Aplicações do estudo das derivadas - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário do Distrito Federal (UniDF)

Matemática

Descrição: Apostilas de Matemática sobre o estudo das Aplicações do estudo das derivadas, Máximos e mínimos de uma função, Teste da segunda derivada para extremos relativos.
Showing pages  1  -  4  de  8
1
Aplicações do estudo das derivadas
Máximos e mínimos de uma função
Definição 6.1. Dada a função :fI\, um ponto Ix
0é chamado de
)(i ponto de máximo global (relativo) da função quando 0
() ()
f
xfx para todo
x
I;
)(ii ponto de mínimo global (relativo) da função quando 0
() ()
f
xfx
para todo
x
I.
O valor 0
()
f
x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de
f
e
()
00
,()
x
fx são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de
f
.
Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos.
Definição 6.2. Dada a função ()
f
x, um ponto 0
x
onde
f
é derivável em 0
x e 0
'( ) 0fx
ou f não é derivável em 0
x é chamado de ponto crítico da função
f
.
Exemplo 6.1. Seja a função 32
() 3
f
xx x=− , x
\. Determinar os pontos críticos de f.
Resolução: Sabemos que 32
() 3
f
xx x=− é uma função polinomial derivável em todo
x\.
Calculando '( )
f
x temos
(
)
2
'( ) 3 6 3 2fxxxxx=− = −
Agora '( ) 0fx= implica em 2
360xx−=, ou seja, 0x
=
e 2x
=
são os pontos críticos
da função 32
() 3
f
xx x=− .
Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função
2
3
() ( 1)fx x
=
, x
\.
Resolução: Calculando '( )
f
x, temos
() ()
()
21
1
33
1
3
2221
'( ) 1 1
333
1
fx x x x
−−
=− =− = ⋅
,
ou,
2
()
1
3
21
'( ) 31
fx x
=⋅
.
A função dada não derivável em 1
x
=
, isto é, não existe '(1)
f
. Nesse caso, 1
x
= é o
único ponto crítico de f.
Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ no intervalo
1
2
[2,].
Resolução: Inicialmente temos se 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ então 2
'( ) 3 2 1
f
xxx
=
+−.
Fazendo ´( ) 0fx=, vem 2
3210xx+−=.
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1x=− e
1
3
x=.
Portanto, 1x=− e 1
3
x
=
são os pontos críticos de 32
() 1
f
xxxx
=
+−+ em 1
2
[2,].
Definição 6.3. Seja
f
uma função derivável em 0
x
. Se f tem um máximo ou mínimo
relativo (ou local) em 0
x
, então 0
´( ) 0fx
=
.
Por exemplo, a função 2
()
f
xx=, para (1, 1)x
, tem derivada '( ) 2
f
xx=. Em 0x
=
,
a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f
=
.
Definição: Dizemos que a função :fI\, f é crescente no intervalo
I
quando dados
Ixx
21,, quaisquer, com 12
x
x<, tem-se 12
() ()
f
xfx
<
e f é decrescente no intervalo
I
quando dados 12
,
x
xI, quaisquer, com 12
x
x
<
, tem-se 12
() ()
f
xfx>.
O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é
crescente ou decrescente.
Teorema 6.1. Seja ()
f
x uma função derivável no intervalo (, )ab, então
(a) Se '( ) 0fx= em (, )ab, então )(xf é constante em (, )ab;
(b) Se '( ) 0fx> em (, )ab, então )(xf é crescente em (, )ab;
(c) Se '( ) 0fx< em (, )ab, então )(xf é decrescente em (, )ab.
Exemplo 6.4. Seja 2
()
f
xx=. Determinar os intervalos onde
f
é crescente e decrescente.
Resolução: Temos 2
()
f
xx= e '( ) 2
f
xx
=
.
3
Agora, '( ) 2 0fx x=≤ se e somente se 0x
então () 0fx
, logo,
f
é decrescente em
(,0]−∞ e '( ) 2 0fx x=≥ se e somente se 0x então () 0fx
, logo,
f
é crescente em
(,0]−∞ .
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:
x
()
f
x Conclusão
0x< ()
f
x decrescente em
(,0]
0x> + ()
f
x crescente em [0, )
Veja a figura abaixo:
Figura 6.1
Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde
f
é crescente e decrescente onde 3
()
f
xx=.
Resolução: De 3
()
f
xx
=
temos 2
() 3
f
xx
=. Agora, 2
30x então () 0fx
, para todo
x\ e
f
é crescente em \.
Exemplo 6.6. Seja 32
() 6 9 1
f
xx x x=− ++ definida para todo
x
real. Determinar os
intervalos onde f é crescente e decrescente.
Resolução: Temos 32
() 6 9 1
f
xx x x=− ++ então 2
() 3 12 9
f
xx x
=
−+. Agora, fazendo
() 0fx
=, vem 2
31290xx
+=. Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara,
temos as raízes 3x= e 1x=. Logo, () 3( 1)( 3)fx x x
=
−−.
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim,
4
x
()
f
x
Conclusão
1 0 ponto crítico de f
1
x
< + f é crescente
13x<< f é decrescente
3x= 0 ponto crítico de f
3x> + f é crescente
Portanto, ()
f
x é crescente em (,1]−∞ e [3,
) e decrescente em [1, 3] . Também 3x
=
e
1x=são extremos da função (pontos críticos).
Teste da segunda derivada para extremos relativos
Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s)
relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição.
Definição 6.4. Seja 0
x
um ponto crítico de uma função na qual 0
()0fx
= e
f
existe para
todos os valores de
x
em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0
x
. Então 0
()
f
x
existe e
(i) se 0
''( ) 0fx< então
f
tem um valor máximo relativo em 0
x
;
(ii) se 0
''( ) 0fx> então
f
tem um valor mínimo relativo em 0
x
.
Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 432
4
() 4
3
f
xx x x=+ pelo
critério ou teste da segunda derivada.
Resolução: Temos 432
4
() 4
3
f
xx x x=+ então 32
() 4 4 8
f
xxxx
=
+−.
Agora, () 0fx
= vem 32
4480xxx+−=. Fatorando a expressão 32
4480xxx+−= vem
2
4 ( 2) 4 ( 2)( 1) 0xx x xx x+− = + − =.
A partir desta fatoração fica claro que '( )
f
x será igual a zero se, e somente,
0x
=
, 2x
=
e 1
x
=
.
Logo, 0x=, 2x=− e 1
x
= são pontos críticos da função
f
.
Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando ''( )
f
x
temos
2
() 12 8 8
f
xxx
′′
=
+−.
The preview of this document ends here! Please or to read the full document or to download it.
Informação do Documento
Uploaded by: jacare84
Visitas: 484
Downloads : 0
Endereço:
Universidade: Centro Universitário do Distrito Federal (UniDF)
Subject: Matemática
Upload date: 12/04/2013
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome