; b) 2x

3 + 3x2 + 4x− 3 (x2 1)(x2 + 2)

; c) 5x− 12 x2 5x + 6

; d) x 3 8x2 14x− 13

x4 − x3 5x2 − x− 6 .

Zadania z geometrii analitycznej 1. Punkty A(3,−1, 2), B(1, 2,−4), C(1, 1, 2) s a kolejnymi wierzchoÃlkami rownolegÃloboku ABCD. Wyz-

naczyc wspoÃlrz edne punktu D.

2. Czy punkty A(3,−1, 2), B(1, 2,−1), C(1, 1,−3), D(3,−5, 3) s a wierzchoÃlkami rownolegÃloboku? 3. Punkty B(2, 0, 2) i C(5,−2, 0) dziel a odcinek AD na trzy rowne cz esci. Wyznaczyc wspoÃlrz edne punktow

A i D.

4. Wyrazic przek atne rownolegÃloscianu rozpi etego na wektorach ~u = [ 1, 1, 2 ], ~v = [ 3,−1, 2 ], ~u = [ 0, 2, 3 ] przy pomocy tych wektorow.

5. Dla jakich wartosci parametru p ∈ R wektory ~u = [ 0, 1, 1 ] oraz ~w = [ p, 2, p ] s a prostopadÃle?

6. Dla jakich wartosci p ∈ R k at mi edzy wektorami ~u = [ 0, 1, 1 ] oraz ~w = [ p, 4, p ] jest rowny π 3 ?

7. Punkty A(2, 4, 6), B(0, 0, 2), C(0, p, p) s a wierzchoÃlkami trojk ata prostok atnego o k acie prostym przy wierzchoÃlku B. Wyznaczyc p.

8. Wykazac, ze jesli wektory ~u + ~v oraz ~u− ~v s a prostopadÃle, to wektory ~u i ~v maj a jednakow a dÃlugosc. Jaki jest sens geometryczny tej zale znosci?

9. Wykazac, ze jesli wektory ~u + ~v oraz ~u− ~v maj a jednakow a dÃlugosc, to wektory ~u i ~v s a prostopadÃle. Jaki jest sens geometryczny tej zale znosci?

10. Wykazac, ze dla dowolnych niezerowych wektorow ~u i ~w prawdziwa jest rownosc

|~u− ~w|2 = |~u|2 + |~w|2 2 |~u| · |~w| · cosϕ , gdzie ϕ oznacza k at mi edzy wektorami ~u i ~w. Jaki jest sens geometryczny tej rownosci?

12

11. Obliczyc iloczyn skalarny wektorow ~u = 2 ~p + 4 ~q i ~v = 3 ~p + ~q, wiedz ac, ze k at mi edzy wektorami ~p i ~q wynosi 600 oraz |~p| = 3, |~q| = 2.

12. Dla jakich wartosci parametru p ∈ R pole trojk ata o wierzchoÃlkach w punktach A(2, 3, 2), B(3, 5, 7), C(p, 0, p) jest rowne 4

3?

13. Dla jakich wartosci parametrow a, b ∈ R punkty A(0, 2, 1), B(1, 2, 3), C(a, b, 7) le z a na jednej prostej? 14. Na przek atnej AC kwadratu ABCD o boku dÃlugosci a wyznaczono punkt P tak, ze odcinki BP i

PE, gdzie E jest srodkiem boku AD, s a prostopadÃle. Jaka jest dÃlugosc odcinka AP?

15. Jak zmieni si e pole rownolegÃloboku rozpi etego na wektorach ~u i ~v jesli oba wektory zwi eksz a swoj a dÃlugosc dwukrotnie?

16. Jeden z wektorow rozpinaj acych pewien czworoscian foremny zwi eksza swoj a dÃlugosc dwukrotnie, a drugi dwukrotnie zmniejsza. Jak zmieni si e obj etosc czworoscianu?

17. Dla jakich wartosci parametru p ∈ R obj etosc czworoscianu ABCD o wierzchoÃlkach w punktach A(1, 0, 1), B(1, 1, 2), C(2, 1, 1), D(p, p, p) b edzie rowna 1?

18. Dla jakich wartosci parametru p ∈ R punkty A(1, 1, 1), B(1, 1, 2), C(p, 1, 0), D(2, 0, p) le z a na jednej pÃlaszczyznie?

