Cáculo II - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Cáculo II - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo do Cálculo.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO II

LISTA 2

1. Prove que o conjunto dos valores de aderência da seqüência xn = cos(n) é o intevalo

fechado [−1, 1].

2. Seja (an) uma seqüência não-crescente, com lim an = 0. A série ∑ an converge se, e

somente s, ∑

2na2n converge.

3. Si ∑ an é absolutamente convergente e lim bn = 0, escreve cn = a0bn+a1bn−1+. . .+anb0.

Prove que lim cn = 0.

4. Seja I = (a−δ, a+δ). Dada f : I → R, de classe C∞, suponha que existam constantes

a0, a1, . . . , an, . . . tais que, para todo x ∈ I se tenha f(x) = ∞∑ n=0

an(x− a)n. Prove que

∞∑ n=0

an(x− a)n é a série de Taylor de f em torno de a.

5. Seja f(x) = x5

1 + x6 . Calcule as derivadas de ordem 2001 e 2003 da função f : R→ R

no ponto 0.

6. Seja λ : [a, b] → R2 um caminho fechado diferenciável. Mostre que existe algum t ∈ (a, b) tal que 〈λ(t), λ′(t)〉 = 0.

7. Sejam f : [a, b) → R2 um caminho (admita-se b = +∞) tal que lim t→b |f(t)| = ∞ e

L = {(x, y) ∈ R2; αx + βy = c} uma reta. Ponhamos u = (α, β). Podemos supor |u|2 = α2 + β2. As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) lim t→b

d(f(t), L) = 0;

(ii) lim t→b 〈f(t), u〉 = c e lim

t→b

〈 f(t)

|f(t)| , u

〉 = 0

8. Se f, g : [a, b]→ R2 são de classe C1 então∫ b a

〈f(t), g′(t)〉dt = 〈f, g〉|ba − ∫ b a

〈f ′(t), g(t)〉dt.

9. Considere a seqüência de caminhos fn : [0, 2π] → R2, onde fn(t) = (t, sin(nt)/n). Mostre que fn → f uniformemente, onde f(t) = (t, 0), mas lim

n→∞ l(fn) > l(f).

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