Cálculo Diferencial e Integral I Lista 4 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral I Lista 4 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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Microsoft Word - Lista_3Q.doc

UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA CÁL CUL O DIFERENCI AL E INTEG RAL I

4 a L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2 0 0 7 . 1

1 . N o s e x e r c í c i o s 1 a ) 1 p ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf , q u a n d o ax → .

1 a ) 7,52)( −=+= axxf 1 b ) 0, 113

3)( = ++

= a x

xf

1 c ) 5, 5

103 )(

2

−= + −+

= a x

xx xf 1 d ) 2,

2 42)( 23 −=+ −−

= a xx

xxf

1 e ) 1, 23

1)( = −+

− = a

x xxf 1 f ) 1,

1 38

)( 2

−= + −+

= a x

x xf

1 g ) 1, 1 1

)( 3 4

= − −

= a x x

xf 1 h ) 9, 9

3 )( =

− −

= a x x

xf

1 i ) 0,)( 2

= +

= a x

xxxf 1 j ) 2,2 208

)( 2 2

= −− −+

= a xx xx

xf

1 k ) 3, 1 11

)( = −−

+− = a

xx x

xf 1 l ) 1,12 12

)( 23 4

= ++ +−

= a xx xx

xf

1 m ) 2, 2

2 )(

33

= − −

= a x x

xf 1 n ) 1,1 16)3(

)( 3 43

= − −−

= a x x

xf

1 o ) 1, 1

23 )( 2

2

= − −+

= a x

x xf 1 p ) 1,

1 12

)( 3

−= + −+

= a x

x xf

2 . S e f é u m a f u n ç ã o d e f i n i d a e m R e 1 0

= x

)x(flim x a

, m o s t r e q u e

a ) 33 0

= x

)x(flim x a

b ) 0 2

0 =

x )x(flim

x a

3 . S e 122 =

x )x(f

lim x a

, c a l c u l e )x(flim x 2−a

e x

)x(f lim

x 2−a .

4 . S a b e n d o - s e q u e 3 2

5 2

= − −

x )x(f

lim x a

, d e t e r m i n e )x(flim x 2a

.

5 . S e ϕ é u m a f u n ç ã o t a l q u e 2

1 4

1 22 x)x(x +≤ϕ≤− , 0≠∀ x , c a l c u l e )x(lim

x ϕ

0a .

6 . S e j a m f e g f u n ç õ e s c o m m e s m o d o m í n i o D , s a t i s f a z e n d o 0=)x(flim ax a

e

Mxg ≤)( , ∀ x D∈ , o n d e M é u m n ú m e r o r e a l p o s i t i v o .

U s e o T e o r e m a d o S a n d u í c h e p a r a m o s t r a r q u e 0=⋅ )x(g)x(flim ax a

.

docsity.com

7 . S e g é a f u n ç ã o d e f i n i d a p o r ⎩ ⎨ ⎧

>− ≤

= 0,1 0,1

)( xpara xpara

xg , e x i s t e )x(glim x 0a

?

E )x(gxlim x

2

0a e x i s t e ?

8 . N o s e x e r c í c i o s 8 a ) 8 j ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf q u a n d o −→ ax e q u a n d o

+→ ax .

8 a ) 2, 2 3)( −= + +

= a x xxf 8 b ) 2,

)2( )( 2 =− = a

x xxf

8 c ) 1, )1(

2)( 3 =− −

= a x xxf 8 d ) 2,

2 4

)( 2

= − −

= a x x

xf

8 e ) 0, 554

)( 2

= −++

= a x

xx xf 8 f ) 2,

2 2

)3()( −= +

+ += a

x x

xxf

8 g ) 1, 1

)1(2 )( =

− −

= a x

xx xf 8 h ) 3,

9 3)(

2 −=

+ = a

x xxf

8 i ) 1, 1 1)(

2 =

− −

= a x xxf 8 j ) 2,4

2)( 2

−= −

+ = a

x xxf

9 . C a l c u l e 2 2

− +

xlim x a

. E x i s t e 2 2

− −

xlim x a

?

1 0 . N o s e x e r c í c i o s 1 0 a ) 1 0 z ) , c a l c u l e o s l i m i t e s i n d i c a d o s .

1 0 a ) x

lim x

1 0 +a

1 0 b ) x

lim x

1 0 −a

1 0 c ) 20

1 x

lim x +a

1 0 d ) 20 1

x lim

x −a

1 0 e ) 3

5 3 −+ x

lim x a

1 0 f ) 3

5 3 −− x

lim x a

1 0 g ) x xlim

x

12 0

+

+a 1 0 h )

20

3 x

xlim x

−a

1 0 i ) xx

lim x −+ 20

3 a

1 0 j ) xx

lim x −− 20

3 a

1 0 k ) 96

3 2

2

3 +−

+ xx xxlim

x a 1 0 l )

xx xlim

x +

+

+− 21

12 a

1 0 m ) xx

xlim x +

+

+ 20

12 a

1 0 n ) 2

2

1 1 43

x xlim

x − −

+−a 1 0 o ) ( )234 ++

∞+ xxlim

x a

1 0 p ) ( )234 +− ∞−

xxlim x a

1 0 q ) ( )123 3 ++ ∞+

xxlim x a

1 0 r ) ( )123 3 ++ ∞−

xxlim x a

1 0 s ) ( )5245 xxxlim x

−+− ∞+a

1 0 t ) ( )5245 xxxlim x

−+− ∞−a

1 0 u ) 26

165 3

3

+

+− ∞+ x

xxlim xa

1 0 v ) 36 165

2

3

++

+− ∞+ xx

xxlim xa

1 0 x ) x

xlim x 23

5 + −

∞−a 1 0 z )

3 1

+ +

∞+ x x

lim x a

docsity.com

1 1 . N o s e x e r c í c i o s 1 1 a ) 1 1 d ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf , q u a n d o ∞+→x .