19. Znalezc wszystkie punkty postaci P (x, x, 2), gdzie x ∈ R, nale z ace do pÃlaszczyzny zawieraj acej punkty A(0, 1, 2), B(1, 2, 3), C(4, 1, 3).

20. Obliczyc odlegÃlosc punktu P (1,−2, 5) od pÃlaszczyzny przechodz acej przez punkty A(0,−5, 1), B(6, 3, 2), C(3,−9, 1).

21. Wyznaczyc rownanie ogolne pÃlaszczyzny przecinaj acej os z w punkcie o wspoÃlrz ednej z = 1 i zawieraj acej punkty A(0, 3, 0) oraz B(1, 2, 2).

22. Napisac rownanie ogolne (i parametryczne+) pÃlaszczyzny przechodz acej przez punkty A(3, 0, 0), B(0, 1, 0) i prostopadÃlej do pÃlaszczyzny wyznaczonej przez osie x i y.

23. Napisac rownanie parametryczne prostej przechodz acej przez punkty A(1, 1, 0) i B(1, 5,−4). 24. Napisac rownanie parametryczne prostej przechodz acej przez punkt P (2,−5, 0) i prostopadÃlej do pÃlaszczyzny

zadanej rownaniem x− 3z + 5 = 0. 25. Napisac rownanie parametryczne prostej przechodz acej przez punkt P (7, 2, 0) i prostopadÃlej do wektorow

~u = [ 3,−2,−3 ], ~v = [ 1, 2,−3 ]. 26. Napisac rownanie parametryczne prostej b ed acej cz esci a wspoln a pÃlaszczyzny π1 przechodz acej przez

punkty A(1, 7, 8), B(2, 8, 8), C(4, 2, 7) oraz pÃlaszczyzny π2 : x + 2z − 4 = 0.

27. Zbadac, czy proste l1 :

  

x = 1 + t y = 2 + t , z = 4 + 2t

oraz l2 :

  

x = 12s y = 3 + s, z = 48s

gdzie s, t ∈ R, maj a punkt wspolny.

28. Zbadac, czy pÃlaszczyzna π : x + y − z + 3 = 0 oraz prosta l :   

x = 1 + t y = 3 + 2t , z = 5 + 3t

t ∈ R, maj a punkt

wspolny.

29+. Zbadac, czy prosta l :

  

x = 1 + t y = 2− t , z = 32t

oraz pÃlaszczyzna π :

  

x = 1 + α + β y = 2 + 3α− β , z = 3 + 2α + 2β

gdzie t, α, β ∈ R, maj a

punkt wspolny.

30. Znalezc rownanie ogolne pÃlaszczyzny b ed acej dwusieczn a k ata dwusciennego utworzonego przez pÃlaszczyzny π1 : x− y + z = 0 oraz π2 : 5x + y − z + 24 = 0.

13

31. Wyznaczyc rownanie parametryczne prostej b ed acej dwusieczn a k ata utworzonego przez proste

l1 :

  

x = 1 + 2t y = 1− t , z = 2 + 2t

oraz l2 :

  

x = 14s y = 1 + 4s , z = 2 + 2s

gdzie s, t ∈ R.

32. Obliczyc odlegÃlosc punktu M(6, 6, 3) od prostej l1 :

  

x = 1 + 2t y = 1− t , z = 32t

t ∈ R.

33. Obliczyc miar e k ata mi edzy par a prostych:

a) l1 : {

x + y − z + 2 = 0 x− 4y + 3 = 0 oraz l2 :

  

x = 1 + t y = 3 + 2t , z = 2 + 3t

t ∈ R,

b) l3 : {

5x− y − z + 1 = 0 3x− z + 4 = 0 oraz l4 :

  

x = 1 + 3s y = 2− s , z = 2s

s ∈ R.

34. Znalezc punkt i k at, pod jakim prosta l przecina pÃlaszczyzn e π

a) l :

  

x = 3 + s y = 2 + 2s , z = 4 + 3s

s ∈ R, π : 4x + y + 5z − 13 = 0 ,

b) l2 :

  

x = 7 + 3t y = 1− t , z = 2 + 2t

t ∈ R, π : x + 2y + 3z + 3 = 0 .

35+. Zbadac, czy punkt M(1, 2, 1) le zy mi edzy pÃlaszczyznami

π1 : 6x− 3y + 6z + 3 = 0, π2 : 4x− 2y + 4z − 2 = 0.

36+. Zbadac, czy punkty (2, 4, 3) i B(1,−2, 2) le z a po tej samej stronie pÃlaszczyzny π : 2x + 3z − 7 = 0.

Zadania o krzywych sto zkowych 1. Znalezc rownanie okr egu, ktory:

a) przechodzi przez punkty A(3, 1), B(1, 1), C(3,−3), b) przechodzi przez punkty A(3, 1), B(1, 1) i ma srodek na prostej y = x. c) przechodzi przez punkt A(1,−2) i jest styczny do osi ukÃladu wspoÃlrz ednych.

2+. Znalezc rownanie parametryczne prostej stycznej do okr egu (x−x0)2 +(y−y0)2 = r2 w punkcie P (x1, x2) le z acym na tym okr egu.

3. Znalezc rownanie krzywej zawieraj acej punkty, ktorych odlegÃlosc od punktu P (4,−4) jest trzy razy wi eksza jak odlegÃlosci od pocz atku ukÃladu wspoÃlrz ednych.

4. Znalezc rownanie krzywej zawieraj acej punkty, dla ktorych suma odlegÃlosci od punktow M(1, 1) i N(1, 3) jest staÃla i jest rowna 4.

5. Znalezc rownanie elipsy przechodz acej przez punkty A(4, 0), B(0,−3) i maj acej srodek pocz atku ukÃladu wspoÃlrz ednych.

6. Wyznaczyc wspoÃlrz edne srodka i dÃlugosci osi dla elipsy 9x2 18x + 4y2 + 16y − 11 = 0. 7. Znalezc rownanie elipsy przechodz acej przez punkt P (1, 0) i maj acej ogniska w punktach F1(1, 2),

F2(5, 2). Jaki jest mimosrod tej elipsy?

8. Kiedy mimosrod elipsy jest rowny zero?

9. Znalezc rownanie hiperboli przechodz acej przez punkt P (6, 1) i maj acej ogniska w punktach F1(3, 1), F2(7, 1). Jaki jest mimosrod tej hiperboli?

10. Wyznaczyc wspoÃlrz edne wierzchoÃlkow i mimosrod hiperboli x2 6x− 9y2 54y = 153.

14

11. Wyznaczyc odlegÃlosc mi edzy gaÃl eziami hiperboli x2 − y2 = 1. 12. Wyznaczyc odlegÃlosc mi edzy gaÃl eziami hiperboli xy = 1.

13. Wyznaczyc wspoÃlrz edne ogniska i rownanie kierownicy paraboli: a) y2 4y − 4x + 8 = 0, b) x2 6x− 8y + 49 = 0.

Odpowiedzi do zadan o macierzach

1. a) [

9 2 1 2 9 1

] ; b)

 

1 3 5 1 2 3 1 4 7

  ; c)

 

1 0 0 1

1 6

  ; d)

[ 6 8

] .

2. a) [

0 1 3 2 3 2

] ; c)

[ 7 3 5 2

] ; d)

 

2 3 1 6 5 1 2 5 2

  ; f)

 

24 44 38 26 48 41 7 13 11

 ; pozostaÃle wyra zenia nie s a

mo zliwe do obliczenia.

3. AB = [

9 20 5 8

] ; BA =

 

7 6 13 20 4 2 6 10 2 0 2 4 2 2 4 6

  .

4. B = [ 2 3 3 5

] ; C =

 

0 2 4 2 2 3

4 3 1

  .

5.

 

x 0 0 0 y 0 0 0 z

  , gdzie x, y, z s a dowolne.

7. a) [

1

3

−√3 1

] ; b)

 

0 1 2 0 0 2 0 0 2

  ; c)

 

2 0 2 0 2 0 0 0 0

  .

8. a) [ 1 3 2 4

] ; b)

[ 0 x

−x 0 ]

, x dowolne; c) nie ma takiej macierzy; d) nie ma takiej macierzy;

e) [

1 2 0 0

] .

9. a)

 

1− x −1 x

  , gdzie x dowolne; b)

[ 2 1 3 3

] ; c)

[ 0 1

] ; d)

 

1 4 1 3 2 2

 ; e) nie ma takiej macierzy.

