Álgebra Linear Segunda Chamada - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Álgebra Linear Segunda Chamada - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Álgebra Linear, prova
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UFPE – ÁREA 2 – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR - SEGUNDO SEMESTRE DE 2010

SEGUNDA CHAMADA

Nome: Turma:

1. (2,0 pts) Determine para que valores reais de a o subespaçoW = [(1, 0, 2), (1, 1, 1), (0, 1, a)] é tal que W⊥ 6= {0} .

2. Seja V espaço vetorial com produto interno <,> e T : V → V uma transformação linear. Mostre que:

(a) (0,8 pts) Se T é auto-adjunto e ortogonal, então T 2 = I, ou seja T 2(v) = T (T (v)) = v, ∀v ∈ V. {Sugestão: Calcule ‖T 2(v)− v‖}.

(b) (0,7 pts) Se T ∗ : V → V é um operador linear tal que < u, T (v) >=< T ∗(u), v >, então o operador linear S : V → V definido por S(v) = (T + T ∗)(v) é auto adjunto.

3. Seja T : P2 → R 2 definida por

T (p(x)) = (p(0), p(1)).

(a) (0,4 pts) Enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem. (b) (0,8 pts) Determine uma base para Ker(T ). (c) (0,8 pts) Determine uma base para Im(T ). (d) (0,5 pts) Diga se T é injetora. Justifique.

4. (2,0 pts) Seja V = R2 com produto interno

< (x1, y1), (x2, y2) >= x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2.

Seja β = {(1, 0), (0, 1)} e [T ]ββ =

[

−1 0 0 −1

]

a matriz da transformação linear

T : R2 → R2 na base β. T é ortogonal? T é auto-adjunto? Justifique.

5. Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x+ 2y,−x− y + z, y + z).

(a) (0,5 pts) Determine os autovalores de T . (b) (1,0 pt) Determine os autoespaços associados. (c) (0,5 pts) Diga se T é diagonalizável. Justifique.

OBS: ENTENDER O ENUNCIADO DAS QUESTÕES É PARTE INTE-

GRAL DA PROVA; NÃO FAÇA CONSULTAS AO FISCAL. NÃO É PER-

MITIDO DESTACAR AS FOLHAS DA PROVA NEM USAR FOLHAS ADI-

CIONAIS. NÃO É PERMITIDO USO DE CELULAR E CALCULADORA.

USE O VERSO DESTA FOLHA APENAS PARA BORRÃO.

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