Cálculo A Lista 2- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo A Lista 2- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo, lista de exercicios.
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Microsoft Word - 2a__lista-CálculoA-2009[1].doc

1

2A LISTA DE EXERCÍCIOS

1a Questão: . Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: a) f(u) = u2, u(x) = x3 – 4 , (f o u)′(x) e (f o u)′ (1) ;

b) y = u sen(u), u = x2, ( )π=⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝

oxdx dy e

dx dy ;

c) x

x+ , u (x)=uf(u) 1

1 2

3 2

+ = , (f o u)′ (x) e (f o u)′ (1);

d) , f '(x)x f(x) += 1 e f ′(4);

e) ), 5

(cos)3 5

(.)( 2 xxsenxxf +++= ππ f ′(x) e f ′(0);

f) tttf 33 22)( −+= , f ′(t) e f ′(0) ;

g) , 1 1 ln)( ⎟

⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

− +

= senx senxxf f ′(x) e ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ π′

3 4f ;

h) , )( xx

xx

ee

eexf

+

− = f ′(x) e f ′(0);

i) , 3 ln)( ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +−= xexxtgxf f ′(x) e f ′(0);

2a Questão: Encontre a expressão da segunda derivada das funções dos seguintes itens da primeira questão e o seu valor nos pontos indicados:

a) No ponto de abscissa x0 = 1, no item a)

b) No ponto de abscissa x0 = π , no item b)

c) No ponto de abscissa x0 = 0, no item g)

d) No ponto de abscissa x0 = 0, no item h)

3a Questão: Para cada um dos itens a seguir determinar: a) f ′(3), sendo f(5 + 2x) + f(2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2;

b) f ′(0), sendo ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡−∈−+−=−

2 ,

2 , 3)3()

2 3( ππππ xxxfsenxf ;

c) (g o f o h)′ (2) , sabendo que f(0) = 1, h(2) = 0, g ′(1) = 5, f ′(0) = h′(2) = 2;

d) a função g sabendo que ( f o g)′ (x) = 24x + 34, f(x) = 3x2 + x – 1 e g ′(x) = 2.

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÁLCULO A - 2009.1

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2

4a Questão:Determine a expressão de ( ) ( )( )xff ′−1 , lembrando-se que ( ) ( )( ) )(

11 xf

xff

= ′− :

a) f(x) = x2 + 4x – 2; x ≥ 1;

b) ; 2 23)( + −

= x xxf x≠ -2;

c) f(x) = 3 + cos(2x), 0 < x < π/2;

d) f(x) = sen(lnx), ; 2/2/ ππ exe <<−

e) f(x) = x + ex .

5a Questão: Calcule ),()'( 1 af − a partir das expressões calculadas na questão anterior.

a) a = f(2)

b) a = f(6)

c) a = 3

d) 2 2

=a

e) a = f(0)

6a Questão:Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = arctg(2x + 1)

b) f(x) = 1 – arcsen(2x3)

c) )( 2

3)( xarctgxxf +=

d) f(x) = ln(arccos(x3 + 1)

e) )]xarccotg([log)( 3=xf

f) f(x) = 2

)3( xπ+

7a Questão:. Determinar a derivada da função g sabendo que g é a inversa da função f, isto é, g = f --1 .

a) )(1)(' 2 xfxf −= ;

b) f 2(x) + 2f(x) = 5x;

c) ln(f 2(x)) + 2f(x) =x, para f(x) ≠ 0 e f(x) ≠ 1.

8a Questão:. Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:

a) )3P(1, ponto no , ,422 dx dy

yx =+ , e dy dx , no ponto Q( 3 ,1);

b) y4 + 3y – 4x2 = 5x +1 , dx dy

no ponto P(0, -1);

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3

c) y – x – 4 1 sen(y) = 0, ,

dx dy

no ponto de ordenada 2 π ;

d) ey + xy = e, y′, no ponto de ordenada 1;

e) xy2 + y3 = 2x – 2y + 2, y, no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor.

9a Questão: Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados das letras a, c e d da questão anterior.

10a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:

a) y = arctg2 (x), no ponto de abscissa 3 ;

b) y = x4 – 8x3 + 24x2 – 8x, nos pontos em que 0 dx

yd

2

2 = ;

c) =− 3 xy 1 + x, no ponto de abscissa x0 = 1;

d) 6x2 + 13y2 = 19, nos pontos onde a normal é paralela à reta 26x – 12y – 7 = 0;

e) de 1−f no ponto P(5,2), sabendo que f(x) = x3 – x2 + 1, 3 2> x ;

f) de 1−f no ponto P(1,3) sabendo-se que y = f(x) está definida implicitamente por xy2 + y3 = 2x – 2y.

11a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L´Hospital:

a) x

xx

x

32 lim 0

→ b)

x x

x − π

→ 2 ) sen( lim

2 c)

2/ lim π→x

(secx – tgx) d) ( )[ ] 1 3 lim /1

x

x ex

∞+→

e) ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

− −

→ 1 1

ln 1 lim

1 xxx f) ( )x

x x ln/1

0 lim +→

g) ( ) ) 2 (.1 lim

1

xtgx x

π −

→ h)

+→0 lim

x (x lnx)

i) ( ) x x

tgx 2sen 2/

lim −π→

j) ( ) x x

x /2 0

sen1lim + +→

l) x

x x ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

+∞→

11 lim m) ( ) ( )xarctg

x x /1

/1sen lim +∞→

n) ( ) )(

21ln lim 2/1 xtg

x x π

− −→

o) ( )x xex

x + −+

→ 1ln 1sen lim

0 p)

xx x

x ++

++ −→ 2

121 lim 3

1 q) ( ) xx

x xe

/2 lim + +∞→

12a Questão: Se 9 1 1lim =⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ − +

+∞→

x

x ax ax

, determinar a.

13a Questão: Sabe-se que f é definida e contínua em R, g é definida e contínua em R-{-2,4},e que os gráficos a seguir representam, respectivamente, as derivadas de f e g.

Determine, para as funções f e g,

a) as abscissas dos pontos críticos;

b) as abscissas dos pontos de máximo e de mínimo;

c) os intervalos de crescimento e decrescimento;

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4

d) os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde a concavidade é voltada para baixo;

e) as abscissas dos pontos de inflexão;

g) esboce o gráfico da função g no intervalo [-1 ,3], considerando g (-1) = 0, g (0) = 2, g (1) = a, para um a conveniente,

g (3/2) = 3, g (2) = 2 e g (3) = 6.

Gráfico de f’ −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráfico de g

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

14a Questão: Use o teorema de Rolle para provar que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f existe pelo menos uma raiz de f ’.

15a Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:

a) 0; )( 2 ≠= − aexaxf x tenha um máximo em x =

2 1 ;

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5

b) ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ +=

x axxf )( , x > 0, tenha um mínimo em x = 1;

c) f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenha pontos críticos em x = 2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o de mínimo?

d) f(x) = ax2 + bx + c tenha um máximo relativo no ponto P (1, 7) e o gráfico de y = f(x) passe pelo ponto Q (2,-2);

e) f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenha um extremo em x = 4 e o gráfico de f tem um ponto de inflexão em x = 1;

f) f(x) = ax3 + bx2 + cx tenha um ponto de inflexão P (1, 2) e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja

2.

16a Questão: Determine os extremos absolutos das funções:

a) y = lnx – x, 2exe ≤≤ ; (e ≅ 2,718281)

b) y = 2sen(x) + cos(2x), π≤|| x |

17a Questão: Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.

a) f(x) = 10 + 12x – 3x2 – 2x3 b) 1

2)( 2 + =

x xxf c) 2

2 34)( x

xxxf +−= d) 1

)( 2 3

− =

x xxf

e) 2)1( )(

+ =

x xxf f)

2 )( xexf −= g)

x exf

x =)( h) )1( ln)( 2 += xxf

i) x

xxf ln2

)( = j) 52)( 2 ++= xxxf k) 3 22 )1()( −= xxf l) 3 2

)2(1)( −+= xxf

m) 29)( xxxf −= n) )4( )( 3 2 xxxf +=

18a Questão:. PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS a) Prove que se o produto de dois números positivos é constante, a soma é mínima quando os dois

números são iguais.

b) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior possível.

c) Uma reta variável passando por P (1,2) intersecta o eixo Ox em A (a,0) e o eixo Oy em B (0,b). Determine o triângulo OAB de área mínima para a e b positivos.

d) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo.

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6

e) Dentre os retângulos com base no eixo Ox e vértices superiores sobre a parábola 212 xy −= , determine o de área máxima.

f) Considere uma barraca na forma de um cone. Encontre a razão entre a medida do raio e a medida da altura para que uma tal barraca de volume dado V exija a menor quantidade de material . (Não considere o piso da barraca).

g) Um caixa com fundo quadrado e sem tampa deve ser forrada com couro. Quais devem ser as dimensões da caixa que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua capacidade é 32 litros?

h) Um cartaz deve conter 50cm2 de matéria impressa com duas margens de 4cm em cima e embaixo e duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima.

i) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz-se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima ?

j) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma certa área A, qual o comprimento da menor cerca necessária?

k) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo.

l) Um cocho de fundo plano e lados igualmente inclinados deve ser construído dobrando-se um pedaço comprido de metal com largura a. Se os lados e o fundo têm largura a/3, qual a inclinação dos lados que fornecerá a maior seção reta?

m) Uma ilha situada a 20km de uma costa relativamente reta deve organizar um serviço de barcas para uma cidade que dista 50km, contados como na figura abaixo. Se a barca tem uma velocidade de 15km/h e os carros têm uma velocidade média de 45km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas, ao longo da costa, a fim de tornar a viagem mais rápida possível?

n) Desejamos fazer uma caixa retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de largura e 15cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caixa de volume máximo.

o) Considere dois pontos A e B, diametralmente opostos, situados na margem de um lago circular. Um homem vai do ponto A a um ponto C, também situado na margem do lago entre os pontos A e B,

aa

b b b

Ilha

50 km Cidade

20 km

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7

nadando em linha reta com a velocidade de 5/3 m/s. Do ponto C até o ponto B ele vai correndo pela margem, com a velocidade de 10/3 m/s. Determine o ângulo θ , igual ao ângulo BÂC, que corresponde

ao menor tempo de percurso, considerando o círculo de raio r constante, ] 2

,0[ πθ ∈ , e sabendo que o

comprimento do arco CB é igual a AB .θ .

p) Qual o triângulo isósceles de maior área que se pode inscrever num círculo dado?

19a Questão: Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:

a) f(x) = 2/xe ; c = 0 2 1; n = 5

b) f(x) = ln(1-x); c = 0 e c = ½; n = 4

c) f(x) = cos 2x; c = 0 e π /2; n = 6

20a Questão: Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto da forma de Lagrange, das seguintes funções:

a) y = tg x; n = 3 e c = π

b) y = x ; n = 3 e c = 1

c) y = 2xe− ; n = 4 e c = 0

21a Questão: Usando o resultado encontrado no exercício 19b),com c = 0, determine um valor aproximado para ln 0,5. Fazer uma estimativa para o erro.

22a Questão: Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cosx no ponto c = π . Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para cos(5 6/π ). Fazer uma estimativa do erro.

23a Questão: Determine os máximos e mínimos das seguintes funções:

a) f(x) = (x – 4)10

b) f(x) = 4(x + 2)7

c) f(x) = x6 – 2x4

d) f(x) = x5 - 3

125 x3

RESPOSTAS

1a Questão a) (f o u)′ (x) = 6x2(x3 – 4) (f o u)′ (1) = 18−

b) dx dy = 2x(sen(x2) + x2 cos(x2)) ,

( )π= ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

oxdx dy

= ππ− 2

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8

c) 22

2 3

2

)1( 21.