10. X = 1 2

[ 2 0 0 1 1 0

]T , Y =

1 2

 

0 0 5 0 0 3 0 0 2

  .

11. a) [

1 12 0 1

] ,

[ 1 12 0 1

] ; b)

[ 2 0 1 3 1

] ,

[ 2 0 1 1

] ,

[ 2 0 1 1

] ,

[ 2 0 13 1

] ;

c) nie ma takiej macierzy. 12.

[ 0 0 x 0

] , gdzie x jest dowolny.

13. a) An = [

1 n 0 1

] ; b) Bn =

 

2n−1 0 2n−1

0 1 0 2n−1 0 2n−1

  ; c) Cn =

 

cos nx sin nx 0 sin nx cos nx 0

0 0 1

  .

15. X =

 

0 2 1 2 0 4

1 4 0

  , B =

 

3 1 8 4 2 4

  .

17.

 

1 3 2 3 4 0 2 0 2

  +

 

0 1 1 1 0 0

1 0 0

  . Ka d a kwadratow a.

18. [

1 0 0 1

] ,

[ 1 0 0 1

] ,

[ 1 0 0 1

] ,

[ 1 0 0 1

] .

15

19. X =

 

1 1 x y

−x 1− y

 , gdzie x, y dowolne.

20. A−1 =

 

1 2 0 0 1 2 0 0 1

  ; B−1 =

 

1 1 1 2 2 1 3 2 1

  ; C−1 =

 

1 2 1 2 5 3

10 25 14

  ; D−1 nie istnieje.

21.

 

1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1

  .

22. a) [ 1 12

4 4

] ; b)

[ 3 9 1 3

] ; c)

 

1 0 1 1 1 0 0 0 1

  .

Odpowiedzi do zadan o wyznacznikach 1. a) 90; b) 3; c) 2. 2. x = 0. 3. a) 85; b) 4; c) 27; e) 0. 4. detC = detD = detA · detB = 100. 5. a) 1; b) 4. 6. a) 1080; b) 4. 7. x(x− y)5. 8. a) 128, b) 1. 9. Nie. Dla n parzystego tak, dla nieparzystego  nie. 12. Nie. Odpowiedz twierdz aca tylko gdy detS 6= 0. 13. detA = 0 lub detA = 1. 15. W drugim wyznaczniku nale zy od ka zdego wiersza odj ac pierwszy. Nast epnie od trzeciego odj ac nowy

drugi pomno zony przez dwa itd. a z otrzymamy dwa proporcjonalne wiersze. 16. a) x 6= kπ, k ∈ Z; b) x2 6= y2; c) x 6= 0.

17. X =

 

0 3 1 1 1 1

2 0 1

  , Y =

  17 23 12 5 8 4 17 21 11

  .

18. a)

 

1 3 1 2 7 2

3 2 4

  ; b) nie istnieje; c)

 

5 2 5 4 7 3 16 13

0 0 5 4 0 0 11 9

  ; d)

 

7 5 12 19 3 2 5 8

41 30 69 111 59 43 99 159

  .

19. a) 0, 1, 2, ..., n− 1; b) 1, 2, 3, ..., n− 1, n(1−n)2 . 20. a) (1)n; b) 0; c) n + 1; d) n(n+1)2 n!.

Odpowiedzi do zadan o ukÃladach rownan 1. a) UkÃlad sprzeczny; b) x = 1− z, y = 2− z, gdzie z dowolny; c) ukÃlad sprzeczny;

d) x1 = 1− x2, x3 = 2x2, x4 = 1 + 3x2, gdzie x2 dowolny; e) x = 4, y = 1, z = 1; f) x1 = 2 + x3 + x4, x2 = 1 + x3 + x4, x3, x4 dowolne; g) x = 3 + z + u, y = 2 + u, u, z dowolne; h) ukÃlad sprzeczny.

3. a) p 6= 4, p 6= 1; b) dla zadnego; c) p 6= 2, p 6= 2; d) dla ka zdego p ∈ R. 4. a) x = y = z = 1; b) x = 1, y = 2, z = 3. 5. a) y = 2; b) y = 3.

7. a) X1 =

 

1 2 3

 , X2 =

 

1 0 2

 ; b) X1 =

  1 + t 1− t

t

 , gdzie t jest dowolne, drugi ukÃlad jest sprzeczny.

8. a) A−1 = [ 1 2

1 1 ]

; b) B−1 =

 

1 2 1 0 1 2 0 0 1

  ; c) C−1 =

 

1/2 1/2 0 1/2 1/2 1

1/2 1/2 1

  .

16

10. a)

 

1 3 1 2 7 2 2 0 1

  ; b)

 

2 1 0 0 1 1

1 0 1

  ; c)

 

0 0 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 0 1 1

  ; d)

 

5 2 0 0 7 3 0 0

0 0 1 4 0 0 2 9

  .

11. a) 3; b) 3; c) 3. 12. a) 2 dla p = 3, 3 dla p 6= 3; b) 2 dla p = 0, 3 dla p 6= 0; c) 3 dla p = 3 oraz p = 3, dla pozostaÃlych

wartosci p rz ad jest rowny 4; d) 1 dla p = 1, 4 dla p 6= 1. 13. a) Nie; b) tak. 14. a) Dla ka zdego p ∈ R; b) dla p 6= 5. 15. a) Nieskonczenie wiele, dwie zmienne wolne; b) nieskonczenie wiele, jedna zmienna wolna; c) dokÃladnie

jedno rozwi azanie. 16. a) Dla p = 8 nieskonczenie wiele rozwi azan, dwie zmienne wolne; dla p 6= 8 nieskonczenie wiele rozwi azan,

jedna zmienna wolna; b) dla (p − 1)(p + 2) 6= 0 dokÃladnie jedno rozwi azanie, dla p = 1 nieskonczenie wiele rozwi azan, dwie

zmienne wolne, dla p = 2 ukÃlad sprzeczny; c) dla (p− 1)(p + 2) 6= 0 dokÃladnie jedno rozwi azanie, dla (p− 1)(p + 2) = 0 ukÃlad sprzeczny.

17. a) Dla p = 1 ukÃlad sprzeczny, dla p 6= 1, x = p + 1 5p− 5 , y =

3p− 2 5p− 5 , z =

p− 2 p− 1 ;

b) dla p 6= 0, x = 1− p, y = p, z = 0, dla p = 0 x = 1, z = 0, y dowolny; c) dla p(p− 1) 6= 0 x = p

2 + 4p− 15 p2

, y = p 2 + p + 15

p2 , z = 4p

2 + p + 15 p2

, dla p = 1 x = 2− z, y = 7 + 2z, gdzie z dowolny, dla p = 0 ukÃlad sprzeczny;

d) dla p(p + 1) 6= 0 x = 0, y = 1 p , z = 1, dla p = 1 x = 1 + z, y = z, gdzie z dowolny, dla p = 0

ukÃlad sprzeczny. 18. a) UkÃlad sprzeczny,; b) x = 11 + 8y + 4z, t = 65y + 3z, gdzie y, z dowolne;

c) y = 53x− 17z − 5u, s = 13x + 9z − 2u, t = 2− x− 6z − u, gdzie x, z, u dowolne. 19. 23 kury i 12 szczurow. 20. Powierzchnia pokoju 25, 2 m2, 1200 klepek. 21. 1, 2, 3, 4 zÃl. 22. a) y = x2 5x + 3, b) nie ma takiej paraboli. 23. Nie, gdy z magazynier kÃlamie (ukÃlad jest sprzeczny).

Odpowiedzi do zadan o liczbach zespolonych 1. a) x = 2, y = 1; b) x = 3, y = 1; c) x = 1, y = 6; d) nie ma takich liczb; e) x = 3, y = 1; f) x = 2, y = 0. 2. a) 25i; b) 25i; c) 2, 2 + 4i, 24i. 3. a) z = 2 + i, u = 2− i; b) z = 1 + i, u = i. 4. z1 = x + 0i, z2 = 0 + yi, x, y ∈ R. 5. a) 0, 1, −1

2 +

3 2

, −1 2 − √

3 2

; b) 0, 1, −1, i, −i; c) z = x, z = yi, x, y ∈ R. 6. z4 = 1 + i. 7. a) PoÃlpÃlaszczyzna Imz > 1;

b) pierwsza i trzecia cwiartka ukÃladu wspoÃlrz ednych bez osi ukÃladu; c) os rzeczywista; d) koÃlo (razem z okr egem ograniczaj acym) o promieniu 3 i srodku w pocz atku ukÃladu; e) koÃlo o promieniu 4 i srodku w z = −i, bez brzegu i srodka okr egu; f) okr ag o srodku w 12 i promieniu 12 , ale bez punktu z = 1.

