Cálculo Diferencial e Integral I - Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Carnaval200013 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral I - Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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8a ¯

Lista de Cálculo Diferencial e Integral II MAN/ 2012

Exerćıcio 1. Calcule a integral dupla:

a)

∫∫ R

xyey dA, onde R = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. ( Resp. 2)

b)

∫∫ D

x3y2 dA, onde D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}. ( Resp. 256/21)

c)

∫∫ D

2y

x2 + 1 dA, onde D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤

√ x}. ( Resp. (ln2)/2)

d)

∫∫ D

ex/y dA, onde D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}. ( Resp.e4/2− 2e)

e)

∫∫ D

x cosy dA, onde D é limitada por y = 0, y = x2 e x = 1. ( Resp. (1-cos1)/2)

f)

∫∫ D

y3 dA, onde D é a região triangular com vértices (0, 2), (1, 1) e (3, 2). ( Resp. 147/20)

g)

∫ 1 0

∫ 3 3y

ex 2

dx dy. ( Resp. (e9 − 1)/6)

h)

∫ 3 0

∫ 9 y2 y cos(x2) dx dy. ( Resp. sen(81)/4)

Exerćıcio 2. Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares:

a)

∫∫ D

x dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 5. ( Resp. 0)

b)

∫∫ D

xy dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida entre os ćırculos x2 + y2 = 4

e x2 + y2 = 25. ( Resp. 609/8)

c)

∫∫ D

e−x 2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semićırculo x =

√ 4− y2 e o eixo y. ( Resp.

(1− e−4)π/2)

d)

∫ 1 0

∫ √1−x2 0

ex 2+y2 dy dx. ( Resp. (e− 1)π/4)

e)

∫ 2 0

∫ √4−y2 − √

4−y2 x2y2 dx dy. ( Resp. 4π/3)

Exerćıcio 3. Utilize coordenadas polares para combinar a soma em uma única integral dupla e calcule:∫ 1

1√ 2

∫ x √ 1−x2

xy dy dx+

∫ √2 1

∫ x 0

xy dy dx+

∫ 2 √ 2

∫ √4−x2 0

xy dy dx. ( Resp. 15/16)

Exerćıcio 4. Determine o volume do sólido:

a) Abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região limitada por y = x2 e x = y2.(Resp.6/35) b) Abaixo da superf́ıcie z = xy e acima do triângulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2).(Resp.31/8) c) Limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0 z = 0, x + 2y = 2 no primeiro octante. ( Resp. 16 (11

√ 5− 27) + 92arcsen(

2 3 ))

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d) limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0, z = 0 no primeiro octante.(Resp. 1/3) e) Abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9.( Resp. 81π/2) f) Acima do cone z =

√ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1 ( Resp. 2π3 [1−

1√ 2 ] )

Exerćıcio 5. Utilize integral dupla para determinar a área da região.

a) Um laço da rosácea r = cos(3θ). ( Resp.π/12) b) A região contida pelo cardióide r = 1− sen(θ) .

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