Adjunto de Banach, convergência fraca e topologias fracas - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Adjunto de Banach, convergência fraca e topologias fracas - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Adjunto de Banach, convergência fraca e topologias fracas.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 5: Adjunto de Banach, convergêcia fraca e topologias fracas

1. Se f ∈ X∗, determine seu adjunto de Banach, fa.

2. Seja T : X → Y uma transformação linear limitada entre os espaços normados X e Y . Mostre que:

(a) NucT = (ImgT a)

(b) NucT a = (ImgT )

(c) ImgT ⊂ ⊥(NucT a). Em particular, se T é sobrejetora então T a é injetora.

Conclua de (a) que T é injetor se, e somente se T a(Y ∗) separa pontos de X.

3. Seja T ∈ L(X, Y ) defina T aa, identifique X e Y com e , respectivamente, e mostre que T aa|X = T . Se X é reflexivo, então T aa = T .

4. Mostre que se X é um espaço reflexivo e M é um subespaço fechado de X então

M = (M⊥).

5. Sejam X um espaço de Banach e T ∈ L(X,X). Mostre que, se ImgT é fechada, então ImgT a = (NucT ).

6. Sejam X e Y espaços de Banach e T ∈ L(X, Y ). Suponha que T a é sobrejetor, por Aplicação Aberta, mostre que existe r > 0 de modo que T aB(0, 1) ⊃ B(0, r); conclua que ∥Tx∥ ≥ r∥x∥, para todo x ∈ X. Com tais resultados, mostre que T é invert́ıvel se, e somente se, T a é invert́ıvel.

7. Verifique que c0(N)= l1(N) e conclua que c0 não é reflexivo.

8. Sejam X e Y espaços de Banach.

(a) Mostre que se X e Y são isomorfos então X∗ e Y ∗ são isomorfos.

(b) Se para algum T ∈ L(X, Y ), T a é um isomorfismo entre Y ∗ e X∗ (sobrejetor), mostre que X e Y são isomorfos.

9. Seja M um subespaço de um espaço normado X e i : M → X a inclusão canônica. Confira que i é um operador linear limitado, e mostre que seu adjunto de Banach ia :

X∗ → M∗ é o operador ia(f) = f |M , para todo f ∈ X∗.

10. Seja T ∈ L(X, l∞(N)), onde X é um espaço de Banach. Mostre que existe uma sequencia limitada (fj) ⊂ X∗, de modo que Tx = (f1(x), f2(x), . . . ) para todo x ∈ X.

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11. Mostre que L(X,Y ) é um espaço de Banach se, e somente se, Y é um espaço de Banach.

12. Sejam X um espaço de Banach e Y um espaço vetorial normado. Mostre que se (Tn)n

uma sequencia em L(X, Y ) que converge fortemente para T : X → Y , então T ∈ L(X, Y ) e ∥T∥ = lim infn ∥Tn∥.

13. Seja X um espaço vetorial normado. Mostre que uma sequencia (xn)n converge fraca-

mente para x ∈ X se, e somente se, f(xn) → f(x), para todo f num conjunto denso de X∗ e (∥xn∥)n é limitada.

14. Suponha que ψn converge fracamente para ψ em C[a, b]. Mostre que ψn converge pon-

tualmente para ψ.

15. Sejam X espaço de Banach e Y um espaço vetorial normado. Uma sequencia (yn)n

dita fracamente limitada se (f(yn))n é limitada para todo f ∈ Y ∗. Mostre que toda sequencia fracamente limitada em Y é limitada e que se (Tn)n converge fracamente em

L(X, Y ), então (∥Tn∥)n é limitada.

16. Mostre que se xn ⇀ x então x ∈ [x1, x2, . . . ].

17. Seja X um espaço de Banach. Mostre que:

(a) Se Tn s−→ T e Sn

w−→ S em L(X) então SnTn w−→ ST .

(b) Se Tn s−→ T e Sn

s−→ S em L(X) então SnTn s−→ ST .

(c) Dê um exemplo para mostrar que as conclusões do item (b) não valem se con-

vergência forte for substituida por convergência fraca.

18. SejamX e Y espaços de Banach, mostre que uma transformação linear T : X → Y é (for- temente) cont́ınua se, e somente se, T é fracamente cont́ınua (isto é, T : (X, σ(X,X∗)) (Y, σ(Y, Y ∗)) é cont́ınua).

19. Mostre que se X é um espaço vetorial e f, f1, f2, . . . , fk são funcionais lineares tais que

∩ki=1Nucfi ⊂ Nucf então f = α1f1 + · · ·+ αkfk para algum α1, . . . , αk ∈ F.

[Dica: Use a transformação linear Φ : X → Fk, Φ(x) = (f(x), f1(x), . . . , fk(x))]

20. Mostre que se Y é um subespaço de X∗ então os únicos funcionais lineares f : X → F cont́ınuos na topologia σ(X,Y ) são os funcionais pertencentes a Y .

[Dica: Mostre que dado f cont́ınuo na topologia σ(X,Y ), existem f1, f2, . . . , fk ∈ Y tais que ∩ki=1Nucfi ⊂ Nucf e use o exerćıcio anterior.]

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