Cálculo A Lista 3- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo A Lista 3- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo, lista de exercicios.
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Microsoft Word - 3lista-2009_1_calA[1].doc

1

INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT A01 – CÁLCULO A 3a LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada em 2009.1

01.Resolva as seguintes integrais:

1.1) dx x

x∫ ⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +− 452 2

3 1.2) ∫ ⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ − dx

x x 3 1.3) ∫ ⎟⎟

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ − dx x

x 12

1.4) dxx)3sen(∫ 1.5) dxxx cossen∫ 1.6) dx sec25∫ xxtg 1.7) ∫ + dxx

x 21

1.8) ∫ xx dx ln

1.9) ∫ + 52 2x dx

1.10) ∫ + dxx x

41 1.11) ∫ + dxx

xarctg 2

3

1 1.12) ∫ dxxx cos5sen

1.13) ∫ dxe x 3 1.14) ∫ xe

dx 3

1.15) dx e

e x

x

∫ − 24

1.16) ( )∫ xsen dx

32 1.17) ( )∫ x

dx 7cos2

1.18) ∫ − x dx

25

1.19) ∫ dxxtg 2 1.20) dxeeg xx∫ )]([cot 1.21) ds sgstg∫ ⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ − )

4 ( cot)4(

1.22) ∫ ⎟⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ + dxxx 12 1.23) ∫

+ dx

x

x

32 2 1.24) ∫

+ dx

x

x

13

2

125) ∫ dxx x

3cos sen 1.26) ∫

dx

x2916

1 1.27) ∫ ++ )1( )1(cos2 xtgx

dx

1.28) ( )dx x x

∫ + + 1 1ln 1.29)

( )∫ + dxx x

22cos1 2sen 1.30) ∫

+ dx

x

x 2sen1

2sen

1.31) ∫ dx x

x 3 4 3cos

3sen 1.32) ∫ −

dx x

x 2

2

1

arccos 1.33) ∫ dxx x)cos(ln

1.34) dx x

e x ∫ 1.35) dxxe x sencos∫ 1.36) dxxa x

2

1.37) ( )∫ dxe x 22 1.38) dxe e

x

x

∫ + 2 2

2 1.39) ∫

dx

e

e x

x

21

1.40) dx x

x ∫ +1 1.41) ∫ +++ dxxxx )2(3 )34(

2

1.42) ∫ + xx dx

22 cos3sen2

1.43) dxxx 12∫ + 1.44) ∫ xdxx 2cos 1.45) ∫ dxxe x3

1.46) ∫ xdx5ln 1.47) ∫ −

dx x

x 2

3

1 1.48) dxsexx 2)(cos∫

1.49) dttgttt ))((sec∫ 1.50) ∫ xdxx ln2 1.51) ∫ dxex x22

docsity.com

2

1.52) ∫ xdxex cos 1.53) ∫ dxxarctg )3( 1.54) ∫ + dxexx x)2( 2

1.55) ∫ − dxxarcsen )2( 1.56) ∫ dxx)arccos( 1.57) ∫ dxx)cos(ln 02. Determine uma função f sabendo que f ’(x) é contínua e que:

2.1) f(π ) = 2 e satisfaz a equação Cxcosxsendxtgx)x('f +−=∫ 3 ,sendo C uma constante real.

2.2) f (0) = 5 e satisfaz a equação ∫ += Cxdxx )x('farctg 3 , sendo C uma constante real.

2.3) f (0) = 1 e satisfaz a equação ∫ +=+ Cxdx)x('f)x( 1 2 ,sendo C uma constante real.

03. Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se )(22 2

xtg dx

yd = . Sabendo-se que a reta tangente a essa curva no

ponto (0,1) é paralela ao eixo Ox, determinar a equação da mesma.

04.Determine o valor médio de f no intervalo indicado e os valores de x em que este ocorre:

a) f(x) = x2 em [0,1] b) f(x) = a + bcos x em ],[ ππ− , a ≠ 0 e b ≠ 0.

c) )( )( 2 122 xaxxf −= em [-a,a], a ≠ 0 d) )()( 2 xsenxf = em [0, π ].

05. Determine a derivada dx dy de cada uma das funções dadas abaixo:

a) ∫= x

dtty 1

0> x; ln b) ( )∫ += 0

2/121 x

dtty c) ( )∫ += 2

1

2/141 x

dtty

d) ( )∫ −

− +=

x

x

dtty 123 e) dtey

x

x

t∫ −= 2

2 f) 0dt sen

00

=+ ∫∫ xy

t tdte

g) 0)(sen 2

00

2 2

=+ ∫∫ − dttdte xy

t h) 0=dz cos sen3 02

2 ∫∫ +− yx

zdzz π

06. Sendo f definida por ( ) dtduuxf x t

∫ ∫ ⎟⎟ ⎠

⎜ ⎜

⎛ +=

0 0

2 7 )( , calcule ''f .

07. Mostre que a função ∫= x

a

t dttexf sen)( tem um mínimo em x = 0 e um máximo em x = π .

08. Determine os pontos extremos das funções:

a) ( )dttexF x

t∫ −= − 1

22/ 1)( 2

b) ∫ + +−

=

2

0

2

2 45)(

x

t dt

e ttxF

09. Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ +−3

1 2

23 542 dx x

xx b) ( )∫ − 0

1

32 dtttt c) dxx∫ −

− 6

3

4

docsity.com

3

10. Sendo ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

≤≤

≤≤ =

2x1 ,

10 , )(

2

sex

xsex xf , calcule dxxf

2

0

)(

11. Determine a área da região limitada pelas curvas:

a) y = cosx, x = 0, x = π , y = 0 b) y = x2 + 1, y = 5

c) y = x2 e y = 4x d) ,12x y = y = – x2, x = 1 e x = 2

e) x = y2, x =1 e x = 4 f) y = | x2 – 4| e y = 2 g) x = (y – 2)2 e x = y h) f(x) = x3 e g(x) = 3 x

i) f(x)= x|x| e g(x) = x3 j) x = y2 – 2 e x = 6 – y2

l) y = 2x, y = 2x – x2, x = 0 e x = 3.

12) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano: a) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8.

b) Limitada pela hipérbole x a

y b

1 2

2

2

2− = e a reta x = 2a.

c) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x.

13. Resolva as seguintes integrais:

∫ ++ 5x2x dx)1 2

∫ +− 5x6x dx)2 2 ∫ ++

+

34x22x

5)dx(x3)

4) dx x4x43

3x 2∫ −+

+ 5) ∫ ++

+

34x22x

5)dx(x 6) dx )1x2(x

5x3 ∫ −

+

7) dx x

x ∫ + +

12 1

8) ∫ +++ )5)(3)(1( xxx

xdx 9) ∫ −− )2()1( 2 xx

dx

10) dx xxx

x

+−

44 8 23 11) dx

x34x

13x ∫ −

+ 12) dx xxx

xx

+−−

−−

)52)(1( 332

2

2

13) dx xx

x

++

86 6 24

3 14) dx

xxx x

∫ +++

44 73

23 15) dx x16 168x 4∫ − −

∫ −+

+− 22

2

1)1)(x(x 3)dx2x(x 16) 17) ∫

+−

+

4x5xx 12)dx(5x 23

3

18) ∫ dxxxarctg )(

19) dx x

x∫ ⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +

11ln 20) ∫ +−

+ 3)x2x(x

3)dx(x

21) dx x

xx

− 4

33

6 22) ∫

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−− 1)2()2( 3 26 5 xx

dx 23) ∫ + dxxx 3

2

)1.(

24) ∫ + xx

dx 32

25) 21

1 x dx

x x

∫ + − 26) ∫

+ −

x dx

x x

1 1

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4

27) ∫ dxxsen )(3 28) ∫ dxxxsen )(cos)( 32 29) ∫ dx xsen x

)( )(cos

4

3

30) ∫ dxx)2sec( 31) ∫

3 4

3

)(cos

)(

x

dxxsen 32) ∫ dxxsen )3( 2

33) ∫ dxxxsen )((cos).( 22 34) ∫ dxxtg )(3 35) n(3x).dx sen(5x).se∫

36) ∫ (5x).dxsen(x).cos 37) ∫ dxxxg )(seccos)(cot 35 38) ∫ dxxxtg )(sec)( 43 39) ∫ dxxxtg )2sec())2(( 3 40) ∫

