Cálculo Diferencial e Integral I Lista 2 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral I Lista 2 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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Microsoft Word - Lista_2Q2007.doc

UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA CÁL CUL O DIFERENCI AL E INTEG RAL I

2 a LISTA DE EXERCÍCIOS – PERÍ ODO 2007 .1

1 . D e t e r m i n e o d o m í n i o d a f u n ç ã o x xxf

+ −

−= 2

234)( .

2 . S e x e y s ã o d o i s n ú m e r o s r e a i s q u a i s q u e r , m o s t r e q u e

a ) yxyx = b ) yxyx +≤+ 3 . S e 432)( 23 −+−= xxxxf , p a r a ∈x ]2,3[− , e n c o n t r e u m n ú m e r o r e a l k , t a l

q u e ≤)( xf k .

4 . S e ∈x )4,1( , m o s t r e q u e 52)( −+= x

xxf < 6 .

5 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o f d e f i n i d a p o r 54)( 2 ++= xxxf .

a ) V e r i f i q u e q u e 1)2()( 2 ++= xxf .

b ) E s b o c e o g r á f i c o d e f .

c ) Q u a l o m e n o r v a l o r d e )( xf ? P a r a q u a l x e s s e v a l o r é a s s u m i d o ?

6 . V e r i f i q u e q u e 2

2

1 11

xx xx

++ =−+ e , e n t ã o , c o n c l u a q u e à m e d i d a

q u e x c r e s c e , o v a l o r d a d i f e r e n ç a xx −+ 21 a p r o x i m a - s e d e z e r o .

7 . S e j a )( xfy = a f u n ç ã o d a d a a p a r t i r d a e q u a ç ã o 422 =+ yx , p a r a 0≥y .

a ) D e t e r m i n e u m a f ó r m u l a q u e d e f i n a e x p l i c i t a m e n t e y c o m o f u n ç ã o d e x .

b) D e t e r m i n e o d o m í n i o d e f .

c ) E s b o c e o g r á f i c o d e f .

8 . U m a c a i x a r e t a n g u l a r s e m t a m p a , c o m v o l u m e d e 2 m 3 , t e m u m a b a s e q u a d r a d a . E x p r e s s e a á r e a S d a s u p e r f í c i e d a c a i x a c o m o u m a f u n ç ã o d o c o m p r i m e n t o x d e u m l a d o d a b a s e .

9 . À m e d i d a q u e o a r s e c o m o v e - s e p a r a c i m a , e l e s e e x p a n d e e e s f r i a . S a b e n d o - s e q u e a t e m p e r a t u r a d o s o l o é d e 2 0 o C e q u e a t e m p e r a t u r a a 1 k m d e a l t u r a é d e 1 0 o C , e x p r e s s e a t e m p e r a t u r a T , e m o C , c o m o u m a v a r i á v e l d e p e n d e n t e d a a l t u r a h , m e d i d a e m k m , s u p o n d o q u e u m m o d e l o b a s e a d o e m u m a f u n ç ã o a f i m s e j a a p r o p r i a d o . Q u a l a t e m p e r a t u r a a u m a a l t u r a d e 2 , 5 k m ?

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1 0 . S u p o n h a q u e a f i g u r a a b a i x o r e p r e s e n t e g r a f i c a m e n t e u m a f u n ç ã o )( xfy = .

a ) D e t e r m i n e ).1(−f

b ) É c o r r e t a a e s t i m a t i v a )3,2()2( ∈f ?

c ) P a r a q u a i s v a l o r e s d e x t e m - s e 2)( =xf ?

d ) P a r a q u a n t o s v a l o r e s d e x t e m - s e 0)( =xf ?

e ) Q u a l o d o m í n i o d e f ?

f ) Q u a l a i m a g e m d e f ?

1 1 . D a d o s o s g r á f i c o s d a s f u n ç õ e s f e g , n a f i g u r a a b a i x o ,

a ) o b t e n h a o s v a l o r e s d e )4(−f e )3(g .

b ) p a r a q u a i s v a l o r e s d e x , )()( xgxf = ?

c ) e s t a b e l e ç a o d o m í n i o e a i m a g e m d e f .

d ) e s t a b e l e ç a o d o m í n i o e a i m a g e m d e g .

e ) p a r a q u a n t o s v a l o r e s d e x , 0)( =xf ?

f ) p a r a q u a n t o s v a l o r e s d e x , 0)( =xg ?

S e u m a f u n ç ã o f s a t i s f a z )()( xfxf −= , p a r a t o d o x e m s e u d o m í n i o , e n t ã o f é u m a f u n ç ã o p a r . S e f s a t i s f a z )()( xfxf −=− , p a r a t o d o x e m s e u d o m í n i o , e n t ã o f é u m a f u n ç ã o í m p a r .

1 2 . C o m b a s e n a d e f i n i ç ã o a n t e r i o r , c l a s s i f i q u e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s a b a i x o .

a ) xxxf += 5)( b ) 2)( xxg = c ) 22)( xxxh −= d ) 41)( xxk −=

1 3 . S e f é u m a f u n ç ã o q u a l q u e r , d e f i n i d a e m R o u e m u m i n t e r v a l o ),( aa− , m o s t r e q u e )()()( xfxfxg −+= é u m a f u n ç ã o p a r .

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A s f u n ç õ e s BAf →: e BAg ′→′: s ã o i g u a i s , s e AA ′= e s e , p a r a t o d o e l e m e n t o Ax ∈ , )()( xgxf = .

1 4 . C o m b a s e n a d e f i n i ç ã o a n t e r i o r , d i g a s e gf = e m c a d a u m d o s c a s o s a b a i x o .

a ) 1)( −= xxxf e xxxg −= 2)( b ) 2)( xxf = e 2)( xxg =

c ) 1 1

)( 2

− −

= x x

xf e 1)( += xxg d ) xxf =)( e 2)( xxg =

1 5 . Q u a l a f u n ç ã o q u a d r á t i c a f q u e s a t i s f a z 10)1(,5)0( =−= ff e 6)1( =f ?

U m a f u n ç ã o f é d i t a c r e s c e n t e e m u m i n t e r v a l o I , s e d a d o s Ixx ∈21 , , c o m

21 xx < , t i v e r m o s )()( 21 xfxf < . S e )()( 21 xfxf ≤ , p a r a 21 xx < , e n t ã o f é d i t a n ã o - d e c r e s c e n t e e m I . U m a f u n ç ã o f é d i t a d e c r e s c e n t e e m u m i n t e r v a l o I , s e d a d o s Ixx ∈21 , , c o m 21 xx < , t i v e r m o s )()( 21 xfxf > . S e )()( 21 xfxf ≥ , p a r a 21 xx < , e n t ã o f é d i t a n ã o - c r e s c e n t e e m I .

1 6 . C o m b a s e n a d e f i n i ç ã o a c i m a , m o s t r e q u e bxaxf +=)( é c r e s c e n t e , s e 0>a , e d e c r e s c e n t e , s e 0<a .

1 7 . C o m r e l a ç ã o a o g r á f i c o a p r e s e n t a d o n a q u e s t ã o 1 0 . , i d e n t i f i q u e o s v a l o r e s d e x p a r a o s q u a i s f é u m a f u n ç ã o c r e s c e n t e .

C o n s i d e r e f e g d u a s f u n ç õ e s t a i s q u e a i m a g e m d e f s e j a s u b c o n j u n t o d o d o m í n i o d e g ( I m )( f D )( g ) . C h a m a m o s d e c o m p o s t a d e g e f , e d e n o t a m o s p o r fg o , a f u n ç ã o =)( xh ))(()()( xfgxfg =o , p a r a t o d o x n o d o m í n i o d e f .

1 8 . N o s c a s o s a b a i x o , v e r i f i q u e q u e I m )( f D )( g p a r a , a s s i m , d e t e r m i n a r a f u n ç ã o ))(()( xfgxh = .

a ) 2)( xxf = e xxg =)( b ) 3)( 2 += xxf e 2 1)( − +

= x xxg

c ) xxf −=)( e xxg −= 2)( d ) 1

)( +

= x

xxf e 1 1)( − +

= x xxg

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1 9 . D e t e r m i n e a f u n ç ã o f d e m o d o q u e )(,)()( fDxxxfg ∈∀=o , o n d e

a ) 1 2)( + +

= x xxg . b ) xxxg 2)( 2 −= , d e f i n i d a p a r a 1≥x .

2 0 . C o n s i d e r e f u m a f u n ç ã o p a r e s e j a fgh o= . M o s t r e q u e h é u m a f u n ç ã o p a r . S u p o n d o f u m a f u n ç ã o í m p a r , p o d e m o s c o n c l u i r q u e h t a m b é m s e r á ?

U m a f u n ç ã o f é d i t a i n j e t o r a , s e ∈∀ y I m )( f , ,)(! fDx ∈∃ c o m )( xfy = , o u , e q u i v a l e n t e m e n t e , s e )()( 21 xfxf = i m p l i c a r 21 xx = . f

s e r á s o b r e j e t o r a , s e p a r a q u a l q u e r y n o c o n t r a - d o m í n i o d e f , e x i s t i r x n o d o m í n i o d e f , c o m )( xfy = .

S e u m a f u n ç ã o f é i n j e t o r a e s o b r e j e t o r a , d i z - s e , e n t ã o , q u e f é b i j e t o r a e , c o m o c o n s e q ü ê n c i a , s e n d o

→)(: fDf I m )( f yxfx =)(a ,

e x i s t i r á u m a f u n ç ã o

:g I m )()( fDf xygxfy == )()( a

c h a m a d a d e i n v e r s a d e f , d e n o t a d a p o r 1−= fg .

2 1 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o :f R→ R d a d a p o r 53)( += xxf é b i j e t o r a e d e t e r m i n e s u a i n v e r s a .

2 2 . S e 1−f é a i n v e r s a d a f u n ç ã o d o e x e r c í c i o a n t e r i o r , q u a l é a f u n ç ã o 1−ff o ?

2 3 . D ê d o m í n i o e c o n t r a - d o m í n i o a d e q u a d o s à f u n ç ã o 2)( xxf = , d e m o d o q u e a m e s m a s e j a i n v e r t í v e l e d e f i n a e s s a i n v e r s a .

2 4 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o ,)( x kxf = o n d e k é u m a c o n s t a n t e .

F a z - s e n e c e s s á r i o i m p o r a l g u m a c o n d i ç ã o s o b r e a c o n s t a n t e k p a r a q u e f a d m i t a u m a i n v e r s a ? Q u a l é e s s a i n v e r s a ?

2 5 . C o n s i d e r e ),[),2/1[: ∞+→∞+ bf , d e f i n i d a p o r 1)( 2 +−= xxxf .

Q u a l o v a l o r d e b p a r a q u e f s e j a i n v e r t í v e l ? Q u a l é e s s a i n v e r s a ?

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