Baixe 3CN erros e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Erros Cálculo Numérico Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ PD oO Erros - Roteiro = Existência = Tipos = Propagação 5  Método Numérico Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a execução de uma sequência finita de operações aritméticas. Consequência  Obtenção de um resultado aproximado, cuja diferença do resultado esperado (exato) denomina-se erro . Erros - Existência II 6  Natureza dos Erros I Erros inerentes ao processo de aquisição dos dados.  Relativos à imprecisão no processo de aquisição/entrada, externos ao processo numérico. Erros - Existência IV 7  Natureza dos Erros II Erros inerentes ao modelo matemático adotado:  Relativos à impossibilidade de representação exata dos fenômenos reais a partir de modelos matemáticos.  Necessidade de adotar condições que simplifiquem o problema, a fim de torná-lo numericamente solúvel. Erros - Existência V 10 Erro de arredondamento  Aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.  Inerentes à estrutura da máquina e à utilização de uma aritmética de precisão finita. Erros - Existência III 11 Erros - Existência III  Erro de Representação x Erro de truncamento Erro de Representação  Associada à conversão numérica entre bases (representação humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas. Erro de Truncamento  Associada à quantidade de informação que a máquina pode conter sob a forma de um número. 12  Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação) Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 100 m Possíveis resultados: (1) A = 31400 m2 (2) A = 31416 m2 (3) A = 31414,92654 m2 Erro de Representação  não tem representação finita - 3,14 (1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3) Erros - Existência IV 15 Erros - Existência VII Ex. 04: Fazer a conversão de 0,1 de base 10 para a base 2 (0,1)10 = (0,00011001100110011...)2 (0,1) 10 não tem representação exata na base 2 A representação de um número depende da base em uso e do número máximo de dígitos usados em sua representação. 16 Erros - Existência VIII Ex. 05: Programa simples que soma números reais: void main( ) { int i; float soma = 0; for (i=1;i<=10000;i++) soma = soma + .0001; printf (“Soma = %10.7f”, soma); }  A saída será o número 1.0000535, ao invés do número exato 1. O pequeno erro na representação do número decimal 0,0001 em binário se propagará pela soma, comprometendo o resultado final. 17 Erros - Existência VIII  Exatidão (Acurácia) x Precisão I Uso incorreto como sinônimos na linguagem cotidiana (e mesmo em linguagem técnica) Exatidão  Grau de concordância entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando Exatidão é um conceito qualitativo  Precisão  Grau de concordância entre resultados de medição obtidos sob as mesmas condições (repetitividade) Precisão é um conceito quantitativo 20 Erros - Tipos I  Absoluto Diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado xxEA x  21 Erros - Tipos II  Relativo Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado x )x(x ER x   Erro Percentualx = ERx x 100% 22 Erros - Tipos III  Erro Absoluto - Considerações I EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (|E | < ε, onde ε é o limitante) Ex. 05: Para   (3,14, 3,15) 01,0EA  25 Erros - Tipos IV  Erro Relativo - Consideração O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois: 4 a 100,000096 3876 0,373 ER  1- b 1040,373 1 0,373 ER  26 Ex. 06: Cálculo do erro relativo considerando-se os números ā = 2112,9, ē = 5,3 e |EA| < 0,1 |ERa| = |a - ā|/|ā| = 0,1/2112,9  4,7 x 10-5 |ERe| = |e - ē|/|ē| = 0,1/5,3  0,02 Conclusão: a é representado com maior precisão do que e Erros - Tipos V 27  Arredondamento  Truncamento de dígitos Quanto menor for o erro, maior será a precisão do resultado da operação. Erros - Tipos VIII 30 Relembrando... Representação em ponto flutuante - float  Representação genérica  ±(.d1d2...dt) x (b) exp ,  t é o número de dígitos da mantissa;  d1d2...dt = mantissa, com 0 di  (b-1); d1 ≠ 0;  exp = expoente (inteiro com sinal), no intervalo [l,u]  b = base do sistema 31 Arredondamento e Truncamento x Arredondamento Truncamento 1.25 0.125 x 10 0.125 x 10 10.053 0.101 x 102 0.100 x 102 2.71828 0.272 x 10 0.271 x 10 0,000007 Expoente < -4 idem 718235.82 Expoente > 4 idem  Ex. Representação de números em um sistema de três dígitos, b=10, l= -4 e u=4. 32 32 x = 0,2345 . 103 + 0,7 . 10-1 fx = 0,2345 gx = 0,7  Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstração Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos na base 10, e seja x:  x = fx.10 e + gx.10 e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx 1) Para t = 4 e x = 234,57, então: Arredondamento e Truncamento I 35 35 Erros - Arredondamento II Se , então: 1t e te te x e x te xx x 10. 