Apostila preparacao miltitar
raphael_silva
raphael_silva16 de Outubro de 2015

Apostila preparacao miltitar

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apostila ensino fundamental 2 matematica
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SUMÁRIO

1. Razões e Proporcões......................................................................................................2 2. Grandezas Prorporcionais...............................................................................................4 3. Divisibilidade.................................................................................................................8 4. Regra de Três Simples..................................................................................................12 5. Regra de Três Composta...............................................................................................13 6. Porcentagem..................................................................................................................14 7. Matematica Financeira..................................................................................................17 8. Problemas de Racicionio Logico com Juros, Montante................................................23 9. Equação do Primeiro Grau............................................................................................28

10. Equação do Segundo Grau.............................................................................................41 11. Geometria e ângulos.......................................................................................................45 12. Triângulo........................................................................................................................47 13. Trigonometria.................................................................................................................49

RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem

trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.

Razão: Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10

alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso,

destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos,

então: 1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão == 2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = = 3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½

Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b. Indica-se: ou a : b e lê-se a para b. O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.

Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é: = ¼ 2. A razão de 20 para 5 é: = 4 3. A razão de 5 e ½ é = 5 . = 10

Razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas

grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza. - Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos:

1.A razão de 2 m para 3 m é: 2.A razão de 30 dm para 6 m = = = ½

- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo:

Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

= 80 Km/h

ATIVIDADES: 1.Calcule a razão entre as grandezas: a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de álcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d

2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico?

4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros

Proporção: Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por

razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: =

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Portanto:

Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d

A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d

* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.

Propriedade fundamental das proporções:

Exemplo: = 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36

Transformações de uma proporção: Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a

igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.

Exemplo: Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la : • alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 • alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160 • invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160

transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160

Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):

Exemplo: = ou ou ou

ATIVIDADES:

1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades: a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d)= 2.Encontrar o valor de x nas proporções: a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) = 3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.

4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.

5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS: A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma

que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa.

PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui.

Então:

Exemplo 1: Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja

na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Número de pessoas 1

2

4 5 10

Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais:

1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10

Exemplo 2: Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque

possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade:

3/ 6 = 10/20 = 8/16

½ = ½ = ½

PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá.

Então:

Exemplo 1: Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta pelo

grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise a tabela:

Número de pessoas 1 2 4 5 10

Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2

Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência: = 20 Exemplo 2:

Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucessão são iguais. = 16

ATIVIDADES: 1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.

2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (4,5,6)

3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1.

4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36.

5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que?

DIVISÃO PROPORCIONAl: Divisão em partes diretamente proporcionais:

Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa?

Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto:

No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as

horas que as pessoas A e B trabalharam. Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então: x + y = 660 e x/6 = y/5 Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos resolver :

= = = Onde:

= = x = 360 y = 300

Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.

Divisão em partes inversamente proporcionais:

E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais?

Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?

O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos.

Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber.

x + y = 160 = = x = 100 = y = 60

Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.

ATIVIDADES:

1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)

2.Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)

3.Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84 e 96)

4.A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)

5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)

6.Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)

Divisão proporcional composta: Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas,

prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho?

Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que: - Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5). - Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ). Portanto:

Resolvendo o problemas, temos: = ou = = = x = 15 000

Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14 400,00

ATIVIDADES: 1.Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)

2.Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente proporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)

3.Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão fosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moças tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas era de R $ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000)

4.(BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)

5.(TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente proporcionais a 2 ¼ , e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago? (120)

6.(TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª parte? (300)

REGRA DE SOCIEDADE:

Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins lucrativos, é justo que os lucros ou prejuízos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada uma empregou e ao tempo que o capital esteve empregado.

Na resolução de situações-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, que consiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capital empregado, ao tempo de aplicaçãoou a outrasgrandezas. É, portanto, uma das aplicações da divisão proporcional, que tem como objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam uma

sociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitais aplicados e dos períodos de tempo de aplicação que podem ser iguais ou diferentes para cada sócio.

REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES

1º caso: Os capitais são iguais e aplicados durante o mesmo tempo: O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número de sócios.

Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a

parte de cada um dos sócios?

Neste caso, basta dividir o lucro pelo número de sócios. = 74 200 Logo, a parte de cada sócio é de R$ 74 200,00

2º caso: Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em parte diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.

Exemplo: Por ocasião do balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000, R$ 45 000 e R$ 36 000.

= = = = =

x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e R $ 7 2000.

3º caso: Os capitais são iguais e empregados durante tempos diferentes: Os lucros e os prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de

tempo em que os capitais ficaram investidos.

Exemplo: Três amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital

inicial. A deixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de um ano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os três?

= = = = = A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000

Na prática este caso não ocorre, porque , em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o balanço.

REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA

Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento.

Então: Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão

divididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos. É uma divisão proporcional composta estudada no capítulo anterior.

Exemplo: Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00

durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? = e x + y = 11 700

= 4 500 e y = 7 200

ATIVIDADES:

1.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo de cada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)

2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por três amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo e que o segundo sócio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?

3.Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo acertado um terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receberá cada um? (960,00 e 640,00)

4.Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Na hora do pagamento, o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita a divisão do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)

5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes características:

CAPITAL TEMPO DE APLICAÇÃO SÓCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses SÓCIO B 3 000,00 1 ano e 9 meses

Divida o lucro de R$ 18 000,00 entre os sócios. ( 7 500 e 10 500)

6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente, capitais de R$ 50 000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube a cada um? (2 000,00 e 1 200,00)

7.Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80 000,00, durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e 6 600)

REVISANDO:

8.Três amigos, A, B e C, saíram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu ¼ da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um , sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)

9.Encontre os valores desconhecidos, sabendo que: a) os números das sucessões (x, 5, 2) e (3, y, 6) são diretamente proporcionais. b) os números das sucessões (x, 1, 30) e (3, 15, y) são inversamente proporcionais. c) os números da sucessão (x, y, 20) são de proporcionalidade composta, direta a (4,3,1) e também

direta a (5, 8, 4).

10.Encontre a, b e c, sabendo que os números (a, b, c) e (18, 12, 4) são inversamente proporcionais e que a + b = 5. (2, 3 e 9)

11.Num colégio há 210 alunos. A metade do número de meninas é igual a 1/5 do número de meninos. Qual é o número de meninos e meninas? (60 e 150)

12.Um supermercado fazia a seguinte promoção: “Pague 3 sabonetes e leve 5”. Aproveitando a promoção, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? (18)

REGRA DE TRÊS: Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas

proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.

REGRA DE TRÊS SIMPLES:

A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo- se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:

1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida

Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x

2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: • Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se

encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. • Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x,

invertendo o sentido da seta na outra coluna.

3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das proporções. Exemplo:

Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por9 metros do mesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima:

Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x

= x = x = 144,00

ATIVIDADES:

1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?

2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?

3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?

4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m?

5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo:

Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?

Nº de operários Nº de dias Nº de peças 3 6 400 7 9 x

Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então:

= = = 2x = 2 800 x = 1 400 peças

ATIVIDADES:

1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?

2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?

3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?

6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?

8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólares conseguirá comprar?

PORCENTAGEM: Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno com 30% de desconto”...

Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “.

= 0,80 = 80%

CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:

1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: Exemplo: Quanto é 20% de 800?

20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160

ou usando taxa unitária:

20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160

2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:

Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salário?

Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:

1ª). 2000 100% x 5% x = x = 100,00

Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00 2ª) 2 000 100% x 105% x =

x = 2 100,00 Salário: 2 100,00

Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

15 000 100% 1800 x x = x = 12%

Taxa de desconto: 12%

Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital?

13% 5 200 100% x x = x = 40.000

Capital: R$ 40 000,00 ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL:

Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de porcentagem:

Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p)

Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio:

Porcentagem = p = , onde P = e i =

É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

ATIVIDADES: 1.Calcular: a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550

2.Qual a taxa unitária de 20%?

3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?

4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?

5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?

6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?

7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?

8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?

9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com 6 500 inscritos?

10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.

11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?

12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/

13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres?

15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.

16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?

17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele?

18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?

19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?

20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?

OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS: Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de

mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi uma mercadoria com 20% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.” Frases como estas, muitas vezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que?

A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço decusto” ou “sobre o preço de venda”.

VENDAS COM LUCRO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra):

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um lucro de 20% sobre a compra .

Podemos considerar o preço de venda como 120% Resolvendo por regra de três temos: 4 000 100% x 120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800

Então:

Ou

onde, V = preço de venda i = taxa unitária do lucro C = preço de compra

- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar

20% sobre o preço de venda.

Devemos considerar o preço de venda que é desconhecido como 100% e, conseqüentemente, o preço de compra como 80%, já que o lucro será de 20%

Por regra de três temos; 4 000 80% x 100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000

Então:

Ou

onde, V = preço de venda C = preço de custo i = taxa unitária do lucro

VENDAS COM PREJUÍZO:

- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que

esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda?

Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60% e o preço de custo 100%.

Por regra de três temos: 300 100% x 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00

Então:

Ou

Onde, V = preço de venda i = taxa unitária de prejuízo C = preço de compra

- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo perdido 25%

do preço de venda.

Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que o prejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%.

Por regra de três temos: 125% 30 000 100% x x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000

Então:

Ou

ATIVIDADES:

1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.

2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último?

4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?

5.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo uma perda de 30% sobre o preço de compra.

6.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo perdido 25% do preço de venda.

7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado?

DESCONTOS E AUMENTOS: Operações envolvendo descontos (abatimentos) e aumentos (acréscimos) sobre preços de

mercadorias, salários, etc. são comuns em nosso dia a dia. Podem ser classificados em sucessivos e simultâneos.

DESCONTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS: Considera-se uma operação de desconto ou de aumento sucessivo quando cada novo desconto ou novo aumento incide sobre o valor já descontado ou aumentado anteriormente.

- DESCONTOS SUCESSIVOS: Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, 6 % e mais 3%. Qual o valor líquido da fatura?

Para resolver problemas como este devemos calcular os descontos sobre as quantias líquidas, já descontadas as taxas anteriores. Assim:

10% de 100 000 = 10 000 A fatura se torna 100 000 – 10 000 = 90 000 ( ou 0,90 . 100.000 =90 000) 6% de 90 000 = 5 400 A fatura se torna 90 000 – 5 400 = 84 600 ( ou 0.94 . 90 000 = 84 600)

3% de 84 600 = 2 538 A fatura final se torna 84 600 – 2 538 = 82 062 ( ou 0,97 . 84 600 = 82 062)

Examinando a solução desse problema, vemos que o valor final (valor líquido) é o resultado da diferença entre o valor inicial (valor bruto) e os descontos. Poderíamos, então, obter o mesmo resultado da seguinte forma:

Valor final = 100 000. (1 – 0.10 ) . (1 – 0,06) . (1 – 0,03), onde cada parêntese refere-se a um desconto.

Então: Valor final = 100 000 . 0,90 . 0,94. 0,97 = 100 000 . 0,820620 = 82 062 Portanto, um valor inicial submetido a descontos sucessivos de várias taxas pode ser calculado

por: Valor final = Valor inicial . (1 – 1ª taxa) . (1 – 2ª taxa) . ( 1 – 3ª taxa) . ... . ( 1 – enésima taxa)

Ou

Onde: Vf = valor final ou valor descontado (valor bruto) Vi = valor inicial (valor líquido) i , i , i ,… i = taxas de desconto

Para calcular o valor inicial ou a taxa total de descontos, tem –se:

- AUMENTOS SUCESSIVOS:

Observando a resolução do problema anterior, concluímos que para aumentos sucessivos teremos:

DESCONTOS E AUMENTOS SIMULTÂNEOS:

Considera-se uma operação de desconto ou aumento simultâneo quando os descontos ou aumentos incidem sempre sobre o valor inicial.

Exemplo: Um funcionário recebe um salário-base de R$ 1 200,00, Tem um adicional de 20% de acréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo de serviço correspondente a 5%. Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base?

Como os aumentos incidem sempre sobre o valor inicial, o valor final será: 1 200 . 0,20 = 240 1 200 . 0,05 = 60

Vf = 1 200 + 240 + 60 = 1 500 ou 1 200 ( 1 + 0,25) = 1 500 A taxa total de aumentos será 0,20 + 0,05 = 0,25

Assim, um valor inicial submetido a vários aumentos simultâneos pode ser calculado por:

E se fossem descontos simultâneos:

ATIVIDADES:

1.Uma fatura de R$ 10 000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5 % e 8 %. Por quanto esta fatura será liquidada?(R$ 8 740,00)

2.Uma fatura de R$ 10 000,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? ( R$ 12 650,00)

3.Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48 000,00, qual o valor líquido da mesma? (R$ 39 398,40)

4.Sobre um artigo de R$ 2 500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preço final desse artigo? (R$ 2 850,00)

5.Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50 000 unidade, em 5 %. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?(44 175)

6.O preço de uma mercadoria foi remarcada três vezes neste mês, passando a custar R$ 27 716,00. Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação correspondeu a um acréscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma?( R$ 25 000,00)

7.Um funcionário público do estado tem um salário-base de R$ 800,00 com descontos de 11% para o IPE e 2,5% de Fundo Aposentadoria, ambos calculados sobre o salário-base. Qual o valor de cada um dos descontos? Qual o líquido a receber?( 88,00+20,00 = 108,00 , 692,00)

8.Uma fábrica que têm preços tabelados para as suas mercadorias remarcou, com 30% de abatimento, as unidades que apresentavam defeitos de fabricação. Os revendedores que comprassem dez ou mais unidades teriam, ainda, 20% de abatimento sobre o preço remarcado. Um revendedor comprou doze

unidades com defeito. Qual a taxa total de desconto que lhe foi feito? Quanto pagou se o total devido era de R$ 1 852,00 e se fossem considerados os preços tabelados?( 44% - R$ 1 037,12)

9.Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente,,em 4 empresas. Na primeira, ganhou 80% e, em cada uma das outras,perdeu 10%. Que taxa ganhou sobre o capital empregado? ( 31,22%)

REVISANDO: 1.Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é 3/4. Se nessa turma existem 24 rapazes, qual é o número de moças?

2.Numa cidade, o número de funcionários públicos para o número de habitantes é, aproximadamente, de 2/45. Se a população é de 30 000 habitantes, quantos são os funcionários públicos?

3.Uma pesquisa entre indivíduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem portadores do vírus da AIDS revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram portadores do vírus e que, 64 viciados em drogas injetáveis, 12 eram portadores. Com base nesses dados, qual dos dois grupos é o mais propenso a transmitir a doença?

4.Durante os jogos da Copa do Mundo, os brasileiros assistiram os jogos pela televisão na razão de 5/8. Considerando que a população atual brasileira é aproximadamente 176 milhões, qual o número aproximado de brasileiros que assistiram os jogos pela televisão?

5.Três pessoas A,B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que dá um prêmio de R$ 10 000,00. A pessoa A colaborou com R$ 10,00, a pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00. Caso o bilhete seja premiado, quanto receberá cada pessoa se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto?

6.Numa sociedade comercial o sócio A entrou com 2/5 do capital durante ¾ do tempo e o sócio B com o restante do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuízo de 49 210,00, calcule a parte do prejuízo que toca a cada sócio.

7.Dividindo o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4, qual é a maior parte?

8.Distribua o lucro de R$ 28 200,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R $ 80 000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20 000,00 durante 11 meses.

9.Para transportar um certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões, carregados com 4 m³ de areia cada um. Adquirindo–se caminhões com capacidade para 12 m³ de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer tal serviço?

10.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO (JUROS):

Nos dias de hoje as pessoas que têm algum dinheiro disponível, procura alguma maneira de emprega-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando a terceiros. Para que essas operações financeiras sejam executadas são necessários cálculos adequados a cada situação. Iniciaremos fixando ou relembrando alguns conceitos básicos iniciais:

CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação financeira. Também recebe o nome de valor atual ou valor presente. Indicaremos o capital inicial por PV ( Valor presente )

JUROS: remuneração paga ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro., ou seja, o custo do capital durante determinado período de tempo. Indicaremos os juros por j.

TAXA DE JUROS: unidade de medida de juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital empregado num determinado período financeiro: ao dia, ao mês, ao bimestre, ao semestre, ao ano, etc. Pode apresentar-se na forma porcentual (3% ao m ) ou na forma unitária (0,03 ao m). Indicaremos a taxa por i.

PRAZO: tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. O prazo é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, ano...) Indicaremos o prazo por n

MONTANTE: soma do valor presente (capital) aplicado e os juros que este rendeu num certo tempo a uma determinada taxa.Indicaremos o montante por FV (valor futuro).

( FV = PV + j )

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: é a operação de adição dos juros ao capital

Existem dois regimes de capitalização: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composta.

O regime de capitalização simples ou juros simples consiste em somar os juros ao capital uma única vez, no final do período contratado. O cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o montante será a soma do capital inicial com os juros, o que equivale a uma única capitalização. O saldo cresce em progressão aritmética.

No regime de capitalização compostaou juros compostos os juros são capitalizados no final de cada período e o montante assim constituído passará a render juros durante o período seguinte. O saldo cresce em progressão geométrica.

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Os problemas envolvendo juros simples pode ser resolvidos por uma regra de três composta.

Exemplo: Calcular o juro produzido por R$ 8 000,00, à taxa de 5% ao ano, durante 2 anos.

Os 5% ao ano significam que em cada 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano.

Montando a regra de três composta temos: Capital Juro Tempo 100 5 1 8 000 x 2

= . =

100x = 80 000 x = 800,00 O juro produzido é de R$ 800,00

Substituindo, temos:

100 i 1 PV j n

= . = j =

Usando taxa unitária temos:

Daí, podemos deduzir:

IMPORTANTE: i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, n deve ser calculado em dias; se a taxa for mensal, n deve ser calculado em meses, etc.

Montante: Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais os juros. O resultado

dessa soma , como já vimos, recebe o nome de montante, ou seja:

Como j = PV . i . n , podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira; FV = PV + PV . i . n Colocando C em evidência, temos:

ATIVIDADES:

1.Qual é o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a uma taxa de 3,5% ao mês? (R$ 5 250,00)

2.Qual é o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano , à taxa mensal de 2%? (R$ 600,00)

3.Um capital de R$ 10 000,00,investido a juros de 13% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento, Qual foi o juro? (R$ 361,11)

4.Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$ 720,00? ( 3,2% ao mês)

5.Que capital inicial rende R$ 2 000,00 em 50 dias, a uma taxa de 0,2% ao dia? (R$ 20 000,00)

6.Calcular os juros simples que um capital de R$ 2 500,00 rende à taxa de 2,7 % ao m, quando aplicado de 1º de fevereiro até 14 de maio. (R$ 229,50)

7.Um banco anuncia que um investimento de R$ 9 523,80 rende em seis meses a quantia se R$ 1 047,62.De quanto será a taxa anual, calculada com base no ano comercial? ( R$ 22%)

8.Calcular em quanto tempo um capital de R$ 1 200,00 renderá R$ 144,00 de juros quando aplicado a uma taxa de 3% ao m. (4 meses)

9.Calcular os juros de R$ 1 200,00, aplicados a uma taxa de 15% ao ano, durante três meses e dez dias. (R$ 50,00)

10.Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29 800,00, à taxa de 1,2% ao m., durante 6 meses? (R$ 31 945, 60)

11.Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei depois de 4 anos, R5 928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? ( C = R$ 627,03 e j =R$ 300,97)

12.Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?(R$ 2 523,40)

13.A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor? (100%)

14.Calcular o montante de uma aplicação a juros simples de um capital de R$ 250 000,00, à taxa mensal de 11 %, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano. (R$ 268 325,00)

ATIVIDADES DE REVISÃO:

1.Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 45,00 a mais que a outra. Qual a comissão de cada uma, sabendo que há entre elas uma razão de 4/9. (36,00 e 81,00)

2. Os salários de João e José estão entre si assim como 7 está para 8. Calcule esses salários, sabendo que o triplo do salário de João menos o dobro do de José é R$ 5 000,00 (7 000,00 e 8 000,00)

3.O lucro de uma determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3, 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40 000,00 a mais que o primeiro, qual foi o lucro total e quanto coube a cada sócio? (60 000, 100 000 e 180 000)

4.Três trabalhadores receberam ao todo R$ 3 600,00. O primeiro trabalhou 10 dias à razão de 8 horas por dia; o segundo, 20 dias à razão de 6 horas por dia; e o terceiro, 25 dias à razão de 4 horas por dia. Quanto recebeu cada um?

5.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400.00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 8 meses, o segundo 10 e o terceiro 12 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?

6.Uma empresa com dois sócios lucrou R$ 6 400,00. O primeiro sócio empregou R$ 1000,00 durante 1 ano e 4 meses: e o segundo, R$ 2 000,00 durante 8 meses. Quanto recebeu cada sócio? ( 3 200,00)

7.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

8.Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria automobilística produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1 200 operários produzam 450 veículos trabalhando 10 horas por dia? ( 45 dias)

9.Uma prova de Matemática,com índice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a média de 8 em uma classe. Qual seria a média da mesma classe se o índice de dificuldade fosse elevado para 25?

10 Em três dias foram construídos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, quantos dias terão sido utilizados na construção total do muro?

11.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?

12.Qual é a taxa que, aplicada num capital de R$ 720 000,00, resulta numa porcentagem de R$ 21 600,00?

13.Uma mercadoria que custava R$ 2 500,00 teve um aumento, passando a custar R$ 2 700,00. Qual foi a taxa de aumento sobre o custo? Qual foi taxa de aumento sobre a venda?

14.Uma fatura sofreu abatimento de 13%, resultando num valor líquido de R$ 4 350,00. Qual era o valor inicial da fatura?

15.Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, mais 6% e mais 3%. Qual é o valor líquido da fatura?

16.Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36 394,40, perdendo nessa transação a quantia equivalente a 3% sobre o preço de custo?

17.Calcule o juro produzido por R$ 500, 00, à taxa de 64,8% ao ano, durante 45 dias?

18.Depositei certa quantia num banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 ao fim de 40 dias. Se a aplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, quanto recebi de juros?

19.Determine a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48 000,00 que, em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros

20.Calcule o montante do capital de R$ 75 000,00, colocado a juros simples, à taxa de 2 ¾ % ao mês, no fim de 6 meses.

21.Um empréstimo foi feito em 3 de março, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o critério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação? E se fosse prazo comercial?

22.Que quantia devo colocar a 3% ao ano para no mesmo prazo ter os mesmos juros que R$ 15 000,00 a 4% ao ano?(R$ 20 000,00)

23.A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no final de 10 meses produza um rendimento igual a 3/5 de si próprio? (6% ao m)

24. A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50 000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa B comprou um apartamento por R$ 85 000,00 e alugou-o a R$ 1 105,00 mensais. Qual das duas pessoas está fazendo o melhor negócio? (A pessoa A)

25.O capital de R$ 50 000,00 ficou aplicado durante seis meses e rendeu R$ 3 000,00 de juros. A que taxa esteve empregado? (6% ao semestre)

26.Um investimento de R$ 8 000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 3,2% durante 3 meses. Qual o montante

a) se for juros simples? b) se for juros compostos?

Sistemas de equações do 1° grau a duas variáveis

Introdução

Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis.

Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave. Veja os exemplos:

a) b)

O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução. Por exemplo, o par (7,3) é solução do sistema

Pois verifica as duas equações. Ou melhor:

Resolução de sistemas de equações do 1° grau ( 2 x 2)

Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da adição, método da comparação, além do método gráfico.

Método da substituição

Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir:

exemplo: Resolver o sistema 1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 1ª equação:

2º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita

3º passo: Resolvemos a equação obtida no 2º passo:

obtendo, assim, o valor de y.

4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equação iniciais.

5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}.

2º exemplo: Resolva o sistema

A solução do sistema é:

Exercícios de Aprendizagem

Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas 2x2:

Método da comparação

Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações. 1º exemplo: Resolver o sistema

1° passo) Isolando x na 1ª equação:

1

2º passo: Isolando x na 2ª equação:

2

3º passo) Comparando 1 e 2, vem:

4º passo) Como x = 1+y, temos:

x = 1+(2) x = 3

Conjunto-Solução: S = {(3,4)}

2º exemplo: Resolver o sistema

1º passo: x = 5y 1

2º passo: Isola-se x na 2ª equação

3º passo: Comparando 1 e 2, vem

5y = 16 – 3y 5y + 3y =16 8y = 16 y = 2

4º passo: Como x = 5y, temos:

x = 5.(2) x = 10

A solução é S = {(10,2)}

Exercícios de Aprendizagem

2) Aplicando o método da comparação, resolva os seguintes sistemas:

Exercícios de fixação

3) Aplicando o método mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas:

Método da Adição

Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...).

Exemplo 1: Considere o sistema

Observe que a equação 1 tem o termo -3y, e a equação 2 tem o termo +3y (oposto de -3y).

Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro.

Agora, é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema:

A única solução do sistema é o par (3,0)

Exemplo 2: Vamos resolver o sistema

Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos.

Veja que o MMC entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equações) é 10. Daí, multiplicamos a 1ª equação por 2 e a 2ª equação por -5:

Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema.

E como +10y –10y = 0, vem:

Agora, levamos x = -2 na 2ª equação para encontrar o valor de y:

A solução é o par (-2,4).

Exemplo 3: Resolva pelo método da adição o sistema

Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -1 (não mexer na 2ª):

De 3y = 27, tiramos y = 9.

Calculando x:

Substituímos y = 9 na 1ª equação:

Nota importante: Podemos aplicar o método da adição de outra forma, neste caso procurando zerar a incógnita y. Veja: Multiplicamos a 1ª equação por 4 e a 2ª por 1... e então

De, encontramos (Viu?!! Dá o mesmo resultado!). Portanto, pode-se usar o processo da dição duas vezes seguidas

Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adição

Temos que o MMC(6,7) = 42. Então, multiplicamos a 1ª equação por 7 e a 2ª por 6, temos:

Substituindo b = 3 na 2ª equação, vem:

Equações do 1º Grau 1) Resolva as equações a seguir: a)18x - 43 = 65 (R: x = 6) b) 23x - 16 = 14 - 17x (R: x = ¾)

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20 (R: x = 21) d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 (R: x = 2) e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 (R: x = -21) f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 (R: x = 12)

2) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais. (R: a = 22)

3) Resolver as seguintes equações (na incógnita x): a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0) (R: x = 20/9) b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc (R: x = 3c/4)

4) Determine o valor de x na equação a seguir aplicando as técnicas resolutivas. a) 3 – 2 * (x + 3) = x – 18 (R: x = 5) b) 50 + (3x − 4) = 2 * (3x – 4) + 26 (R: x = 28/3)

5) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5? (R: x = 11/7)

6) Resolva as Equações em R a) 2x + 6 = x + 18 (R: x = 12) b) 5x – 3 = 2x + 9 (R: x = 4) c) 3(2x – 3) + 2(x + 1) = 3x + 18 (R: x = 5) d) 2x + 3(x – 5) = 4x + 9 (R: x = 24) e) 2(x + 1) – 3(2x – 5) = 6x – 3 (R: x = 2) f) 3x – 5 = x – 2 (R: x = 3/2) g) 3x – 5 = 13 (R: x = 6) h) 3x + 5 = 2 (R: x = -1) i) x – (2x – 1) = 23 (R: x = -22) j) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3) (R: x = 7/2)

7) O valor numérico da expressão 2x² + 8, para x igual a -3 é: a) 17 b) 18 c) 26 (R: ) d) 34

8) Indique a Incógnita de cada equação a) 2x – 3 = 15 (R: a = 2, b = -18) b) 4y = 30 – 18 (R: a = 4, b = 30) c) 5z – 6 = z + 14 (R: a = 4, b = -20) d) m + 4 = 20 (R: a = 1, b = -16)

PROBLEMAS SOBRE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

1 – O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número?

2 – A soma de um número co o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?

3 – A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos?

4 – Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia?

5 – O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?

6 – O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número?

7 – O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado de 2. Qual é esse número?

8 – O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número, mais 55. Qual é esse número?

9 – Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?

10 – Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número?

11 – Um número mais a sua metade é igual a 15. Qual é esse número?

12 – A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?

13 – O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?

14 – O dobro de um número, menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número?

15 – A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35. Qual é esse número?

16 – Subtraindo 5 da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número?

17 – A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa?

18 – Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

19 – Flávia e Sílvia têm juntas 21 anos. A idade de Sílvia é três quartos da idade de Flávia. Qual a idade de cada uma?

20 – A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é três quintos da idade de Mário. Qual a idade de Mário?

21 – A diferença entre um número e os seus dois quintos é igual a trinta e seis. Qual é esse número?

22 – A diferença entre os dois terços de um número e sua metade é igual a seis. Qual é esse número?

23 – Os três quintos de um número aumentados de doze são iguais aos cinco sétimos desse número. Qual é esse número?

24 – Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta com alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário?

25 – Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na 1ª prestação, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2ª prestação, a terça parte e na última, R$ 2,00. Quanto ele pagou pela camisa?

26 – Achar um número, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 é 124.

27 – Um número tem 6 unidades a mais que outro. A soma deles é 76. Quais são esses números?

28 – Um número tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles é 150. Quais são esses números?

29 – Fábia tem cinco anos a mais que Marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma?

30 – Marcos e Plínio tem juntos R$ 350,00. Marcos tem a mais que Plínio R$ 60,00. Quanto tem cada um?

31 – Tenho nove anos a mais que meu irmão, e juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho?

32 – O perímetro de um retângulo mede 74 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem cinco centímetros a mais que a largura?

33 – Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mario R$ 14,00 a menos que Paulo. Nós temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um?

34 – A soma de dois números consecutivos é 51. Quais são esses números?

35 – A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números?

36 – A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número?

37 – A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números?

38 – A soma de dois números inteiros e consecutivos é – 31. Quais são esses números?

39 – A soma de dois números impares consecutivos é 264. Quais são esses números?

40 – A soma de dois números é 32 e a diferença é 8. Quais são esses números?

41 – A soma de dois números é igual a 27 e a diferença é 7. Quais são esses números?

42 – A soma de dois números é igual a 37 e a diferença é 13. Quais são esses números?

43 – Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeças e 58 pés. Determine o número de coelhos e galinhas.

44 – Eu tenho 30 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor total das cédulas é de R$ 250,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas cédulas de R$ 10,00 eu tenho?

45 – Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

46 – Carlos tem 17 anos e Mário tem 15 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

47 – Um homem tem 25 anos de idade e seu filho 7 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?

48 – Dois irmãos tem 32 e 8 anos respectivamente. Quantos anos faltam para que a idade do mais velho seja o triplo da idade do mais novo?

49 - Se hoje Pedro tem o dobro da idade de Maria e daqui a 20 anos Maria será 10 anos mais jovem do que Pedro, qual será a idade de Pedro nessa época?

(A) 30 anos (B) 35 anos (C) 40 anos (R: ) (D) 45 anos (E) 50 anos

50 - Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?

a) R$136,00 b) R$138,00 c) R$140,00 d) R$142,00 e) R$144,00 (R: )

Equações do 2° Grau 1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 5x2 - 3x - 2 = 0 (R: a = 5, b = -3, c = -2) b) 3x2 + 55 = 0 (R: a = 3, b = 0, c = 55) c) x2 - 6x = 0 (R: a = 1, b = -6, c = 0) d) x2 - 10x + 25 = 0 (R: a = 1, b = -10, c = 25)

2) Achar as raízes das equações: a) x2 - x - 20 = 0 (R: x’ = 5 e x’’ = -4) b) x2 - 3x -4 = 0 (R: x’ = 4 e x’’ = -1) c) x2 - 8x + 7 = 0 (R: x’ = 7 e x’’ = 1)

3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0? (R: Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos.

(-2)2 - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes)

02 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0

12 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0

42 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz))

4) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas. (R: k > 16/40 k > 2/5 )

5) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva as seguintes equações do 2º grau. a) 3x² – 7x + 4 = 0 (R: x’ = 4/3 e x’’ = 1) b) 9y² – 12y + 4 = 0 (R: y’ = 2/3 e y’’ = 2/3) c) 5x² + 3x + 5 = 0 (R: Não possui raízes reais)

6) Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso: a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8) b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3) c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio) d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4) e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU

1) x² - 5x + 6 = 0 (R: 2, 3) 2) x² - 8x + 12 = 0 (R: 2, 6) 3) x² + 2x - 8 = 0 (R: 2, -4) 4) x² - 5x + 8 = 0 (R: vazio) 5) 2x² - 8x + 8 = 0 (R: 2,) 6) x² - 4x - 5 = 0 (R: -1, 5) 7) -x² + x + 12 = 0 (R: -3, 4) 8) -x² + 6x - 5 = 0 (R: 1, 5) 9) 6x² + x - 1 = 0 (R: 1/3 , -1/2) 10) 3x² - 7x + 2 = 0 (R: 2, 1/3) 11) 2x² - 7x = 15 (R: 5, -3/2) 12) 4x² + 9 = 12x (R: 3/2) 13) x² = x + 12 (R: -3 , 4) 14) 2x² = -12x - 18 (R: -3 ) 15) x² + 9 = 4x (R: vazio) 16) 25x² = 20x – 4 (R: 2/5) 17) 2x = 15 – x² (R: 3, -5) 18) x² + 3x – 6 = -8 (R: -1, -2) 19) x² + x – 7 = 5 (R: -4 , 3) 20) 4x² - x + 1 = x + 3x² (R: 1) 21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² (R: -3) 22) 4 + x ( x - 4) = x (R: 1,4) 23) x ( x + 3) – 40 = 0 (R: 5, -8) 24) x² + 5x + 6 = 0 (R:-2,-3) 25) x² - 7x + 12 = 0 (R:3,4) 26) x² + 5x + 4 = 0 (R:-1,-4) 27) 7x² + x + 2 = 0 (vazio) 28) x² - 18x + 45 = 0 (R:3,15) 29) -x² - x + 30 = 0 (R:-6,5) 30) x² - 6x + 9 = 0 (R:3) 31) (x + 3)² = 1 (R:-2,-4) 32) (x - 5)² = 1 (R:3,7) 33) (2x - 4)² = 0 (R:2) 34) (x - 3)² = -2x² (R:vazio)

35) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4) 36) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio) 37) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R: 9 e -10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R: 1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R: 10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número. (R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R: 3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R: -8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R: -7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R: 8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R: 4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R: 8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R: 1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? (R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R: 7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

Ângulos

Os ângulos de que se fala dizem respeito a ângulos no plano. (Existe os chamados ângulos sólidos, definidos no espaço, mas estão fora do âmbito desta Revisão.) Assim, temos que o ângulo ao centro α é definido pela duas semi-rectas da figura 1. Este é o ângulo mais pequeno definido pelas duas semi-rectas (repare que têm a mesma origem, o vértice no centro da figura). Outro ângulo definido pelas semi-rectas é o ângulo β, que é de abertura visivelmente maior que o ângulo α. Por definição, uma volta completa no plano define o ângulo de 360º, isto é,

α + β = 360º .

No plano, o sentido positivo atribuído aos ângulos é contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura 2 está indicado o sentido de crescimento de um ângulo. O ângulo α aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta. O sentido negativo é definido pela semi-recta OA movendo-se no sentido horário. Em trigonometria, especialmente quando se usam funções trigonométricas, definidas mais adiante, é costume usar outra unidade para os ângulos em vez da indicada: é o radiano. É definido de tal forma que um ângulo de π radianos é igual a 180º:

π radianos = 180º,

em que π é o número irracional π=3,1415927..., definido pelo quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. É usual não indicar a unidade “radianos” quando nos referimos a um ângulo nestas unidades, quando não há perigo de confusão. Assim teremos, por exemplo, que α = π/4 = 45º. Para ângulos em unidades de grau de arco, é necessário indicar o símbolo " º " para distinguir da unidade radiano. Há mais outra unidade de ângulo no plano, o grado, definida tal que 90º = 100 grados, mas é menos utilizada que qualquer das anteriores.

Ângulo trigonométrico Um ângulo pode ter o valor real que se desejar. No entanto, a semi-recta que dá o ângulo (com outra semi- recta, fixa, de referência) completa uma volta após 360º, duas voltas após 720º, etc., ou uma volta no sentido contrário, e nesse caso diz-se que descreveu um ângulo de –360º. O menor ângulo α descrito pela

0 0 1 Esemi recta é o ângulo trigonométrico, e para o ângulo F 06 A descrito pela semi-recta tem-se:

F 0 6 A = α + k · 360º, (1.1)

em que k é um número inteiro. O ângulo α é o de maior interesse em trigonometria, em particular no que toca às funções trigonométricas, abordadas posteriormente. Por exemplo, se x = α + m · 360º e y = α + n · 360º (m e n números inteiros), para igualar os ângulos x e y é necessário que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condição trivial. A razão para a existência desta periodicidade para ângulos prende-se com o carácter das funções trigonométricas, o qual será discutido adiante. No entanto, é necessário definir univocamente a aplicação que dá o ângulo definido por duas rectas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito, medem-se os ângulos num domínio que vai de 0º a 360º (ou, o que é equivalente, de 0 a 2π radianos), para que nγo haja lugar para dϊvidas; no caso de um βngulo no plano, serα de 0Ί a 180º, visto que para ângulos entre 180º e 360º já haverá outro ângulo mais pequeno definido pelas duas rectas dadas – e que será inferior a 180º.

Classificação de ângulos

Quanto à abertura 1) Ângulo nulo: α = 0º – figura 3.a.

2) Ângulo agudo: 0º < α < 90º – figura 3.b. Reparar que um ângulo agudo α toma sempre um valor entre 0º e 90º, nunca tomando qualquer destes valores. Exemplos: α = 30º , α = 75,4º , α = 89,99º (nunca é igual a 90º ou 0º !).

3) Ângulo recto: α = 90º – figura 3.c.

4) Ângulo obtuso: 90º < α < 180º – figura 3.d. Novamente, o ângulo obtuso apenas toma os valores intermédios, nunca os dos extremos que o define.

5) Ângulo raso: α = 180º – figura 3.e.

6) Ângulo giro: α = 360º – figura 3.f.

Quando se chega a um ângulo 360º, já se descreveu uma volta completa no plano – pelo que a abertura definida por um ângulo giro (de 360º) é a mesma que é definida pelo ângulo raso. Na verdade, e por essa razão, muitos autores identificam o ângulo de 0º (ou 360º, o que é equivalente como acabámos de ver) como ângulo raso ou giro. Para ângulos superiores a 360º, voltamos novamente ao princípio – daí a definição periódica para o ângulo dada pela expressão (1.1). Assim sendo, um ângulo de 390º será equivalente a outro de 30º:

390º = 30º + 1 · 360º .

Quanto ao posicionamento (relativamente a outros ângulos) 1) Ângulos complementares: α + β 0 01 F = 180º – figura 3.g.

Diz-se que α e β são complementares, ou que α é complementar de β 0 01 E, e vice versa. Naturalmente, 0º <α < 180º, e β também (com α + β = 180º)!

2) Ângulos suplementares: α + β = 90º – figura 3.h. Diz-se que α e β são suplementares, ou que α é suplementar de β, e vice-versa. Naturalmente, 0º <α < 90º, e β também (com α + β = 90º)!

3) Ângulos verticalmente opostos: α + α + β + β’ = 360º – figura 3.i. Os ângulos α e α dizem-se verticalmente opostos. Temos que α =α, e também β =β’, que também são verticalmente opostos.

Arcos de circunferência Um arco de circunferência é definido de uma maneira semelhante à que foi feita para um ângulo no plano. Desta feita, define-se um arco sobre uma circunferência. Sobre uma circunferência, um ponto pode-se mover em dois sentidos. O sentido positivo para os ângulos

0 0 1 Eé, por convenção, anti horário, e o negativo é o sentido horário. Dessa forma, quando um ponto da

circunferência se desloca sobre ela do ponto A para B, diz-se que esse ponto da circunferência descreveu o arco .

Triângulos São figuras geométricas definidas numa superfície plana, constituídas por três segmentos de recta cujas extremidades se unem. Sejam então três segmentos de recta, de comprimentos x, y e z. Quando unidas as extremidades, definem ângulos internos α, β e γ. Seja α o ângulo mais pequeno definido pelos segmentos de comprimentos x e y. Abusivamente, designarei de agora em diante x e y os segmentos de recta de comprimento dado pelos valores de x e y, respectivamente. Propriedade 1: Todos os triângulos, quaisquer que sejam, que a soma dos ângulos internos seja 180º,

isto é, α + β + γ = 180º .

Isto verifica-se sempre para todos os triângulos constituídos sobre uma superfície plana(1 ).

Propriedade 2: A soma do comprimento de dois lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Por exemplo: se o Gabriel (no vértice de ângulo γ) quiser ir à casa da Alexandra (vértice de ângulo α), percorrerá um caminho menor, de comprimento x, indo directamente para lá do que passando primeiro pela casa da Beatriz (ângulo β) e indo depois até à casa da Alexandra (num percurso total dado por y + z).

Semelhança de triângulos Dois triângulos dizem-se semelhantes quando são homotéticos, isto é, quando existe uma homotetia entre os dois triângulos – os lados dos triângulos são proporcionais entre si. Das seguintes relações de semelhança, conclui-se que os dois triângulos a considerar são homotéticos:

a) três lados proporcionais [LLL], ou três ângulos iguais entre si [AAA]; Este caso é trivial, e resulta da definição de homotetia que foi agora apresentada. O efeito produzido por [LLL] ou por [AAA] é o mesmo, e equivalem-se entre si: dois triângulos com ângulos iguais entre si têm lados correspondentes com comprimento de igual proporção, e

0 0 1 Evice versa – ver figura 5.

b) dois lados proporcionais e um ângulo igual [LLA]; Aqui, dois lados dos triângulos são proporcionais, e um dos ângulos de um triângulo tem igual abertura ao do ângulo correspondente no outro triângulo: α = α e x’/x = y’/y. Consequências: z’/z obedece à mesma proporção entre os comprimentos dos lados, e os ângulos correspondentes nos dois triângulos são iguais entre si.

c) dois ângulos iguais e um lado proporcional [LAA]; Dois ângulos quaisquer são iguais. Tem-se α = α, F 06 2 = F 06 2, e um valor para x’/x. Então resulta que o terceiro ângulo é igual para os dois triângulos, e que os lados são proporcionais.

Naturalmente, se nenhuma das três situações anteriores se verificar, o par de triângulos considerados não são semelhantes. Estas classificações não devem ser confundidas com as de triângulo equilátero, isósceles e escaleno, definidos a seguir. Enquanto que aquelas dizem respeito a relações entre dois triângulos, as últimas referem-se à caracterização de um único triângulo.

Classificação de triângulos

Quanto aos ângulos internos 1) Triângulo acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, isto é, têm um valor inferior a 90º (mas nunca igual). 2) Triângulo rectângulo

1) Para demonstrar esta propriedade dos triângulos, é necessário recorrer aos axiomas de Euclides enunciados no seu tratado de geometria, os “Elementos”. Em particular, é necessário o 5º axioma, que afirma que “duas rectas do mesmo lado de uma terceira recta, e que lhe sejam perpendiculares, nunca se cruzam”. Os ângulos assim formados, do “lado de dentro” definido pela duas rectas, fazem o ângulo 90º + 90º = 180º. A cruzarem-se, a soma dos dois ângulos seria menor que 180º, e a “quantidade que falta” seria o terceiro ângulo, indo formar um triângulo. No caso das rectas paralelas, o terceiro ângulo não existe, pois as rectas não se intersectam. A partir daqui, a propriedade pode-se tornar mais ou menos intuitiva.

Um dos ângulos internos é recto; no caso da figura 6 é o ângulo α, e portanto temos α = 90º. Os restante ângulos internos são necessariamente agudos, pois a sua soma tem de ser igual a 90º, visto a soma dos ângulos internos de um triângulo ter de ser 180º. Logo, esses dois ângulos são suplementares.

3) Triângulo obtusângulo Um dos ângulos internos é obtuso, isto é, tem entre 90º e 180º; é o caso do ângulo 90º < α < 180º. A soma dos restantes ângulos internos é inferior a 90º, visto ser condição obrigatória que a soma dos três ângulos 180º. Claro, os restantes ângulos internos são agudos, pois não ultrapassam 90º: a sua soma é até inferior a 90º.

Quanto ao número de lados/ângulos iguais 1) Triângulo equilátero

Todos os lados são iguais. Todos os ângulos internos são iguais: α = β = γ. Como a soma dos ângulos internos é sempre 180º, forçosamente α = β = γ = 60º. É um triângulo agudo, pois todos os ângulos são menores que 90º. Como o nome indica, é “equilátero” – todos os lados medem o mesmo: x = y = z .

2) Triângulo isósceles Temos dois lados iguais (y e z, por exemplo), e dois ângulos iguais. Caso y = z, temos α = β ≠ γ ; ou seja, são iguais os ângulos não comuns aos lados iguais (α e β não são comuns aos lados x e y, que são iguais).

3) Triângulo escaleno Todos os lados e ângulos respectivos são diferentes.

Não deverá confundir estas classificações com as de semelhança de triângulos (secção ), que dizem respeito a relações entre dois triângulos!

Trigonometria e relações trigonométricas Aquando da sua criação pelos matemáticos gregos, a trigonometria dizia respeito exclusivamente à medição de triângulos, e tal como as funções e relações trigonométricas apresentadas a seguir, é aplicada exclusivamente ao estudo de triângulos rectângulos. Porém, as funções trigonométricas resultantes, e apresentadas mais adiante, encontram aplicações mais vastas e de maior riqueza noutras áreas como a Física (por exemplo, no estudo de fenómenos periódicos) ou a Engenharia. Limitarmo-nos-emos à trigonometria no plano. Assuntos mais elaborados (alguns dos quais leccionados em cursos universitários), como desenvolvimentos em série de Taylor de funções trigonométricas, números complexos e funções trigonométricas hiperbólicas não serão abordados neste texto. Ainda no intuito de manter a generalidade deste texto, que se pretende uma simples revisão sobre trigonometria leccionada no ensino secundário, não falarei também sobre trigonometria esférica. Em trigonometria, os lados dos triângulos rectângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo recto θ, chama-se hipotenusa; os lados restantes, ligados ao ângulo recto, chamam-se catetos.

Teorema de Pitágoras O geómetra grego Pitágoras (570–501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo rectângulo: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e y forem o comprimento dos dois catetos e h o comprimento da hipotenusa, ter-se-á:

x² + y² = h² .

A demonstração deste teorema pode ser efectuada através do cálculo de áreas de triângulos rectângulos e de quadrados — ver figura 7. A área de um quadrado com comprimento do lado de valor l é dada por l2.

Para um rectângulo de comprimento de base a e de altura b a área é dada pelo produto destes dois comprimentos, isto é, a×b. Se dividirmos esse rectângulo com uma diagonal, teremos dois triângulos rectângulos, com catetos de comprimento a e b; a área de cada um é, então, metade da área do triângulo — ab/2.

Observe agora a figura 8. O triângulo rectângulo tem lados de comprimento x e y. Pelo que se disse no parágrafo anterior, a área deste triângulo é xy/2. O quadrado que está junto ao triângulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado precisamente igual ao comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja, h. A área do quadrado é, naturalmente, h2. Ora bem, o triângulo pode ser “copiado” e “colado” aos restantes lados do quadrado de modo que se juntem as hipotenusas dos triângulos copiados aos lados do quadrado. Isto produz uma nova figura, um quadrado, no qual se inscrevem o quadrado e os triângulos — o “original” e as “cópias”. Este novo quadrado tem lado com comprimento x+y — canto inferior direito da figura 8. Ora, a área do novo quadrado é (x+y)2, ou seja, x2 + 2xy + y2. Por outro lado, a área deste novo quadrado é igual ao espaço ocupado pelas figuras anteriores – o quadrado e os quatro triângulos. Estas cinco figuras têm áreas dadas por h2 e xy/2. Como temos quatro triângulos, a área que todos eles ocupam é 4×xy/2 = 2xy. Então, as cinco figuras dentro do quadrado maior ocupam uma área que totaliza h2 + 2xy. Mas esta área é igual à do quadrado maior, como se vê na figura 8. Portanto, temos

x2 + 2xy + y2 = h2 + 2xy F 0 D B x2 + y2 = h2 ,

que é justamente a anterior fórmula para o teorema de Pitágoras.

Relações trigonométricas de ângulos Na esmagadora maioria das aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim. No capítulo discutir-se-á o intervalo de aplicabilidade (já sob o ponto de vista de funções reais de variável real) de algumas das seguintes relações trigonométricas.

a) Seno de α É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo α pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,

.

O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representações: senα, sinα, sen(α), sin(α).

b) Coseno de α É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo α pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,

.

Em geral, o coseno de α aparece com uma das duas representações: cosα, cos(α).

c) Tangente de α É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,

.

É usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tanα, tan(α), tgα, tg(α). d) Co-tangente de α

É definida como o recíproco da tangente de α: .

A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan(α), cotg(α), cotanα, cotgα. Pelas definições em c) e d), e segundo as definições em a) e b), podemos ver ainda que:

e .

e) Secante e co-secante de α Definem-se ainda as funções secante de α e co-secante de α como, respectivamente:

e .

A secante pode ser representada por: sec(α), secα. A co-secante pode ser representada por: cosec(α), cosecα, csc(α), cscα.

Fórmula fundamental da trigonometria A fórmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras.

.

Pela definição de seno e de coseno de um ângulo, dadas acima por a) e b), temos que: . (3.1)

A equação (3.1) é a fórmula fundamental da trigonometria. Nela, sen2(α) = sen(α) · sen(α), e o mesmo se sucede para cos2(α). Da fórmula fundamental da trigonometria é ainda possível extrair outras fórmulas importantes; por exemplo, dividindo-a por cos2(α), vem:

;

ou, dividindo por sen2(α): .

Um problema de trigonometria

Por vezes não nos é possível (por quaisquer razões) encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ângulos a partir dos dados disponíveis – chama-se a isto resolver um triângulo. Mas se conhecermos, por exemplo, um ângulo (que não seja o ângulo recto, porque obviamente já é conhecido) e um lado de um triângulo rectângulo, podemos encontrar os valores dos ângulos e lados que faltam. Para isso necessitamos de dispor de uma tabela trigonométrica ou de uma calculadora, para podermos obter os valores que tomam as funções trigonométricas para diferentes ângulos. Suponhamos, por exemplo, que queríamos medir a altura h de uma torre de farol que nos é inacessível, ou para a qual era incómodo e difícil efectuar directamente uma medição sobre a torre com fita métrica. Como fazer? Em primeiro lugar, mediu-se, no ponto A, o ângulo a que a extremidade mais alta da torre faz com a linha de horizonte, e mediu-se α = 20º. Depois, afastamo-nos uma distância apropriada – 10 metros, no caso presente(2). Faz-se uma nova medição do ângulo que o cimo da torre faz com a linha de horizonte, e obteve-se o valor β = 18º. Consultemos uma tabela, ou usemos uma calculadora científica para obter os valores das funções trigonométricas para os ângulos mencionados. Na tabela seguinte estão transcritos os valores para os dois ângulos relevantes.

θ sen(θ) cos(θ) tan(θ) 18º 0,309 0,951 0,325 20º 0,342 0,940 0,367

Que funções trigonométricas utilizar? Pretende-se obter a altura da torre, h. Não sabemos a distância no solo até à torre, mas possuímos um dado parecido: a distância entre dois pontos de observação. O problema sugere-nos então que usemos a função tangente para calcular a altura da torre – sabemos uma distância sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro cateto. Assim, teremos:

e .

Talvez possamos usar a tangente, visto h ser comum a tan(α) e a tan(β), como se vê pelas duas fórmulas acima. Assim, ficamos com:

h = b · tan(β) = a · tan(α) .

E como b = a + 10,

Por fim, temos que a altura da torre é: h = a · tan(α) = a · tan(20º) = 30,3 metros .

Seno, coseno e tangente como funções reais de variável real(3 )

Anteriormente definimos as funções trigonométricas atendendo a que os seus argumentos, o ângulo α, era inferior a 90º e superior a 0º – pois caso contrário não teríamos um triângulo rectângulo. Se α = 0º, teríamos um segmento de recta, e se α = 90º, teríamos duas semi-rectas com os pontos de origem ligados por um segmento de recta, com o qual são perpendiculares. Temos, pois, que as funções trigonométricas, 2) É importante admitir aqui que os dois pontos, A e B, estão ao mesmo nível. De outro modo, seria

necessário introduzir uma correcção para compensar a diferença de alturas – mais uma vez usando relações trigonométricas. Não abordarei o problema aqui; na verdade, apela-se ao leitor para que tente resolver este outro problema após compreender bem o formalismo por detrás do primeiro problema. De facto, teríamos de usar mais triângulos (e obter relações entre eles) para se levar em linha de conta tal desnível.

3) Daqui em diante, e sempre que não hajam riscos de interpretação duvidosa, escrever-se-á sen(a) como sen a, e cos(a) como cos a.

tal como anteriormente definidas para o triângulo rectângulo, têm o domínio restringido a 0º < α < 90º, ou se usarmos radianos, 0 < α < 2π. A extensão do domínios das funções trigonométricas a toda a recta real faz-se recorrendo ao círculo trigonométrico. Ele é definido por uma circunferência de raio unitário (isto é, igual a um) centrada na origem dos eixos coordenados. O triângulo Δ[OPx] é rectângulo no ângulo com o eixo das abcissas – o eixo dos XX – como se pode ver pela figura. Visto a circunferência ter raio r = 1, todos os pontos distam da origem da mesma distância, r. Logo, o segmento [OP] tem comprimento . Assim sendo, o quociente y/r representa o seno de α, sendo r a hipotenusa. Da mesma forma, x/r representa o coseno do ângulo α. Desta forma, posso definir o seno e o coseno do ângulo α para todos os valores de α, e não somente para aqueles entre 0º (ou 0 radianos) e 90º (ou π/2 radianos), como anteriormente. Temos então que:

e .

Como no círculo trigonométrico o raio é r = 1, temos então que as coordenadas do ponto P(x,y) são: P (x,y) = (x,y) = (cosα, senα). Escrevo desta forma as coordenadas do ponto P(x,y) pois situa-se numa circunferência de raio r = 1. Se fosse r ≠ 1, teria de dividir as coordenadas por r, sendo r2 = x2 + y2, pelo teorema de Pitágoras(4). Prestando atenção à figura, veremos que

e .

De igual forma, para o ângulo α = π radianos (meia-volta no círculo), temos sen(π) = 0 e cos(π) = –1, obtemos o ponto P(x,y) = (0,–1). Quando temos α = 2π radianos (uma volta completa começando em α= 0, isto é, sobre o eixo dos XX), voltamos a ter o ponto (0,1) – logo sen(2π) = 0 e cos(2π) = 1. Prosseguindo para outros valores, verificamos que as funηões se repetem cada vez que adicionamos 2π radianos ao argumento (ângulo). Da mesma forma que temos valores possνveis para o seno e o coseno quando α> 0, também é possível atribuir valores às funções trigonométricas quando α < 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio. As duas funções ficam então definidas para todos os valores da recta real. Como se passarão as coisas com as funções tangente e co-tangente? Recordemos a definição de tangente de α:

.

Prestemos agora atenção aos triângulos Δ[OPx] e Δ[OP’x’]. São triângulos semelhantes, com três ângulos iguais: os ângulos nos pontos P’ e P são iguais pois OP e OP’ são colineares (têm a mesma direcção), bem como Px e P’x’; logo o ângulo <OPx é igual ao ângulo <OP’x’. Assim, os lados dos triângulos são proporcionais um a um, bastando multiplicar em cima e em baixo do sinal de fracção pela constante de proporcionalidade respeitante ao comprimento dos lados dos triângulos. Portanto – e recordando que estamos a usar uma circunferência de raio r = 1 – posso definir a tangente do ângulo α da forma anterior, sendo x e y as coordenadas do ponto P(x,y) = (x,y) = (cosα, senα). Pode-se usar o seguinte como mnemónica. “Marca-se” cosα no eixo dos XX – o que corresponde à coordenada x do ponto P sobre a circunferência – ou seja, corresponde à sua “distância” na horizontal, a partir do centro do sistema de eixos. O senα é “marcado” no eixo dos YY, e corresponde à coordenada y do ponto P, ou “altura” do ponto P(5). A tangente de α é assinalada pela “altitude” do ponto P’, ou seja, a sua ordenada. Ora, o ponto P’ tem coordenadas P’(x,y) = (1, tanα). Repare-se que os triângulos são semelhantes, e para mais têm lados

4) Na verdade, as coordenadas são geralmente divididas por r. Porém, e no caso do círculo trigonométrico, para o qual r = 1, portanto não é necessário introduzir a divisão por r nas fórmulas para as coordenadas.

5) O raio é r = 1. Se assim não fosse, teríamos de recorrer à definição: sen a = y / r, e cos a = x / r.

proporcionais. Portanto, o quociente de comprimentos mantém-se – é igual o quociente de comprimentos dos lados para os dois triângulos. No triângulo contido na circunferência, temos tanα = y / x , e dentro da circunferência temos –1 < x < 1 porque os pontos P sobre a circunferência de raio r = 1 nunca vão além de x = 1 ou de x = –1. Ora, o ponto P’ no segundo triângulo tem abcissa x = 1 pois situa-se sobre a vertical que passa por x = 1 no eixo dos XX. Sendo x = 1, temos então y = x · tanα. Para ângulos “grandes”, ou melhor, tais que y > x, temos tanα > 1. Como x = 1 em P’, temos que(6):

.

Nesse caso, a “altura” do ponto P’ dá-nos uma medida de tanα. O mesmo se passa para cotgα. O seu valor vai corresponder ao afastamento, à distância do ponto P’’, situado sobre o traço horizontal tangente à circunferência no seu ponto mais “alto”. Quanto mais “alto” estiver o ponto P’, maior será o ângulo α, e mais a semi-recta definida pelo ângulo com o eixo XX se aproxima do eixo YY, logo cotgα diminui – bem como a abcissa do ponto P’’. Estas duas funções, no entanto, não podem ser definidas para todos os valores reais. De facto, quando α = π/2, a “altura” de P’ é infinita (ou seja, tanα = ∞), e nesse caso a função não fica bem definida nesse ponto(7). O mesmo se passa para 3π/2, 5π/2, e assim por diante – ou seja, qualquer ponto na forma α = π/2 + kπ, sendo k um número inteiro. Pelas mesmas razões cotgα fica indefinida nos pontos α= 0, α = π, α = 2π – isto é, qualquer ponto na forma α = kπ. Portanto, o domνnio destas funηões deve necessariamente excluir todos estes pontos em que as funções não ficam bem definidas; os restantes pontos, obviamente, são permitidos.

Propriedades importantes das funções trigonométricas Neste capítulo serão apresentadas algumas importantes propriedades das funções trigonométricas seno, coseno, tangente e co-tangente, nomeadamente: paridade, sinal, monotonia, periodicidade, e o resultado de redução ao primeiro quadrante. Já de seguida, serão dados também os valores dessas funções trigonométricas para alguns ângulos do primeiro quadrante: 0º, 30º, 45º, 60º, e 90º.

Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é possível determinar facilmente os valores tomados pelas funções trigonométricas. Para ângulos de outros quadrantes, torna-se necessário efectuar em primeiro lugar uma redução ao primeiro quadrante. Finalmente, os restantes ângulos cuja redução ao primeiro quadrante (discutida mais adiante) não devolve um destes ângulos, e também para ângulos do primeiro quadrante que não sejam os descritos, é necessário recorrer a tabelas trigonométricas ou uma calculadora científica ou computador. Para os ângulos 0 e π/2 radianos (ou, 0º e 90º, respectivamente), de imediato se encontram os valores das funções trigonométricas. Para α = 0, a semi-recta que define o ângulo com o semi-eixo positivo dos XX coincide com este. Logo, sendo r = 1 e cosα = x / r = x , vem que cosα = 1 e senα = 0. Daqui decorre que tanα = senα / cosα = 0 , e cotgα = 1 / tanα = +∞. Para α = π/2 radianos, temos que a semi-recta coincide com o semi-eixo positivo dos YY, fazendo com que senα = 1 e cosα = 0. Daqui vem que tanα = +∞ e cotgα = 0. Comecemos por considerar um triângulo equilátero como o da figura 12, cujos lados têm comprimento . O ponto H é ponto médio do segmento [BC], logo . E como e , vem: . Da aplicação do teorema de Pitágoras resulta que:

.

Pela definição de tangente de α, vem:. Observando a figura, é ainda possível concluir que: 6) Temos x · tana > 1, e não x · tana > x, porque x=1 no ponto P’. 7) Além disso os limites da função tangente à esquerda e à direita de π/2 são diferentes: antes de π/2 é +8

e depois é –8, pelo que existe uma descontinuidade que torna a função indefinida nesse ponto.

, , .

Consideremos agora um triângulo (rectângulo) isósceles – α = 45º como o da figura 13. Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, . Seja . Então,

.

Sabendo então que sen(45º) = cos(45º), e aplicando a fórmula fundamental da trigonometria, vem:

Pela definição, .

Em resumo, temos o seguinte quadro:

Valores do argumento α (radianos) 0 π/6 π/4 π/3 π/2

senα 0 1/2 1 cosα 1 1/2 0 tanα 0 1 ∞ cotgα ∞ 1 0

0º 30º 45º 60º 90º Valores do argumento α (graus)

1.. Paridade das funções trigonométricas

0 0 1 EDas quatro funções trigonométricas até agora discutidas (seno, coseno, tangente e co tangente), todas têm

uma paridade bem definida. a) O seno é ímpar

Seja α = – F 06 2, isto é, α = | F 06 2|, e F 06 2 = –|α| = –α. Ora, senα = y/r. Projectando o ângulo F 06 2 sobre o eixo dos YY, então vem que sen F 06 2 = y’/r < 0, pois y’ < 0. Vê-se facilmente que: sen F 06 2 = y’/r < 0, e por conseguinte senα = y/r = –y’/r = –sen F 06 2 = –sen(–α) F 0D B sen(–α) = –sen(α). Logo, a função seno é ímpar.

b) O coseno é par Seja α = – F 06 2. Ora, cosα = x/r, e cos F 06 2 = x’/r. Na projecção para a figura acima, facilmente se verá que x = x’. Logo, cosα = x/r = x’/r = cos F 06 2 = = cos(–α). Portanto, a função coseno é par.

c) A tangente é ímpar Seja α = – F 06 2. Ora, tanα = y/x, e tan F 06 2 = y’/x’, pela figura anterior – aliás, basta dividir seno por coseno. Analogamente, prova-se que tan(–α) = –tanα – ou seja, a tangente é ímpar.

d) A co-tangente é ímpar A demonstração é análoga a c). Sendo α = – F 06 2, y = –y’ e x = x’, como se pode concluir do gráfico acima, vem que cotg(–α) = –cotgα: a co-tangente é ímpar. Sinal das funções trigonométricas

Seno

Esta função é ímpar, e como tal sen(–α) = –sen(α). Logo, para um ângulo α situado no 1ºQ, teremos que o seno do ângulo –α, situado no 4ºQ, tem um valor simétrico. Como no 1ºQ senα > 0, então para α F 0C E 4ºQ, temos senα < 0. Um ponto P(x,y) do 2ºQ tem coordenadas tais que x<0 (pois encontra-se na região onde x toma valores negativos – o valor x=0 corresponde ao centro do sistema de eixos, ou melhor, a todos os pontos com abcissa nula (x=0), situados no eixo dos YY), e y>0. Por definição senα= y/r – relembrar que o seno se “marca” no eixo dos YY, correspondente à “altura” do ponto P(x,y) a considerar, caso r=1. Ora r>0, pois trata-se de uma distância, sendo sempre um número não negativo. Como r>0 sempre, e nessa região particular (2ºQ), temos que y>0; então senα>0 no segundo quadrante. O que se sucede no 3ºQ? Seja α 0 01 E um ângulo positivo pertencente ao 2ºQ (ou seja, tem se π/2 < α < π); o ângulo F 06 2 = –α pertence ao 3ºQ. De facto, e como a função seno tem período 2π (isto é, repetem-se os valore e a monotonia da função em intervalos de largura 2π), o ângulo F 06 2+2π ainda se situa na mesma regiγo do plano (3ºQ), e F 06 2 = –α F 0D B F 06 2+ 2π = 2π – α. Resolva-se então a desigualdade que resulta da localização de α no 2ºQ: π/2 < α < π F 0 D B –π/2 > –α > –π F 0 D B 2π – π/2 > 2π – α > 2π – π F 0 D B 3π/2 > 2π – α > π F 0 D B

F 0 D B 3π/2 > 2π + F 0 6 2 > π .

Então: F 06 2+ 2π > π, e ainda 3π/2 > F 06 2+ 2π F 0D B F 06 2+ 2π < 3π/2, ou ainda: π < 2π + F 06 2 < 3π/2. Com a aplicação dada pelo ângulo no plano com o eixo dos XX é uma aplicação de período 2π (isto é, os ângulos voltam a ser iguais ao fim de um arco de 360º = 2π radianos), então b situa-se no 3ºQ pois é maior que π e menor que 3π/2, como queríamos demonstrar. A função seno é ímpar – verifica-se que sen(–α) = –sen(α), F 02 2α F 0C EIR. De facto, se α F 0C E2ºQ então F 06 2F 0C E3ºQ (como vimos), e sen F 06 2 = sen(–α) = –sen(α). No 2ºQ o seno toma valores positivos (recordar que y>0), logo toma valores negativos no 3ºQ. De resto, um ponto P(x,y) F 0C E3ºQ tem ordenada y<0, logo o seno de um ângulo pertencente ao 3ºQ é de facto negativo.

Coseno Esta função é par, isto é, para qualquer ângulo α verifica-se cos(–α) = –cos(α). Por definição, sendo r>0 a distância de um ponto do plano à origem do sistema de eixos, e x a distância da projecção do ponto sobre o eixo dos XX, temos cos(α) = x/r. No primeiro quadrante, x>0. Logo cos(α)>0, para todo o α F 0C E1ºQ. Também no 4ºQ se tem x>0, embora y<0.Mas apenas x (e r) aparecem na definição do coseno, portanto cos(α)>0 para α F 0C E4ºQ. De facto, e como vimos acima, se F 06 2 = –α e α F 0C E1ºQ, então F 06 2F 0C E4ºQ. No 2ºQ e 3ºQ, x<0. Logo, cos(α)<0 para α pertencente a qualquer destes dois quadrantes. De facto, se α F 0C E2ºQ e α = – F 06 2, então F 06 2F 0C E3ºQ, e como a função seno é par, resulta que cos( F 06 2) = cos(–α) = –cos(α).

Tangente A função é ímpar, ou seja, para qualquer ângulo α, tan(–α) = –tan(α). Por definição, para qualquer ângulo α que não coincida com o eixo YY, isto é, que lhe não seja paralelo (ou ainda, que não faça um ângulo recto com o eixo dos XX), tanα = y/x. Naturalmente, esta função “dá problemas” quando x=0, o que ocorre para os argumentos ±π/2, ±3π/2, ±5π/2,... , ou seja, βngulos que são perpendiculares ao eixo dos XX e para os quais a tangente toma um valor infinito, não podendo portanto ser definida nesses pontos. Para α=0, ±π, ±2π,... , temos tanα =0, visto nesses casos se ter y=0, e aí a tangente anula-se Fora estes pontos, a tangente pode tomar qualquer outro valor real. No 1ºQ, x>0 e y>0, logo tanα>0. No 2ºQ, x<0 e y<0, o que faz tanα 0 01 E<0. No 3ºQ tem se x<0 e y<0, portanto tanα>0. Finalmente, no 4ºQ tanα<0 porque x>0 mas y<0.

Co-tangente A função é ímpar e tem o mesmo sinal da função tangente, pois apenas difere desta por ser a sua recíproca – isto é, cotgα = 1 / tanα = x / y. A função não está definida para os pontos α = 0, α = ±π, α = ±2π – ou seja, todos os pontos da forma ±kπ (com k inteiro positivo ou nulo), em que se verifica que y = 0.

Em suma, temos o seguinte quadro:

Sinal das funções trigonométricas 1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ

senα + + – – cosα + 0 01 F– – + tanα + – + – cotgα + – + –

"+" = positivo "–" = negativo Monotonia das funções trigonométricas

Trata-se de se conhecer em que intervalos as funções crescem, decrescem, ou se mantêm constantes se for caso disso. Para toda a recta real, as funções seno e coseno dizem-se oscilantes, ou seja, não têm uma monotonia que se mantenha ao longo de todo o seu domínio de aplicação. Quanto à tangente e à co-tangente, não é possível falar de monotonia da mesma maneira que o seno ou o coseno, mas apenas a restrições dos seus

0 0 1 E

0 0 1 Edomínios; falar se á disso adiante.

O comportamento das funções trigonométricas é diverso do anterior quando se trata de restrições do domínio de aplicação. Assim, por exemplo, a função seno é crescente no intervalo ]–π/2,π/2[. Com efeito, sendo senα = y/r, nesse intervalo o valor de y – a projecção do ponto P(x,y) do círculo trigonométrico no eixo dos YY – vai aumentando.

Seno No primeiro quadrante (0 < α < F 07 0/2), a função é crescente pois y aumenta com α. No segundo quadrante ( F 07 0/2 < α < F 07 0), a função é decrescente pois y diminui com α. No terceiro quadrante ( F 07 0 < α < 3 F 07 0/2), a função é decrescente porque y continua a diminuir à medida que aumentamos o ângulo α (recorde-se que o sentido do aumento do ângulo α é o sentido anti-horário). No quarto quadrante (3 F 07 0/2 < α < 2 F 07 0), a função seno torna a crescer, pois nesse intervalo y cresce com o ângulo α.

Coseno Primeiro quadrante (1ºQ): o coseno é decrescente porque a projecção do ponto P(x,y) vai-se aproximando do centro do eixo à medida que α aumenta, ou seja, à medida que x diminui. Segundo quadrante: a função é decrescente (ou melhor, cresce em valor absoluto, mas com sinal negativo), porque x continua a diminuir com o aumento de α. Terceiro quadrante: é crescente, porque x começa agora a aumentar (ainda com valor negativo; decresce em valor absoluto, mas com sinal negativo). Quarto quadrante: crescente.

Tangente É crescente no 1ºQ (veja-se a monotonia das funções seno e coseno acima). Relembrando a monotonia dos valores das coordenadas do ponto P(x,y) sobre o círculo trigonométrico de raio unitário – y para o valor de senα, e x para o valor de cosα – y aumenta e x diminui com o ângulo α.

No segundo quadrante, a tangente de α é crescente, porém de valor negativo, porque aí x<0 e y>0. Porém, à medida que α aumenta, x vai aumentando também (distância da projecção do ponto P sobre o eixo dos XX), ao passo que y (o comprimento da projecção do ponto P sobre o eixo dos YY) vai diminuindo. Para o 3ºQ, pode-se fazer a análise da monotonia da função do mesmo modo. Projectando um ponto P (x,y) F 0C E3ºQ sobre o “eixo das tangentes” (a recta vertical a tracejado no lado direito do círculo trigonométrico representado na figura 15), temos que tanα > 0, e se α aumentar, tanα aumentará também. Logo, no 3ºQ a tangente é crescente. No 4ºQ a tangente também é crescente. Basta projectar o ponto P(x,y) do círculo trigonométrico sobre o “eixo das tangentes”, segundo a recta que assenta na semi-recta definida pelo ângulo α com o eixo dos XX, para constatar que a “altura” do ponto P’, projecção de P, vai aumentando, ainda que com valor negativo. A conclusão a tirar daqui é que a monotonia da função tangente de α é sempre crescente em todos os pontos do seu domínio. Claro, a tangente não fica definida para ± F 07 0/2 (e outros valores para o argumento α que produzam ângulos com a mesma abertura), pois estes pontos não fazem parte do domínio, porque para esses valores do argumento a tangente assume valores infinitos.

Co-tangente O estudo da monotonia da co-tangente faz-se de modo semelhante ao efectuado para a tangente. Conclui- se que a função é sempre decrescente em todo o seu domínio de aplicação (1ºQ, 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ).

Monotonia das funções trigonométricas 1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ

senα + 0 01 F– – + cosα – – + + tanα + + + + cotgα – – – –

"+" = crescente "–" = decrescente

Redução ao primeiro quadrante O círculo trigonométrico é usualmente dividido segundo regiões denominadas quadrantes, como indicado na figura 16. São quatro, e indicam-se de acordo com o sentido do crescimento dos ângulos – sentido anti- horário. Existem certos ângulos para os quais as funções trigonométricas tomam valores fáceis de determinar, e que convém ter sempre presente. No entanto, alguns desses ângulos podem cair noutros quadrantes que não o 1º, e nesse caso convém reduzi-los ao 1º quadrante, até porque as tabelas trigonométricas apresentam ângulos que dizem respeito a esse quadrante. Assim, iremos descobrir o comportamento das funções trigonométricas nos restantes quadrantes, e compará-lo com os valores tomados pelas funções trigonométricas para ângulos do primeiro quadrante. Na figura 16, o 1ºQ corresponde ao intervalo 0 < α < F 07 0/2, o 2ºQ a F 07 0/2 < α < F 07 0, o 3ºQ a F 07 0 < α < 3 F 07 0/2, e o 4ºQ a 3 F 07 0/2 < α < 2 F 07 0. Considere-se, por exemplo, que α F 0C E1ºQ, e F 06 2F 0C E2ºQ, tal que F 06 2 = α + F 07 0/2. O que resulta da redução ao primeiro quadrante das funções trigonométricas para o ângulo F 06 2? Repare-se que esta redução terá de ser tal que se relacionem funções com o mesmo contradomínio, isto é, senos com cosenos (que têm contradomínio [–1,1] ) e tangentes com co-tangentes (de contradomínio ]–∞, +∞[ ). Comecemos pela função seno. No 2ºQ, o seno diminui, pois y/r diminui com o aumento de F 06 2. Para α, é o coseno que diminui com o aumento de α. Se a for apenas um pouco maior que 0º (próximo de 0º, mas no 1ºQ), teremos que F 06 2 será também apenas um pouco maior que F 07 0/2: lembre-se que F 06 2 = α + F 07 0/2, neste caso. Assim, como cos(α) se aproxima de 1 nessa situação, e sen( F 06 2) também se aproxima de 1, há equivalência geométrica entre cosα e sen F 06 2, ou seja: sen( F 06 2) = cos(α). Para o coseno, e ainda para a situação em que α F 0A E0 e F 06 2F 0A EF 07 0/2, acima destes valores (para que α e F 06 2 continuem no 1ºQ e 2ºQ, respectivamente), temos que sen(α) F 0A E0 e cos( F 06 2) F 0A E0. Mas no 2ºQ, o coseno toma valores negativos, pois x<0: cos( F 06 2)<0. No 1ºQ, por outro lado, o seno toma valores positivos, pois y>0: sen(α)>0. Quer cos( F 06 2) quer sen(α) tendem para zero quando α F 0A E0 e F 06 2F 0A EF 07 0/2 por valores acima dos indicados, portanto podemos relacionar sen(α) e cos( F 06 2): temos cos( F 06 2) = –sen(α), com α F 0C E1ºQ e F 06 2F 0C E2ºQ. O sinal negativo, como acabo de referir, advém do facto de que o coseno toma valores negativos no 2ºQ e o seno valores positivos no 1ºQ. Tudo isto pode ser visto de outro modo, talvez mais correcto ou mais fácil de visualizar. Suponhamos que temos o triângulo rectângulo contido no primeiro quadrante e limitado pelo quarto de circunferência, como assinalado no figura 17. Seja y o comprimento da projecção do ponto P sobre o eixo dos YY. Seja x o comprimento da projecção de P sobre o eixo dos XX, e que resulta no ponto X, e seja x’ o comprimento da projecção de P’ sobre o eixo dos XX, e que resulta no ponto X’. Consideremos que a circunferência tem raio r=1. Então, temos: senα = y, cosα = x, sen F 06 2 = y’, e cos F 06 2 = x’. Consideremos que o ângulo α é suficientemente pequeno para que nos seja fácil visualizar o que se segue, e que F 06 2 = α + F 07 0/2, ou seja, também F 06 2 forma um ângulo com o eixo dos YY, da mesma abertura que a forma com o eixo dos XX. Pode-se constatar que o triângulo definido no primeiro quadrante pelo ângulo α (o triângulo Δ[OPX]) é igual ao triângulo do segundo quadrante, definido pelo ângulo F 06 2 – F 07 0/2. Ou seja, o segundo triângulo resulta de uma rotação de F 07 0/2 radianos do primeiro triângulo em torno do centro do sistema de eixos, o ponto O. Assim, o cateto de maior comprimento no triângulo Δ[OPX] é igual ao cateto de maior comprimento no segundo triângulo, que assenta sobre o eixo dos YY, no segundo quadrante. O mesmo se passa para os catetos de menor comprimento dos dois triângulos. Deste modo, pode-se constatar que senα = y = –x’ = –cos F 06 2 – ou seja, senα = –cos F 06 2. O sinal negativo surge porque y>0 e x’<0, pois x’ encontra-se à esquerda do ponto no eixo dos XX em que x=0). Também se pode ver que cosα = x = y’ = sen F 06 2 (aqui já não há troca de sinal, pois x e y’ são ambos positivos). Além disso, tan F 06 2 e cotg F 06 2 relacionam-se com tanα e cotgα de modo semelhante, e podemos descobrir as

relações recorrendo a um raciocínio geométrico como o atrás descrito, ou de imediato por cálculos algébricos:

e .

Para outros quadrantes, o tratamento é semelhante, e sugere-se que o leitor os realize a título de exercício. Os resultados para outros quadrantes encontram-se resumidos no seguinte quadro:

Redução de funções trigonométricas ao primeiro quadrante

2º quadrante F 0 6 2 = F 07 0/2 + α

3º quadrante F 0 6 2 = F 07 0 + α

4º quadrante F 0 6 2 = 3 F 07 0/2 + α

sen( F 06 2) cos(α) –sen(α) –cos(α) cos( F 06 2) –sen(α) –cos(α) sen(α) tg( F 06 2) –cotg(α) tg(α) –cotg(α)

cotg( F 06 2) –tg(α) cotg(α) –tg(α) α = Ângulo do 1º quadrante F 0

6 2 = Ângulo a converter

Periodicidade das funções trigonométricas Em virtude das características da aplicação “menor ângulo de uma semi-recta com o semi-eixo positivo dos XX” (centrada na origem dos eixos), as funções trigonométricas, que têm por argumento um ângulo no plano, terão certas características, nomeadamente a repetição periódica de valores, e para os quais se verificam as mesmas características de monotonia (crescente ou decrescente). Por outras palavras, as funções trigonométricas são periódicas, e como tal voltamos a ter os mesmos valores para a função ao fim de um número inteiro de períodos, e para os quais a função toma as mesmas características de monotonia: nesse ponto, a função é crescente, ou decrescente, consoante o valor do argumento da função. Consideremos a função seno do ângulo α, definida por senα = y/r, num círculo trigonométrico de raio r=1. Então, temos senα = y. A projecção de dois ângulos, por exemplo, α F 0C E1ºQ e F 06 2F 0C E2ºQ, tal que F 06 2 = F 07 0 – α (ou seja F 06 2 é tal que o arco que resta até F 07 0 é igual a α), é a mesma, isto é, sen F 06 2 = senα. Mas, para o ângulo α, a função seno ainda está em crescimento (ramo crescente), e para o ângulo F 06 2 a função já está em decrescimento. Mas, para um ângulo α + 2 F 07 0, a função toma o mesmo valor que para o ângulo α, e também está em crescimento(8). O mesmo se passa para outro ângulo F 06 2 + 2 F 07 0, relativamente a 2 F 07 0. Ou seja, ao fim de uma volta completa os valores de seno repetem-se, e com a mesma monotonia. O mesmo se passa para a função coseno, como se poderá facilmente verificar: ao fim de uma volta completa (arco de 2 F 07 0 radianos), a função retoma os mesmos valores, e com o mesmo sentido de crescimento (monotonia). As funções tangente e co-tangente, por outro lado, têm apenas período F 07 0, isto é, os valores repetem-se com a mesma monotonia (crescente e decrescente, respectivamente) ao fim de arcos múltiplos de F 07 0. Ora, por definição de tangente, tgθ = y/x = senθ / cosθ. No 1ºQ, senθ>0 e cos F 07 1>0, logo tgθ>0. No 2ºQ, senθ>0 e cosθ<0 – logo tgθ<0. No 3ºQ, senθ <0 e cosθ<0, logo tgθ>0. Mas no 3ºQ, sendo α F 0C E1ºQ tal que θ = α + F 0 7 0, a redução ao primeiro quadrante resulta em senθ = –senα, e cosθ = –cosα. Assim, tgθ = senθ / cosθ = senα / cosα = tgα – ou seja, a tangente repete os mesmos valores. E quanto à monotonia? Como se viu acima, a tangente tem sempre a mesma monotonia (crescente), pelo que não é necessário preocuparmo- 8 F 07 0) Repare-se: a + 2 corresponde a uma volta completa, mais um arco a, ou seja, voltamos a cair no

ângulo a.

nos com esse pormenor. O mesmo se passa para o 4ºQ, como facilmente se poderá constatar (sugere-se como exercício de demonstração para o leitor). Logo, a tangente tem período F 07 0, e não 2 F 07 0 como o seno ou o coseno. Para a co-tangente, a análise é semelhante. Em resumo: as funções seno e coseno têm período 2 F 07 0 (isto é, os valores repetem-se com a mesma monotonia ao fim de uma volta completa), e as funções tangente e co-tangente têm período F 07 0 (os valores repetem-se com a mesma monotonia ao fim de meia volta ao círculo trigonométrico).

Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas Nesta secção far-se-á um resumo das principais propriedades das funções trigonométricas mais frequentemente usadas: seno, coseno, tangente e co-tangente. No que se segue,

• IR e ] –∞ , +∞ [ denotam toda a recta dos números reais; • os traços verticais mais finos, onde existentes, representam pontos múltiplos ou submúltiplos de F 07 0

(± F 07 0/2, ±3 F 07 0/2, ±2 F 07 0, etc.)(9); • as assimptotas horizontais são representadas a traço mais fino.

Seno de α f(α) = senα = y / r

• Função ímpar, positiva no 1º e 2ºQ, negativa no 3º e 4ºQ. • Monotonia: crescente no 1º e 4ºQ, decrescente no 2º e 3ºQ. • Domínio: ] –∞ , +∞ [

Ou seja, a função pode ter por argumento qualquer número real. • Contradomínio: [–1 ; +1]

Nos pontos máximo e mínimo do círculo trigonométrico (circunferência de raio r = 1), tem-se y = 1 e y = –1. Nesses pontos, temos senα = 1 e senα = –1, respectivamente.

Período: 2 F 07 0

9 F 07 0 F 0 7 0

F 0 7 0

F 0 7 0) /2=1,57; =3,14; 3 /2=4,71; 2 =6,28.

a... Coseno de α f(α) = cosα = x / r – função par, positiva no 1º e 4ºQ, negativa no 2º e 3ºQ. Monotonia: crescente no 3º e 4ºQ, decrescente no 1º e 2ºQ. Domínio: ] –∞ , +∞ [. Contradomínio: [–1 ; +1]. Período: 2 F 07 0

b... Tangente de α f(α) = tgα = y / x – função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º e 4ºQ. Domínio: IR\{k F 07 0+ F 07 0/2, k = 0, ±1, ±2,...} . Contradomínio: ]–∞ ,+∞[. Período: F 0 7 0.

c... Co-tangente de α f(α) = cotgα = x / y – função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º e 4ºQ. Domínio: IR\{k F 07 0, k = 0, ±1, ±2,...}. Contradomínio: ] –∞ , +∞ [. Período: F 07 0.

Relações importantes de funções trigonométricas Em muitos casos sucede-se que ocorram relações que envolvam funções trigonométricas diferentes das que temos visto até aqui. Algumas dessas relações podem envolver, por exemplo, funções trigonométricas de somas de ângulos, ou determinadas funções que envolvem funções trigonométricas de um ângulo, e cuja escrita pode ser simplificada. Nesta curta introdução não adiantarei muito mais, porém deixarei que a leitura das secções seguintes permita ao leitor o esclarecimento destes pontos. No final deste capítulo é apresentada uma tabela com os resultados aqui obtidos.

Fórmulas de adição e subtracção Sejam e dois vectores com origem no ponto O e extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos α e F 06 2 com o eixo dos XX, respectivamente. Pela definição de produto interno de dois vectores, temos que

,

e F 06 2 – α é o ângulo que faz com . O ponto A, pela figura 23, tem coordenadas (cosα, senα), e o ponto B tem coordenadas (cos F 06 2, sen F 06 2). Visto os vectores terem origem no ponto O(0,0), as coordenadas dos vectores coincidirão com as coordenadas dos pontos A e B. com isto em mente, o produto interno dos dois vectores pode ainda ser escrito como:

(cosα, senα) · (cos F 0 6 2, sen F 0 6 2) = cosα · sen F 0 6 2 + senα · cos F 0 6 2

Fazendo equivaler as duas expressões para o produto interno dos dois vectores, e notando que (visto que o círculo trigonométrico tem raio r=1 – ver figura 19), temos finalmente:

cos( F 0 6 2 + α) = cosα · cos F 0 6 2 + senα · sen F 0 6 2.

Fazendo agora F 06 2 – α = F 06 2 + (–α), vem ainda(10): cos( F 0 6 2 + (–α)) = cosα · cos F 0 6 2 – senα · sen F 0 6 2.

Calculemos de seguida sen( F 06 2 – α). Para dois ângulo suplementares (isto é, cuja soma é F 07 0/2 radianos), verifica-se que o seno de um ângulo é igual ao coseno do outro ângulo. Observe a figura 24: supondo que a hipotenusa é h=1, o comprimento do cateto adjacente a α é cosα. O cateto adjacente ao ângulo α é simultaneamente o cateto oposto ao ângulo F 06 2 – logo, cosα = sen F 06 2. Igualmente, senα = cos F 06 2, como se poderá constatar observando a mesma figura. sen( F 0 6 2 – α) = cos[ F 0 7 0/2 – ( F 0 6 2 – α)] = = cos( F 0 7 0/2 – F 0 6 2 +α) = cos[α – ( F 0 6 2 – F 0 7 0/2)] = = cosα · cos( F 0 6 2 – F 0 7 0/2) + senα · sen( F 0 6 2– F 0 7 0/2) = = cosα · [cos F 0 6 2 · cos( F 0 7 0/2) + sen F 0 6 2 · sen( F 0 7 0/2)] + senα · sen( F 0 6 2– F 0 7 0/2).

Ora, cos( F 07 0/2)=0 e sen( F 07 0/2)=1. O seno tem período 2 F 07 0 (isto é, senθ = sen(θ + 2 F 07 0) ), e por conseguinte sen( F 06 2 – F 07 0/2) = sen( F 06 2 + 3 F 07 0/2). Faz-se esta redução ao primeiro quadrante: sen( F 06 2 – F 07 0/2) = sen( F 06 2 + 3 F 07 0/2) = –cos F 06 2. Assim,

sen( F 0 6 2 + α) = ... = cosa · (0 · cos F 0 6 2 + 1 · sen F 0 6 2) + senα · (–cos F 0 6 2) = cosα · sen F 0 6 2 – senα · cos F 0 6 2.

Substituindo agora F 06 2 + α por F 06 2 – (–α), vem: sen( F 0 6 2 – α) = sen( F 0 6 2 + (–α)) = cos(–α) · sen F 0 6 2 – sen(–α) · cos F 0 6 2.

10) Recorde-se as propriedades de paridade das funções seno e coseno do ângulo a: cos(-a) = cos(a) e sen (-a) = -sen(a).

Lembrando a paridade das funções seno e coseno, temos: cos(–α) = cosα e sen(–α) = –senα. Logo, sen( F 0 6 2 – α) = cosα · sen F 0 6 2 + senα · cos F 0 6 2.

O cálculo de tg( F 06 2 ± α) faz-se dividindo sen( F 06 2 ± α) por cos( F 06 2 ± α), como de resto resulta da definição de tangente de um ângulo. Portanto,

e .

Fórmulas de duplicação Neste caso, faz-se α = F 06 2 e aplicam-se as fórmulas obtidas em para arcos α + F 06 2 = 2α. Fica então: sen(2α) = 2 · senα · cosα cos(2α) = cos2α – sen2α .

Fórmulas de bissecção Neste caso, faz-se a substituição 2 F 06 2 = α, e usam-se as fórmulas obtidas em , e a fórmula fundamental da trigonometria (relação (3.1)).

.

Aplicando a transformação de variável 2 F 06 2 = α, vem(11): .

Para obter sen(α/2), voltamos a usar a relação (3.1): .

Novamente, para obter tg(α/2) divide-se sen(α/2) por cos(α/2):

Fórmulas de transformação Interessa, por vezes, transformar somas ou diferenças de senos ou de cosenos em produtos de funções trigonométricas. Para tal, comecemos por definir a seguinte mudança de variáveis, invertível, T:

a = α + F 0 6 2 T

b = α – F 0 6 2

Daqui resulta ainda a transformação inversa, T’:

T’

Aplicando agora a transformação T’:

Da aplicação da transformação T resulta:

Para calcular senα – sen F 06 2, usa-se a paridade da função seno e substitui-se –sen F 06 2 por sen(– F 06 2). Logo,

O mesmo método é usado para calcular cosα + cos F 06 2 e cosα – cos F 06 2, bem como para outras relações entre as funções – como o produto de funções, por exemplo.

Os resultados obtidos neste capítulo são resumidos no seguinte tabela:

11) O sinal ± aparece porque os quadrados de números simétricos são iguais, logo há que incluir as duas possibilidades.

Fórmulas de adição Fórmulas de subtracção sen( F 06 2 + α) = cosα · cos F 06 2 + senα · cos F 06 2 sen( F 06 2 – α) = cosα · sen F 06 2 – senα · cos F 06 2 cos( F 06 2 + α) = cosα · cos F 06 2 – senα · sen F 06 2 cos( F 06 2 – α) = cosα · cos F 06 2 – senα · sen F 06 2

Fórmulas de duplicação Fórmulas de bissecção sen(2α) = 2 . senα . cosα cos(2α) = cos2α – sen2α

Fórmulas de transformação

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