Algebra Linear II - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Algebra Linear II - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

PDF (102.2 KB)
2 páginas
1000+Número de visitas
Descrição
Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da Algebra Linear, lista de exercicios.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento

MAT 0222 Álgebra Linear II

Lista 1

1. Seja

Q( √ 2) = {a + b

√ 2 ∈ R | a, b ∈ Q}.

Prove que Q( √ 2) é um corpo. Prove também que Q(

√ 2) é um Q-espaço vetorial. Exiba uma

base desse espaço vetorial sobre Q.

2. Sejam L e K corpos tais que L ⊃ K. Mostre que L pode ser visto como um K-espaço vetorial.

Isso é uma generalizaçâo de exerćıcio anterior.

3. Ache uma base de C sobre R. Ache também uma base de C2 sobre C e uma base de C2 sobre

R.

4. Seja V um C-espaço vetorial de dimensão n e seja {v1, v2, ..., vn} uma base de V . Mostre

que o conjunto {v1, v2, ..., vn} ∪ {iv1, iv2, ..., ivn} é uma base de V quando considerado como

R-espaço vetorial.

5. Mostre que o conjunto {sen(x), cos(x)} ⊂ F(R, R) é L I . Mostre também que se c1, c2, ..., cn são n números reais distintos, então o conjunto {ec1x, ec2x, ..., ecnx} ⊂ F(R, R) é L I .

6. Mostre que os conjuntos {sen2(x), cos2(x)} e {1, cos(2x)} geram o mesmo subespaço de

F(R, R).

7. Seja K ⊂ C. Mostre que se {u, v, w} é um subconjunto LI do espaço vetorial V sobre K

então o conjunto {u+ v, u+w, v +w} também é L I. Mostre que a hipótese de que K ⊂ C é

essencial.

8. Encontre 3 vetore LD em R3, mas de modo que cada par deles seja LI.

9. Mostre que o conjunto {(2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1 − i)} é uma base de C3 e ache as

coordenadas do vetor (1, 0, 1) em relação a essa base.

10. Seja W o subespaço de C3 gerado pelos vetores w1 = (1, 0, i) e w2 = (1 + i, 1,−1).

(a) Mostre que {w1, w2} é uma base de W .

(b) Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, i, 1 + i) estão em W e formam outra base

de W .

(c) Quais são as coordenadas de w1 e w2 em relação à base {v1, v2}?

docsity.com

11. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K e sejam U e W subespaços de V . Mostre que

U ∪W é um subespaço de V se, e somente se U ⊂ W ou W ⊂ U .

12. Seja W um subespaço do espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que existe um subespaço

U de V tal que V = U ⊕W . É tal U único?

13. Sejam U e W subespaços de V . Prove que se U e W têm dimensão finita, então U + W tem

dimensão finita e vale a fórmula:

dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).

14. Sejam U e W subespaços de V tais que V = U + W . Mostre que V = U ⊕W se, e somente

se dimV = dimU + dimW .

15. Sejam V = Mn(K), W = {(aij) ∈ V | aij = 0 se i > j} e U = {(aij) ∈ V | aij = 0 se i < j}.

(a) Descreva U ∩W .

(b) Ache dimU, dimW e dim(U ∩W ).

EXERCÍCIOS DO LIVRO TEXTO:

2.1.5: (8)

2.2.10: de (3) a (9) e (12)

2.3.14: (1) e (4)

2.4.7: (3), (4), (5), (8) e (9)

2.6.8: de (1) a (5)

docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome