Apostila Sistemas de Controle, Notas de aula de Controle de Processo. Instituto Federal do Espírito Santo (IFES)
wlganda
wlganda14 de Maio de 2015

Apostila Sistemas de Controle, Notas de aula de Controle de Processo. Instituto Federal do Espírito Santo (IFES)

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Apostila de introdução aos Sistemas de Controle
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPT°. DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO

Prof. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Fevereiro de 2007 Natal - RN

SISTEMAS DE

CONTROLE

Sistemas de Controle i

Índice

1PROBLEMA DE CONTROLE ___________________________________________________ 1 1.1 DEFINIÇÕES __________________________________________________________________ 1

Planta ____________________________________________________________________ 1Processo __________________________________________________________________ 1Sistema ___________________________________________________________________ 1Sistema Físico _____________________________________________________________ 1Especificações de Desempenho ________________________________________________ 1Modelo ___________________________________________________________________ 1Controle __________________________________________________________________ 1Controlador _______________________________________________________________ 1Sistema de Controle _________________________________________________________ 1Sistema de Controle em Malha Aberta___________________________________________ 2Sistema de Controle em Malha Fechada _________________________________________ 2

1.2 EXEMPLOS ___________________________________________________________________ 2 1.3 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DE CONTROLE ___________________________________ 3

2MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)_________________________ 4 2.1 INTRODUÇÃO _________________________________________________________________ 4 2.2 PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO LGR _____________________________________________ 6

Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais ____________________________________ 7Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais ____________________________________ 8Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos _________________________ 10

2.3 LGR PARA FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA TÍPICAS ___________________________________ 12 2.4 LOCALIZANDO RAÍZES NO LGR__________________________________________________ 16

Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem ___________ 17 2.5 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 18

3AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS ______________________________________________ 19 3.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 19

Controladores Série ________________________________________________________ 19Controladores por Realimentação _____________________________________________ 19

3.2 AÇÕES PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVA (P-I-D) _____________________________ 20 • Controle Proporcional (P) ___________________________________________________ 20Controlador Proporcional + Integral (PI)_______________________________________ 21Controlador Proporcional + Derivativo (PD)____________________________________ 22Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID) __________________________ 23

3.3 AÇÕES DE CONTROLE AVANÇO-ATRASO___________________________________________ 23 • Controlador Avanço de Fase (Lead) ___________________________________________ 23Controlador Atraso de Fase(Lag) _____________________________________________ 24Controlador Avanço-Atraso de Fase(Lead-Lag) __________________________________ 24

3.4 MODIFICAÇÕES DAS AÇÕES DE CONTROLE PID______________________________________ 25 • PID Original _____________________________________________________________ 25Parte Derivativa -Filtro _____________________________________________________ 25PI-D ____________________________________________________________________ 25I-PD ____________________________________________________________________ 25

3.5 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 26 4PROJETO DE CONTROLADORES PELO MÉTODO DO LGR______________________ 27

4.1 ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO________________________________________________ 27 4.2 PROJETO DE CONTROLADORES PD________________________________________________ 28

Passos para o projeto de controladores PD _____________________________________ 28 4.3 PROJETO DE CONTROLADORES PI ________________________________________________ 30

Passos para o projeto de controladores PI ______________________________________ 30 4.4 PROJETO DE CONTROLADORES PID _______________________________________________ 32

Passos para o projeto de controladores PID_____________________________________ 32

ii Sistemas de Controle

4.4.1Regras de Zigler-Nichols para o Ajuste dos Parâmetros do PID ___________________ 33Primeiro Método de Ziegler-Nichols ___________________________________________ 34Segundo Método de Ziegler-Nichols ___________________________________________ 37

4.5 PROJETO DE CONTROLADORES AVANÇO DE FASE ____________________________________ 40 • Passos para o projeto de controladores Avanço de Fase ___________________________ 40

4.6 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO DE FASE_____________________________________ 42 • Passos para o projeto de controladores Atraso de Fase ____________________________ 42

4.7 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO-AVANÇO DE FASE _____________________________ 44 • Passos para o projeto de controladores atraso-avanço_____________________________ 44

4.8 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 49 5APROXIMAÇÃO DISCRETA DE FUNÇÕES DE TRANSF. CONTÍNUAS_____________ 50

5.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 50 5.2 APROXIMAÇÕES POR INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ______________________________________ 50

Método de Euler ou Forward_________________________________________________ 50Método Backward _________________________________________________________ 51Método Trapezoidal, Tustim ou Aproximação Bilinear _____________________________ 52

5.3 INVARIÂNCIA AO DEGRAU ______________________________________________________ 52 5.4 EXERCÍCIOS _________________________________________________________________ 53

6IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES DIGITAIS ___________________________ 54 6.1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________________ 54 6.2 PRÉ-FILTRAGEM E ATRASO COMPUTACIONAL_______________________________________ 54

Pré-Filtragem_____________________________________________________________ 54Atraso Computacional ______________________________________________________ 55

6.3 ATUADORES NÃO-LINEARES ____________________________________________________ 56 6.4 ASPECTOS OPERACIONAIS ______________________________________________________ 56 6.5 MUDANÇAS DE PARÂMETROS ___________________________________________________ 57 6.6 ASPECTOS NUMÉRICOS ________________________________________________________ 59 6.7 PROJETO DE CONTROLADORES DIGITAIS ___________________________________________ 60

6.7.1Controladores Deadbeat __________________________________________________ 607PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO O ESPAÇO DE ESTADOS ______ 63

7.1 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO ___________________________________________ 63 7.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO ______________________________________________ 64

Caso Escalar _____________________________________________________________ 64Caso Vetorial _____________________________________________________________ 64

7.3 ESTABILIDADE _______________________________________________________________ 64 7.4 CONTROLABILIDADE __________________________________________________________ 65 7.5 OBSERVABILIDADE ___________________________________________________________ 66 7.6 REALIZAÇÕES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA _____________________________________ 66

7.6.1Realização na Forma Canônica Observável___________________________________ 677.6.2Realização na Forma Canônica Controlável __________________________________ 67

7.7 REALIMENTAÇÃO DE ESTADO ___________________________________________________ 68 • Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K __________________ 69

7.8 OBSERVADORES DE ESTADO ____________________________________________________ 71 • Erro de Estimação _________________________________________________________ 71Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos do Observador L _____ 72

7.9 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS OBSERVADOS _______________________________________ 74 7.10 SEGUIDORES DE REFERÊNCIA (OU SERVOSISTEMAS) ________________________________ 77

Princípio do modelo interno para referência do tipo degrau unitário _________________ 77Princípio do modelo interno para referência do tipo rampa unitária __________________ 80

7.11 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________ 81 7.11.1Discretização da Equação de Estado ______________________________________ 82

7.12 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO _______________ 84 7.13 ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ________________________________ 84 7.14 CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ___________________________ 84 7.15 OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________________________ 85 7.16 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ___________________ 85 7.17 OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO _____________________ 85 7.18 SEGUIDOR DE REFERÊNCIA PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO ____________________ 86

Sistemas de Controle iii

Entrada do Tipo Degrau ____________________________________________________ 86 7.19 EXERCÍCIOS_______________________________________________________________ 87

8INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE ÓTIMO _________________________ 90 8.1 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO _________________________________________________ 90 8.2 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO DISCRETO ________________________________________ 93

Equação de Riccati de Regime Permanente______________________________________ 94REFERÊNCIAS____________________________________________________________________ 96

iv Sistemas de Controle

Agradecimentos

Agradecemos ao Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

(www.dca.ufrn.br/~maitelli) por ter, gentilmente, cedido o material

didático que serviu de fonte para elaboração deste texto. Agradecemos

ainda, a todos os demais professores do Departamento de Engenharia

de Computação e Automação (DCA / UFRN) que, de alguma forma,

também contribuíram com o conteúdo deste material. Por fim, agradecemos

a todos os alunos que têm contribuído para o aprimoramento deste texto

com suas importantes sugestões.

Sistemas de Controle 1

1 PROBLEMA DE CONTROLE

O objetivo principal do estudo dos sistemas de controle e resolver o que se costuma denominar por “Problema de Controle”. Para que se possa apresentar uma formulação geral do que seja o problema de controle, são necessárias algumas definições iniciais.

1.1 Definições

Planta

É uma parte de um equipamento ou instalação industrial, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma dada operação.

Processo

Pode ser definido como uma operação ou desenvolvimento natural que evolui progressivamente, caracterizado por uma série de mudanças graduais que se sucedem de modo relativamente fixo, conduzindo a um resultado ou finalidade particular.

Sistema

É uma disposição, conjunto ou coleção de partes, dentro de um universo, que estão conectadas ou relacionadas de tal maneira a formarem um todo.

Sistema Físico

É uma parte do universo que foi delimitada para estudo.

Especificações de Desempenho

São descrições do comportamento a ser apresentado pelo sistema físico, conforme solicitação do usuário.

Modelo

Consiste na representação de certas características do sistema físico que são relevantes para seu estudo.

Controle

É a ação de fazer com que um sistema físico atenda as especificações de desempenho determinadas a priori.

Controlador

Dispositivo utilizado para a obtenção do controle de um sistema físico.

Sistema de Controle

Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador.

2 Sistemas de Controle

Sistema de Controle em Malha Aberta

É aquele em que a saída ou resposta não possui nenhuma influência sobre a entrada.

Controlador

Resposta Desejada (Referência ou Set-Point)

SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sinal de Controle (Variável Manipulada)

MV

Sistema de Controle em Malha Fechada

É aquele em que a saída ou resposta influencia a entrada do sistema.

Controlador+ -

Resposta Desejada (Referência ou Set-Point)

SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sensor + Transmissor

Comparação Sinal de Controle

(Variável Manipulada) MV

1.2 Exemplos

Ser humano tentando pegar um objeto

Cérebro+ -

Posição do Objeto

Posição da MãoBraço

e Mão

Olhos

Controlador Sistema

Controle de temperatura de uma sala

Ar Condicionado

+ -

Temperatura Desejada

Temperatura Ambiente

Sala Termostato

Controlador Sistema

Controle do nível de um reservatório

Bomba+ -

Nivel Desejado

Nível de Água

Reservatório

Sensor

Bóia

Controlador Sistema

Sistemas de Controle 3

1.3 Formulação Geral do Problema de Controle

Um problema de controle consiste em determinar uma forma de afetar um dado sistema físico de modo que seu comportamento atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas.

Como, normalmente, não é possível alterar a estrutura funcional do sistema físico em questão, a satisfação das especificações de desempenho é atingida mediante o projeto e implementação de controladores (compensadores).

U = Universo

Entradas Manipuladas u t( )

Entradas Exógenas

w t( )

Saídas Observadas y t( )

Saídas de Interesse z t( )

Meio Ambiente

Sistema Físico

Modelos ||

Quantitativos (Ex.: Modelos Matemáticos) ou

Qualitativos (Ex.: Modelos em Escala)

Especificações de Desempenho

|| Velocidade Segurança Conforto

Custo Durabilidade

.

.

.

Análise Projeto Implementação

4 Sistemas de Controle

2 MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)

2.1 Introdução

O diagrama do LGR consiste em um conjunto de curvas no plano complexo s, onde estas curvas representam as posições admissíveis para os pólos de malha fechada de um dado sistema quando o seu ganho varia de zero a infinito.

Considere o seguinte sistema:

G(s) R(s) C(s)+

-

G(s)H(s)1 G(s)

R(s) C(s)(s)G MF +

==

Os pólos de malha fechada são as raízes do polinômio característico:

1 + G(s)H(s) = 0

1G(s)H(s) −=

Como G(s)H(s) representa uma quantidade complexa, a igualdade acima precisa ser desmembrada em duas equações, as quais nos fornecem as seguintes condição para a localização dos pólos no plano s:

Condição de Módulo:

1G(s)H(s) = ( 2.1 )

Condição de ângulo:

0,1,...= )12(180 G(s)H(s) kk +±=∠ ( 2.2 )

Re

Imp1

p2

z1

Ponto de Teste

si

Sistemas de Controle 5

Ex:

K

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

-

K4ss K

R(s) C(s)

2 ++ =

Os pólos de malha fechada são as raízes da eq. característica ⇒ 0K4ss2 =++

 

 

−−−=

−+−= −±−=

−±− =

K42p

K42p K42

2 4K164s

2

1

Variando K temos a seguinte tabela de pólos de malha fechada:

K p1 p2

0 0 -4

1 -0,27 -3,73

2 -0,59 -3,41

4 -2,00 -2,00

5 -2,00 + j 1,00 -2,00 - j 1,00

8 -2,00 + j 2,00 -2,00 - j 2,00

Re

Im

1 τ1

- 12τ1-

K = 0K = 0

K → ∞

K → ∞

Re

Im

1 τ1

- 12τ1-

Ponto de Teste

si

1 AA

K

1G(s)H(s)

21

=

⇒=

o 21

o

180θθ

)12(180 G(s)H(s)

=+

⇒+±=∠ k

6 Sistemas de Controle

2.2 Passos para a Construção do LGR

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente:

p.ex.: 1 + G(s)H(s) = 1 + KP(s)

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros.

( )

( )∏

=

=

+

+ +=+

P

Z

n

j j

n

i i

ps

zs

1

1K1G(s)H(s)1

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes.

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros

5. Determinar o número de lugares separados, LS (seguimentos de curva que compõe o LGR).

LS = nP, quando np ≥ nZ; nP = Número de pólos finitos nZ = Número de zeros finitos

6. O LGR é simétrico com relação ao eixo real (eixo horizontal)

Basta desenhar a parte acima do eixo real e depois espelhar o esboço.

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

zP

ij A nn

zp

−−− = ∑ ∑ )()(σ

( ) ( )1,...,2,1,0,18012 o −−= − +

= zP zP

A nnqnn qφ

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

)s(dp = .

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo imaginário é cruzado (se isso ocorrer).

Ver critério de estabilidade de Routh-Hurwirtz.

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo 360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi.

Ângulo de Partida = 180° - (∑θi) + (∑φj)

Ângulo de Chegada = 180° - (∑φi) + (∑θj)

onde: θi = ângulos de vetores partindo dos demais pólos até o pólo em questão. φj = ângulos de vetores partindo dos demais zeros até o pólo em questão

Sistemas de Controle 7

Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais

Considere o seguinte sistema:

K R(s) C(s)+

-

s + 2

s ( s + 4 )

s4s )2s(K1G(s)H(s)1 2 +

+ +=+

1. Escrever o polinômio característico do

modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente:

KP(s)1 s4s )2s(K1G(s)H(s)1 2 +=+

+ +=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. ( )fatorada forma

)4s(s )2s(P(s)

s4s )2s(KG(s)H(s)1 2

+ +

=⇒

⇒ + +

=+

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Re -5 -4 -3 -2 -1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Im

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Re -5 -4 -3 -2 -1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

Total de 3 pólos e zeros

(nº Impar)

8 Sistemas de Controle

Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais

Considere agora o seguinte sistema:

R(s) C(s)+

-

K

( s + 4 )( s + 2 )

(

( s + 4 )

s + 1 )

s

s32s 32s 10s )1s(K1G(s)H(s)1 234 +++

+ +=+

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: s32s 32s 10s

1sK1KP(s)1 234 +++ +

+=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. 2)4s)(2s(s

)1s(P(s) ++

+ =

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

Pólo com multiplicidade 2

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

Total de 3 pólos e zeros

(nº Impar)

Pólo com multiplicidade 2

Trecho entre 2 pólos

5. Determinar o nº de lugares separados,

LS = nP, quando np ≥ nZ; LS = nP = 4

6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 9

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

zP

ij A nn

zp

−−− = ∑ ∑ )()(σ

( ) ( )1,...,2,1,0,18012 o −−= − +

= zP zP

A nnqnn qφ

3 3 9

14 )1()4(2)2(

−= −

= −

−−−+− =Aσ

( )

( ) 

 

==

==

==

=−−

− +

=

2;300 1;180

0;60

21

180 14 12

o

o

oo

q q

q

nn

q

A

A

A

zP

A

φ

φ

φφ

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

σA=

60º

180º

300º

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

dp(s) = .