8. a) 3

2 ( cos

π

4 + i sin

π

4

) ; b) 6

( cos

11π 6

+ i sin 11π 6

) ; c) 10

( cos

2π 3

+ i sin 2π 3

) .

9. z = |z| (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)). 10. a) 215i; b) 430; c) 1; d) 32i; e) 22i; f) i. 12. 1515i. 13. π

2 .

14. a) Cz esc pÃlaszczyzny le z aca po lewej stronie osi Im z, razem z dodatni a cz esci a tej osi, ale bez pocz atku ukÃladu.

17

b) cz esc pÃlaszczyzny zawarta mi edzy ujemn a cz esci a osi Im z, a poÃlprost a wychodz ac a z pocz atku ukÃladu i przechodz ac a przez punkt z = 1−√3 i, razem z t a poÃlprost a, a ujemn a cz esci a osi Imz, ale bez pocz atku ukÃladu;

c) fragment koÃla o srodku w punkcie z0 = 3 i promieniu 5, bez fragmentu nale z acego do koÃla o promieniu 3 i srodku w punkcie w0 = 12i; linia brzegowa otrzymanego fragmentu nie nale zy do rozwi azania;

d) pÃlaszczyzna zespolona bez drugiej cwiartki oraz fragmentow ukÃladu wspoÃlrz ednych ograniczaj acych t e cwiartk e;

e) fragment koÃla o promieniu 6 i srodku w punkcie z0 = 4 le z acy w drugiej cwiartce ukÃladu wspoÃlrz ednych, bez osi ukÃladu, ale z fragmentem okr egu ograniczaj acego to koÃlo;

f) poÃlowa koÃla o promieniu 2 i srodku w punkcie z0 = 2i le z aca w czwartej cwiartce ukÃladu wspoÃlrz ednych, bez brzegu ograniczaj acego ten obszar.

16. a) { − √

3 − i, 1− √

3 i, √

3 + i } ; b)

{ 1

32i, 3

3 i, 1 +

3 + 2i

} ;

c) {

4− √

3 3i, 7 + 2i− √

3 i, 2 +

3 + 5i } .

17. a) {5 + 6i, −56i}; b) { −i,

3

2 +

1 2

i, − √

3 2

+ 1 2

i

} ; c) { 1 + i, −1 + i, −1− i, 1− i }.

18. a) {940i,−9 + 40i}; b) { 16(1 + i), 8

( 1 +

3 + (1

3)i

) , 8

( 1

3 + (1 +

3)i

)} ;

c) {−2 + 3i, −32i, 23i, 3 + 2i}; d) {8, 8i, −8, −8i}. 19. a) 1 +

3 i, 2, 1−√3 i; b) 2i, −√3− i, 3− i; c) 0, −1− i, −1

2 1

2 i; d) 0, 1 + i, 1

2 +

1 2

i. 21. Suma 0, iloczyn 1 dla nieparzystych n oraz 1 dla n parzystych. 22. a) 8ei π2 ; b) 2

2ei

7π 4 ; c) 8ei π2 ; d) 210eiπ.

23. a) 2i, −√3 + i, √3 + i; b) 1 + 1, 1 + i, −1− i, 1− i; c) 1 2

+

3 2

i, − √

3 2

+ 1 2 i, −1

2 − √

3 2

i,

3

2 1

2 i.

24. a) 0, 1; b) 1; c) 8i, 434i, −434i. 25. a) 0, 1,

2

2 +

2 2

i, i, − √

2 2

+

2 2

i, −1,− √

2 2 − √

2 2

i, −i, √

2 2 − √

2 2

i ; b) suma czterech prostych zawieraj acych osie ukÃladu wspoÃlrz ednych oraz przek atne poszczegolnych cwiartek; c) okr ag o srodku w pocz atku ukÃladu i promieniu 1; d) dwie prostopadÃle proste przechodz ace przez pocz atek ukÃladu wspoÃlrz ednych z ktorych jedna jest nachy

lonych do dodatniej cz esci osi rzeczywistej pod k atem 3π 8 ;

e) suma szesciu prostych przecinaj acych si e w pocz atku ukÃladu wspoÃlrz ednych, obu osi oraz czterech pro stych nachylonych do tych osi pod k atami π

6 oraz π

3 ;

f) 1, 0, 1.

