Cáculo II - Teste - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Cáculo II - Teste - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo do Cálculo, teste.
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Instituto de Matemática - UFRJ 1o Teste de Cálculo II - MAA-2012/01

Questão: Para cada n ∈ IN, seja cn = Ln nn + (Ln 2)n−1. (a) (0,6 pontos) Verifique se a sequência {cn} converge ou diverge.

Seja an = Ln n

n e bn = (Ln 2)

n−1. A sequência {an} converge para zero, porque limn→∞ Ln nn = limn→∞ 1/n1 = 0, pela regra de L’Hopital, supondo n ∈ IR e usando propriedade de sequência. A sequência {bn} converge para zero, porque é uma sequência geométrica com razão q = Ln 2 < Ln(e) = 1 (propriedade de sequência apresentada em sala). Então, utilizando propriedade de soma de sequências convergentes, tem-se {cn} conver- gente para zero.

(b) (0,6 pontos) Verifique se a série ∑

n=1 cn converge ou diverge.

A série ∑

n=1 an diverge pelo critério da integral, já que f(x) = Ln x

x é cont́ınua, decres-

cente pois f ′(x) = 1−Ln x x2

< 0, desde que x > e, e positiva, se x ≥ 1 e ∫1 f(x) dx = limM→∞

M 1 f(x), dx = limM→∞

Ln2M 2

= , logo integral imprópria divergente A série

∞ n=1 bn converge, pois é uma série geométrica de razão q = Ln 2, com |q| < 1.

Então, por propriedade de soma de uma série divergente com uma série convergente, temos que

∞ n=1 cn diverge.

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