−1)(xtg dx 41) ∫ + dxsenx

xsen 1

)(

42) ∫ +− )cos()(1 xxsen

dx 43) dx x

xa

− 2

22

44) dxxx 22 4 −∫

45) ∫ + 22 1 xx

dx 46) dx x

ax

− 22 47) ∫ + 52 )x(4

dx

48) 102xx. 1)+(x

dx 24

∫ ++

49) x4 2∫ + dx 50) 22x2x21)(x

dx ∫

+++

51) ∫ + 22 )9(x

dx 52) ∫ +

+ 22 )9(x

1)dx(x 53) ∫ ++

+ 22 )102(x

3)dx(2x x

54) dx xxx

xxxx ∫ +++

++++ 22

234

)32)(1( 812114

RESPOSTAS 01. 1.1) (x4 /2) + (5/x) + 4x + c 1.2) (2/3)x3/2 – 3ln|x| + c

1.3) (x2/2) – ln|x| + c 1.4) cx +− 3

)3cos(

1.5) cx +3sen)3/2( 1.6) (tgx)6/6 + c

1.7) (1/2)ln|1 + x2| + c 1.8) ln|lnx| + c

1.9) cxarctg +)5/2()52/2( 1.10) (1/2) arctgx2 + c

1.11) cxarctg +4 4 1 1.12) c

x +

5ln 5sen

1.13) 3ex/3 + c 1.14) ce x +−

3

3

1.15) arcsen(ex/2) + c 1.16) – cotg(3x)/3 + c

1.17) (tg7x)/7 + c 1.18) (–1/2)ln|5 – 2x| + c

1.19) (–1/2)ln|cos2x| + c 1.20) ln|sen(ex)| + c

1.21) css +−− )4/sen(ln4)4cos(ln)4/1( 1.22) cx ++ ])1[( 3 1 2/32

1.23) 2

)32( 2 12 +x

+c 1.24) cx ++ ])1(2[ 3 1 2/13

1.25) c x +2cos2

1 1.26) cxarcsen +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

4 3

3 1

docsity.com

5

1.27) cxtg ++ )1(2 1.28) cx ++ )1(ln 2 1 2

1.29) c x +

+ )2cos1(2 1 1.30) cx ++ 2sen12

1.31) c x

+ 3/1)3(cos

1 1.32) cx +− 3

arccos3

1.33) cx +)sen(ln 1.34) 2e cx +

1.35) − +e cxcos 1.36) c a

a x +

ln2

2

1.37) ce x +

4

4 1.38)

2

2ln 2xe+ + c

1.39) ce x +)arcsen( 1.40) ( ) c x1 3 4 2/3

++

1.41) c xx

+ ++

3ln2 3 )34(

2

1.42) ctgxarctg +⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

3 2

6 6

1.43) ( ) ( ) ( ) cxxx ++++−+ 2/32/52/7 1 3 21

5 41

7 2 1.44) cxxsenx ++ 2cos

4 12

2

1.45) cexe xx +− 33 9 1

3 1

1.46) x ln(5x) – x + c

1.47) cxxx +−−−− 3222 )1( 3 21 ou ( ) cxx +−+−− 322 1

3 11

1.48) –x cotgx + ln|senx| + c

1.49) t sect – ln|sec t + tg t| + c 1.50) cxx +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −

3 1ln

3

3

1.51) cexeex xxx ++− 2222 4 1

2 1

2 1

1.52) ( ) cxsenxe x ++ cos 2 1

1.53) xarctg(3x) – 6 1

ln(9x2 + 1) + c 1.54) x2 ex + c

1.55) (x – 2)arcsen(x – 2) + cxx +−+− 342 1.56) xarccos(x) – cx +− 21

1.57) cxxsenxx ++ ))(ln( 2 1))cos(ln(

2 1

02. 2.1) f(x) = – cos3x + senx + 1 2.2) 53 6 1 2 +−= xcosln)x(f 2.3) f(x) = arctgx + 1

03. 1)cos(ln 2

2 +−− xx

04. a) 1/3 em (1/3)1/2 b) a em 2/π± c) 0 em 0 e ± a d) ½, em 4/π e 4/3π

05. a) lnx; b) ( ) 2/121 x+− ; c) ( ) 2/1812 xx + ; d) ( ) 1232 −+ x ; e) 242 xx exe −− − f) xey y sen' −−=

docsity.com

6

g) )(2' 22 2

xsenxey y−= h) y

xseny cos 3'

2−− =

06. )('' xf = x2 + 7

08. a) x máx = 1 e x mín = -1; b) xmáx = -1 e xmáx = 1; xmín = -2, xmín = 0 e xmín = 2. 09 a) 10/3 b) -1/70 c) 53/2

10. 3

124 −

11. a) 2 b) 32/3 c) 32/3

d) 17/6 e) 28/3 f) ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −+ 3

3261228 2

g) 9/2 h) 1 i) 1/6

j) 64/3 l) 7/ln2

12. 12a) ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ∫ ∫ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −−+∫ −+∫ ⎟

⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ +−− dxxxdxdyydy

yy 0 22-

2 0

2222 2

22 2

2 2 28x-82ou 84

2 8

12b) dyyb b aa

b

∫ ⎟⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ +−

3

0

2222 ou dxax a ba

a ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −∫ 22

2 2

12c) ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −+− ∫∫

2

1

2 1

0

2 442 dxxdxxx ou ( )dyy∫ −− 3

0

2 144

13.

1) Cxarctg ++ 2

1 2 1 2) C

x x

+ − −

1 5ln

4 1

3) Cxarctgxx +++++ )]1(2[.22|342|ln 4 1 2 4) Cxarcsenxx +−+−+−

2 12

4 7443

4 1 2

5) Cxxxxx ++++++++ |)1(2342|ln22342 2 1 22 6) Cxxxxx +−+−+− )2(814ln

24 232

2 3 22

7) Cxx +++ 12ln 4 1

2 1 8) C

xx x

+ ++

+

)1()5( )3(ln

8 1

5

6

9) C x x

x +

− −

+ − 1

2ln 1

1 10) C x

x x

+⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −+

22ln 2

3

11) Cxxxx +++−+− |]12|ln7|12|ln9[ 16 1||ln

4

12) Cxarctg x

xx +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −+

− +−

2 1

2 1

1 )52(ln

2 3

2

13) Cxarctgxartg x

x +⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+

+

+

22 3

22 3

2

4ln 2

2 14) Cxarctg

x x

++ +

+ )2/( 2 1

)1( 4ln 2

2

15) Cxarctgxx +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛−+−+

2 |2|ln4ln 2 16) C

x xxarctgx +

− +−−++

1 1|1|ln1ln 2

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7

17) C||x||xxx +−+−−+ 4ln 3

831ln 3

17ln35 18) cxarctgxxarctgx ++− )( 2 1

2 1)(

2

2

19) ( ) cxx x

x ++−+⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ + )1ln(

2 111ln

2

2 20) Cxarctgx +⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ − ⋅+

2 122ln2

21) Cxx +− 12 134 9 13 2

27 2 22) Cxarctg

x x

+−− +−

−− 6 6

6 23

12 12ln

2 3

23) Cxx ++−+ 3 5

3 8

)1( 5 3)1(

8 3

24) Cxxxx ++−+− )2ln(482462 663

25) C x

x xx xx

+ −

− +−− ++− 21

11 11ln 26) Cxx

xx x xarctg +

+−− ++−

+ + −

11 11ln

1 12

27) Cxx +− )cos()(cos 3 1 3 28) Cxsenxsen +− )(

5 1)(

3 1 53

29) Cxx +− )(csc 3 1)(csc 3

31) C x

x ++ 3

3 5 )cos(

3)(cos 5 3 32) Cxsenx +−

12 )6(

2

33) Cxsenx +− 32

)4( 8

34) Cxxtg ++ )cos(ln 2

)(2

35) Cxsenxsen +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −

4 )8()2(

4 1 36) C

xx ++−

8 )4cos(

12 )6cos(

37) C

xxx

+

−+− 357 ))sec((cos 3 1))sec((cos

5 2))sec((cos

7 1 38) Cxtgxtg ++ 64 ))((

6 1))((

4 1

39) Cxx +− )sec())2(sec( 5 1 5 40) Cxxtgxtg +−+−−

24 )1)(ln(

2 |1)(|ln 2

41) Cx xtg

++ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+

2 1

2 42) Cxtg +−− )2/(1ln

43) C a xarcsen

x xa

+− −

− 22

44) Cxxxx xarcsen +−+−− 232 4

4 14

2 1

2 2

45) C x

x +

+ −

21 46) Cx aaax +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛−− arccos.22

47) C xx

x

x

x +⎟ ⎟

⎜ ⎜

++ −

+ 22

3

2 4)4(3416 1 48) C

x

x

x

x +

+

++ −

+

++ 35

32

4

2

)1(3

])1(9[

)1(3

)1(9

49) Cxxxx +++⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ ++ 22 4

2 4ln2 50) C

x xx

+ + ++

− 1

222

51) Cxarctg x

x +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+

+ 354 1

)9(18 2 52) Cxarctg

x x

+⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+

+

− 354

1 )9(18

9 2

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8

53) Cxarctg xx

x +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ ++

++

− 3

1 54 1

)102(18 17

2 54) Cx

xarctg xx

x

++

+⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ + −

++ +

|1|ln 2 1

4 2

)32(2 2

2

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