( )2 234

234

234

1s 32s 64s 62s 243s

ds )s(dp

1s s 32s 32s 10sK)s(p

s 32s 32s 10s 1sK1KP(s)1

+ ++++

−=⇒

⇒ +

+++ −==⇒

⇒ +++

+ +=+

logo:

5994,2s0 ds

)s(dp −=⇒=

-5 -4 -3 -2 -1 0

-5

5

Re

Im

dp(s) ds = 0 ⇒ s = -2,5994

(Pto. de saída sobre Re)

10 Sistemas de Controle

Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos

Ex.: Considere agora o seguinte sistema:

R(s) C(s)+

-

K

( s + 8s + 32 )s 2

1

( s + 4 )

s128s 64s 12s K1G(s)H(s)1 234 +++

+=+

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: s 128s 64s 12s

1K1KP(s)1 234 +++

+=+

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. )44s)(44s)(4s(s

1P(s) ii −++++

=

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros. O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 Re

Im

Total de 1 pólos e zeros

(nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros

(nº Par)

5. Determinar o nº de lugares separados, LS = nP = 4

6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 11

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

3 4 12

4 )4()4()4()0(

−= −

= −+−+−+

=Aσ

( )

( )  

 

==

==

==

==

=−−

+ =

3;315

2;225

1;135

0;45

31

180 4

12

o

o

o

o

o

q

q

q

q

nn

q

A

A

A

A

zP

A

φ

φ

φ

φ φ

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-3 ||

σA

225º 45º

315º

135º

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0 ds

dp(s) = .

128-s 128s 36s 4 ds

)s(dp s 128s 64s 12sK)s(p

s 128s 64s 12s 1K1KP(s)1

23

234

234

−−−=⇒

⇒+++−==⇒

⇒ +++

+=+

logo:

5767,1s0 ds

)s(dp −=⇒=

-4 -3 -2 -1 0 s

p(s)

20

40

60

80 (-1,5767; 83,5704)

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo real é cruzado (se isso ocorrer).

O polinômio característico é:

0Ks 128s 64s 12s 234 =++++

A partir do critério de Routh-Hurwirtz, determinamos o polinômio auxiliar:

08889,568s 3334,53 2 =+

cujo as raízes determinam os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário.

s1,2 = ± 3,2660 i

s4 1 64 K s3 12 128 s2 b1 K s1 c1 s0 K

3333,53 12

128)64(12b1 = −

=

K2250,0128 b

)K(12)128(bc 1

1 1 −=

− =

Logo, o limite de ganho para estabilidade é:

8889,568 0,2250

128K ==

12 Sistemas de Controle

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo 360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi.

Logo:

ooooo 1 225)1359090(180 θ =++−=

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 Re

Im

90º

90º θ3 = 135º

θ1 = 225º

Por simetria

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

dp(s) ds = 0 ⇒ s = -1,5767

(Pto. de saída sobre Re)

±3,2660 i

-10

-5

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

2.3 LGR para Funções de Transferência Típicas

G(s) LGR

1. 1 τs

K

1 +

Re

Im

1 τ1

-

Sistemas de Controle 13

2. )1 τ(s)1 τ(s

K

21 ++

Re

Im

1 τ2

-1τ1-

3. )1 τ(s)1 τ(s)1 τ(s

K

321 +++

Re

Im

1 τ1

-1τ2- 1 τ3

-

4. s

K Re

Im

5. )1 τs(s

K

1 +

Re

Im

1 τ1

-

14 Sistemas de Controle

6. )1 τ(s)1 τs(s

K

21 ++

Re

Im

1 τ1

-1τ2-

7. )1 τ(s)1 τs(s

)1 τK(s

21 ++ +a

Re

Im

1 τ2

- 1τ1- 1 τa

-

8. s

K 2 Re

Im Pólo com

multiplicidade 2

9. )1 τ(ss

K

1 2 +

Re

Im

1 τ1

-

Pólo com multiplicidade 2

Sistemas de Controle 15

10. )1 τ(ss )1 τK(s

1 2 +

+a ; 1ττ >a Re

Im

1 τa

-1 τ1

-

11. s

K 3 Re

Im Pólo com

multiplicidade 3

12. 3s )1 τK(s +a

Re

Im Pólo com

multiplicidade 3

1 τa

-

13. 3s )1 τ(s)1 τK(s ++ ba

Im

Pólo com multiplicidade 3

Re1 τa

-1τb-

16 Sistemas de Controle

14. )1 τ(s)1 τ(ss

)1 τK(s

21 2 ++

+a Re

Im

1 τ1

-1τ2- 1 τa

-

Pólo com multiplicidade 2

15. )1 τ(s)1 τ(s)1 τ(s)1 τs(s

)1 τ(s)1 τK(s

4321 ++++ ++ ba

Re

Im

2.4 Localizando Raízes no LGR

Um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um sistema, ou seja, é raiz deste sistema, se forem satisfeitos os critérios de módulo e ângulo de fase (eqs. ( 2.1 ) e ( 2.2 )). Desta forma, uma vez traçado o LGR, é possível, através de dois passos adicionais, verificar se um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um dado sistema.

11. Determinar a localização das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase. °±°=

 

   

 −

⇒°±°=∠

=

=

∑∑ 360180

360180)s(P

q

q

i zp

i

ss n

j n

i

ss

φθ

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.

( )

( ) i

i

ss1

1 iss

K1KP(s)

==

=

=

+

+ =⇒=

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

Sistemas de Controle 17

Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem

Considere o seguinte sistema de segunda ordem:

K

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

-

( ) Ks4s4ss K1GH(s)1 2 ++= +

+=+

Dado um ponto s1 no plano s, é possível verificar se ele pertence ao LGR do sistema em questão através do critério do ângulo de fase:

11. Determinar a localização das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase.

oo ss

360180 P(s) i

q±=∠ =

( ) ( )

( )[ ] oo ii

ss

180180

4s -s - 4ss

K i

−=+−−=

=+∠∠= +

∠ =

θθ

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si.

( )

( ) iss

1

1 iK

==

=

+

+ =

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

( )

( ) ( )4ssKK iii

ss1

1 i

i

+=⇒ +

+ =

==

=

Z

P

n

k k

n

j j

zs

ps

onde: |si| é a magnitude do vetor que vai da origem até si.

|(si + 4)| é a magnitude do vetor que vai de -4 até si.

Re

Im

18 Sistemas de Controle

2.5 Exercícios

1. Traçar o LGR para os seguintes sistemas (com K>0), e, testar se o ponto dado pertence ao LGR do sistema:

a) 25)6ss(s

KG(s)H(s) 2 ++ = ; i3,9950 -1,0066si += .

b) 1H(s) ; 2)1)(ss(s

KG(s) = ++

= ; i,57800 -0,3337si −= .

c) 32ss

2)K(sG(s)H(s) 2 ++ +

= ; i0,2995 -0,7660si += .

d) s 1H(s) ;

54ss 1G(s) 2 =++

= ; i1,3290 + -0,4968si = .

e) ( ) 1s 1H(s) ;

134sss 1G(s) 2 +

= ++

= ; i4,1649 - 2,5509si = .

f) 2s 1sH(s) ;

6,3s 1G(s) +=

+ = ; i4,3290 + -0,2968si = .

2. Dadas as seguintes funções de transferência de malha fechada. Considerando que estes sistemas têm realimentação unitária, traçar o LGR, e, testar se o ponto dado pertence ao LGR:

a) )1s22s

1s R(s) C(s)

2

2

++ +

= ; i0,5000 -0,5000si += .

b) 11s14s11s4s

1 R(s) C(s)

234 ++++ = ; i1,5811 - -1,0000si = .

Sistemas de Controle 19

3 AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS

3.1 Introdução

A introdução de um controlador em um determinado sistema visa a modificação de sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer certas especificações com relação a sua resposta (Ogata, 1993). Os parâmetros do sistema que sofrem uma ação direta do controlador, são denominadas de variáveis manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obter as mudanças que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas.

O controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico, pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de controle, o projetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores. Esta escolha depende de vários fatores. O tipo de controlador mais comumente usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, é o controlador eletrônico. De fato, os sinais não elétricos são, normalmente, transformados em sinais elétricos, através de transdutores, e, devido a simplicidade de transmissão, aumento da performance, aumento da confiabilidade e principalmente, facilidade de compensação. Geralmente controladores eletrônicos são circuitos simples, formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fácil implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).

Uma vez determinada a necessidade de se projetar um controlador, existem algumas configurações possíveis, com respeito ao posicionamento do mesmo no sistema a ser controlado. Algumas das configurações mais usadas em sistemas de controle, são:

Controladores Série

Em geral, o projeto de controladores série é mais simples que o de controladores por realimentação. Entretanto, normalmente exige amplificadores adicionais para aumentar o ganho do sistema. Consiste em colocar o controlador no ramo direto de alimentação, ou seja, em série com a planta

Controladores por Realimentação

Em geral, o número de componentes necessários na compensação por realimentação será menor que o número de componentes na compensação série. Esta configuração recebe este nome pois, neste caso, o compensador é inserido num ramo de realimentação.

Comp.+ -

R(s) C(s)U(s)E(s) Planta

+ -

R(s) C(s)U(s) Planta

Comp.

20 Sistemas de Controle

3.2 Ações Proporcional, Integral e Derivativa (P-I-D)

Controle Proporcional (P)

A razão entre a saída e a entrada do compensador é chamada de ganho proporcional ‘K’, quanto maior for o ganho do compensador, menor será o erro de estado estacionário ‘ess’, contudo, o tempo de acomodação aumenta, tendendo, em certos casos, a desestabilizar o sistema. O inverso acontece quando se reduz (atenua) o ganho. Um compensador deste tipo, como não acrescenta pólos nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original.

)t(Ke)t(u = ; )s(KE)s(U =

onde: e(t)= r(t) - y(t)

Resumo

• É um amplificador com ganho ajustável (K).

• O aumento de K diminui o erro de regime.

• Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatório, podendo instabilizá-lo.

• Melhora o regime e piora o transitório, sendo bastante limitado.

Ex:

K R(s) C(s)+

-

1

( s + 1 )τ

Para entrada degrau unitário ⇒ K

ess + =

1 1

O erro será nulo somente para K → ∞, o que nem sempre é possível.

Sistemas de Controle 21

Controlador Proporcional + Integral (PI)

A ação integral corresponde a ter-se uma taxa de variação do sinal de saída com relação a

entrada ( ∫=⇒= t 0ii

dt ekueku& ). Desta forma, com uma ação integral, atua-se beneficamente

na resposta em regime permanente, tendendo a eliminar o erro de estado estacionário, contudo, prejudica-se o regime transitório, pois acrescenta-se pólos ao sistema tendendo a desestabilizá-lo, e com isso aumentar o tempo de acomodação.

A atuação de um controlador PI corresponde à soma de uma ação proporcional com uma ação integral. Desta forma pode-se melhorar a resposta transitória com a contribuição da ação proporcional, enquanto a ação integral corrige o erro de estado estacionário.

 

  

 ∫+= t

i p deteKtu

0 )(1)()( ττ

τ ;

( ) )()( sE

s KsK

sU ip +

=

onde: i

p i

K K

τ = , sendo τi o tempo integrativo ou reset time.

Resumo

• Tende a zerar o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema.

• Adiciona um pólo em p = 0 e um zero em z = - Ki/Kp.

• É utilizado quando a resposta transitória é aceitável e resposta em regime insatisfatória.

• Como aumenta a ordem do sistema, acrescenta possibilidades de instabilidade diferentes daquelas apresentadas pelo sistema original.

Ex:

R(s) C(s)+

-

1

( s + 1 )τ K +p

Κi s

Para entrada degrau unitário ⇒ 0 1

1ess =∞+ =

22 Sistemas de Controle

Controlador Proporcional + Derivativo (PD)

Embora um controlador puramente derivativo não seja implementável na prática, a ação derivativa, associada à ação proporcional, corresponde ao acréscimo de um zero ao sistema, atuando beneficamente no regime transitório, tendendo a aumentar a estabilidade relativa do sistema e reduzindo o tempo de acomodação, contudo, contrapondo-se a estas vantagens, ele aumenta o tempo de subida e, por não atuar no regime permanente, não corrige o erro de estado estacionário.

Obs.: Este compensador, por introduzir um avanço de fase, é considerado na bibliografia como um caso particular de um compensador em avanço. (Ogata, 1993 e Kuo, 1995)

)()()( te dt dteKtu dp

 

   += τ ; ( ) )s(EsKK)s(U dp +=

onde: Kd = Kpτ d, sendo τ d a constante derivativa.

Resumo

• Leva em conta a taxa de variação do erro

• Adiciona um zero em z = - Kp/Kd

• É utilizado quando a resposta em regime é aceitável e resposta transitória insatisfatória.

• Introduz um efeito de antecipação no sistema, fazendo com que o mesmo reaja não somente à magnitude do sinal de erro, como também à sua tendência para o instante futuro, iniciando, assim, uma ação corretiva mais cedo.

• A ação derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de ruído, o que pode causar um efeito de saturação nos atuadores do sistema.

Ex:

R(s) C(s)+

-

1

Js2 K + sp Kd

( ) pd

2 dp

KsKJs

sKK )s(R )s(C

++

+ =

Sistemas de Controle 23

Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID)

O PID une as ações proporcional, integral e derivativa num só controlador, atuando tanto no regime transitório quanto no regime permanente.

s KsKsK

E(s) U(s) )s(EsK

s K

K)s(U ip 2

d d

i p

++ =⇒

  

 ++=

Resumo

• É utilizado quando temos resposta transitória e em regime insatisfatórias.

• Adiciona um pólo em p = 0 e 2 zeros, que dependem dos parâmetros do controlador.

• Geralmente os dois zeros são reais e iguais.

3.3 Ações de Controle Avanço-Atraso

Controlador Avanço de Fase (Lead)

Sua principal finalidade é suprir um atraso de fase estabelecido naturalmente pelas próprias características de alguns componentes do sistema original. Este tipo de compensação permite remodelar o lugar das raízes de maneira a obterem-se pólos dominantes desejados em malha fechada. Em geral seus efeitos correspondem a um aumento no amortecimento, com menores tempo de subida e de acomodação, o que corresponde, no domínio da freqüência, a um aumento na largura de faixa. Além disso, as margens de ganho e de fase são melhoradas, contudo o erro de estado estacionário não é afetado.

c U(s) K(s z) Kz (s / z 1)G (s) p > z E(s) (s p) p (s / p 1)

+ + = = =

+ +

c c s 1G (s) K s 1

τ ατ

+ =

+ , em que: c

1 1z ; p ; K K ; 0 1α α τ ατ

= = = < <

Resumo

• Introduz um zero e um pólo

• Melhora o transitório, a exemplo do controlador PD

• Sempre adianta a fase

24 Sistemas de Controle

Controlador Atraso de Fase(Lag)

Uma compensação em atraso melhora o erro em regime permanente, no entanto, diminui a largura de faixa, o que implica, em termos de domínio do tempo, numa resposta mais lenta, com maiores tempos de subida e acomodação. Em alguns casos é preciso reduzir a largura de faixa de um dado sistema com o intuito de torná-lo menos susceptível a sinais de ruído

c U(s) K(s z) Kz (s / z 1)G (s) z > p E(s) (s p) p (s / p 1)

+ + = = =

+ +

c c s 1G (s) K s 1

τ βτ

+ =

+ , em que: c

1 1z ; p ; K K ; >1β β τ βτ

= = =

Resumo

• Introduz um zero e um pólo

• Melhora o regime, a exemplo do controlador PI

• Sempre atrasa a fase

• Não zera o erro, mas o reduz bastante

Controlador Avanço-Atraso de Fase(Lead-Lag)

Em casos onde se deseja uma resposta rápida, característica de sistema com compensação em avanço, porém com diminuição do erro em regime estacionário, que é garantida por uma compensação em atraso, é possível usar um controlador que una ambas as características, que é o caso do controlador em avanço–atraso.

( )( ) ( )( )21

21 c psps

zszsK E(s) U(s)(s)G

++ ++

==

1 2 c c

1 2

s 1 s 1G (s) K s 1 s 1

τ τ ατ βτ

+ + =

+ + ; em que: c

2 1

1 1< ; K >0 ; >1 ; 0 1β α τ τ

< <

Características

• Introduz dois zeros e dois pólos

• É usado para melhorar o desempenho em regime e o transitório

• É análogo ao controlador PID

Sistemas de Controle 25

3.4 Modificações das Ações de Controle PID

PID Original

Parte Derivativa -Filtro

sT1 sT

d

d

γ+ , com: 1.0≈γ

PI-D

Objetivo: Não derivar variações bruscas no sinal de referência

I-PD

Objetivo: Não derivar, nem amplificar variações bruscas no sinal de referência.

26 Sistemas de Controle

3.5 Exercícios

1. Dados os seguintes sistemas e seus respectivos controladores, traçar o LGR do sistema sem o controlador, e, testar se o ponto dado pertence ao LGR do sistema. Em seguida traçar o LGR com sistema em série com o controlador e testar se agora o ponto pertence ao LGR:

a) 2s 1H(s) ;

6,3s 1G(s) =

+ = ; i4,3290 + -0,2968si = ,

Controlador PD com Kp = 0,4 e Kd = 1.

Sistemas de Controle 27

4 PROJETO DE CONTROLADORES PELO MÉTODO DO LGR

4.1 Especificações de Desempenho

Normalmente, as especificações de desempenho transitório são dadas em termos de sistemas de 2a ordem, ou seja, em termos de fator de amortecimento (ξ) e freqüência natural.

Para um sistema de segunda ordem, temos:

2 nn

2

2 n

s2s)s(R )s(C

ω+ξω+ ω

= ; Pólos ⇒ 1s 2nn −ξω±ξω−= ( 4.1 )

Se as especificações forem: M(%)Mp ≤ e Tts ≤ , temos minξ≥ξ e ( )minnn ξω≥ξω .

θ

ξωn

Região Viável para os pólos de malha fechada

Re

Im

( )min

θ = cos ξmin -1

O projeto de controladores é basicamente um método educado de tentativa-e-erro, onde se tenta satisfazer todas as especificações de desempenho. Uma vez projetado o controlador, o projetista deve verificar se o sistema em malha fechada satisfaz todas as especificações de desempenho. Se não for este o caso, repete o processo de projeto por modificação de parâmetros ajustáveis, ou modifica a configuração do sistema, até atingir as especificações requeridas.

Quando desejamos alterar o desempenho transitório de um sistema, o controlador deve contribuir com singularidades de modo que o LGR do sistema passe no ponto especificado, calculado a partir das especificações de desempenho. Quando desejamos alterar o desempenho em regime, o controlador deve contribuir com o ganho necessário, sem alterar muito o LGR do sistema original.

28 Sistemas de Controle

4.2 Projeto de Controladores PD

A função de transferência de um PD é:

z)(sK K K

sKsKK(s)G c d

p ddpc +=

  

 +=+= ( 4.2 )

É utilizado quando o sistema tem um transitório insatisfatório e regime bom.

Passos para o projeto de controladores PD

1) Traduzir as especificações de desempenho em termos de uma localização desejada dos pólos dominantes de malha fechada

2) Verificar se o objetivo não pode ser atingido com um controlador Proporcional

3) Se o PD é necessário, localizar o zero de modo que a condição de ângulo seja satisfeita

4) Calcular o ganho total requerido, aplicando a condição de módulo.

5) Calcular a constante de erro estacionário

6) Se a constante não for adequada, tentar um outro controlador.

7) Simular o sistema com o controlador e observar o comportamento da resposta. Caso não seja satisfatório, tentar um ajuste fino dos parâmetros do controlador (Kc e z)

OBS: PD prático ⇒ 10a3

a s1

sKK)s(G dpc ≤≤   

   +

+=

EXEMPLO:

G (s)c R(s) C(s)+

-

2 s2

Projetar um controlador Gc(s) para que: %20 ; 4 ≤≤ ps Mst .

Da equação do máximo pico: %20 21 == −

− ζ

ζπ

eM P , obtemos: 46,0min =ζ ; e da equação

do tempo de acomodação (para 2%): 44 == n

st ζω ; obtemos: ( ) 1min =nζω .

Sistemas de Controle 29

Sendo ainda: 21 ζωω −= nd , para os valores de ζ e ωn encontrados, temos: 95,1=dω .

Logo os pólos dominantes de malha fechada devem estar em -1 ± 1,95i.

Como é imprescindível a introdução de um controlador PD para a obtenção dos pólos dominantes desejados, determinam-se o zero e o ganho do controlador utilizando-se o critério de ângulo e o critério do módulo, respectivamente.

( )

( )

( ) ( )

 

 

= ⇓

+ −

−=

   

   

°=−=⇒−=+−−

 

  

 −

−=

°= 

  

 −===

41,2

180tan

25,541802180

ATAN180

13,117ATAN180 min

21

min

min 21

z

z

z

n d

n

d

n

d

ζω φ

ω

θφφθθ

ζω ω

φ

ζω ω

θθθ

;

( ) ( )

2 1

1 22

2 22

= −+

+ =

z K

d

d t

ω

ω

Como o sistema originalmente já tem um ganho 0,2=K , temos que: 0,1== KKK tc

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

MP = 31.87%

ts = 3.64seg.

Sem Controlador

Com Controlador

A simulação mostra que a especificação de desempenho com relação ao máximo sobre- sinal não foi cumprida, sendo necessário realizar um ajuste fino nos parâmetros do controlador. Neste caso, usar um ganho 5,2≥cK resolve esse problema.

30 Sistemas de Controle

4.3 Projeto de Controladores PI

A função de transferência de um PI é:

s

zsK s

KKs K

s KsK

s K

KsG cpip ipi

pc )(/

)( +

= +

= +

=+= ( 4.3 )

É usado quando o sistema é Tipo N e se deseja que o mesmo apresente erro zero para uma entrada de complexidade N, ou seja, quando desejamos melhorar o regime.

Passos para o projeto de controladores PI

1) Localizar o pólo na origem;

2) Determinar o zero de modo que a condição de ângulo seja satisfeita;

3) Calcular o ganho total requerido, aplicando a condição de módulo;

4) Simular o sistema em malha fechada com o controlador

5) Caso o desempenho não seja satisfatório, tentar fazer um ajuste fino dos parâmetros do controlador (Kc e z)

EXEMPLO: Dado )2(

2)( +

= ss

sG ; H(s) =1 . Projetar um controlador para que o sistema

tenha erro zero para entrada rampa, alterando o mínimo possível o transitório.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo

R es

po st

a

Resposta `a Rampa

Sem Controlador

Com Controlador

Sistemas de Controle 31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

MP = 4.32%

ts = 4.36seg.

Testa-se valores para o módulo do zero do controlador tão pequenos quanto possível. As respostas apresentadas, foram obtidas com 1=cK e 25,0=z . Quanto menor for o valor de z, menos o transitório será alterado, porém, o seguimento da referência se dará mais lentamente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo

R es

po st

a

Resposta `a Rampa

Referencia Sem Controlador z = 0.10 z = 0.25 z = 0.50

32 Sistemas de Controle

4.4 Projeto de Controladores PID

São muito freqüentemente utilizados em sistemas de controle industriais. De uma maneira geral, a função de transferência de um PID, considerando zeros reais é da seguinte forma:

s

zszsK s

KsKKs sK

s K

KsG c ipd

d i

pc ))(()( 21

2 ++ =

++ =++= ( 4.4 )

Passos para o projeto de controladores PID

1) Traduzir as especificações de desempenho em termos de uma localização desejada de pólos dominantes de malha fechada;

2) Verificar se o objetivo não pode ser atingido com um controlador mais simples;

3) Se o PID é necessário, localizar o pólo na origem e os zeros de modo que a condição de ângulo seja satisfeita;

4) Calcular o ganho total requerido, aplicando a condição de módulo;

5) Simular o sistema com o controlador e observar o comportamento da resposta. Caso não seja satisfatório, tentar um ajuste fino dos parâmetros do controlador (Kc , z1 e z2).

EXEMPLO: Dado o sistema 1

1)( 2 + =

s sG ; H(s). Projetar um controlador PID para que

os pólos de malha fechada estejam em is 31±−=

Uma rápida análise do problema nos mostra que o número de parâmetros (Kc , z1 e z2) que precisam ser calculados é maior do que o número de equações que descrevem o problema (critério de ângulo e critério de módulo). Uma alternativa para contornar este problema é considerar que os zeros do controlador são idênticos.

Neste caso, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

79,0

1 180tan

3 95,96

1802 00,1203ATAN180

110,1013ATAN180

143,7913ATAN180

1 3ATAN180

21

21

321

3

2

1

21

==⇒

⇒+ −

−==

⇒°=

    

    

−=+−−− °=−=

°=+−=

°=−−=

 

  

− −===

zz

zz

z

φ

φ

φθθθ θ

θ

θ

φφφ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 37,2

13

13113113

2 22

222222

=

  

   −+

  

   +

 

   ++

 

   +−

=

z Kc

Sistemas de Controle 33

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

MP = 13.96%

ts = 7.65seg.

Com Controlador

Sem Controlador

4.4.1 Regras de Zigler-Nichols para o Ajuste dos Parâmetros do PID

Conforme apresentado anteriormente, o problema de controle consiste em determinar uma forma, normalmente, mediante o projeto de controladores, de afetar um dado sistema físico de modo a satisfazer certas especificações de desempenho.

Também sabemos que, apesar de todo o avanço tecnológico dos últimos anos, com o surgimento de soluções avançadas, tanto em termos de algoritmos de controle quanto de hardware, os controladores PID, e suas variações, ainda são, com larga vantagem, os mais usados na indústria. Os argumentos, para essa massiva predominância do PID, vão desde a simplicidade, à facilidade de implementação e manutenção. A maioria desses argumentos se justifica pelo número reduzido de parâmetros sintonizáveis existentes nos PIDs. Embora, algumas versões de PIDs, trazidas em CLPs e instrumentos de redes industriais, apresentem um número elevado de parâmetros a serem ajustados, a estrutura básica de um PID contém apenas três parâmetros: O ganho proporcional – kP, a constante de tempo integrativo τi (ou o ganho integrativo ki), e, a constante de tempo derivativo τd (ou o ganho derivativo kd).

O ajuste dos parâmetros de um controlador é chamado de sintonia (tuning). Quando se tem um modelo matemático, representativo, do sistema, a escolha dos parâmetros do controlador recai no desenvolvimento de um projeto, que pode ser feito com base mo método do lugar geométrico das raízes, dentre outros. Como, nem sempre é possível se obter um modelo, que represente, adequadamente, a dinâmica que se deseja controlar, se fez necessário o surgimento de técnicas, que não dependessem de modelo, para sintonia do controlador. Zigler e Nichols propuseram dois métodos para sintonia de controladores PID baseadas em experimentação e, conseqüentemente, independentes da existência de um modelo matemático do sistema. Ambas visam, basicamente, a obtenção de 25% de sobre-sinal máximo, na resposta ao degrau.

34 Sistemas de Controle

Primeiro Método de Ziegler-Nichols

Plantas que não envolvam integrador(es), ou, pólos complexos conjugados dominantes, tendem a apresentar uma curva de resposta ao degrau em forma de S.

Tempo

y

K

L T

Reta tangente no ponto de inflexão

Este tipo de curva pode ser caracterizado por duas constantes: tempo de retardo (L) e constante de tempo (T). Essas constantes são determinadas traçando-se uma reta, tangente ao ponto de inflexão da curva de resposta, e encontrando-se os pontos de interseção dessa reta com o eixo dos tempos e com uma reta dada por y(t) = K. Uma vez determinadas estas constantes, elas são usadas para determinação dos parâmetros do controlador, de acordo com a seguinte tabela:

Tipo de Controlador KP τi τd

P L T ∞ 0

PI L T9,0

3,0 L 0

PID L T2,1 L2

2 L

EXEMPLO: Considere uma planta com modelo matemático desconhecido. Uma entrada, tipo degrau unitário foi imposta a essa planta e amostras, de sua saída, foram colhidas, experimentalmente, a cada 0,1 segundos. O resultado desse ensaio pode ser visto na curva de resposta apresentada na figura a seguir.

Sistemas de Controle 35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta ao Degrau

Tempo

A m

pl itu

de

Referencia Resposta

Utilizando-se métodos numéricos (Diferenciação Numérica por Diferenças Finitas Centrais) determinou-se que o ponto de inflexão da curva ocorre aos 0,7 segundos, com amplitude de 0,1270. Determinou-se, então, tomando um ponto anterior e um ponto posterior a este, a reta tangente ao ponto de inflexão (y = 0,2495t – 0,0477).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 Resposta ao Degrau: L = 0.19104 e T = 2.0041

Tempo

A m

pl itu

de

Uma vez determinada a reta tangente, determinou-se: L ≈ 0,2 e T ≈ 2,0.

36 Sistemas de Controle

De posse desses valores, fazendo-se uma breve consulta à tabela proposta por Ziegler e Nichols, tem-se os seguintes parâmetros para um controlador PID: kP = 12,5886, τi = 0,3821 e τd = 0,0955. Com esta sintonia, a planta com o controlador apresentaram a seguinte resposta:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo

R es

po st

a Resposta ao Degrau: Kp = 12,5886, Ti = 0,3821 e Td = 0,0955

MP = 66.19%

ts = 5seg.

Os métodos de Ziegler-Nichols fornecem uma estimativa inicial para os parâmetros do

controlador. Caso a resposta do sistema controlado não seja satisfatória, com os parâmetros fornecidos pelo método de Ziegler-Nichols, o projetista deverá determinar alterações nestes parâmetros para as quais o sistema funcione satisfatoriamente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

R es

po st

a

Resposta ao Degrau: Kp = 8,57, Ti = 1,40 e Td = 0,35

MP = 17.81%

ts = 3.9seg.

Sistemas de Controle 37

Segundo Método de Ziegler-Nichols

Este método consiste em determinar o valor de ganho proporcional, que torna o sistema marginalmete estável, com sua saída apresentando oscilações mantidas. Esse valor de ganho é chamado de ganho crítico, Kcr.

Pcr

Tempo

y

Como os métodos de Ziegler e Nichols são, essencialmente, experimentais, aplicados a sistemas para os quais não se dispõe de modelos matemáticos, a obtenção, na prática, do ganho crítico, consiste em, uma vez implementado um controlador PID, ele é configurado para funcionar como um controlador P (τi = ∞ e τd = 0). O ganho proporcional é aumentado até que a saída do sistema apresente oscilações mantidas. Tal valor de ganho será o ganho crítico, Kcr, e o período de tais oscilações será chamado de período crítico, Pcr. Uma vez determinadas estas constantes, elas são usadas para determinação dos parâmetros do controlador, de acordo com a seguinte tabela:

Tipo de Controlador KP τi τd

P crK5,0 ∞ 0

PI crK45,0 2,1 5,0 crP 0

PID crK6,0 crP5,0 crP125,0

Os métodos de Ziegler-Nichols, para determinação dos parâmetros de controladores PIDs, têm sido amplamente utilizados e sua importância é indiscutível. Porém, é importantes notarmos que:

1. Em sistemas cuja resposta ao degrau não tem forma de S, não é possível aplicar o primeiro método de Ziegler-Nichols;

2. Em sistemas que não se tornam marginalmente estável para nenhum ganho, não é possível aplicar o segundo método de Ziegler-Nichols; e,

3. Os métodos de Ziegler-Nichols fornecem, apenas, uma estimativa inicial para os parâmetros do controlador, sendo necessário, em muitos casos, um ajuste fino desses parâmetros, por parte do projetista.

38 Sistemas de Controle

EXEMPLO: Considere uma planta com modelo matemático desconhecido. Uma entrada, tipo degrau unitário foi imposta a essa planta e amostras, de sua saída, foram colhidas, experimentalmente, a cada 0,1 segundos. O resultado desse ensaio pode ser visto na curva de resposta apresentada na figura a seguir.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 Resposta ao Degrau

Tempo

A m

pl itu

de

Referencia Resposta

Como a curva de resposta não tem forma de S, o primeiro método de Ziegler-Nichols não

se aplica. É introduzido um ganho ajustável na malha do sistema e, após algumas tentativas, determina-se o ganho que faz com que o sistema tenha oscilações mantidas, Kcr = 4,00. e o período dessas oscilações, Pcr = 6,3s.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Resposta ao Degrau com Ganho Crítico, Kcr = 4

Tempo

A m

pl itu

de

Pcr = 6.3s

Sistemas de Controle 39

De posse desses valores, fazendo-se uma breve consulta à tabela proposta por Ziegler e Nichols, tem-se os seguintes parâmetros para um controlador PID: kP = 2,4000, τi = 3,1500 e τd = 0,7875. Com esta sintonia, a planta, com o controlador, apresentaram a seguinte resposta:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo

A m

pl itu

de Resposta ao Degrau: Kp = 2,40, Ti = 3,15 e Td = 0,79

MP = 26.64%

ts = 8.6seg.

Sempre é possível, a partir dos valores fornecidos pelos métodos de Ziegler-Nichols,

buscar um ajuste melhor do controlador, de acordo com a experiência do projetista. Neste caso, apenas aumentando, em 50%, o valor de kd, obtém-se a seguinte resposta:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo

A m

pl itu

de

Resposta ao Degrau

MP = 16.3%

ts = 6.8seg.

40 Sistemas de Controle

4.5 Projeto de Controladores Avanço de Fase

A FT de um controlador avanço de fase é:

ps zsK

T s

T s

KsG ccc + +

= +

+ =

α 1

1

)( , com: 10 <α< ( 4.5 )

É utilizado quando o sistema tem um transitório insatisfatório e regime bom.

Passos para o projeto de controladores Avanço de Fase

1) Traduzir as especificações de desempenho em termos de uma localização desejada de pólos dominantes de malha fechada

2) Verificar se o objetivo não pode ser atingido com um controlador Proporcional

3) Se o controlador avanço de fase é necessário, posicionar o zero do controlador em um local adequado

4) Determinar a localização do pólo do controlador de modo que a condição de ângulo seja satisfeita

5) Calcular o ganho total requerido, aplicando a condição de módulo

6) Calcular a constante de erro estacionário

7) Se a constante não for adequada, tentar um outro controlador, voltando ao passo 3.

8) Simular o sistema com o controlador e observar o comportamento da resposta. Caso não seja satisfatório, tentar um ajuste fino dos parâmetros do controlador (Kc e z)

EXEMPLO: Dado o sistema )2s(s

4)s(G +

= . Projetar um controlador Gc(s) para que

4=nω rad/s sem modificar o fator de amortecimento.

Da FT de MF, temos: 0,2=nω e 5,0=ζ . Logo, para as especificações dadas, os pólos dominantes de malha fechada devem estar em -2 ± 3,4641i.

Fazendo-se uma breve análise do LGR do sistema original com relação aos pólos desejados, verifica-se que o zero do controlador deve está à esquerda dos pólos de MA do sistema original. Foi escolhido, empiricamente, 3,0 z = . A partir daí, aplicando o critério do ângulo calculamos 5,6 p = e aplicando o critério do módulo obtemos que o ganho total do sistema será: 2,19=tK . Como o sistema originalmente já tem um ganho 0,4=K o ganho do controlador será: 8,4== KKK tc .

Sistemas de Controle 41

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

MP = 21.13%

ts = 2.24seg.

Sem Controlador

Com Controlador

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

0

1

2

3

4

5

Tempo

S in

al d

e C

on tro

le

Sinal de Controle no Tempo

42 Sistemas de Controle

4.6 Projeto de Controladores Atraso de Fase

A FT de um controlador atraso de fase é:

ps zsK

T s

T sK

sG c c

c + +

= +

+ =

β β 1

1

)( , com 1>β ( 4.6 )

O objetivo do controlador é melhorar o regime, sem alterar significativamente o transitório.

Sabemos que: )(lim 0

ssGK sv

= . Logo, com o controlador em série com a planta, temos

que: vcscscomp KsGsGssGKv )(lim)()(lim 00 →→ ==

onde: vcv c

comp KKK

T

TKKv =    

   

=

β β 1

1

Aplicando a condição de módulo para o sistema com o controlador e considerando que os pólos de malha fechada não terão grandes alterações, temos:

1)( 1

1

1

1

= +

+

s

s

c sG

T s

T sK

β β

⇒ β≅cK vcomp KKv β≅

Logo:

T s

T s

sGc

β 1

1

)( +

+ ≅ ( 4.7 )

Passos para o projeto de controladores Atraso de Fase

1) Determine o ganho de malha aberta utilizando a condição de módulo

2) Calcule o coeficiente de erro particular especificado para o problema

3) Determine a quantidade de aumento no coeficiente de erro necessária para atender as especificações

4) Determine o pólo e o zero do controlador que produz o aumento necessário, sem alterar significativamente o LGR original (próximos entre si e próximos da origem).

5) Simular o comportamento do sistema com o controlador, voltando ao passo 4, caso necessário

Sistemas de Controle 43

EXEMPLO: Dado )2(

5)( +

= ss

sG ; H(s) =1 . Projetar um controlador para que o sistema

tenha um erro de regime para entrada rampa unitária igual a 1/20, sem alterar significativamente o transitório.

Calculando, com relação ao sistema original, a constante de erro estacionário para uma entrada tipo rampa, temos 5,2=VK . Dos requisitos de projeto, temos que 20=compKv . Logo,

8≅⇒≅ ββ vcomp KKv . Uma boa escolha para o zero do controlador costuma ser 1,0=z , que corresponde a 10=T . Com esses valores de z e β, temos que a FT do controlador é dada por:

)0125,0( )1,0()(

+ +

= s

ssGC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

5

10

Tempo

R es

po st

a

Resposta `a Rampa

Referencia Sem Controlador Com Controlador

-2 -1.5 -1 -0.5 0 -1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 -1

-0.5

0

0.5

1

44 Sistemas de Controle

Quanto maior for o valor de T, menor serão as alterações causados pelo controlador com relação ao comportamento transitório do sistema original. Contudo, valores muito grandes de T tendem a não ser implementáveis na prática.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo

R es

po st

a Resposta no Tempo

MP = 20.58%

ts = 3.84seg.

Com Controlador

Sem Controlador

4.7 Projeto de Controladores Atraso-Avanço de Fase

De uma maneira geral, a FT de um controlador atraso-avanço de fase é:

   

   

+

+

   

   

+

+ =

2

2

1

1

1

11

)(

T s

T s

T s

T s

KsG cc

β γ

( 4.8 )

É utilizado quando o transitório e o regime estão insatisfatórios.

Passos para o projeto de controladores atraso-avanço

1) Traduzir as especificações de desempenho em termos de uma localização desejada de

pólos dominantes de malha fechada.

2) Determine a contribuição angular necessária φ para a rede em avanço

3) Determine T1 e γ através da condições de ângulo

Sistemas de Controle 45

φ γ

= +

+

1

1

1

T s

T s

4) Determine Kc através da condição de módulo

1

11

1 )(

1

11

1)()(

2

2

1

1 sc

ss

sc sGK

T s

T s

T s

T s

sGsG

β γ

+

+

+

+ == ; considerando: 1

1

1

1 2

2 ≅ +

+

sT s

T s

β

5) Determine β a partir das exigências de erro: == →

)()(lim 0

sGssGKv cscomp

Vccs KKsGsK

γ β

γ β

== →

)(lim 0

, e, escolha T2 de modo que a contribuição angular da parte em

atraso esteja entre -5o e 0 o, e o módulo desta parte em s1 seja aproximadamente a unidade.

5) Simular o sistema com o controlador e observar o comportamento da resposta. Caso

não seja satisfatório, tentar um ajuste fino dos parâmetros do controlador.

EXEMPLO: Dado o sistema )5.0(

4)( +

= ss

sG ; H(s). Projetar um controlador atraso-

avanço para que os pólos de malha fechada tenham 5.0=ξ , s/rad 5n =ω e para que o

sistema tenha um 80=compKv .

Determinando a FT de MF da planta não controlada 45,0

4)( 2 ++ =

ss sGmf , é fácil notar

que: 125,0=ξ , sradn / 2=ω . Além disso podemos observar que os pólos de MF do sistema se localizam em: i ,-s 98,12502,1 ±= . De G(s) temos ainda que 8)(lim0 == → ssGK sv .

Das especificações de projeto, temos que os pólos dominantes de malha fechada devem estar em i -s 33,450,22,1 ±= .

A partir dos pólos de MF da planta não controlada, temos: °= +

+

+−=

180

1

98,125,01

1

is T

s

T s

γ .

46 Sistemas de Controle

A partir dos pólos desejados, temos: °≅ +

+

+=

235

1

33,450,21

1

i -s T

s

T s

γ .

Logo a contribuição de fase da rede em avanço é de: °≅++°−= 55180 21 θθφ .

onde:

  

  

°≅ 

  

 −

−°=

°≅ 

  

 −°=

115 50,050,2

33,4ATAN180

120 50,2 33,4ATAN180

1

1

θ

θ

-4 -3 -2 -1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3 s=-2,50+4,33i

É fácil notar que infinitas combinações de T1 e γ podem gerar a contribuição de fase desejada. Sendo assim, é necessário fixar, aleatoriamente, algum dos parâmetros. Neste caso, o zero da rede em avanço pode ser posicionado em s = -0,5, acarretando em um cancelamento matemático um dos pólos da planta. A partir daí, com a posição do zero e a contribuição de fase, a posição do pólo é determinada como sendo aproximadamente em s = -5,0, ou seja,

21 =T e 10=γ

Agora, do critério de módulo, temos:

25,6 4 25

4 )5(1

)5,0( 4

5 5,0

33,450,233,450,2

== +

=⇒= ++

+

+−=+−= is c

is c

ssK sss

sK

A partir do erro de velocidade estático desejado 80=compKv e dos valores anteriormente

calculados, temos: 16== cV

comp

KK Kvγ

β

Como qualquer valor de 52 ≥T satisfaz a condição de ângulo, é assumido que 52 =T . Conclui-se assim o projeto do controlador.

Sistemas de Controle 47

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

MP = 19.88%

ts = 1.26seg.

Com Controlador

Sem Controlador

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Tempo

S in

al d

e C

on tro

le

48 Sistemas de Controle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

5

10

Tempo

R es

po st

a

Resposta no Tempo

Sem Controlador

Com Controlador

Sistemas de Controle 49

4.8 Exercícios

1. Considere o exemplo da seção 4.2. Verifique, através de simulação, a resposta do sistema com o controlador PD projetado: variando-se o ganho do controlador:

a. Variando-se o ganho do controlador de 1 à 5, com incremento de 0,5;

b. Variando-se o ganho do controlador de 1 à 2, com incremento de 0,1;

c. Variando-se a posição do zero do controlador de 0,1 à 3,1, com incremento de 0,5. Lembrar de recalcular o ganho;

d. Variando-se a posição do zero do controlador de 0,4 à 0,8, com incremento de 0,05. Lembrar de recalcular o ganho;

2. Para cada um dos sistemas dados a seguir, projetar o controlador indicado para satisfazer as especificações dadas:

a. )1772,1(10000

1)( 2 − =

s sG . Projetar um PD para que em MF 7,0=ξ ,

sradn / 5,0=ω .

b. )20)(10(

820)( ++

= sss

sG . Projetar um controlador em atraso para que o fator

de amortecimento dos pólos dominantes permaneça em 6,0=ξ , mas, a constante de erro de velocidade estático aumente para 1s41 −=compKv .

c. )5)(1(

1)( ++

= sss

sG . Projetar um controlador em atraso-avanço para que o

fator de amortecimento dos pólos dominantes seja 5,0=ξ , e, a constante de erro de velocidade estático seja 1s50 −=compKv (escolher o zero da porção em avanço de forma a cancelar o pólo da planta em s = -1).

3. Seja 12

2)( 2 ++ =

ss sG , verifique através de simulação a resposta do sistema com um

controlador PI, com os seguintes parâmetros:

a. Kc = 1,00; z = 0.01;

b. Kc = 1,00; z = 0.05;

c. Kc = 1,00; z = 0.10;

d. Kc = 1,00; z = 0.25;

e. Kc = 1,00; z = 0.50;

f. Kc = 2,50; z = 0.25;

g. Kc = 5,00; z = 0.25;

50 Sistemas de Controle

5 APROXIMAÇÃO DISCRETA DE FUNÇÕES DE TRANSF. CONTÍNUAS

5.1 Introdução

Muitas vezes um sistema analógico de controle é substituído por um sistema de controle digital devido às vantagens deste último sistema, particularmente no que toca à comunicação e flexibilidade. Nestes casos, é natural pensarmos em métodos que convertem um sistema analógico (contínuo) para um sistema digital (discreto) com características semelhantes. Um caminho para isto é usar um curto período de amostragem e fazer algumas aproximações discretas a partir do controlador contínuo.

Algoritmo y(t)y(kT)u(kT)

D / AA / D u(t)

Relógio

H(z) G(s)≈

5.2 Aproximações por Integração Numérica

Uma função de transferência representa uma equação diferencial. Assim sendo, é natural obter uma equação de diferenças cuja solução é a aproximação para a equação diferencial. Existem três formas básicas de fazer esta aproximação: método Forward (ou método de Euler), método Backward e método Tustin (ou método de trapezoidal).

Supondo que os valores dos sinais de entrada e saída de um sistema contínuo são medidos a cada T segundos e que este período T é suficientemente pequeno, podemos obter uma equação de diferenças que modela aproximadamente a relação entre um sinal de entrada

u(t) e sua integral t

o

y(t) u( )dτ τ= ∫ , ou seja:

Y(s) 1G(s) U(s) s

= = ( 5.1 )

Método de Euler ou Forward

Baseia-se na seguinte equação de diferenças, resultado do método de integração numérica de Euler; k k 1 k 1y y Tu− −= + ; ou seja:

Y(z) TH(z) U(z) z 1

= = −

( 5.2 )

Comparando as equações ( 5.1 ) e ( 5.2 ), concluímos que nesta aproximação:

Sistemas de Controle 51

z 1s T −

= ( 5.3 )

Neste caso, podemos mostrar que o semi-plano esquerdo do plano s é mapeado para a região mostrada na figura abaixo, a qual inclui o círculo unitário. Assim sendo, neste tipo de aproximação é possível que um sistema contínuo estável (pólos em s no semi-plano esquerdo) seja transformado em um sistema discreto instável (pólos em z fora do círculo unitário).

Re

Im

Plano s

Semi-plano Esquerdo Re

Im Método Forward

Círculo Unitário

Plano z

Método Backward

Baseia-se na seguinte equação de diferenças, resultado do método de integração numérica semelhante ao de Euler; k k 1 ky y Tu−= + ; ou seja,

Y(z) TzH(z) U(z) z 1

= = −

( 5.4 )

Comparando as equações ( 5.1 ) e ( 5.4 ), concluímos que nesta aproximação:

z 1s Tz −

= ( 5.5 )

Neste caso, podemos mostrar que o semi-plano esquerdo do plano s é mapeado para a região mostrada na figura abaixo, a qual está contido no círculo unitário. Assim sendo, neste tipo de aproximação, um sistema contínuo estável sempre será transformado em um sistema discreto estável. Porém, podemos ter sistemas contínuos instáveis transformados em sistemas discretos estáveis.

Re

Im

Plano s

Semi-plano Esquerdo Re

Im Método Backward

Círculo Unitário

Plano z

52 Sistemas de Controle

Método Trapezoidal, Tustim ou Aproximação Bilinear

Esta aproximação corresponde ao método dos trapézios para integração numérica, que

corresponde à seguinte equação de diferenças; k k 1k k 1 u uy y T

2 −

− +

= + ; ou seja:

Y(z) T (z 1)H(z) U(z) 2 (z 1)

+ = =

( 5.6 )

Comparando as equações ( 5.1 ) e ( 5.6 ), concluímos que nesta aproximação:

2 1

1 zs

T z

= +

( 5.7 )

Neste caso, podemos mostrar que o semi-plano esquerdo do plano s é transformado no círculo unitário, como mostra a figura abaixo. Neste caso, sistemas contínuos estáveis são transformados em sistemas discretos estáveis e sistemas contínuos instáveis são transformados em sistemas discretos instáveis.

Re

Im

Plano s

Semi-plano Esquerdo Re

Im Método Tustin

Círculo Unitário

Plano z

5.3 Invariância ao Degrau

A idéia é utilizar uma equivalência de ordem zero de sistema G(s), considerando-o precedido por um Segurador de Ordem Zero (SOZ)

G(s)SOZ

H(z) G(s)≈

Desta forma, a função de transferência discreta H(z), pode ser obtida a partir de G(s), através da seguinte equação,

z 1 G(s)H(z) Z

z s −   =       

( 5.8 )

Sistemas de Controle 53

5.4 Exercícios

1. Fazer as aproximações Forward, Backward, Tustin e Invariante ao Degrau para:

a) s

sG 1)( =

b) 2 1)( s

sG =

c) as

sG +

= 1)(

d) as

ssG +

=)(

e) as

sKsG +

=)(

f) ( )2

)( as

ssG +

=

g) ( ) 22

)( ω

ω ++

= as

ssG

2. Um controlador PI continuo é descrito por  

  

 +

s K

iτ 11 .

a) Use a aproximação de Tustin para encontrar a representação discreta do controlador PI;

b) Determine as relações entre os parâmetros contínuos K e τ i e seus correspondentes discretos.

54 Sistemas de Controle

6 IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES DIGITAIS

6.1 Introdução

O principal problema tratado neste capítulo é a implementação de algoritmos de controle em computadores digitais. Uma vez escolhida uma lei de controle e obtida sua representação discreta, é necessário implementá-la. Normalmente, não basta colocar a lei de controle na forma de um código de computador, existem importantes considerações que não podem ser desprezadas. É preciso, por exemplo, estabelecer comunicação com os sensores e atuadores e criar interfaces homem-máquina (IHM).

Os detalhes da implementação dependem dos hardware e software usados. Supondo uma implementação em um computador digital com relógio (RTC – Real Time Clock) e conversores A/D e D/A, um esquema geral poderia ser representado da seguinte forma:

Algoritmo u(kT)e(kT)

D / AA / D e(t)

Relógio

Computador Digital

Atuadores +

-

u(t) y(t)Planta ou

Processo

Sensores

r(t)

A lei de controle implementada no algoritmo computacional opera em ciclos, com duração equivalente ao período de amostragem determinado para o sistema.

Código Computacional: Ler dados (A/D); Calcular variável de controle; Escrever dados (D/A);

Relógio

6.2 Pré-Filtragem e Atraso Computacional

Pré-Filtragem

Para evitar aliasing1 é necessário usar um pré-filtro analógico, antes de amostrar os sinais dos sensores analógicos, visando eliminar distúrbios e ruídos com freqüências superiores a freqüência de Nyquist. A pré-filtragem é fundamentalmente importante, quando existem componentes de alta freqüência que podem contaminar o sinal amostrado.

1 Aliasing é um fenômeno que ocorre quando o sinal amostrado contém harmônicas maiores que a metade

da freqüência de amostragem.

Sistemas de Controle 55

Em alguns casos a solução mais simples é introduzir um filtro analógico na frente do amostrador:

G(s)SOZC(z)Filtro

Relógio

+

-

y(t)r(t)

Sensores ,

Um circuito analógico típico para um filtro de segunda ordem é:

R R

R

-

+ 3C 2ζ

2ζC 3

Implementação, através de amplificador operacional, de um filtro de segunda ordem, com

freqüência: RC 1

=ω , e, função de

transferência dada por ( 6.1 ), onde: ωB é a largura de banda selecionada para o filtro.

2 2

2

2 )(

ωωζωω

ω

+  

 +

 

 

=

BB

f ss

sG ( 6.1 )

Filtros de ordem superior podem ser obtidos pelo arranjo, em cascata, de vários filtros de primeira e segunda ordem.

Atraso Computacional

Tanto os conversores (A/D – D/A) quanto os cálculos computacionais requerem tempo, por isso, sempre existirá atraso quando uma lei de controle for implementada computacionalmente. Este atraso é chamado de atraso computacional, e, afeta o desempenho global do sistema controlado.

Tempo

y

Tempo

u

Va riá

ve l d

e P

ro ce

ss o

Va riá

ve l d

e C

on tro

le

Tk-1 Tk Tk+1

y(Tk-1) y(Tk)

y(Tk+1)

Tempo

y

Tempo

u

Va riá

ve l d

e P

ro ce

ss o

Va riá

ve l d

e C

on tro

le

Tk-1 Tk Tk+1

y(Tk-1) y(Tk)

y(Tk+1)

u(Tk)

u(Tk+1)

u(Tk)

u(Tk+1)

u(Tk-1)Atraso Computacional

Atraso Computacional

56 Sistemas de Controle

Existem basicamente duas possibilidades: A variável de processo medida no instante k pode ser usada para calcular a ação de controle para o instante k+1, ou a variável de processo medida no instante k é usada imediatamente no calculo da ação de controle, que, por sua vez, deve ser enviada ao conversor D/A tão rápido quanto possível.

No primeiro caso, o atraso computacional é constante, o que é uma vantagem, porém é igual ao período de amostragem, o que pode ser demasiado grande para alguns sistemas. Já no segundo caso, o atraso normalmente será menor, porém dependerá de aspectos da programação, e, para leis de controle não lineares poderá variar a cada ciclo.

6.3 Atuadores Não-Lineares

Grande parte dos métodos para o projeto de controladores baseia-se na teoria de sistemas lineares, ou seja, partem do pressuposto de que o processo a ser controlado é linear. No entanto, a maioria dos sistemas físicos reais apresentam algum tipo de não-linearidade. No caso dos sistemas de controle, isso acontece, mas tipicamente, com os atuadores. Uma das principais não-linearidades apresentadas por atuadores é a saturação.

Atuador u(t) y(t)

Planta ou Processo

Dinâmica Linear u (t)p

Um dos principais atuadores encontrados em processos industriais são as válvulas. Durante a abertura e fechamento as válvulas são aproximadamente lineares, porém, as situações de totalmente aberta e totalmente fechada são exemplos típicos de não-linearidade por saturação de atuador.

Existem, fundamentalmente, dois caminhos para lidar com essa realidade: Um é utilizar técnicas de projeto que levem em conta as não-linearidades. Estes métodos costumam envolver cálculos complexos, gerando assim, leis de controle também complexas. Outro caminho é utilizar métodos heurísticos simples.

6.4 Aspectos Operacionais

Neste ponto será discutida a interface entre o sistema de controle e o operador. Isto inclui a apresentação de dados e a alteração, por parte do operador, dos parâmetros do controlador.

Ajuste de Parâmetros Referência;

Ganhos; Tempo integrativo; Tempo derivativo;

Modo de operação ...

Apresentação de Dados Valores numéricos;

Gráficos; Imágems;

Animações ...

O pe

ra do

r

C on

tr ol

ad or

Interface

Sistemas de Controle 57

No caso do controle regulatório de processos, é comum exibir informações sobre os valores de referência (SP – Set-point), sobre as saídas medidas (PV – Process Variable), e sinais de controle. Além disso, a interface também deve possibilitar ao operador a alteração dos ganhos, do tempo integrativo e do tempo derivativo. Também costuma ser desejado que haja a possibilidade de alternar entre os modos de operação automático e manual. Uma forma simples de realizar o controle manual é através de botões para aumentar e diminuir o valor do sinal de controle. Porém, como o controlador é um sistema dinâmico, precauções devem ser tomadas no chaveamento do modo de operação manual para o automático, para que a transição seja suave evitando que surjam transitórios devido ao chaveamento.

6.5 Mudanças de Parâmetros

Nos controladores convencionais o operador, normalmente, tem flexibilidade para alterar valores como: referência e parâmetros básicos dos controladores (ganhos e tempos). Nos controladores implementados computacionalmente essa flexibilidade é ainda maior.

Devido a grande facilidade para realizar cálculos é possível utilizar uma parametrização no algoritmo de controle e mostrar outra ao operador através da interface. Por exemplo, o algoritmo pode trabalhar sempre com os tempos derivativo e integrativo, mas, a interface pode possibilitar que o operador entre ou com estes tempos ou com os respectivos ganhos. No segundo caso, a partir dos ganhos fornecidos pelo operador, os tempos seriam calculados e então usados no algoritmo de controle.

Porém, existem dois problemas com a alteração de parâmetros em tempo real. Um problema está relacionado com a programação em tempo real. Se mais de um programa, rodando simultaneamente, estiver utilizando os mesmos dados é possível que haja problemas. É necessário ter certeza de que a alteração será aceita e processada por todos os programas que estejam usando o parâmetro em questão.

O outro problema é algorítmico. A alteração de parâmetros em tempo real pode acarretar em efeitos similares ao de perturbações. Esses efeitos são chamados de transientes de chaveamento. Tal problema, muitas vezes, pode ser contornado com alterações simples no código do programa. Considere, por exemplo, os dois códigos a seguir para implementação do algoritmo de um controlador PI.

Algoritmo #1 Algoritmo #2

e(k) = r - y(k); I(k) = I(k-1) + e(k) * T; u(k) = Kp * (e(k) + I(k)/ti);

e(k) = r - y(k); I(k) = I(k-1) + Kp* e(k) * T / ti; u(k) = Kp * e(k) + I(k);

Considere também o modelo discreto de um sistema de tanques acoplados de segunda ordem:

987,0987,1 645,9687,910)(G 2

5

+− +

= − zz

zz ( 6.2 )

58 Sistemas de Controle

Considerando-se os parâmetros do controlador como sendo: kP = 2 e τi = 100, temos que, se esses parâmetros permanecerem inalterados, ambos os algoritmos geram sinais de controle idênticos. Conseqüentemente, a resposta do sistema em ambos os casos é também idêntica.

Sistema de Segunda Ordem com Controlador PI – Parâmetros Constantes

Algoritmo #1

0 500 1000 1500 2000 0

5

10

15

20

25

0 500 1000 1500 2000 -20

-10

0

10

20

30

40

Algoritmo #2

0 500 1000 1500 2000 0

5

10

15

20

25

0 500 1000 1500 2000 -20

-10

0

10

20

30

40

Porém, se em algum instante o tempo integrativo for alterado, no sistema com o controlador PI implementado de acordo com o algoritmo #1 surgirá um transiente de chaveamento, enquanto que com o algoritmo #1 o sistema fica livre desse transiente.

Considere o caso onde o sistema apresentado anteriormente sofre uma redução de 10 vezes no tempo integrativo, a partir do milésimo instante. Note como surgimento do transiente de chaveamento perturba o sistema no primeiro caso, enquanto que com o segundo algoritmo o sistema apenas tende a acomodar-se mais rapidamente, o que é exatamente o efeito desejado ao reduzir-se o tempo integrativo.

Sistemas de Controle 59

Sistema de Segunda Ordem com Controlador PI – Variação de Parâmetros

Algoritmo #1

0 500 1000 1500 2000 0

5

10

15

20

25

0 500 1000 1500 2000 -20

-10

0

10

20

30

40

Algoritmo #2

0 500 1000 1500 2000 0

5

10

15

20

25

0 500 1000 1500 2000 -20

-10

0

10

20

30

40

6.6 Aspectos Numéricos

60 Sistemas de Controle

6.7 Projeto de Controladores Digitais

Considere um sistema discreto descrito pelo seguinte diagrama de blocos:

D(z) R(z) Y(z)+

-

E(z) U(z) G(z)

A partir do mesmo podemos escrever que, [ ])()()()()( zYzRzDzGzY −=

Se for especificado )( )(

zR zY , temos que:

)(/)(1 )(/)(

)( 1)(

zRzY zRzY

zG zD

− =

6.7.1 Controladores Deadbeat

Um controlador deadbeat ou de resposta mínima é aquele que satisfaz as seguintes condições:

• O tempo de subida deve ser mínimo;

• O erro de regime deve ser zero.

Para um planta de ordem n o tempo mínimo é igual a nT, o problema a ser resolvido é obter D(z), tal que, para uma entrada degrau, ou seja, R(z) = (1 - z -1)-1 a resposta seja: y(k) = r(k) = 1 para kn, com: u(k) = u(n) para kn.

Aplicando a transformada Z temos:

{ }...1...)( )1(2211 +++++= +−−−− nn zzzyzyzY

{ }......)( )1(22110 ++++++= +−−−− nnN zzuzuzuuzU

{ }[ ]( ) nnn zzyzyzyzzzzyzy zR zY −−−−−+−−−− +++−=−+++++= ...1...1... )( )( 2

2 2

1 1

1 1)1(2

2 1

1

n n zyzyyzyzR

zY − −

−− −++−−= )1(...)( )( )(

1 2

12 1

1

nn zpzpzpzR zY −−− +++= ... )( )( 2

2 1

1 , com ∑ = 1ip ( 6.3 )

Por analogía:

nn zqzqzqqzR zU −−− ++++= ... )( )( 2

2 1

10 , com: 

  

=

−=−==

∑ −

ni

nnn

uq uuquuquq 101100 ;; ( 6.4 )

Então,

Sistemas de Controle 61

)( )()(1

)()( )( )( zP

zGzD zGzD

zR zY

= +

= ( 6.5 )

ou:

)( )(

)( )(

)( )()(

)( )(

zQ zP

zU zR

zR zYzG

zU zY

=== ( 6.6 )

Usando as equações ( 6.6 ) em ( 6.5 ), temos:

( )nn n

n

zpzp zqzqq

zP zQzD −−

−−

++− +++

= −

= K

K 1

1

1 10

1)(1 )()(

Seja ainda:

0

0 2

2 1

1

2 2

1 1

...1 ...

)( q q

zazaza zbzbzb

zG n n

n n ×

++++ +++

= −−− −−−

( 6.7 )

Da equação ( 6.6 ), temos:

n n

n n

zqzqzqq zpzpzpzG −−−

−−−

++++ +++

= ...

...)( 2 2

1 10

2 2

1 1 ( 6.8 )

Comparando ( 6.7 ) e ( 6.8 ), temos que:

onn

011

qaq

qaq

=

= M e

onn

011

qbp

qbp

=

= M

Como: ∑ ∑ == 1bqp i0i , então: ∑ =

i 0 b

1q .

EXEMPLO:

Projetar um controlador deadbeat para o seguinte sistema: 368.0368.1

265.0368.0)( 2 +− +

= zz

zzG .

SOLUÇÃO:

( ) 58.11 210 =+= bbq 581.0101 == bqp

160.2011 −== qaq 418.0202 == bqp

581.0022 == qaq

Logo: 21 21

418.058.01 58.016.258.1)( −−

−−

−− +−

= zz zzzD

62 Sistemas de Controle

As figuras a seguir mostram a saída da planta e o sinal de controle com o controlador deadbeat projetado:

0 2 4 6 8 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Instante

S aí

da

Resposta ao Degrau com o Deadbeat

0 2 4 6 8 10

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Instante

S in

al d

e C

on tro

le

Sinal de Controle do Deadbeat

Sistemas de Controle 63

7 PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO O ESPAÇO DE ESTADOS

7.1 Descrição por Variáveis de Estado

É aplicável a sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas, que podem ser lineares ou não-lineares, invariantes ou variantes no tempo e com condições iniciais não-nulas.

O estado de um sistema no instante t0 é a quantidade de informação em t0, que, junto com a entrada u(t) em 0tt ≥ , determina univocamente o comportamento do sistema para todo

0tt ≥ .

Considere os vetores:

   

   

=

)( :

)( )(

)( 2 1

tx

tx tx

t

n

x

    

    

=

)( :

)( )(

)( 2 1

tu

tu tu

t

p

u

    

    

=

)( :

)( )(

)( 2 1

ty

ty ty

t

q

y

x(t) → vetor de estados. xi(t) → variável de estado.

u(t) → vetor de entrada. y(t) → vetor de saída.

E as matrizes; A(t)nxn; B(t)nxp; C(t)qxn; D(t)qxp.

Na representação por variáveis de estado, temos:

)()()()()( ttttt uBxAx +=& Equação de Estado (dinâmica do sistema) )()()()()( ttttt uDxCy += Equação de Saída (observação do sistema) ( 7.1 )

Ou ainda, no caso invariante no tempo, temos:

)()()( ttt BuAxx +=& Equação de Estado (dinâmica do sistema) )()()( ttt DuCxy += Equação de Saída (observação do sistema) ( 7.2 )

Aplicando Transformada de Laplace temos:

( ) ( ) )0()()( )0()()()(

11 XAIBUAIX

XBUXAI −− −+−=

+=−

ssss

sss ( 7.3 )

Para condições iniciais nulas ( X(0) = 0 ):

( )[ ] )()()()( 1 sssss UGUDBAICY =+−= − ( 7.4 ) De onde, conclui-se:

( ) DBAICG +−= −1)( ss Matriz Função de Transferência ( 7.5 )

Como ( )AI s corresponde ao polinômio característico de G(s), os autovalores de A correspondem às raízes do polinômio característico, ou seja, aos pólos de G(s).

64 Sistemas de Controle

7.2 Solução da Equação de Estado

Caso Escalar

( ) ( ) )()0()()()()( 11 sbUasxassXtbutaxtx Laplace −− −+−= →+=&

Aplicando a Transformada inversa de Laplace, obtemos:

{ } ( ){ } { }⇒−+== −−−− )(*)0()()( 1111 sULasbLxesXLtx at

∫ −+= t

taat dbuexetx 0

)( )()0()( τττ ( 7.6 )

Caso Vetorial

)()()( ttt BuAxx +=&

∫ −+= t

tt deet 0

)( )()0()( τττ BUxx AA ( 7.7 )

onde: ( ){ }11 −− −= AIA sLe t . A exponencial matricial; teA , pode ser calculada através da série:

. . . !

. . . !2

22

+++++= k

ttte kk

t AAAIA ; que converge para todo t finito e para todo A.

7.3 Estabilidade

Considere uma representação em variáveis de estado de um sistema SISO:

)()()( tutt BAxx +=&

)()()( tdutty += Cx ( 7.8 )

Teorema: Um sistema é estável, se, quando u(t) = 0, para todo x(0), temos que 0x =

∞→ )(lim t

t

OBS: se u(t) = 0 ⇒ )0(e)t( txx A=

Corolário: Um sistema é estável, se, todos os autovalores da matriz A apresentam parte real negativa.

OBS: Os autovalores de A são as raízes da equação característica: ( ) 0det)( =−=∆ AIss .

Sistemas de Controle 65

EXEMPLO:

)2)(3)(1( 200

430 311

)det( 1 0 0

200 430 311

−++=   

  

− −+ −−+

=−⇒   

  

 +

  

  

 −

− = sss

S s

s su AIxx&

Logo, o sistema é instável.

7.4 Controlabilidade

Definição: O sistema (A,B,C,d) é controlável se, quaisquer que sejam x(0) e x(T), existe u(t) Tt ≤≤0 que transfere o estado x(0) para o estado x(T) em um tempo finito.

Teorema: O sistema (A,B,C,d) é controlável se e somente se, o posto da matriz de controlabilidade Unxnp associada é igual a n.

[ ]BABAABBU 1n2 ... −= ( 7.9 ) OBS: Uma matriz R é dita possuir posto (rank), ρ(R), igual a m, se existir uma submatriz

Mmxm de modo que o determinante de M é não nulo, e o determinante de todas as submatrizes rxr (onde r > m) de R é zero.

EXEMPLO1:

1)( 11 11

11 = 

  

 − −

= RR ρ 2)(

000 000 231 221

22 =

   

   

= RR ρ

EXEMPLO2:

1F

1Ω

1F

1Ω

x1 x2

~ +

- u

22

11

xxu xxu

+= +=

&

&

u 

  

 +

  

 −

− =

1 1

10 01

xx&

[ ] 21)( 11 11

<= 

  

 − −

== UABBU ρ (Não-Controlável)

Justificativa: Se x1(0) = x2(0) ⇒ x1(t) = x2(t); 0≥∇t .

66 Sistemas de Controle

7.5 Observabilidade

Definição: O sistema (A,B,C,d) é observável, se, para todo x(0), o conhecimento da entrada u(t) e da saída y(t) em um tempo finito é suficiente para determinar x(0).

Teorema: O sistema (A,B,C,d) é observável, se e somente se, o posto da matriz de observabilidade Vnqxn associada é igual a n.

     

     

=

−1

: nCA

CA CA C

V 2 ( 7.10 )

EXEMPLO:

1F 1Ω

1F

1Ω y

+

-

u

1H

u   

  

 +

  

  

− −

− =

0 1 1

110 100

001 xx&

[ ]x010=y

  

  

− −=

  

  

 =

110 100 010

2CA CA C

V ⇒ ρ(V) = 2; Logo, o sistema é Não-observável.

7.6 Realizações de Funções de Transferência

Dada a seguinte representação em variáveis de estado de um sistema SISO:

)()()( tutt BAxx +=&

)()()( tdutty += Cx

(A,B,C,d) é uma realização de G(s) se:

( ) )(1 sGds =+− − BAIC

com:

d sD sNd

sss ss

sG sU sY

n nnn

n nn

+=+ ++++

+++ ==

−−

−−

)( )(

... ...

)( )( )(

2 2

1 1

2 2

1 1

ααα βββ

Sistemas de Controle 67

7.6.1 Realização na Forma Canônica Observável

[ ]10... 00 ; ;

-1... 00 -0... 00 -0... 01

0... 00

1

2

1

1

2

1-n =

   

   

=

   

   

 −

= − CBA

β β

β β

α α α α

n

nn

( 7.11 )

7.6.2 Realização na Forma Canônica Controlável

[ ]121

121

... ;

1 0 0 0

;

... 10... 00 00... 00 00... 10

ββββ

αααα

=

   

   

=

   

   

−−−−

= nn

nn

CBA ( 7.12 )

68 Sistemas de Controle

7.7 Realimentação de Estado

A idéia básica da realimentação de estados consiste em alocar os pólos de malha fechada (autovalores da matriz dinâmica), modificando, assim, a dinâmica do sistema.

Dada uma representação em variáveis de estado de um sistema;   

+= +=

)()()( )()()(

tdutty tutt

Cx BAxx&

:

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

D

+ +x( )t

.

Usando realimentação de estado, cada variável de estado é multiplicada por um ganho e realimentada para o terminal de entrada, ou seja:

)()()( trttu += Kx ( 7.13 )

onde: [ ]nkkk ...21=K é o vetor de ganhos de realimentação.

Assim, temos:

( ) ⇒++=⇒   

+= +=

)()()()( )()()(

)()()( trttt

trttu tutt

KxBAxx Kx

BAxx &

&

( ) )()()( trtt BxBKAx ++=⇒ & ( 7.14 )

OBS: Devemos ter acesso a todos os estados do sistema.

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

D

+ +x( )t.

K

Teorema: Se (A,B,C,d) for controlável, usando )()()( trttu += Kx podemos escolher arbitrariamente os autovalores de ( )BKA + .

Sistemas de Controle 69

Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K

1- Formar nn nn asasass ++++=∆ −

− 1

1 1 ...)( com os pólos desejados.

2- Calcular K da seguinte forma

[ ] )( 1...00 1 AUK cq−−= ( 7.15 )

onde: [ ]



  

+++=

= −

IAAA BABAABBU

n nn

c

n

aaq ...)( ...

1 1

12

.

EXEMPLO:

Dado; [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

11 1 1

20 01

y

u& , usando; )()()( trttu += Kx . Determine K para que os

autovalores do sistema sejam -1 e -2.

SOLUÇÃO:

2s3s)2s)(1s()s( 2 ++=++=∆

[ ]  

  

 −

−− −=

  

 −

== − 11 12

3 1

21 11

1UABBU

 

  

 =++=

00 06

23)(q 2c IAAA

[ ] [ ]02 00 06

11 12

10 3 1

−= 

  

  

  

 −

−− =K

70 Sistemas de Controle

SIMULAÇÃO:

( ) )()(

)()()( tty

trtt Cx

BxBKAx =

++=&

Rotina Matlab:

% Programa para Realimentação de Estado clear all; A=[1 0;0 -2];B=[1 1]';C=[1 1];d=0; % Sistema Original K=[-2 0]; % Matriz de Ganhos Aa=[A+B*K]; % Matriz Dinamica realimentada t=0:0.01:5; % Tempo da simulaçao u=0*t; % Sinal de entrada (nulo) x0=[1 1]'; % Condiçoes iniciais [Y1,X1]= LSIM(A,B,C,d,u,t,x0); % Simula o sistema, sem realimentaçao % para uma entrada e cond. iniciais dadas [Y,X] = LSIM(Aa,B,C,d,u,t,x0); % Simula o sistema, com realimentaçao % para uma entrada e cond. iniciais dadas figure;plot(t,Y1,'r','linewidth',2) title('Saída sem realimentação de estado') figure;plot(t,Y,'b','linewidth',2) title('Saída com realimentação de estado')

0 1 2 3 4 5 0

50

100

150 Saída sem realimentação de estado

0 1 2 3 4 5 -0.5

0

0.5

1

1.5

2 Saída com realimentação de estado

Sistemas de Controle 71

7.8 Observadores de Estado

O observador de estados consiste em um mecanismo (algoritmo) para estimação dos estados da planta. É uma solução útil quando os estados reais da planta não estão accessíveis, situação muito comum na prática .

Seja:   

= +=

)()( )()()(

tty tutt

Cx BAxx&

, conhecendo-se A, B e C, e a medição de y(t) e u(t),

constrói-se o estimador:

( )

  

= +−+=

)(ˆ)(ˆ )()(ˆ)()(ˆ)(ˆ

tty tutytytt

xC BLxAx& ; (Estimador Assintótico) ( 7.16 )

onde: [ ]Tnlll ...21=L

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

x( )t .

A x( )t

+

+ y(t) B C

x( )t

^

^

+

- L

Erro de Estimação

O erro entre x e x̂ , conhecido como erro de estimação (ou erro de observação), é dado por; )(ˆ)()(~ ttt xxx −= , derivando-se, temos:

[ ] ( )[ ] ( ) ( ))(ˆ)()(ˆ)()(~

)()(ˆ)()(ˆ)()()(ˆ)()(~

ttttt tutytyttutttt

xxLCxxAx BLxABAxxxx

−−−=⇒ ⇒+−+−+=−=

&

&&&

ou, simplesmente:

( ) )(~)(~ tt xLCAx −=& ( 7.17 )

Para que 0x = ∞→

)(~lim t t

é necessário que os autovalores de ( )LCA − sejam estáveis, ou seja, tenham parte real negativa.

Teorema: Se (A,B,C,d) for observável, então um estimador de estado assintótico com quaisquer autovalores pode ser construído.

72 Sistemas de Controle

Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos do Observador L

1- Formar nn nn asasass ++++=∆ −

− 1

1 1 ...)( com os pólos desejados para o observador.

2- Calcular L da seguinte forma

[ ]T1L 1...00)(q −= VAL ( 7.18 )

onde: [ ] 

  

+++=

= −

IAAA CACACACV 2

n nn

L

n

aaq ...)( 11

T1K .

EXEMPLO:

Dado; [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

11 1 1

20 01

y

u& . Projetar um observador de estados com autovalores -3, -3.

SOLUÇÃO:

96)3)(3()( 2 ++=++=∆ sssss

 

  

 −

−− −=

  

 −

= 

  

 = −

11 12

3 1

21 11 1V

CA C

V

 

  

 =++=

10 016

96)( 2 IAAALq

 

  

 −

= 

  

  

  

 −

−−  

  

 −=

1 16

3 1

1 0

11 12

10 016

3 1L

Sistemas de Controle 73

SIMULAÇÃO:

[ ]  

  

 =

 

  

 +

  

  

  

 −

= 

  

)(ˆ )(

)(

)( )(ˆ )(

)(ˆ )(

t t

ty

tu t t

t t

x x

0C

B B

x x

LCALC 0A

x x & &

Rotina Matlab:

% Programa para Observadores de Estado clear all;close all;clc A=[1 0;0 -2];B=[1 1]';C=[1 1];d=0; % Sistema Original L=1/3*[16 -1]'; % Matriz de Ganhos do Observador I=eye(2); % Matriz identidade 2x2 Aa=[A 0*I;L*C (A-L*C)]; Ba=[B;B]; % Matrizes aumentadas do Observador Ca=[C zeros(size(C))]; t=0:0.01:5; % Tempo da simulaçao u=0*t; % Sinal de entrada (nulo) x0=[1 1 0 0]'; % Condiçoes iniciais [Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0); % Simula o sistema aumentado % para entrada e cond. iniciais dadas E = [X(:,1)-X(:,3) X(:,2)-X(:,4)]; % Erro de estimativa figure;plot(t,X(:,1),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,X(:,3),'r','linewidth',2) set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Estado X_1 e sua estimativa') legend('X_1','X_1 Estimado'); hold off figure;plot(t,X(:,2),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,X(:,4),'r','linewidth',2) set(2,'Position',[232 258 380 280]);title('Estado X_2 e sua estimativa') legend('X_2','X_2 Estimado'); hold off figure;plot(t,E(:,1),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,E(:,2),'r','linewidth',2) set(3,'Position',[482 258 380 280]);title('Erro de estimativa') legend('Erro de estimativa de X_1','Erro de estimativa de X_2');hold off

74 Sistemas de Controle

0 1 2 3 4 5 0

50

100

150 Estado X1 e sua estimativa

X1 X1 Estimado

0 1 2 3 4 5 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 Estado X2 e sua estimativa

X2 X2 Estimado

0 0.5 1 1.5 0

1

2

3

4

5 Estado X1 e sua estimativa

X1 X1 Estimado

0 1 2 3 4 5 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Erro de estimativa

Erro de estimativa de X1 Erro de estimativa de X2

7.9 Realimentação de Estados Observados

Para a realimentação de estados é necessário que todos os estados reais da planta, )(tx , sejam mensuráveis. Quando isto não ocorre, há a necessidade de construir um observador de estados. Neste caso a realimentação é feita a partir dos estados estimados, )(ˆ tx :

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

x( )t .

A x( )t

+

+ y(t) B C

x( )t

^

^

+

- L

K

Sistemas de Controle 75

Seja:   

= +=

)()( )()()(

tty tutt

Cx BAxx&

. Se )(ˆ tx é uma estimativa de )(tx , então, na realimentação

de estados utiliza-se:

)()(ˆ)( trttu += xK ( 7.19 )

Porém, se a realimentação é feita a partir dos estados estimados, a dinâmica do estimador precisa ser considerada. Desta forma, tem-se:

[ ] 

  

 =

 

  

 +

  

  

  

 +−

= 

  

)(ˆ )(

)(

)( )(ˆ )(

)(ˆ )(

t t

ty

tu t t

t t

x x

0C

B B

x x

BKLCALC BKA

x x & &

( 7.20 )

EXEMPLO:

Dado; [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

11 1 1

20 01

y

u& . Utilizar a realimentação de estados em conjunto com o

observador de estados projetados anteriormente.

