Cálculo Diferencial e Integral 2 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral 2 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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2ª Questão: Dados os valores observados de uma quantidade  = ,  em torno dos valores médios ̅ = 10,  = 70:

a) (1,0 ponto) Estime as taxas de variação de  com  e de  com  em torno dos valores médios;

b) (1,0 ponto) Determine a aproximação linear de  em torno do ponto médio ,  = 10, 70.

Resposta:

a) Dada uma quantidade  = , , se tomarmos o valor médio de  = 70, então quantidade passa a ser função apenas de ,  = , 70 = . A derivada  = / é a taxa de variação de  com . Quando  = 10,

10 = lim →

10 +  − 10



= lim →

10 + , 70 − 10,70

 ≡ 10,70,

que é, por definição, a derivada parcial de  em relação a  no ponto 10, 70. Podemos

aproximar os valores a partir de uma tabela  × , tomando variações  = ±1, por exemplo. A

partir da tabela acima, temos que a taxa de variação de  com  é, aproximadamente:

10 ≅ #$%%,&'$%,&(

% =

#)%')(

% = 1 e 10 ≅

#$*,&'$%,&(

'% =

#+*')(

'% = 1,

Tomando a média destes valores, podemos dizer que 10 =   10,70 ≈ 1. [0,5 ponto]

Similarmente, tomando ̅ = 10, e definindo - = 10, , em  = 70:

-70 = lim →

-70 + . − 70

. = lim

→

10,70 + . − 10,70

. ≡ /10,70,

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Similarmente, podemos estimar pela mesma tabela a taxa de variação de  com , tomando

variações de . = ±1:

-′70 ≅ #$%,&)'$%,&(

) =

#))')(

) = 1 e -70 ≅

#$%,1)'$%,&(

') =

#+)')(

') = 1.

Em média, -70 =   10,70 ≈ 1. [0,5 ponto]

b) A linearização, ou aproximação linear de uma função ,  é dada pela função linear

cujo gráfico é o plano tangente ao gráfico de  no ponto de tangencia 2, 3:

4,  = 2, 3 + 2, 3 − 2 + /2, 3 − 3

Portanto, para  = ,  no ponto 10, 70, usando as estimativas obtidas em (a)

4,  = 10,70 + 10,70 − 10 + /10,70 − 70

= 50 + 1 ×  − 10 + 1 ×  − 70 = 30 +  + . [1,0 ponto]

3ª Questão: Dada ,  = 7 cos  + 7/ sin ,

a) (1,5 pontos) Determine o plano tangente ao gráfico de  pela origem. b) (1,5 pontos) Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na

proximidade de 0,0.

Resposta:

a) Como visto na questão anterior, a equação do plano tangente ao gráfico de ,  em 2, 3 é dada por:

 = 2, 3 + 2, 3 − 2 + /2, 3 − 3

Neste caso,  = 7  cos  + 7/ cos , e / = −7

 sin  + 7/ sin , e portanto:

0,0 = 7  cos 0 + 7 cos 0 = 2, /0,0 = −7

 sin 0 + 7 sin 0 = 0.

E como 0, 0 = 7 cos 0 + 7 sin 0 = 1, temos que:

 = 1 + 2 ×  − 0 + 0 ×  − 0 = 1 + 2 [1,5 ponto]

é o plano tangente pedido.

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c) A fim de garantir que a aproximação linear seja uma boa aproximação, elaboramos a

noção de funções diferenciáveis de 2 variáveis. Por definição, se  = , , então  é

diferenciável em 2, 3 se o incremento ∆ = 2 + ∆, 3 + ∆ − 2, 3 puder ser

expresso como ∆ = 2, 3∆ + /2, 3∆ + >%∆ + >?∆, onde >% e >? → 0 quando

∆, ∆ → 0,0. A fim de tornar a verificação da diferenciabilidade mais direta (ou

seja, se a aproximação linear será uma boa aproximação), temos o teorema que diz que se

as derivadas parciais  , / existem na proximidade de 2, 3 e são contínuas em 2, 3,

então  é diferenciável em 2, 3.

Neste caso, temos que  = 7  cos  + 7/ cos , e / = −7

 sin  + 7/ sin  estão definidas e

são contínuas em todo @?, pois são combinações (somas e multiplicações) das funções 7,

7/ , sin , sin , cos , cos , que são contínuas em @. Portanto,  é diferenciável em todo @?, e

particularmente em 0, 0, e assim a aproximação é boa na proximidade deste ponto. [1,5 ponto]

Note. Em 2, 3 = 0, 0, ∆ =  − 0 = , ∆ =  − 0 = , 0,0 = 1, 0,0 = 2,

/0,0 = 0, portanto, temos que ∆ = 2 + >% + >? = 7  cos  + 7/ sin  − 1, ou seja,

>% + >? = 7  cos  + 7/ sin  − 2 + 1 = ,  − 4,  → 0 quando ,  → 0, 0,

logo a diferença entre a função ,  e sua linearização 4,  é cada vez menor, quão mais

próximos estejamos da origem.

Note. Em alguns livros textos, definem alternativamente uma função ,  como diferenciável

se limA,→, Bℎ,  ‖ℎ, ‖⁄ = 0, onde Bℎ,  = ,  − 4,  é o erro associado à

aproximação linear na proximidade do ponto. O argumento é que

lim A,→,

Bℎ,  = lim A,→,

‖ℎ, ‖ × lim A,→,

Bℎ,  ‖ℎ, ‖⁄

e portanto quando esta condição é satisfeita, o erro tende a zero na proximidade do ponto. No

nosso caso, basta observar que o erro Bℎ,  = ,  − 4,  → 0 quando ,  → 0, 0.

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