Cáculo Dif. e Integral I - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Cáculo Dif. e Integral I - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo do Cáculo Diferencial e Integral
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Lista de Exerćıcios Complementares - Cálculo Dif. e Integral I - F́ısica.

Questão 1. Seja f uma função e suponha que para todo x tem-se |f(x)| ≤ x2.

a) Calcule, caso exista, lim x→0

f(x). b) f é cont́ınua em 0? Por quê?

Questão 2. Sejam f e g duas funções com mesmo domı́nio A tais que lim x→p

f(x) = 0

e |g(x)| < M para todo x em A, onde M > 0 é um número real fixo. Mostre que

lim x→p

f(x)g(x) = 0.

Questão 3. Calcule lim x→0

x2g(x) onde g(x) =

 +1 se x ∈ Q

−1 se x /∈ Q .

Questão 4. Calcule lim x→0

x2 sin ( 1 x

) sinx

.

Questão 5. Seja f(x) = (x3− 2x− 3)/(x− 3) para x 6= 3. É posśıvel definir f em

x = 3 de modo que f seja cont́ınua nesse ponto?

Questão 6. Dê o valor de A para que a função f abaixo seja cont́ınua em x = 0:

f(x) =

 e

[ ( sin xx −1)

2 cos( 1x)

] se x 6= 0

A se x = 0

.

Questão 7. Determine o valor de A para que exista o lim x→∞

(√ 4x2 + x + 1− Ax

) .

Questão 8. Mostre que a equação x2 − cosx = 0 tem uma solução em [0, π 2 ].

Questão 9. Considere as funções f, g : R→ R definidas por: f(x) = x3 − x + 1 e

g(x) = x3(1 + sin x). Mostre que os gráficos de f(x) e g(x) se interceptam.

Questão 10. Considere o polinômio p(x) = a3x 3+a2x

2+a1x+a0 com a0, a1, a2, a3 ∈

R. Mostre que existe N0 ∈ N tal que se n ∈ N e n > N0, então p(n) > 0 e

p(−n) < 0. Use esse fato para mostrar que p possui pelo menos uma raiz real.

Questão 11. Dê exemplo de uma função f tal que lim x→p |f(x)| existe, mas o lim

x→p f(x)

não existe.

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