Odpowiedzi do zadan o wielomianach i uÃlamkach prostych 1. a) R(x) = 2x + 2; b) R(x) = x2 + 2x + 3; c) R(x) = 3x + 2; d) R(x) = −x + 4. 2. a) −i, 2, 3; b) 1 + i, 1, 2; c) 12i, −i, i, −1; d) 2 + i, −1, 2, 3. 3. a) (x2 4x + 8)(x2 + 4)(x− 3)3; b) (x2 4x + 5)(x2 2x + 2)(x2 + 1)(x + 1)2;

c) (x2 2x + 5)(x + 3)(x2 2x + 2)2. 4. a) (x22x + 2)(x2 + x + 2)(x− 1); b) (x2− x + 1)(x2 + x + 1)(x− 1)(x + 1); c) (x2 + x + 2)(x− 1)2(x + 1);

d) (x2 + 9)(x + 3)(x− 3); e) (x2 + 2x + 2)(x2 2x + 2)(x2 + 1)(x− 1)(x + 1). 5. a) 1

x2 + 1 +

1 x2 2x + 2 ; b)

1 x− 1 +

1 x + 1

+ 3

x2 + 2 ; c) 2

x− 2 + 3

x− 3 ; d) 1

x + 2 +

2 x− 3 +

2x + 1 x2 + 1

.

Odpowiedzi do zadan z geometrii 1. D(1,−2, 8). 2. Nie. 3. A(1, 2, 4), B(8,−4,−2). 4. [ 2, 0, 3 ], [ 4,−2, 1 ], [ 4, 2, 7 ], [2, 4, 3 ]. 5. Dla p = 2.

18

6. Dla p = 1. 7. p = 1. 11. 8. 12. Dla p = 0 lub p = 4. 13. Dla a = 3, b = 2. 14. 0 lub 34

2a.

15. Pole zwi ekszy si e czterokrotnie. 16. Nie ulegnie zmianie. 17. Dla p = 4 lub p = 8. 18. Dla p = 1. 19. P ( 34 , 34 , 2). 20. 1. 21. 5x− y − 3z + 3 = 0.

22. x + 3y − 3 = 0,   

x = 3s y = 1− s , z = t

s, t ∈ R.

23.

  

x = 1 + t y = 1 + 2t , z = 2t

t ∈ R.

24.

  

x = 2 + t y = 5 , z = 3t

t ∈ R.

25.

  

x = 7 + 6t y = 2 + 3t , z = 4t

t ∈ R.

26.

  

x = 4− t y = 102t , z = t

t ∈ R.

27. Tak, P (1, 2, 4). 28. Nie. 29. Tak, P (0, 2, 5). 30. S a dwie takie pÃlaszczyzny: π′1 : x + 2y − 2z + 12 = 0 oraz π′2 : 4x− y + z − 12 = 0.

31. l1 :

  

x = 1 y = 1 + t , z = 2 + 3t

t ∈ R oraz l2 :   

x = 1 + 4t y = 13t , z = 2 + t

t ∈ R

32.

73. 33. a) π6 ; , b) π3 . 34. a) A(2, 0, 1) , ϕ = π3 ; b) B(1, 12) , ϕ = π6 . 35. Nie. 36. Nie.

Odpowiedzi do zadan o krzywych sto zkowych 1. a) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 8; b) (x− 1)2 + (y − 1)2 = 4; c) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1, (x + 5)2 + (y + 5)2 = 25. 3. (x− 1)2 + (y − 1)2 = 18. 4. x24 +

(y−2)2 2 = 1.

5. x216 + y2

9 = 1. 6. (x−1)

2

4 + (y+2)2

9 = 1, srodek (P (1,−2), osie 4 i 6. 7. (x−4)

2

25 + (y−2)2

16 = 1, ε = 0, 3. 9. (x−2)

2

16 (y−1) 2

9 = 1, ε = 5 4 .

10. (x−3) 2

81 (y+3) 2

9 = 1, W1(6,−3), W2(12,−3), ε =

10 3 .

11. 2. 12. 2

2.

13. a) x = 0, F (2, 2); b) y = 3, F (3, 8).

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome