Algebra Linear - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Algebra Linear - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da Algebra Linear, lista de exercicios.
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MAT5730 - Álgebra Linear Lista 1

2011

1. Seja Q( √

2) = {a+ b √

2 ∈ R | a, b ∈ Q}.

Prove que Q( √

2) é um corpo. Prove também que Q( √

2) é um Q-espaço vetorial. Exiba uma base desse espaço vetorial sobre Q.

2. Sejam L e K corpos tais que L ⊃ K. Mostre que L pode ser visto como um K-espaço vetorial. Isso é uma generalizaçâo de exerćıcio anterior.

3. Ache uma base de C sobre R. Ache também uma base de C2 sobre C e uma base de C2 sobre R.

4. Seja V um C-espaço vetorial de dimensão n e seja {v1, v2, ...vn} uma base de V . Mostre que o conjunto {v1, v2, ...vn}∪{iv1, iv2, ...ivn} é uma base de V quando considerado como R-espaço vetorial.

5. Mostre que o conjunto {sen(x), cos(x)} ⊂ F(R,R)é L I . Mostre também que se c1, c2, ..., cn são n números reais distintos, então o conjunto {ec1x, ec2x, ..., ecnx} ⊂ F(R,R) é L I .

6. Mostre que os conjuntos {sen2(x), cos2(x)} e {1, cos(2x)} geram o mesmo subespaço de F(R,R).

7. Seja K ⊂ C. Mostre que se {u, v, w} é um subconjunto LI do espaço vetorial V sobre K então o conjunto {u + v, u + w, v + w} também é L I. Mostre que a hipótese de que K ⊂ C (isto é, carK = 0) é essencial.

8. Encontre 3 vetores LD em R3, mas de modo que cada par deles seja LI.

9. Mostre que o conjunto {(2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1− i)} é uma base de C3 e ache as coordenadas do vetor (1, 0, 1) em relação a essa base.

10. Seja W o subespaço de C3 gerado pelos vetores w1 = (1, 0, i) e w2 = (1 + i, 1,−1). (a) Mostre que {w1, w2} é uma base de W . (b) Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, i, 1 + i) estão em W e formam outra base de W . (c) Quais são as coordenadas de w1 e w2 em relação à base {v1, v2}?

11. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K e sejam U e W subespaços de V . Mostre que U ∪W é um subespaço de V se, e somente se, U ⊂ W ou W ⊂ U .

12. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo infinito K. Mostre que V não é a união de um número finito de subespaços próprios. O resultado continua sendo verdadeiro se K for finito?

13. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo infinito K. SejamW1,W2, · · · ,Wn subespaços próprios de V e de mesma dimensão. Mostre que existe um suberspaço U de V tal que V = U ⊕Wi para todo i = 1, 2, · · · , n.

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14. Seja W um subespaço do espaço vetorial V . Mostre que existe um subespaço U de V tal que V = U ⊕W . É tal U único? Se V = U ⊕W1 = U ⊕W2, há alguma relação entre W1 e W2? E se W1 ⊂ W2?

15. Sejam U e W subespaços de V . Prove que se U e W têm dimensão finita, então U +W tem dimensão finita e vale a fórmula:

dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).

16. Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V de dimensão finita e tais que V = U +W . Mostre que V = U ⊕W se, e somente se, dimV = dimU + dimW .

17. Sejam V = Mn(K), W = {(aij) ∈ V | aij = 0 se i > j} e U = {(aij) ∈ V | aij = 0 se i < j}. (a) Descreva U ∩W . (b) Ache dimU , dimW e dim(U ∩W ).

18. Seja T : C2 → C2 definida por T (x1, x2) = (x1, 0). Seja B = {v1, v2} com v1 = (1, i) e v2 = (−i, 2). Ache as matrizes: [T ]can,B, [T ]B,can, [Tr]can e [T ]B. (Aqui can designa a base canônica de C2.)

19. Seja A ∈Mn(K) uma matriz fixa e seja TA : Mn(K)→Mn(K) definida por

TA(M) = AM −MA.

(a) Prove que TA é uma transformação linear. (b) Suponha que A é uma matriz diagonal com elementos distintos na diagonal, e que carK = 0. Determine KerTA e ImTA. Calcule as dimensões desses subespaços.

20. Exiba uma função T : C→ C que seja R - linear mas que não seja C - linear.

21. Seja 0 6= w ∈ C um número complexo. Defina Tw : C −→ C por Tw(z) = wz para todo z ∈ C. Prove que Tw é R-linear e se n ∈ Z, ache a matriz de (Tw)n na base B = {1, i} de C como R-espaço vetorial.

22. Seja V um espaço vetorial sobre R de dimensão finita. Mostre que as seguintes pro- priedades são equivalentes: (a) V tem uma estrutura de C-espaço vetorial que estende a estrutura de R-espaço ve- torial (isto é, se * denota a multiplicação de um número complexo por um vetor v ∈ V , então a ∗ v = av para todo a ∈ R). (b) A dimensão de V é par. (c) Existe um operador linear inverśıvel E ∈ L(V ) tal que E2 = −I.

[Sugestão: Para provar que (c) ⇒ (a), defina (a+ ib) ∗ v = av+ bEv para todo número complexo a+ ib e para todo v ∈ V.]

23. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre K. Sejam T : V → W e S : W → V transformações lineares. Mostre que se dimV > dimW então a composta S ◦ T não é inverśıvel.

24. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V linear tal que posto(T 2) = posto(T ). Prove que KerT∩ ImT = {0}.

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25. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V linear. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) KerT 2 = KerT ; (b) ImT 2 = ImT ; (c) KerT⊕ImT = V ; (d) KerT∩ImT = {0}; (e) KerT+ImT = V .

26. Seja θ ∈ R. Prove que as matrizes[ cosθ −senθ senθ cosθ

] e

[ eiθ 0 0 e−iθ

] são matrizes semelhantes em Mn(C).

27. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K e sejam S, T ∈ L(V ). Mostre que

T (Ker(S ◦ T )) = KerS ∩ ImT.

28. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K e seja P ∈ L(V ) uma projeção, isto é, P 2 = P . Prove que V = KerP ⊕ ImP. Mostre também que I − P também é uma projeção e que Ker(I − P ) = ImP e Im(I − P ) = KerP.

29. Seja V um espaço vetorial e sejam P e Q em L(V ) duas projeções tais que PQ = QP . Prove que PQ e R = P +Q−PQ também são projeções e que KerPQ = KerP + KerQ, ImPQ = ImP ∩ ImQ, KerR = KerP ∩KerQ e ImR = ImP + ImQ.

[Sugestão: Note que R = I − (I − P )(I −Q).]

30. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K, com carK = 0 e seja P ∈ L(V ) uma projeção. Prove que o traço de P é um número inteiro que é igual ao posto de P.

31. Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 sobre o corpo K e seja T um operador linear em V tal que T 2 = I. Prove que ou T = I , ou T = −I, ou existe uma base B base de V tal que

[T ]B =

[ 1 0 0 −1

] .

32. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K com carK 6= 2 e seja T um operador linear em V tal que T 2 = I. Seja W = {v ∈ V tais queTv = v} e U = {v ∈ V tais queTv = −v}. Prove que V = W ⊕ U.

33. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K e seja T um operador linear em V tal que T n = 0 e T n−1 6= 0. Seja v ∈ V tal que T n−1v 6= 0. Prove que o conjunto

B = {v, Tv, T 2v, ..., T n−1v}

é uma base de V . Qual é a matriz [T ]B?

34. Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre o corpo K e sejam S e T duas transformações lineares de V em W , ambas de posto finito. Mostre que S + T tem posto finito e que

|postoS − postoT | ≤ posto(T + S) ≤ postoS + postoT.

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35. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K e sejam S e T dois operadores lineares em V . Suponha que S ◦ T = 0 e que S + T é sobrejetora. Mostre que

postoT + postoS = n.

36. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K e seja T ∈ L(V ) tal que T 2 = T. Mostre que existem S, U ∈ L(V ) tais que T = S ◦ U e U ◦ S = 0.

37. Seja K um corpo de caracteŕıstica igual a 0. Mostre que não existem matrizes A,B ∈ Mn(K) tais que AB−BA = In ou com AB−BA = E, com E 6= 0 e E2 = E. O resultado continua sendo verdadeiro se carK 6= 0?

38. Seja T um operador linear de posto 1 em um espaço vetorial V . Mostre que existe um único escalar α tal que T 2 = αT. Prove que se α 6= 1, então I − T é inverśıvel.

39. Sejam A,B ∈ Mn(K) matrizes idempotentes. É a seguinte afirmação verdadeira? “ As matrizes A e B são semelhantes se, e somente se, elas têm o mesmo traço.”

40. Verdadeiro ou Falso? Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo K. Suponha que dimV = n e dimU = m, com m > n. Sejam T ∈ L(U, V ) e S ∈ L(V, U). Então S ◦ T e T ◦ S não são inverśıveis.

41. Sejam LA e RA ∈ L(Mn(K)) as transformações lineares definidas por: LA(M) = AM e RA(M) = MA para toda matriz M ∈Mn(K). Determine [LA]B e [RA]C , onde B = {E11, E21, . . . , En1, . . . , E1n, E2n, . . . , Enn} e C = {E11, E12, . . . , E1n, . . . , En1, En2, . . . , Enn}.

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