Aplicações do estudo das derivadas - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário do Distrito Federal (UniDF)

Matemática

Descrição: Apostilas de Matemática sobre o estudo das Aplicações do estudo das derivadas, Máximos e mínimos de uma função, Teste da segunda derivada para extremos relativos.
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Aplicações do estudo das derivadas
Máximos e mínimos de uma função
Definição 6.1. Dada a função :fI\, um ponto Ix
0é chamado de
)(i ponto de máximo global (relativo) da função quando 0
() ()
f
xfx para todo
x
I;
)(ii ponto de mínimo global (relativo) da função quando 0
() ()
f
xfx
para todo
x
I.
O valor 0
()
f
x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de
f
e
()
00
,()
x
fx são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de
f
.
Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos.
Definição 6.2. Dada a função ()
f
x, um ponto 0
x
onde
f
é derivável em 0
x e 0
'( ) 0fx
ou f não é derivável em 0
x é chamado de ponto crítico da função
f
.
Exemplo 6.1. Seja a função 32
() 3
f
xx x=− , x
\. Determinar os pontos críticos de f.
Resolução: Sabemos que 32
() 3
f
xx x=− é uma função polinomial derivável em todo
x\.
Calculando '( )
f
x temos
(
)
2
'( ) 3 6 3 2fxxxxx=− = −
Agora '( ) 0fx= implica em 2
360xx−=, ou seja, 0x
=
e 2x
=
são os pontos críticos
da função 32
() 3
f
xx x=− .
Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função
2
3
() ( 1)fx x
=
, x
\.
Resolução: Calculando '( )
f
x, temos
() ()
()
21
1
33
1
3
2221
'( ) 1 1
333
1
fx x x x
−−
=− =− = ⋅
,
ou,
2
()
1
3
21
'( ) 31
fx x
=⋅
.
A função dada não derivável em 1
x
=
, isto é, não existe '(1)
f
. Nesse caso, 1
x
= é o
único ponto crítico de f.
Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ no intervalo
1
2
[2,].
Resolução: Inicialmente temos se 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ então 2
'( ) 3 2 1
f
xxx
=
+−.
Fazendo ´( ) 0fx=, vem 2
3210xx+−=.
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1x=− e
1
3
x=.
Portanto, 1x=− e 1
3
x
=
são os pontos críticos de 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ em 1
2
[2,].
Definição 6.3. Seja
f
uma função derivável em 0
x
. Se f tem um máximo ou mínimo
relativo (ou local) em 0
x
, então 0
´( ) 0fx
=
.
Por exemplo, a função 2
()
f
xx=, para (1, 1)x
, tem derivada '( ) 2
f
xx=. Em 0x
=
,
a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f
=
.
Definição: Dizemos que a função :fI\, f é crescente no intervalo
I
quando dados
Ixx
21,, quaisquer, com 12
x
x<, tem-se 12
() ()
f
xfx
<
e f é decrescente no intervalo
I
quando dados 12
,
x
xI, quaisquer, com 12
x
x
<
, tem-se 12
() ()
f
xfx>.
O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é
crescente ou decrescente.
Teorema 6.1. Seja ()
f
x uma função derivável no intervalo (, )ab, então
(a) Se '( ) 0fx= em (, )ab, então )(xf é constante em (, )ab;
(b) Se '( ) 0fx> em (, )ab, então )(xf é crescente em (, )ab;
(c) Se '( ) 0fx< em (, )ab, então )(xf é decrescente em (, )ab.
Exemplo 6.4. Seja 2
()
f
xx=. Determinar os intervalos onde
f
é crescente e decrescente.
Resolução: Temos 2
()
f
xx= e '( ) 2
f
xx
=
.
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Endereço: Matemática
Universidade: Centro Universitário do Distrito Federal (UniDF)
Subject: Matemática
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