Cálculo 1 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo 1 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Álgebra Linear, calculos.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Cálculo 1 - 2012/1

1o Exerćıcio Escolar

1 - Calcule os seguintes limites: ( O uso da regra de L’Hôpital não é permitido!)

a) (1.0 pt) lim x→7

( 2−√x− 3

x2 49 )

=

lim x→7

( 2−√x− 3

x2 49 )(

2 +

x− 3 2 +

√ x− 3

) = lim

x→7 7− x

(x2 49) (2 +√x− 3) .

lim x→7

(x− 7) (x− 7) (x + 7) (2 +√x− 3) = limx→7

1 (x + 7) (2 +

√ x− 3) =

1

56 .

b)(1.0 pt) lim x→π

( 1sin(x

2 )

π − x )

.

Faça u ≡ π − x. Então x → π é equivalente a u → 0.

lim x→π

( 1sin(x

2 )

π − x )

= lim u→0

( 1sin(π

2 − u

2 )

u

) = lim

u→0

( 1cos(u

2 )

u

) =

lim u→0

1

2

( 1cos(u

2 )

u 2

) = 0 .

c)(1.0 pt) lim x→64

(√ x− 8

3

x− 4 )

.

Faça x = u6. Neste caso x → 64 é equivalente a u → 2.

lim x→64

(√ x− 8

3

x− 4 )

= lim u→2

( u3 8 u2 4

) = lim

u→2

( (u− 2) (u2 + 2 u + 4)

(u− 2)(u + 2) )

lim u→2

( (u2 + 2 u + 4)

(u + 2)

) = 3 .

2 - Calcule a derivada da função dada:

a)(1.0 pt) y = esin(2 x) ln ( x2 + 2 x

) 3x.

esin(2 x) cos(2 x) 2 ln ( x2 + 2 x

) 3x. + esin(2 x)

2 x + 2

x2 + 2 x 3x. + esin(2 x) ln

( x2 + 2 x

) 3x ln(3) .

1

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b)(1.0 pt) y = x3

3 √

(1 + x sec(x))3 =

1

3

x3

(1 + x sec(x)) 3 2

.

1

3

( 3 x2

√ (1 + x sec(x))3 − x3 3

2

√ (1 + x sec(x)).(sec(x) + x sec(x) tan(x))

(1 + x sec(x))3

) .

c)(1.0 pt) y = cos(x)sin(x 2).

Tomando-se o logaritmo:

ln(y) = sin(x2) ln(cos(x))

Derivando: y′

y = cos(x2) 2 x ln(cos(x))sin(x2) sin(x)

cos(x)

e portanto:

y′ = cos(x)sin(x 2)

( cos(x2) 2 x ln(cos(x))sin(x2) tan(x)) .

3-(2.0 pts) Considere a função

f(x) =

  

x2 se x ≥ 0 ,

−x2 se x < 0 . Usando a definição calcule a derivada desta função no ponto x = 0.

lim h→0+

f(0 + h)− f(0) h

= lim h→0+

h2

h = lim

h→0+ h = 0 .

lim h→0

f(0 + h)− f(0) h

= lim h→0+

−h2 h

= lim h→0+

−h = 0 . Como os dois limites laterais existem e são iguais entre si, segue que

f ′(0) = 0.

4- (2.0 pts) Encontre as equações das retas tangente e normal à curva

y = e(1−x 2)

no pontos onde essa curva intersecta a reta y = 1.

Os pontos de interseção são soluções de

1 = e(1−x 2)

0 = 1− x2 x = ±1

Temos então os pontos P1 = (1, 1) e P2 = (1, 1).

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A derivada da função é dada por

y′(x) = 2 x e(1−x2) , Inclinação da reta tangente em P1 : y

(1) = 2 . Inclinação da reta tangente em P2 : y

(1) = 2 . Reta tangente em P1:

y − 1 = 2(x + 1) . Reta Normal em P1 :

y − 1 = 1 2

(x + 1) .

Reta tangente em P2:

y − 1 = 2(x− 1) . Reta Normal em P1 :

y − 1 = 1 2

(x− 1) .

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