1 1

3 2)()(

+

−− + +

=′ x

xx x

xxuf o , (f o u)′ (1) = 3 1 −

d) xxx

xf +

=′ 4

1)( , 24

3)4( =′f

e) )2 5

2sen()3 5

cos(.3)3 5

sen()( xxxxxf +π−+π++π=′ , ) 5

2sen() 5

sen()0( π−π=′f

f) )22).(2ln(3)( 33 tttf −−=′ , f ′ (0) = 0

g) f ′ (x) = sec x , 2) 3

4( −=′ πf

h) 2)(

4)( xx ee

xf −+

=′ , f ′ (0) = 1

i) )].(2sec[cos).13.(2)( 32 xx exxexxf +−+−=′ , f ′ (0) = 0

2a Questão: a) (f o u)′ ′ (x) = 30x4 – 48x , (f o u)′ ′ (1) = - 18

b) )xcos(x10)x21)(xsen(.2 dx

yd 2242 2

2 +−= , π

π

10 )(

2

2

0

−= ⎟ ⎟

⎜ ⎜

=xdx

yd

c) (f )′ ′ (x) = secx tgx

d) 3)(

).(8 )(

xx

xx

ee

ee xf

+

− −=′′ , (f )′ ′ (0) = 0

3a Questão:

a) f ′ (3) = 2; b) 5 6)0( −=′f ; c) (g o f o h)′ (2) = 20; d)

3 82)( += xxg

4a Questão:

a) 42

1))(()( 1 +

=′− x

xff ; b) 8

)2())(()( 2

1 +=′− xxff ; c) )2sec(cos.

2 1))(()( 1 xxff −=′−

d) )cos(ln

))(()( 1 x

xxff =′− ; e) xe

xff +

=′−

1

1))(()( 1 ;

5a Questão:

a) 1/8; b) 8; c) -1/2; d) ( )4/2 πe ; e) ½;

6a Questão:

a) 122

1)( 2 ++

=′ xx

xf

b) 6

2

41

6)( x

xxf

−=′

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9

c) 4

)arctan(

1

3).3ln(.2 1)(

2

x

x xf

x

+ +=′

d) )1arccos(.)1(1

3)( 323

2

++− −=′

xx

xxf

e) )(arccotg).1.().3ln(.2

1)( xxx

xf +

−=′

f) (f )′ (x) = 2

)3( xπ+ [ 2x ln(3 + π ))]

7a Questão:

a) 21

1)( x

xg

=′ ; b) 5

)1(2 )(

+ =′

x xg ; c)

x x

xg )1.(2

)( +

=′

8a Questão:

a) y xy −=′

3 3

−=′py

x yx −=′ 3−=′qx

b) 34

58 3 +

+ =

y

x dx dy

5−=′py

c) y

y cos4 4 −

=′ 1=′py

d) xe

yy y +

−=′ e

y p 1 −=′

e) 232

2 2

2

++

− =′

yxy

y y

7 1 =′py

9a Questão:

a) 3

22

y

xyy +−=′′ 9

34 −=′′py

b) 3)cos4(

)(16

y

ysen y

− −=′′

4 1 −=′′py

c) 3

2

)(

22

xe

yexyyey y

yy

+

−+ =′′

2 1

e y p =′′

10a Questão

a) Reta Tangente: )3( 69

2 −=− xy ππ Reta Normal: )3(6

9

2 −

π −=

π − xy

b) Reta Tangente: y – 32 = 24(x – 2) Reta Normal: )2( 24 132 −−=− xy

c) Reta Tangente: y – 9 = 8(x – 1) Reta Normal: )1( 8 19 −−=− xy

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10

−1 1 2 3

−1

1

2

3

4

5

6

3/2

d) Para x = 1, reta tangente )1( 13 61 −−=− xy Reta Normal: )1(

6 131 −=− xy

Para x = 1, Reta Tangente: )1( 13 61 +−=+ xy Reta Normal: )1(

6 131 +=+ xy

e) Reta Tangente: )5( 8 12 −=− xy Reta Normal: y – 2 = – 8(x – 5)

f) Reta Tangente: y – 3 = 11(x – 1) Reta Normal: )1( 11 13 −−=− xy

11a Questão:

a) ) 3 2ln( b) π− c) 0 d) 3− e)

