Álgebra Linear - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Garoto7 de Março de 2013

Álgebra Linear - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica da Universidade Federal de Goiás sobre o estudo da Álgebra Linear.
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Serviço Público Federal

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão

Departamento de Matemática

6ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ÁLGEBRA LINEAR CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO

Nos exercícios 1 a 6 determine a equação característica, os autovalores, e um conjunto de autovetores da matriz dada.

1) 5 3 2 4

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2) 1 2 4 3

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

3) 2 0 0 0

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

4) 2 0 0 0 1 0 0 0 3

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

5) 2 2 3 1 1 1 1 3 1

−⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

6) 3 0 2 0 1 2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

7) Use as equações de determinação de coeficientes por meio do traço de matrizes A, A2, A3, para encontrar a equação característica da matriz dos exercícios (1) e (5) anteriores. 8) Verifique os resultados do ER 4 para a matriz dos exercícios (1) e (6) anteriores. 9) Verifique que se um autovalor de A é zero, então detA = 0. 10) Determine as condições necessárias e suficientes para que uma matriz de ordem 2 tenha autovalores distintos. 11) Se λ1, λ2 e λ3 são autovalores de uma matriz A de ordem 3, encontre os autovalores de kA e de A- kI. 12) Verifique que os autovalores de A e AT são idênticos. 13) Verifique que os autovalores de uma matriz diagonal são iguais aos elementos

diagonais.

14) Verifique se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes:

a) v = (-2, 1), ⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ 3 1 2 2

b) v = (1, 1, 2),

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

3 2 0 1 2 0 1 1 1

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c) v = (-2, 1, 3), ⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

1 2 1 2 3 2 0 1- 1

15) Determine os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares:

a) T:IR2 → IR2 , T(x, y) = (x + 2y, -x + 4y)

b) T:IR2 → IR2 , T(x, y) = (2x + 2y, x + 3y)

c) T:IR2 → IR2 , T(x, y) = (5x - y, x + 3y)

d) T:IR2 → IR2 , T(x, y) = (y, -x)

e) T:IR3 → IR3 , T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z)

f) T:IR3 → IR3 , T(x, y, z) = (x, -2y – y, 2x + y + 2z)

g) T:IR3 → IR3 , T(x, y, z) = (x + y, y, z)

16) Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:

a) A = ⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ 5 1- 3 1

e) A =

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

1- 1 0 2- 1 1 0 0 1

b) A = ⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ 4 3 1 2

f) A =

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

3 2 1 1 4 1 1 2 3

c) A = ⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

2 1 1 2 3 2 0 1- 1

g) A = ⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

5- 6 8 0 1- 0 2- 3 3

d) A =

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

1- 0 0 3- 2 0 3- 1- 3

h) A =

⎥ ⎥ ⎥

⎢ ⎢ ⎢

0 0 2 0 1- 0 2 0 0

17) Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2, -1) são autovetores de um operador linear T: IR2 → IR2,

associados a 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determine a imagem do vetor v = (4, 1) por esse

operador.

18) Determine o operador linear T:IR2 → IR2 cujos autovalores são 11 =λ e 32 =λ

associados aos autovetores v1 = (y, -y) e v2 = (0, y), respectivamente.

19) Determine o operador linear T:IR2 → IR2 cujos autovalores são 31 =λ , 22 −=λ associados

aos autovetores v1 = x(1, 2) e v2 = x(-1, 0), respectivamente.

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