Cálculo A - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo A - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo, lista de exercicios.
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1alista-Cal-2008.2.doc

1

1A LISTA DE EXERCÍCIOS 01. Esboce o gráfico de f, determine )x(f

ax lim ),x(f

ax lim

+→−→ e, caso exista, :)x(f

ax lim

a)  

 

+

− =

,14 , 2 ,23

)( x

x xf

1 11

1

< = >

x ) =(a x

x b)

, x , ,x

)x(f

  

 

− =

1 1

12

1

22 21

< =

≠≥

x ) =(a x

x e x

c) 

  

− −=

, x ,xx

)x(f 2

0 0

< ≥

x x

)a( 0= d) 

 

 + +

= ,0

, |2|

2 )( x

x xf

2 )2- =(a

2

−=

−≠

x

x

02. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista )x(f

xx lim

o→ , sendo:

a)  

 

− =

,x a , ,x

)x(f 5 3

23

1 11

1

−< −=−=

−>

x )x( x

x

o b) 

   −−

= −

, a ,)x)(x(

)x(f 12 24

2 2

= ≠

x x

)x( o 2=

03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique. 04. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R ? R, tal que g é contínua e

g(x) = f(x), para todo x ∈ D(f):

x

x )x(f a)

− −

= 3

92   

− +

= , x ,x

)x(f b) 2

13

2 2

−< −>

x x

05. Calcule os limites a seguir ,

a))yyy( lim y

245

1 123 +−−

−→ b))wlnw(log lim

w

→10 c))x(e lim x

x 43

1 −

d)xcos

xsen lim

/x +→ 12π e)

x x

lim x

− → 2

42

2 f)

1 1

3

1 − −

x x

lim x

g) 18

232 3

2

21 −

−+ → x

xx lim

/x h)

134

2

816 −

−− )x)(x(e lim x

i) 1 1

1 − −

x x

lim x

j)yy

y lim

y ++

− −→ 2

1 2

1 k)

x

x lim

x −−

+− → 51

53 4

l) 4

2 4 −

− → x

x lim

x

m) 8 2

lim 3

8 − −

x x

x n)

1

253 lim

2

3

1 −

−+ → x

x x

06. Determine, se possível, as constantes a, b e c ∈ R, de modo que f seja contínua em x0, sendo:

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÁLCULO A 2008.2

docsity.com

2

a) 

   +

= , b

,bx )x(f

2

2 2

1 1

= ≠

x x

(x0 = 1)b)  

 

+

− =

1

33

2bx ax x

)x(f -3x , -3x , -3x ,

< = >

(x0 = - 3)

07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede:



  

= , e

,xln )x(f a) x 0

0 ≤ >

x x

)x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim xe x- xx0x0x0x x - ∞+→→→→→→→∞−→ + 11

• intervalos onde f é contínua.



  

= , x/ ,)/(

)x(f b) x

1 21

0 0

< >

x x

)x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim x xxxxx x ∞+→−→→→→→∞−→ +− 11000

 

 

= − , x

, 0

,xlog

)x(f c) /

2

21

0 0 0

< = >

x x x

)x(flim, )x(flim, )x(flim, )x(flim xxxx 10 →→+∞→−∞→

• estude a continuidade de f em 0=x .

  

 

+ =

p ,x g x,

,x d) f(x) cot

4

π

π

<< ≤

x x

x 0

0

)x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim xxx/ xxxx x - ∞+→→→→→→→∞−→ ++− πππ 2000

• ponto(s) de descontinuidade de f .

08. Calcule:

a) )xx( lim x

342 25 −+ +∞→

b) )xxx( lim x

524 23 −+− −∞→

c) )e( lim x x

5− −∞→

d) 25 2 ++ −∞→

xx lim x

e ) )x xx( lim x

+− +∞→

32 f) x)(x x

ln lim 2 0

+ +→

g) x/x

lim 121

1

++∞→ h) )xln( lim

x

−→ 2

2 i)

1 11

32

lim

− →

+

x x

π

09. Calcule os seguintes limites:

a) xsen

x lim

x

12

0

+ →

b) 2

0

1

x

x lim

x

− +→

c) 2 2

5 5 32 )x(

x lim

x − +

d) 2 45

2 − −

x x

lim x

e) x

xcos lim

x

3 0→

f) 3 113

lim 3 −

− −→ x

x x

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3

g) 40

32

x

x lim

x

−+ →

10. Calcule os limites a seguir:

a) 23

2

918

2542

xx

xx lim

x

−− +∞→

b) 2 2

412 2

xx xx

senlim x

−+ +∞→

π c) 11231

−−

+∞→

)x(x

x )/(lim π

d) )](lnlnx[lim x x

13 2 +− +∞→

e) )x xx( lim x

+− −∞→

32 f) )] 1( [ lim 2 xxx x

−− +∞→

11. Calcule as constantes de modo que:

a) 5 3

2

3 =

− +−

x baxx

lim x

b) 5 1 3

= 

 

+ +

− +∞→ x

bx ax lim

x

c) 3= +∞→

)x(flim x

e 1 2

= −→

)x(flim x

, sendo )x(x

dcxbxax )x(f

2 24

23

−+

+++ =

d) 61 1 3

1 /

x axb

lim x

= −

−+ →

e) 32 1 82 2

1 /

x b x

lim x

−= +

−+ −→

f)

 

 

>+ =

< −

+−

= 313 3

3 3

92

-x , x -x , bx

-x , x

axx

)x(f seja contínua em x0 = -3

12 Calcule os seguintes limites:

a) x

ax sen lim x 0→

b) 0, com ,

lim 0

≠ →

ba bx

axtg

x c)

20

1

x

xcos lim x

− →

d) xsen

xsentgx lim x 20

− →

e) ππ −→ x xsen

lim x

f) ax

asenxsen lim

ax − −

→ g)

ax acosxcos

lim ax

− →

.

13 Calcule os limites a seguir:

a) )]x/(senxlim x

1 [ 0→

b) ]xsen.elim x x

[ −∞→

c)   

  

 +− −

→ + x e

)xcos(xlim x

x

23

0 4

d)   

  

+ +∞→

)x(lncos x

x lim

x

31

52

7

3 e)

  

  

   

   

+−

−+   

   

+ ++

+∞→ 3

232

22

3 21

1

xx

xx cos.

x xx

senlim x

π

14. Considere a função

  

  

≠≥−

= =−

≠< +−

=

525

510 12

12 232

3

x e x ,x ln x

x , x ,

x e x , xx

xx

)x(f . Justificando, estude a continuidade de f.

15. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f´(x0):

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4

a)   

>− ≤−

= 2,8 2,3

)( xx xx

xf (x0 = 2) b) f(x) = x2 |x| (x0 = 0) c) f(x) = 3 x (x0 = 0)

d) f(x) = 2x3 + 2 (x0 = 2) e) f(x) = xn , n ∈ N* (x0 ∈ R) 16. Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x2 – 1| não é derivável. Justifique sua resposta. 17. Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico:

a) b)

(-2,3) (1,3)

(5,-2)

(7,3)

0

0

(-2,4)

(-5,0)

(2,4)

D(f) = [–2, + 8 ) D(f) = R

obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x2

18. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo 

  

>

≤+ =

− 1

1 1

2

x , x

x ,bax )x(f .

19. Determine as derivadas das funções a seguir:

a) y = 2x4 3x2 + x 3 b) 3

122 )z( x

−= c) y

yy y

w 3

2 4 3 3 2 +

 

 +=

d) 7 5

− +=

t t

u e) πln.x x

y 3 3 16 5

+ −

− = f) )x(xy // 12 3132 −=

g) )1(2 3 ++= xxy x 20. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: a) y = (–2/5)senx + 9secx b) y = x senx + cosx c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx

d) tsec

t tg )t(g

1−= e) xcosxsen xcosxsen

)x(g − += f)

senx e

y x

=

21. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0:

a) f(x) = 2x3 + 3x –1; x0 = 1 b) f(x) = tg x; x0 = p/4 c) f(x) = cossec x; x0 = p/2

22. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 – 4x nos quais a reta tangente é:

a) horizontal b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0 23. Em que ponto da curva y = 2 + x2 a reta tangente tem ângulo de inclinação p/3 ?

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5

24. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x , no qual a reta tangente é paralela à:

a) 1ª bissetriz b) 2ª bissetriz

25. Seja f(x) = b – (x2/16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e

N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f . 26. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3.

27. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x3. Ilustre a

interseção construindo o gráfico.

( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x3) 28. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x2 e de g(x) = x2 + (1/2).

29. Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e )( ))((

)( 3

xg xxh

xf = , g(x) ? 0

RESPOSTAS DA 1a LISTA

01)

1

1

2

5a)

0

1

2

3

b)

)x(flim ,)x(flim,)x(flim xxx 111

15 →→→

∃/== +−

3 222

=== →→→ +−

)x(flim)x(flim)x(flim xxx

0 1

c)

-2

1

-1

d)

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6

0 000

=== →→→ +−

)x(flim)x(flim)x(flim xxx

)x(flim ,)x(flim,)x(flim xxx 222

11 →→→

∃/=−= +−

02. a) -10; b) )x(flim

x 2→ existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer.