2 1 f) e

g) π 2 h) 0 i) 1 j) e2 l) e m) 1

n) 0 o) 2 p) 9 4

q) e2

12a Questão: 3ln

1

13aQuestão: Para f : a) -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6 b) xmax = 2 e 6; xmin = -1 e 4

c) crescente em [-1, 1] ; [1, 2] ; [4, 6]; decrescente em ]-∞ , -1]; [2, 4]; [6,+∞ [

d) concavidade para cima em ]- ∞, , -2[ ; ]0, 1[ ; ]3, 5[; concavidade para baixo em ]-2,-1 [; ]-1,0[; ]1, 3[;

]5, +∞[

e) -2, 0, 1, 3, 5

Para g: a) -5, -3, -1, 0, 1, 2 b) x max = 1, x min = -1, x min = 2

c) crescente em ]- ∞, -2[ ; [-1, 1] ; [2, 4[; decrescente em ]-2, -1] ; [1, 2] ; ]4, +∞[.

d) concavidade para cima em ]-5, -4[ ; ]-3,-2[ ; ]-2, 0[ ; ]3/2, 3[;

concavidade para baixo em ]-∞ ,-5[ ; ]-4, -3[ ; ]0, 3/2[ ; ]3, 4[ ; ]4, +∞[.

e) -5, -4, -3, 0, 3/2, 3

f) gráfico da g em [-1, 3]:

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11

15aQuestão: a) a∈ R*+ b) a =1

c) a = -3/2, b= -18 e c ∈ R, x max = -2, x min = 3; d) a = -9, b = 18, c=-2 e) a = -3, b = -24, c∈ R;

f) a = 4, b = -12, c = 10.

16aQuestão: .a) máx. (1-e) em x = e; mín. (2-e2 ) em x = e2

b) máx. ( 1,5) em x = π/6 e x = 5π/6; mín. (-3) em x = - π/2

17aQuestão: a) D(f)=IR; interseção com Oy: P(0, 10); não tem assíntotas; crescente em [-2, 1]; decrescente em ]-∞ , -2]

e em [1, +∞ [; máx. em Q(1, 17); mín. em R(-2, -10); concavidade para cima em ]-∞ , -1/2[;

concavidade para baixo em ]-1/2, +∞ [; ponto de inflexão M(-1/2, 7/2).

b) IRfD =)( ; intersecta os eixos na origem; assíntota: y = 0; interseção com a assíntota em (0,0); crescente em [-1, 1]; decrescente em (-∞ , -1] e em [1,+∞ ); máx. em ( )1 ,1Q ; mín. em ( )1 ,1 −−P ; concavidade para baixo em [3,] −∞− e em [3,0] ; concavidade para cima em [0,3]− e em [,3] +∞ ; pontos de inflexão: )23,3( −−M , ( )0 ,0O e ( )2/3,3N .

c) D(f)=IR*; interseção com Ox: P(1,0) e Q(3,0); assíntotas:x = 0 e y = 1; interseção com a assíntota

horizontal: R(3/4,1); f é crescente em ]-∞ ,0[ e em [3/2,+∞ [ e f é decrescente em ]0,3/2]; xmín=3/2 e

ymín= -1/3, não tem máximo; concavidade para cima em ]-∞ ,0[ e em ]0,9/4[ e concavidade para baixo

em ]9/4,+ ∞ [; ponto de inflexão S(9/4, -5/27).

d) { }1)( ±−= IRfD ; interseção com os eixos na origem; assíntotas: x = -1, x = 1 e y = x; tem interseção

com a assíntota y = x na origem, O(0,0); crescente se ]3,] −∞− e em [,3[ +∞ ; decrescente

]3,1][;1,1]];1,3[ −−− ; máx. em ( )2/33 ,3 −−P ; mín. em ( )2/33 ,3Q ; concavidade para baixo em ]-∞ , -1[ e em ]0, 1[; concavidade para cima em ]-1,0[ e em ]1,+∞ [; ponto de inflexão O(0,0).

