Álgebra Linear 2 - 2010 - Prova - Matemática - UFPE, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Álgebra Linear 2 - 2010 - Prova - Matemática - UFPE, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Álgebra Linear, prova.
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UFPE – ÁREA 2 – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010

SEGUNDA AVALIAÇÃO

Nome leǵıvel: Turma:

1. Sejam α = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)} e β = {(−1,−1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 1)} bases de R

3. (a)(1,0 pt) Determine [I]βα e [I]

α β .

(b)(1,0 pt) Dada [T ]ββ =

1 2 3 3 2 1 2 3 1

 determine [T ]αα.

2.(a) (1,0 pt) Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T : P2 → M2×2 satisfazendo simultaneamente as seguintes condições:

i) O elemento p(x) = x2 ∈ Ker(T ).

ii) O elemento q(x) = 1 6∈ Ker(T ).

iii) O elemento A =

[

2 0 0 1

]

∈ Im(T ).

(b)(1,0 pt) Seja β = {3x, x−1, 1+x2} uma base de P2. Determine a transformação linear

S : P2 → M2×2 tal que S(3x) =

[

0 0 0 0

]

, S(x− 1) =

[

1 1 0 0

]

eS(1 + x2) =

[

1 0 0 −1

]

.

3. Seja T : R3 → M2×2 dada por

T (x, y, z) =

[

z − y 7y − 3z − 4x 2y − 2x 2z − x− y

]

(a)(1,0 pt) Determine uma base para Ker(T ) (núcleo da transformação T ). (b)(1,0 pt) Determine uma base para Im(T ) (imagem da transformação T ). (c)(0,5 pt) Diga se T é injetiva e se T é sobrejetiva. Justifique.

4.(1,0 pt) Seja V e W espaços vetoriais de dimensão finita em que dimV = dimW . Existe transformação linear T : V → W injetiva e não sobrejetiva? Justifique.

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5.Considere a transformação linear T : P2 → P1 dada por:

T (p(x)) = ap(0)− p′(x)

com

[T ]αβ =

[

3 −3 b 3 −3 −2

]

,

considerando α = {1, cx+ 1, x2} a base para P2 e β = {1− x, x} a base para P1.

(a)(1,5 pts) Determine os parâmetros a, b, c ∈ R. (b)(1,0 pt) Determine [T (q(x))]β e T (q(x)), sabendo que

[q(x)]α =

1 −1 2

 .

OBS. p′(x) denota a derivada (primeira) de p(x).

OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTÕES É PARTE INTE-

GRAL DA PROVA; NÃO FAÇA CONSULTAS AO FISCAL. NÃO É PER-

MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-

CIONAIS. NÃO É PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.

USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRÃO.

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