SIMULAÇÃO:

[ ]  

  

 =

 

  

 +

  

  

  

 +−

= 

  

)(ˆ )(

)(

)( )(ˆ )(

)(ˆ )(

t t

ty

tu t t

t t

x x

0C

B B

x x

BKLCALC BKA

x x & &

Rotina Matlab:

% Programa para Observadores de Estado + Realimentação de Estado clear all;close all;clc A=[1 0;0 -2];B=[1 1]';C=[1 1];d=0; % Sistema Original L=1/3*[16 -1]'; % Matriz de Ganhos do Observador K=[-2 0]; % Matriz de Ganhos de Realimentaçao I=eye(2); % Matriz identidade 2x2 Aa=[A B*K;L*C (A-L*C+B*K)]; Ba=[B;B]; % Matrizes aumentadas do Observador Ca=[C zeros(size(C))]; t=0:0.01:5; % Tempo da simulaçao u=0*t; % Sinal de entrada (nulo) x0=[1 1 0 0]'; % Condiçoes iniciais

76 Sistemas de Controle

[Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0); % Simula o sistema aumentado % para entrada e cond. iniciais dadas E = [X(:,1)-X(:,3) X(:,2)-X(:,4)]; % Erro de estimativa Figure;plot(t,X(:,1),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,X(:,3),'r','linewidth',2) set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Estado X_1 e sua estimativa') legend('X_1','X_1 Estimado'); hold off figure;plot(t,X(:,2),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,X(:,4),'r','linewidth',2) set(2,'Position',[232 258 380 280]);title('Estado X_2 e sua estimativa') legend('X_2','X_2 Estimado'); hold off figure;plot(t,E(:,1),'b','linewidth',2);hold on; plot(t,E(:,2),'r','linewidth',2) set(3,'Position',[482 258 380 280]);title('Erro de estimativa') legend('Erro de estimativa de X_1','Erro de estimativa de X_2');hold off figure;plot(t,Y,'b','linewidth',2);set(4,'Position',[602 258 380 280]) title('Resposta do Sistema')

0 1 2 3 4 5 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 Estado X1 e sua estimativa

X1 X1 Estimado

0 1 2 3 4 5 -1

-0.5

0

0.5

1 Estado X2 e sua estimativa

X2 X2 Estimado

0 1 2 3 4 5 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Erro de estimativa

Erro de estimativa de X1 Erro de estimativa de X2

0 1 2 3 4 5 -0.5

0

0.5

1

1.5

2 Resposta do Sistema

Sistemas de Controle 77

7.10 Seguidores de Referência (ou servosistemas)

Para que um sistema descrito por variáveis de estado possa, além de possuir a dinâmica desejada (garantida pela alocação de pólos por realimentação de estado), seguir uma determinada entrada, com erro zero, usamos o princípio do modelo interno.

Considere entradas de referência descritas por equações do tipo:

  

= =

rr

rrr

r xC xAx&

( 7.21 )

com condições iniciais desconhecidas. Um modelo equivalente para entradas de referência é:

0.... 01 )1(

1 )( =++++ −− rrrr

n n

n ααα & ( 7.22 )

onde )n(r é a n-ésima derivada de r(t).

Exemplos:

a) Degrau unitário: r(t) = 1; t ≥ 0; 0=r& :

Escolhendo xr = r, temos:   

= =

r

rr

xr xx

1 0&

b) Rampa unitária: r(t) = t, t ≥ 0;   

= =

0 1

r r &&

& :

Escolhendo   

= =

rx rx

r

r

&2

1 , temos: [ ]

 

 

  

 =

 

  

  

  

 =

  

2

1

2

1

2

1

01

00 10

r

r

r

r

r

r

x x

r

x x

x x &

&

Princípio do modelo interno para referência do tipo degrau unitário

Considere o sistema:   

= +=

)()( )()()(

tty tutt

Cx BAxx&

.

Definimos o erro de rastreamento como: )()()( trtyte −= .

Das características do sinal de referência, temos: )()()()()( ttytrtyte xC&&&&& ==−= .

Definimos novas variáveis de estado como:   

= =

uw & &xz

, então temos: w

e BAzz

Cz +=

= &

& , ou, na

forma matricial:

w ee

 

  

 +

  

  

  

 =

  

BzA0

C z

00 &

& ( 7.23 )

78 Sistemas de Controle

Se o sistema for controlável, então, existe uma lei de controle por realimentação de estado, da forma; zk 2+= ekw 1 , tal que os pólos do sistema aumentado podem ser posicionados arbitrariamente.

Desde que os pólos do sistema aumentado sejam alocados na região de estabilidade, o erro de rastreamento será estável. Assim, o objetivo de rastreamento assintótico com erro em regime nulo será alcançado. Ou seja, a resposta do sistema abaixo é assintóticamente estável.

 

  

  

  

 +

= 

  

zBkAB

C z 2

e k

e

1

0 &

& ( 7.24 )

A entrada de controle u(t) é obtida da expressão:

∫ ∫ +== t t

tdekdwtu 0 01

)()()()( xk 2ττττ ( 7.25 )

Logo:

 

  ++=⇒+= ∫

t deku

01 )( xkBAxxBAxx 2ττ&& ( 7.26 )

Definindo: ∫=+ ττ detxn )()(1 , temos: )()()()()()(1 trttrtytetxn −=−==+ Cx& ;

logo:

rx k

x nn  

  

 −

+ 

  

  

  

 + =

  

++ 10 1 1

1

0x C

BBkAx 2 &

& ( 7.27 )

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

x( )t .

+

+ ∫

+

-

r(t)

k2

k1

EXEMPLO:

Considerando o sistema descrito por: [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −−

=

x

xx

01 1 0

22 10

y

u& . Projetar um controlador

para que o sistema tenha erro zero para entrada degrau.

Sistemas de Controle 79

SOLUÇÃO:

Sistema aumentado é dado por:

w z z e

z z e

  

  

 +

  

  

  

  

−− =

  

  

1 0 0

220 100 010

2

1

2

1

&

&

&

.

Logo, a matriz de controlabilidade do sistema aumentado, isto é, calculada levando-se em conta as matriz A e B do sistema aumentado é da por:

[ ]   

  

− −==

221 210 100

BAABBU 2 .

Como o posto da matriz de controlabilidade do sistema aumentado é igual à dimensão do sistema aumentado: ρ(U) = n = 3, o sistema é controlável. Logo, é possível alocar seus pólos de maneira que o rastreamento da referência seja assintótico.

Escolhendo os pólos desejados em –10 e -1±j1, temos:

202212)11)(11)(10()( 23 +++=−++++=∆ sssjsjsss

Aplicação da fórmula de Ackermann:

[ ] )( 1...00 1 AUK cq−−= ; com:

   

  

  

  

 =+++=

  

  

 =−

000 000

102020 2212)(

001 012 122

23

1

IAAAA

U

cq

Logo: [ ] [ ] [ ]1020202121121 −−−=== kkkk kK .

De onde concluímos que a lei de controle é dada por:

[ ]∫∫ ∫ −−+−=+== tt t

tdetdekdwtu 00 01

)(1020)(20)()()()( xxk 2 ττττττ

logo:

r x x x

x x x

  

  

− +

  

  

  

  

 −−−=

  

  

1 0 0

001 201222

010

3

2

1

3

2

1

&

&

&

80 Sistemas de Controle

SIMULAÇÃO:

[ ]  

  

 =

 

  

 −

+ 

  

  

  

 + =

  

+

++

1

1

1

1

0

10

n

nn

x y

r x

k x

x C

0x C

BBkAx 2 &

&

Rotina Matlab:

% Programa para Seguidor de Referêcia do tipo Degrau clear all;close all, clc A=[0 1;-2 -2];B=[0 1]';C=[1 0];d=0; % Sistema Original K=[-20 -20 -10]; % Matriz de Ganhos k1=K(1,1);k2=K(1,2:3); Aa=[A+B*k2 B*k1;C 0]; Ba=[zeros(size(B));-1]; % Matrizes aumentadas do Observador Ca=[C 0]; t=0:0.01:10; % Tempo da simulaçao u=0*t+1; % Sinal de entrada (degrau) x0=[0 0]';x0a=[0 0 0]'; % Condiçoes iniciais (nulas) [Y1,X1]= LSIM(A,B,C,d,u,t,x0); % Simula o sistema, sem realimentaçao % para uma entrada e cond. iniciais dadas [Y,X] = LSIM(Aa,Ba,Ca,d,u,t,x0a); % Simula o sistema, com seguidor de referência % para uma entrada e cond. iniciais dadas figure; plot(t,Y1,'r','linewidth',2); set(1,'Position',[232 258 380 280]) title('Saída do Sistema Original'); axis([0 max(t) 0 1.2]) figure; plot(t,Y,'b','linewidth',2); set(2,'Position',[232 258 380 280]) title('Saída do Sistema com Seguidor de Referência'); axis([0 max(t) 0 1.2])

0 2 4 6 8 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Saída do Sistema Original

0 2 4 6 8 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Saída do Sistema com Seguidor de Referência

Princípio do modelo interno para referência do tipo rampa unitária

Sistemas de Controle 81

Considere o sistema:   

= +=

)()( )()()(

tty tutt

Cx BAxx&

Definimos o erro de rastreamento como: )()()( trtyte −= ; com: )()()( ttyte xC &&&&&& == .

Definimos novas variáveis de estado como:   

= =

uw && &&xz

, temos:

we e

e e

  

  

 +

  

  

  

  

 =

  

  

BzA C

z 0 0

00 00

010 &

&

&&

&

( 7.28 )

Se o sistema acima for controlável, então existe zk3++= ekekw 21 & , tal que o sistema aumentado é assintóticamente estável e e(t) → 0 quando t → ∞.

A lei de controle será dada por:

( ) ∫ ∫ ∫ ++=

∫ ∫ ++∫ ∫ == t s t

t st s

tdekddektu

ddtxkekekddwtu

0 0 021

0 0 3210 0

)()()()(

)()()()()(

xk 3ττδττ

δτττδττ &&&

Logo:

( )∫ ∫ ∫ +++=⇒+= t s t tdekddeku 0 0 021 )()()( xkBAxxBAxx 3ττδττ&& ( 7.29 )

Definindo:   

∫∫= ∫=

+

+

δττ ττ

ddetx detx

n

n

)()( )()(

2

1 , temos:   

= −=−==

++

+

)()( )()()()()()(

12

1

txtx trttrtytetx

nn

n

&

& Cx ;

logo:

r x x

kk

x x

n

n

n

n

  

  

 −+

  

  

  

  

 + =

  

  

+

+

+

+

0 1

010 00

2

1

123

2

1

0x C

BBBkAx

&

&

&

( 7.30 )

A x( )t

+

+

u(t) y(t) B C

x( )t .

+

+ ∫

k3

k2

+

+ ∫

+

-

r(t) k1

7.11 Descrição por Variáveis de Estado de Sistemas Discretos no Tempo

A partir de agora serão considerados sistemas discretos no tempo.

82 Sistemas de Controle

Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo descrito em variáveis de

estado:

  

+= +=+

)()()( )()()1(

kukky kukk

DCx HGxx

( 7.31 )

Aplicando transformada Z, temos:

( ) )()0()( )()()0()( zUzzz

zUzzzz HxXGI

HGXxX +=−⇔

⇔+=−

Para condições iniciais nulas (x(0) = 0):

( ) )()( 1 zUzz HGIX −−=

Logo;

( )[ ]

)()()( )()( 1

zUzzY zUzzY

G DHGIC

= +−= − ( 7.32 )

onde:

( )[ ]DHGICG +−= −1)( zz ( 7.33 )

7.11.1 Discretização da Equação de Estado

Considere um sistema linear e invariante no tempo, descrito pela seguinte equação diferencial: )()()( tutAt Bxx +=& . A solução para esta equação diferencial é dada por:

∫ −+= t

AAtAt dut 0

)(ee)0(e)( τττ Bxx

Supondo u(t) constante entre kT e (k + 1)T;

( ) ∫ +

−++ +=+ Tk

TkTk duTk )1(

0

)1()1( )(ee)0(e)1( τττ Bxx AAA ( 7.34 )

e;

( ) ∫ −+= kT

kTkT dukT 0

)(ee)0(e τττ Bxx AAA

Multiplicando-se ambos os lados desta ultima equação por eAT, obtém-se:

Sistemas de Controle 83

( ) ∫ −++ += kT

TkTkT dukT 0

)1()1( )(ee)0(ee τττ Bxx AAAA ( 7.35 )

Agora, subtraindo a equação ( 7.34 ) da equação( 7.35 ), obtém-se:

( )

∫ +

−−

+ −

+=

=+=+

Tk

kT

kTTT

Tk

kT

TT

dkukT

dukTTk

)1( )(

)1(

)(ee)(e

)(ee)(e)1(

ττ

ττ

τ

τ

Bx

Bxx

AAA

AAA

Assim;

( )

( ) ∫

+=+⇔

⇔+=+ −

T T

T tTT

dkTukTTk

dtkTukTTk

0

0

)(e)(e)1(

)(ee)(e)1(

λλ Bxx

Bxx

AA

AAA

Logo:

( ) )kT(u)T()kT()T(T)1k( HxGx +=+ ( 7.36 )

EXEMPLO:

Dado o sistema: u 

  

 +

  

 −

= 1 0

20 10

xx& , com s1=T . Obter a forma discreta:

( ) )()()()()1( kTuTkTTTk HxGx +=+

SOLUÇÃO:

Sabendo que:  

 

 

  

 ==

=

∫∫ BBH

G

AA

A

T t

T t

T

dtdtT

T

00

ee)(

e)( , temos:

( )[ ] ( ) ( )  

 

 −=

   

   

+

+=   

  

  

  

 − −

=−= −

− −

− −−−

T

T T

s

sss s

s s

2

2 1

1 111

e0

e1 2 11

2 10

2 11

20 1

e LLL AIA

e;

84 Sistemas de Controle

( ) ( ) 

 

   

 

  

 − +

= 

  

 

 

 

 

 −= 

  

∫∫ T

T

T

T

TT t

T dtdt

2

2

0 2

2

0 e1 2 1

2 1e

2 1

1 0

e0

e1 2 11e BA

Se s1=T , temos ainda que:

( ) ( )

( ) ( ) )kT(u432,0

284,0 kTx kTx

135,00 432,01

T)1k(x T)1k(x

2

1

2

1  

  

 +

  

  

  

 =

  

 + +

7.12 Solução da Equação de Estado de Sistemas Discretos no Tempo

Considere o seguinte sistema discreto:   

+= +=+

)()()( )()()1(

kukky kukk

DCx HGxx

.

Conhecendo as condições iniciais e a entrada a partir do instante zero, podemos escrever,

∑ −

=

−−+=

+++=+=

++=+=

+=

1

0

1

23

2

)()0()(

)2()1()0()0()2()2()3( )1()0()0()1()1()2(

)0()0()1(

k

j

jkk juk

uuuu uuu

u

HGxGx

HGHHGxGHGxx HGHxGHGxx

HGxx

M

7.13 Estabilidade de Sistemas Discretos no Tempo

Dado:   

+= +=+

)()()( )()()1(

kukky kukk

DCx HGxx

.

Um sistema discreto é estável se todos os autovalores de G estão dentro de círculo

unitário.

7.14 Controlabilidade de Sistemas Discretos no Tempo

O sistema (G,H,C,D) é controlável se o posto da matriz de controlabilidade WC for igual a n.

[ ]HGGHHWC 1−= nK ( 7.37 )

Sistemas de Controle 85

7.15 Observabilidade de Sistemas Discretos no Tempo

O sistema (G,H,C,D) é observável se o posto da matriz de observabilidade WO for igual a n.

   

   

=

GC

CG C

WO 1n

M ( 7.38 )

7.16 Realimentação de Estados de Sistemas Discretos no Tempo

Dado o seguinte sistema na forma discreta:   

+= +=+

)()()( )()()1(

kukky kukk

DCx HGxx

Fazendo-se: )()()( krkku += Kx , tem-se: ( ))()()()1( krkkk ++=+ KxHGxx , logo:

( ) )()()1( krkk HxHKGx ++=+ ( 7.39 )

O problema de controle através da realimentação de estados consiste em projetar K para que (G + HK) tenha pólos desejados.

Assim como no caso contínuo uma das ferramentas disponíveis para a determinação da matriz de ganhos da realimentação, K, é a formula de Ackermann.