e) D(f)=IR-{-1}; interseção com os eixos: O(0,0); assíntotas: x = -1 e y = 0; interseção com as assíntotas:

O(0,0); f é crescente em ]-1,1] e decrescente em ]-∞ ,-1[ e em [1,+ ∞ [; máx em R(1, ¼), não tem

mínimo; concavidade para cima em ]2,+ ∞ [ e concavidade para baixo em ]-∞ ,-1[ e em ]-1,2[; ponto

de inflexão: P(2,2/9).

f ) D(f)=IR; interseção com Oy: N(0, 1); asssíntota: y = 0; não tem interseção com a assíntota; crescente

em ]-∞ ,0]; decrescente em [0, +∞ [; máx. em N(0, 1); não tem mín.; concavidade para cima em

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12

[2/2,] −∞− e em [,2/2] +∞ ; concavidade para baixo se [2/2,2/2]− ; pontos de inflexão

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −− 2/1 ,2/2 eP e ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ − 2/1 ,2/2 eQ .

g) { }0)( −= IRfD ; não tem interseção com os eixos; assíntotas: x = 0 e y = 0: não tem interseção com as assíntotas; crescente em [1, +∞ [; decrescente em ]-∞ , 0[ e em ]0, 1]; mín. em P e( , )1 ; não tem máx.;

concavidade para cima em ]0, +∞ [; concavidade para baixo em ]-∞ , 0[ ; não tem ponto de inflexão.

h) IRfD =)( ; interseção com os eixos na origem; não tem assíntotas; crescente em [0,+ ∞ [; decrescente

em ]-∞ , 0]; mín. em M(0, 0); não tem máx.; concavidade para cima em ]-1,1[; concavidade para baixo

em ] [1,−∞ e em ]1,+∞ [; ponto de inflexão em )2ln ,1(P e )2ln ,1(−Q .

i) )+,1()1 ,0()( ∞∪=fD ; não tem interseção com os eixos; assíntota: x = 1; não tem interseção com a

assíntota; crescente em [e, +∞); decrescente em (0, 1) e em (1, e]; mín. em N(e, e/2); não tem máx.; concavidade para cima em (1, e2); concavidade para baixo em (0, 1) e em (e2, +∞ ); ponto de

inflexão em M(e2, e2/4).

j) D(f)=IR; interseção com Oy: P(0, 5 ); assíntotas: xy = +1 e 1−−= xy ; não tem interseção com as

assíntotas; crescente em [ )+∞− ,1 ; decrescente em (-∞ , -1]; mín. em Q(-1, 2); não tem ponto de máx.; concavidade para cima em IR; não tem ponto de inflexão.

k) IRfD =)( ; interseção com Oy: ( )1 ,0R ; interseção com Ox em )0 ,1( e )0 ,1( NM − ; não tem assíntotas; crescente em ),1[ em e ]0,1[ +∞− ; decrescente em ]1,0[ em e ]1,( −−∞ ; máx. em R(0, 1); mín. em M(-1, 0)

e N(1, 0); concavidade para cima em (-∞ , - 3 ) e em ( 3 , +∞ ); concavidade para baixo em

(- 3 , -1), (-1, 1) e em (1, 3 ); pontos de inflexão ( ) ( )33 4 ,3Q e 4 ,3−P .

l) IRfD =)( ; interseção com Oy: ( )3 41 ,0 +S ; não tem assíntotas; crescente em [2, +∞ [; decrescente em ]-∞ , 2[; mín. em )1 ,2(Q ; não tem máx.; concavidade para baixo em ]-∞ , 2[ e em ]2, +∞ [; não tem

ponto de inflexão.

m) [ ]3,3)( −=fD ; interseção com eixos em 0) ,0(O , 0) ,3(P , )0 ,3(−Q ; não tem assíntotas; crescente em

]2/23,2/23[− ; decrescente em ]2/23 , 3[ −− e em ]3 , 2/23[ ; máx. em ( )29,223R ; min em

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13

( )29,223 −−P concavidade para cima em ]-3, 0[; concavidade para baixo em ]0, 3[; ponto de inflexão O(0, 0).

n) 3 3

85)(' x

xxf += e 3 4 9

)45( 2)('' x

xxf −= ; D ( f ) = IR; interseções com o eixo Ox: P(- 4, 0) e O( 0, 0);

interseção com eixo Oy: O( 0, 0 ); não tem assíntotas; f é crescente nos intervalos ]5/8,] ∞− e [0, [+∞ ;

f é decrescente no intervalo [- 8/5, 0] ; o gráfico de f tem máximo no ponto ) 25 64

5 12 ,

5 8 ( 3−Q , onde a

reta tangente é horizontal ( )5/8(' −f = 0); o gráfico de f tem mínimo no ponto O( 0, 0 ), onde a reta

tangente é vertical; o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo no intervalo [5/4,] ∞− ; o gráfico

de f tem concavidade voltada para cima no intervalo [,5/4] +∞ ; ponto de inflexão ) 25 16

5 24 ,

5 4 ( 3R .

GRÁFICOS DA 17ª QUESTÃO

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

16

−12

−8

−4

4

8

12

16a)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

3

−2

−1

1

2 b)

−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12

x

y

c)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

y

d)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

y

e)

−2 −1 1 2

2

−1

1

2 f)

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14

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7g)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

2

−1

1

2

3

4h)

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

i)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

y

j)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1

1

2

3

4

5

6

k)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

2

−1

1

2

3

4

5 l)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

x

y

n)

18aQuestão: b) área = L2/16 c) base = 2, altura = 4; d) raio = H 3/2 , altura = H 3/ e) base = 4, altura = 8

f) r / h = 2/2 ; g) 4 × 4 × 2 dm3 h) 9 × 18

i) área mínima se raio = L ( ) 182 −+π , lado do quadrado = L(4 + π ) -1;

j) A34 ; k) base: 5x5cm2 e altura: 5cm.

m)

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15

l) θ = π /3 rd m) 50 Km

n) 5/3cm, 14/3cm, 35/3cm

o) rd 2 πθ = , isto é, o homem deve apenas caminhar sobre a margem.

p) lado = R 3 , altura 3R/2 (triângulo eqüilátero)

19aQuestão:

a) c = 0, P5(x) = 55 4

4 3

3 2

2 2!5 1

2!4 1

2!3 1

2!2 1

2 11 xxxxx +++++

c = 1, P5(x) = ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −+−+−+−+−+ 55

4 4

3 3

2 2

2/1 )1( 2!5 1)1(

2!4 1)1(

2!3 1)1(

2!2 1)1(

2 11 xxxxxe

b) c = 0, P4(x) = 432 !4 6

!3 2

!2 1 xxxx −−−−

c = 2 1

, P4(x) = 453422

2 1

!4 2.3

2 1

!3 2

2 1

!2 2

2 122ln ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−− xxxx

c) c = 0, P6(x) = 642 !6

64 !4

16 !2

41 xxx −+−

c = π /2, P6(x) = 642

2!6 64

2!4 16

2!2 41 ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −+⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −+−

πππ xxx

20aQuestão:

a) P3(x) = 3 )( 3ππ −+− xx ; R3(x) = !4

))(.sec8.sec16( 4324 π−+ xztgztgzz

b) P3(x) = 32 )1(16 1)1(

8 1)1(

2 11 −+−+−+ xxx ; R3(x) = 43 )1(24

1. 16

15 −

x zz

c) P4(x) = 2

1 4

2 xx +− ; R4(x) = 553 2

)32120160( 120

xzzze z

−− −

21aQuestão: – 0,67448; |R4(0,5)| < 0,2

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16

22aQuestão: P6(x) = 642 )( 720 1)(

24 1)(

2 1 πππ −+−−− xxx ; ≅⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

6 5cos π -0,8660331;

00002,0 6

5 6 ≤⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ πR

23aQuestão:

a) min em x = 4 b) ∃/ c) max em x = 0; min em x = 3

2 ±

d) max em x = -5; min em x = 5.

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