03. a) Não é contínua em x = 1 pois não existe )x(flim x 1→

;

b) Não é contínua em x = 2 pois );(f)x(flim x

2 2

≠ →

c) É contínua em zero pois .)(f)x(flim x

00 0

== →

d) Não é contínua em x = -2 pois não existe )(lim 2

xf x −→

;

04. a) D(f) = R – {3} e 

  

=

≠ − −

= 3x ,6-

3x , x

x )x(g 3

92 ;

b) D(f) = R – {–2}, e não é possível definir g(–2), tal que g seja contínua, pois não existe (x) flim x

2- →

;

05. a) 10 b) 1- ln10 c) -3e d) 1 e) 4

f) não existe pois 3 1 13

1

−= − −

−→ x x

lim x

e 3 1 13

1

+= − −

+→ x x

lim x

g) 5/6; h) e8/3;

i) 1/2; j) 4/3; k) -1/3; l) 0;

06. a) b = -1 ou b = 2; b) a = 4 e b = -13/9 07)

a) b)

1

0, 1, -∞, não existe, 0, 1/e, 1,

+∞, (-∞,0), (0,+∞)

0, -∞, 1, não existe, 1/2, -1, 0

c) d)

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7

π

(π,2π)

0, -∞, +∞, 0, não é contínua em zero

porque )(f)x(flim x

0 0

≠ →

+∞, 0, +∞, não existe, 0, -∞, 2π, +∞;

x = 0 e x = π

08. a), d), e) +8 b), f), h) – 8 c) 0 g) 1/2 i) p/2

09. a) Não existe pois −∞=+ −→ xsen

x lim

x

12

0

e +∞=+ +→ xsen

x lim

x

12

0

b) – 8 c) + 8

d) + 8 e) Não existe pois −∞= −→ x

xcos lim

x

3

0

e +∞= +→ x

x

x

3cos lim

0

f) Não existe, pois −∞= − −

−−→ 3 113

lim 3 x

x

x e +∞=

− −

+−→ 3 113

lim 3 x

x

x g) – 8

10. a),c) 0; b) 22 / ; d) – 8 e) 3/2 f) – ½

11. a) a = 1, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24

d) a = 4/3, b = 2/3; e) b = 6; f) a = 10, b = 8/3.

12.a) a b) a/b c) 1/2 d) 0 e) –1 f ) cos a g ) – sen a.

13.) , b) , d) , e) zero; c) +∞ .

14. f é contínua { }; , IRx 52−∈∀

15. a) não existe; b) zero; c) não existe; d) 24; e) 1−nonx

16. f não é derivável em –1 e em +1

17.

a) b)

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8

1 5

(5,5/2)3

-3/2 (5,-5/4)

-2

- 2

4/3

-4

2

4

4

18. a = -1/2, b = 3/2

19. a) y´ = 8x3 – 6x +1; b) 34 /'x = ; c) 3

3 2 2

2

3 3

10 4

3

y y

y 'w −

 

 +−= ;

d) 27

12

)t( 'u

− −= ; e) πlnx

)x(

x 'y 2

23

2 3

16

90 +

− = ; f) ( )33

2 2

x 'y −= ;

g) )13(2)1(2ln2 23 ++++=′ xxxy xx

20. a) = - (2/5) cosx + 9 secx tg b) y´= x cosx; c) f´(x) = 2 cos2x + 8 secx (2tg2x + 1);

d) g´(t) = (1 + tgt)cost e) g´(x) = – 2(senx – cosx)- 2 f) xsen

xsenxe y

x

2 )cos( −

=′

21. a) t: 9x y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0; b) t: )x(y:n e )x(y 42

1 1

4 21

ππ −−=−−=− ;

c) t: y = 1 e n: x = π/2.

22. a) x = -2, x = 2/3; b) x = 0, x = -4/3

23. ( )4/11,2/3

24. a) não existe b) (1,1), (-1,-1);

25. b = –11

26. t: y = 2x - (25/4)

27. t: y = 3x + 2

28. t1: y = x + 1/4, t2: y = -x + 1/4

29. )(

)()(' )(

)]()(')[(3 )(' 2

3322

xg

xhxxg xg

xhxxhxhx xf

+ =

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