2 1 10.0,1 10.0,5 10.g10.f 10.g x EA ER        tete xx 10. 2 1 10.gxxEA   2 1 gx  36 36 Erros – Arredondamento III Se , então: e             1t e te e x te tee x te x x 10. 2 1 10.0,1 10.1/2 10.f 10.1/2 1010.f 10.1/2 x EA ER   tetex tete xx 10. 2 1 10.1g1010.gEA   2 1 gx     teextexexx 10.10f.10g.10fxxEA   37  Erros de Truncamento e Arredondamento Sistema operando em ponto flutuante - Base 10  Erro de Truncamento e  Erro de Arredondamento e te x 10EA  1tx 10ER  1t x 10 2 1 ER te x 10 2 1 EA  Arredondamento e Truncamento e - nº de dígitos inteiros t - nº de dígitos 40  Considerações Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação possam ser representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato. x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y e x.y tiveram representação aproximada. Arredondamento e Truncamento 41 Erros – Propagação  Propagação dos Erros: Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos operandos produzem um erro no resultado da operação  Propagação ao longo do processo Determinação do erro no resultado final obtido 42 Erros – Propagação Ex. 11: Suponha-se que as operações a seguir sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se: (x2 + x1) − x1 = = (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104 = 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000 x2 + (x1 − x1) = = 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104) = 0,2345 + 0,0000 = 0,2345 45 Erros – Propagação  Ex. 12: Calcular o valor de √2 - e3 . √2 (erro de arredondamento) e3 (erro de truncamento) Propagação dos erros nos valores de √2 e e3 para o resultado de √2 - e3 46 Erros – Propagação  Ex. 13: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a + b Variação de a  47 a 53 Variação de b  20 a 22 Menor valor da soma  47 + 20 = 67 Maior valor da soma  53 + 22 = 75  a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4  67 a 75 47 Erros – Propagação  Análise dos Erros Absoluto e Relativo: Fórmulas para os erros nas operações aritméticas Erros presentes nas parcelas ou fatores e no resultado da operação  Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que: yx EAyy EAxx  e 50 Erros – Propagação  Multiplicação Erro Absoluto Erro Relativo      yxyxyx .EAEAEAx.EAyy.xEAy.EAxx.y  muito pequeno     yxyx EAx.EAyy.xEAy.EAxx.y      yxyx .... xyxy EAyEAx EA  yxy.x ERERER y EA x EA yx EAyEAx ER yxxy xy   51 Erros – Propagação  Divisão Erro Absoluto Erro Relativo                         y EA 1 1 . y EAx EAy EAx y x y x y x Simplificação: ... y EA y EA y EA 1 y EA 1 1 3 y 2 yy y               (desprezam-se os termos de potência >1) 2 yx 2 x y EAx.EAy y EAyx y EA y x y x   yxx/y ERERER  52 Erros – Análise  Nos erros anteriormente formulados, ainda não foi considerado o erro de arredondamento ou truncamento no resultado final.  A análise completa da propagação do erro se faz considerando os erros nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operação efetuada. 55 Erros – Análise Ex. 15: Solução:  A soma é feita por partes: (x+y)+z x+y = 0.9383 x 104 x+y+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104 x+y+z = 0,938531x 104 x+y+z = 0,9385x 104 (após o arredondamento) x+y+z= 0,9385 x 104 56  Ex. 15: Solução: RA zs z ER zs s ERER RAERER ARER RA yx y ER yx x ERER 10x9383,0yx s então yx s zszyx zszyx ss syxs 4                                        EAx=EAy= 0,  EAx+y=0 Erros – Análise 57 Erros – Análise  Ex. 15: Solução: EAz=0,  ERz=0 1t zyx 10 2 1 1 zyx yx ER                                                                      1 zyx yx RARA zyx yx RAER RA zyx yx ERER RA zyx z ER zyx yx ERER szyx szyx zszyx 60 Erros – Análise Ex. 16:  Solução a): 1t u 10ER  1t x2. x2x2. 10 2 1 2.ER RA2.RARARAERERER   x2u  61 Erros – Análise  Ex. 16: Solução: xxw  RA xx x ER xx x ERER xxw                      RA2.RA xx x RA2.ERw           1t1t w 1010 2 1 2.RA2.ER   1t uw 10ERER  62 Erros – Sumário I 1. Erro relativo da soma  Soma dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada parcela no total da soma. 2. Erro relativo da subtração  Diferença dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração. 65 Erros – Exercícios 2. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por b=10, t=5 , l=-6 e u=6. Pede-se a) O maior e menor número em módulo, representados nesta máquina; b) Como será representado o número 392,856 nesta máquina, se for usado o arredondamento e o truncamento? c) Se a=356555 e b=2, qual o resultado da operação a+b? 66 Erros – Exercícios 3. Sejam x, y, z e t representados exatamente. Qual o erro relativo total na operação u=(x+ y)z-t? 67 Erros - Bibliografia Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª ed. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.  Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 2006.