[ ] )(100 1 GqWK cC−−= L ( 7.40 )

7.17 Observadores de Estado de Sistemas Discretos no Tempo

A dinâmica do observador de estados é dada por:

( )

  

= +−+=+

)(ˆ)(ˆ )()(ˆ)()(ˆ)1(ˆ

kky kukykykxk

xC HLGx

( 7.41 )

A dinâmica do erro e estimação dos estados é descrita então por:

( )[ ]⇒+−+−+=+ ⇒+−+=+

)()(ˆ)()(ˆ)()()1(ˆ )1(ˆ)1()1(~

kukykykkukk kkk

HLxGHGxx xxx

( )xLCGx ~)1(ˆ −=+k ( 7.42 )

O projeto de observadores de estado consiste em determinar L para que (G – LC) tenha pólos desejados. Dessa forma, utilizando-se a formula de Ackermann, temos:

[ ]T1 100)( L−= OWGL Cq ( 7.43 )

86 Sistemas de Controle

7.18 Seguidor de Referência para Sistemas Discretos no Tempo

Entrada do Tipo Degrau

Dado o sistema:   

= +=+

)()( )()()1(

kxky kukk

C HGxx

e um sinal do tipo: 43421 )(

)()()1()( ke

kykrkvkv −+−= ,

onde: [ ] )1()()()(

)()()1()( )1()1()()1(

++−+−= =+−+++=

=+−++=+

krkukvkx kukxkrkv

kykrkvkv

CHCG HGC

A realimentação de estado para o seguidor de degraus é dada por:

)()()( 12 kvkkkku +−= x ( 7.44 )

logo: [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒++++−−+−−=+

⇒+++−−+−−=+ ⇒++−+−++−=+

⇒+++−=+

)1()()()()()1( )1()()()()1(

)1()()()()()()1( )1()1()1(

121212

111212

12

12

krkkxkkukukkkxkkku krkkvkkukkkxkkku

krkukvkxkkukxkku kvkkxkku

CHHCGG CHHCGG

CHCGHG

( ) ( ) )1()(1)()1( 112122 ++−−+−−=+ krkkukkkxkkkku CHHCGG ( 7.45 )

Daí, temos:

)1( 0

)( )(

1)1( )1(

112122

+ 

  

 +

  

  

  

 −−−−

= 

  

 + +

kr kku

k kkkkkku

k x CHHCGG

HGx

[ ]  

  

 =

)k(u )k(

0)k(y x

C

( 7.46 )

Se os autovalores da matriz dinâmica da equação ( 7.46 ) forem “estáveis”

)()()( quando )1()( ∞− +∞=∞

∞→+= yrvv

kkVkv

Considerando a referência do tipo degrau, e, definindo: )()()( ∞−= xkxkxe e )()()( ∞−= ukukue . Temos:

 

  

  

  

 −−−−

= 

  

 + +

)( )(

1)1( )1(

12122 ku k

kkkkkku k

e

e

e

e x CHHCGG

HGx ( 7.47 )

Definindo [ ]  

  

 −−−−=

)( )(

1)( 12122 ku k

kkkkkkw e

exCHHCGG

Sistemas de Controle 87

Temos: )( 1)(

)( 00)1(

)1( kw

ku kx

ku kx

e

e

e

e  

  

 +

  

  

  

 =

  

 + + 0HG

e )(ˆ)(ˆ)1( kwkk HG +=+ ξξ .

Usando realimentação de estado: )(ˆ)( kkw ξK−= , e calculando o ganho através da fórmula de Ackermmann: [ ] )ˆ(1...00ˆ 1 GqWK cc−= , temos que:

[ ] [ ][ ] 1

12 10ˆ −

 

  

 − =

CHCG HIG

Kkk ( 7.48 )

7.19 Exercícios

1. Dados os seguintes sistemas, determine se eles são estáveis, controláveis e observáveis e obtenha uma função de transferência equivalente (ou, matriz de funções de transferência, se for o caso):

a) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

11 1 1

20 01

y

u&

b) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −−

=

x

xx

01 1 0

22 10

y

u&

c) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

21 0 1

10 11

y

u&

d) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

01 1 1

5,11,2 10

y

u&

e)

[ ]  

  

=

  

  

 +

  

  

−−− =

x

xx

154 1 0 0

6116 100 010

y

u&

f)

[ ]  

  

=

  

  

 +

  

  

− − −

=

x

xx

001 2 6 2

006 1011 016

y

u&

88 Sistemas de Controle

g)

[ ]  

  

=

  

  

 +

  

  

− −

−−− =

x

xx

011 1 0 2

101 110 221

y

u&

h)

  

 

 

  

 =

  

  

 +

  

  

 =

x

xx

010 001

10 01 10

130 020 002

y

u&

2. Considere a função de transferência obtida no item c da questão 1 (FT de ordem 2, sem cancelamento de pólos e zeros):

a) Obtenha uma realização na forma canônica controlável;

b) Verifique se este sistema é observável.

3. Considere a função de transferência obtida no item e da questão 1:

a) Obtenha uma realização na forma canônica observável;

b) Verifique se este sistema é controlável.

4. Para cada sistema, projete um observador de estados, uma realimentação de estados, um seguidor de referência para entrada do tipo degrau e um seguidor de referência para entrada do tipo rampa, usando os pólos fornecidos, respectivamente, para cada caso.

Pólos desejados para o: Sistema Observ. Realim. Seg.Deg. Seg.Ramp

a) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

11 1 1

20 01

y

u&

b) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −−

=

x

xx

01 1 0

22 10

y

u&

Sistemas de Controle 89

c) [ ]

 

=

 

  

 +

  

 −

=

x

xx

01 1 1

5,11,2 10

y

u&

d)

[ ]  

  

=

  

  

 +

  

  

− − −

=

x

xx

001 2 6 2

006 1011 016

y

u&

e)

[ ]  

  

=

  

  

 +

  

  

− −

−−− =

x

xx

011 1 0 2

101 110 221

y

u&

90 Sistemas de Controle

8 Introdução aos Sistemas de Controle Ótimo

O problema de controle, de uma forma geral, consiste em determinar uma lei de controle que faça com que o sistema atenda a certas especificações de desempenho. No caso dos sistemas de controle ótimo, a obtenção de uma lei de controle se dá pela minimização de um funcional de custo.

),,( tfJ ux= ( 8.1 )

Estudaremos os sistemas de controle ótimo quadráticos, mais especificamente, os reguladores lineares quadráticos (LQR – Linear Quadratic Regulator).

8.1 Controle Ótimo Quadrático

No caso do controle ótimo quadrático, temos um sistema dinâmico,

Cxy BuAxx

= +=&

( 8.2 )

com a seguinte lei de controle:

Kxu = ( 8.3 )

onde a matriz de ganhos K, será obtida a partir da minimização de um funcional de custo quadrático, do tipo:

∫= ∞

0 ),( dtLJ ux ( 8.4 )

Portanto, o projeto de reguladores ótimos baseados em índices de desempenho (funcional de custo) quadráticos consiste, simplesmente, na determinação dos elementos da matriz K.

Uma forma típica para o funcional quadrático é:

∫ += ∞

0 )( dtJ TT RuuQxx ( 8.5 )

onde: Q é uma matriz real simétrica positiva semi-definida; e R é uma matriz real simétrica positiva definida.

Existem várias maneiras de resolver o problema do LQR, a mais comumente usada é aquela que se baseia no segundo método de Liapunov. A maior vantagem da aplicação do método de Liapunov é que, exceto em casos muito especiais, a estabilidade fica garantida a priori, ou seja, garante-se encontrar uma matriz de ganhos K que resulte em autovalores estáveis de (A + BK).

A solução do problema de otimização inicia-se pela substituição da lei de controle ( 8.3 ) na equação de estados ( 8.2 );

( )xBKABKxAxx +=+=& ( 8.6 )

Sistemas de Controle 91

e no funcional ( 8.4 ),

( )∫ +=∫ += ∞∞

00 )( dtdtJ TTTTT xRKKQxRKxKxQxx ( 8.7 )

Para mostra que uma função de Liapunov pode, efetivamente, ser usada na solução deste problema, vamos, inicialmente, supor que:

( ) ( )PxxRKKQ TT dt d

−=+ ( 8.8 )

onde P é uma matriz real simétrica positivo definida.

Expandindo a equação ( 8.8 ), temos:

( ) xPxPxxRKKQ && TTT −−=+ ( 8.9 ) Substituindo ( 8.6 ) em ( 8.9 ), temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]xBKAPPBKAxRKKQ xBKAPxPxxBKARKKQ

+++−=+⇒ ⇒+−+−=+

TTT

TTTT

( 8.10 )

Pelo segundo método de Liapunov, sabemos que, para um dado ( )RKKQ T+ , se ( )BKA + for estável, existe uma matriz P, tal que:

( ) ( ) ( )RKKQBKAPPBKA TT +−=+++ ( 8.11 ) A equação ( 8.11 ) é conhecida como Equação Algébrica de Riccati (ARE - Algebraic

Riccati Equation).

O funcional de custo pode ser calculado como:

( ) )0()0()()( 00

PxxPxxPxxxRKKQx TTTTT dtJ +∞∞−=−=∫ += ∞∞

( 8.12 )

Como ( )BKA + é assumida com sendo estável, temos que 0)( →∞x ; logo:

)0()0( Pxx TJ = ( 8.13 )

Assim, o funcional pode ser obtido em termos das condições iniciais x(0) e de P, que, por sua vez, está relacionada com ( )BKA + e ( )RKKQ T+ .

Para obter a solução do problema de controle ótimo quadrático, seguem-se os seguintes passos. Inicialmente, como R é uma matriz real simétrica positivo definida, podemos escrever:

TTR T= ( 8.14 )

onde T é uma matriz não singular.

Substituindo ( 8.14 ) em ( 8.11 ), temos:

92 Sistemas de Controle

( ) ( ) 0=+++++ TKTKQBKAPPBKA TTTTT ( 8.15 ) Reescrevendo ( 8.15 ), podemos obter:

( )[ ] ( )[ ] ( ) 0111 =+−++++ −−− QPBTTPBPBTTKPBTTKPAPA TTTTTTTT ( 8.16 ) A minimização do funcional J com relação a matriz de ganhos K, requer a minimização

de:

( )[ ] ( )[ ]xPBTTKPBTTKx TTTTTT 11 −− ++ ( 8.17 ) A expressão ( 8.17 ), por ser quadrática, é não negativa, logo seu mínimo ocorre quando

ela é nula, ou seja, quando:

( ) ( )

( ) PBTTK PBTTKPBTTK

TT

TTTT

11

11 0 −−

−−

−=⇒ ⇒−=⇒=+ ( 8.18 )

ou simplesmente:

PBRK T1−−= ( 8.19 )

onde P deve satisfazer a equação ( 8.16 ) ou sua versão reduzida, conhecida como Equação de Algébrica de Riccati de matriz reduzida.

01 =+−+ − QPBPBRPAPA TT ( 8.20 )

Resumindo, dados uma sistema dinâmico na forma ( 8.2 ) e um funcional de custo quadrático na forma ( 8.5 ), o projeto de um regulador linear quadrático consiste, basicamente, de dois passos:

1. Encontrar a solução P da Equação Algébrica de Riccati ( 8.20 ); e,

2. Usar esta solução para determinar a matriz de ganhos da realimentação K.

EXEMPLO:

Considere o seguinte sistema; [ ]xy

uxx

01 1 0

10 10

=

 

  

 +

  

 −

=& . Determine a matriz ótima de ganhos

da realimentação para o funcional; ∫ + 

  

 =

0

2 ) 10 01

( dtJ T uxx .

SOLUÇÃO:

O primeiro passo é resolver a equação de Riccate e determinar a matriz P:

Sistemas de Controle 93

[ ][ ]  

  

 =

  

 +

  

  

  

  

  

 −

  

 −

  

 +

  

  

  

 − 00

00 10 01

101 1 0

10 10

11 00

2212

1211

2212

1211

2212

1211

2212

1211

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

 

  

 =

  

 +

  

 −

  

 − −

+ 

  

 −−

⇒ 00 00

10 01

0 000

2 222212

2212 2 12

2212

1211

22121211 ppp ppp

pp pp

pppp

De onde obtemos o seguinte sistema de equações simultâneas:

 

  

 =⇒

 

 

=+−−+−

=−− =−−

=+−

11 12

;

01

0 0

01

2 2222122212

22121211

22121211

2 12

P

ppppp

pppp pppp

p

O segundo, e último, passo consiste em utilizar a matriz P, determinada anteriormente, para calcular a matriz ótima de ganhos da realimentação de estados K:

[ ][ ] [ ]11 11 12

1011 −= 

  

 −=−= − PBRK T

8.2 Controle Ótimo Quadrático Discreto

No caso do controle ótimo quadrático discreto, é possível mostrar que, considerando o controle do processo para um tempo finito, a matriz de ganhos K varia ao longo do tempo, permanecendo constante apenas nos instantes iniciais. Porém, se consideramos que o controle do processo atuará indefinidamente, com o instante final, N, tendendo ao infinito, podemos adotar uma solução sub-ótima, considerando o sistema em regime, onde a matriz de ganhos K é constante.

Neste caso, para N = ∞, temos um sistema dinâmico dado por:

,...,N,, k kkk 210 );()()1( =+=+ HuGxx ( 8.21 )

com a seguinte lei de controle:

)()( kk Kxu = ( 8.22 )

onde a matriz de ganhos K, será obtida a partir da minimização de um funcional de custo quadrático, do tipo:

[ ]∑ += ∞ =0

)()()()( 2 1

k

TT kkkkJ RuuQxx ( 8.23 )

onde: Q é uma matriz real simétrica positiva semi-definida; e R é uma matriz real simétrica positiva definida.

Assim como no caso contínuo, a matriz de ganhos K é definida em função de uma matriz real simétrica positivo definida P. Onde K é dada por:

94 Sistemas de Controle

( ) PGHPHHRK TT 1−+−= ( 8.24 )

Sendo a matriz P a solução de uma equação de Riccati de regime permanente.

( ) PGHPHHRPHGPGGQP TTTT 1−+−+= ( 8.25 )

Equação de Riccati de Regime Permanente

Uma forma de resolver a equação de Riccati de regime permanente é considerar o caso transitório, onde:

( ) GPHHPHRHPGGPGQP )()()()()1( 1 kkkkk TTTT −+−+=+ ( 8.26 )

Partindo de uma solução inicial nula P(0) = 0, damos início a um processo iterativo que deverá convergir para uma matriz P constante. Quando os elementos de P não variarem significativamente (dentro de uma tolerância previamente estabelecida) tomaremos a última matriz P calculada como sendo a solução da equação de Riccati de regime permanente e a usaremos para determinar a matriz de ganhos K.

EXEMPLO:

Considere o seguinte sistema; )( 1 1

)( 4,00

02,0 )1( kkk uxx

  

 +

  

 =+ . Determine a matriz

ótima de ganhos da realimentação, considerando;  

  

 =

5,00 01

Q e R = 1.

SOLUÇÃO:

O primeiro passo é resolver a equação de Riccate e determinar a matriz P. Sendo P(0)=0, temos:

( )  

  

 ==+−+=

5000,00000,0 0000,00000,1

)0()0()0()0()1( 1 QGPHHPHRHPGGPGQP TTTT

( )  

  

 −

− =+−+=

5640,00160,0 0160,00240,1

)1()1()1()1()2( 1 GPHHPHRHPGGPGQP TTTT

( )  

  

 −

− =+−+=

5714,00186,0 0186,00251,1

)2()2()2()2()3( 1 GPHHPHRHPGGPGQP TTTT

 

  

 −

− =

  

 −

− =

  

 −

− =

5724,00189,0 0189,00252,1

)6(; 5724,00189,0 0189,00252,1

)5(; 5723,00189,0 0189,00252,1

)4( PPP

Sistemas de Controle 95

Considerando uma tolerância de 10-4, atingimos uma solução satisfatória na sexta iteração:

 

  

 −

− =

5724,00189,0 0189,00525,1

P

Em seguida, utilizamos a matriz P, determinada anteriormente, para calcular a matriz ótima de ganhos da realimentação de estados K:

( ) [ ]0865,00786,01 −=+−= − PGHPHHRK TT

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