1 1 a ) 3)( +−= xxxf 1 1 b ) 3)( 2 +−= xxxf

1 1 c ) 3)( 3 +−= xxxf 1 1 d ) 32)( 2 +−= xxxf

1 2 . C o n s i d e r e f a f u n ç ã o d e f i n i d a p o r ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

≠ − −

=

1,3

1, 1 1

)(

2

xpara

xpara x x

xf .

C a l c u l e )x(flim x 1a

e d e c i d a s e f é c o n t í n u a e m 1=a .

1 3 . S e j a f u m a f u n ç ã o r e a l c o n t í n u a , d e f i n i d a e m t o r n o d o p o n t o 1=a , t a l q u e

1 23)(

2

− +−

= x

xxxf , p a r a t o d o 1≠x . Q u a n t o v a l e )1(f ? P o r q u ê ?

1 4 . D e t e r m i n e o v a l o r d e k , d e m o d o q u e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s d a d a s a b a i x o s e j a c o n t í n u a n o p o n t o i n d i c a d o .

a ) ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

≠ − −

=

2,

2, 2 8

)(

3

xparak

xpara x x

xf , n o p o n t o 2=a ;

b ) ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

≠> − −

=

3,

30, 3

3 )(

xparak

xexpara x x

xf , n o p o n t o 3=a .

1 5 . S e j a f a f u n ç ã o d a d a p o r 1

)( 2

+ +

= x

xxxf , s e 1−≠x , c o m 2)1( =−f .

f é c o n t í n u a n o p o n t o 1− ? E n o p o n t o 0 ? P o r q u ê ?

1 6 . D ê e x e m p l o d e u m a f u n ç ã o f , d e f i n i d a e m R , q u e n ã o s e j a c o n t í n u a n o p o n t o 2 , m a s q u e s a t i s f a ç a )x(flim)x(flim

xx +− =

22 aa .

1 7 . A a f i r m a ç ã o “ )x(flim)x(flim axax +−

= aa

f é c o n t í n u a e m a ” é v e r d a d e i r a ?

1 8 . S e j a f u m a f u n ç ã o s a t i s f a z e n d o 2)( xxf ≤ , p a r a t o d o x e m R . M o s t r e q u e f é c o n t í n u a n o p o n t o 0 .

1 9 . E n c o n t r e o s p o n t o s d e d e s c o n t i n u i d a d e d a f u n ç ã o f , d e f i n i d a p o r

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

≥−

<<−

≤ +

=

3,3

31,56

1, 5

32

)(

2

xparax

xparax

xparax

xf .

docsity.com

2 0 . N o s e x e r c í c i o s 2 0 a ) 2 0 d ) , e s b o c e o g r á f i c o d a f u n ç ã o d a d a e d i g a s e e l a é c o n t í n u a n o p o n t o i n d i c a d o .

2 0 a ) ⎩ ⎨ ⎧

>− =

1,

1,2 )( 2 xparax

xparax xf , 0=a ; 2 0 b ) 1,

1 32

)( 2

−= + −−

= a x

xx xf ;

2 0 c ) ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

≠ − −

=

2,1

2, 2 2

)( xpara

xpara x x

xf , 0=a ;

2 0 d ) ⎩ ⎨ ⎧

≥ <

= 0,]][[

0,0 )(

xparax xpara

xf , 1=a , o n d e [[x ]] r e p r e s e n t a “ o m a i o r i n t e i r o

q u e n ã o s u p e r a x ” , o u , e q u i v a l e n t e m e n t e , “ o m a i o r i n t e i r o m e n o r o u i g u a l a x ” .

2 1 . S e f é a f u n ç ã o c u j o g r á f i c o e n c o n t r a - s e e s b o ç a d o a b a i x o , d e t e r m i n e :

a ) ( )xflim x 0a

;

b ) ( )xflim x 3a

;

c ) ( )3f .

f é c o n t í n u a n o p o n t o 0 ? E n o p o n t o 3 ?

2 2 . E x i s t e u m n ú m e r o α c a p a z d e f a z e r c o m q u e 2

33 2

2

2 −+

+α+α+ − xx

xxlim x a

e x i s t a ?

2 3 . U m a c o m p a n h i a f e r r o v i á r i a c o b r a R $ 1 0 , 0 0 p o r k m , p a r a t r a n s p o r t a r u m v a g ã o a t é

u m a d i s t â n c i a d e 2 0 0 k m , c o b r a n d o a i n d a R $ 8 , 0 0 p o r c a d a k m q u e e x c e d a a 2 0 0 .

A l é m d i s s o , e s s a m e s m a c o m p a n h i a c o b r a u m a t a x a d e s e r v i ç o d e R $ 1 . 0 0 0 , 0 0 p o r

v a g ã o , i n d e p e n d e n t e m e n t e d a d i s t â n c i a a p e r c o r r e r .

D e t e r m i n e a f u n ç ã o q u e r e p r e s e n t a o c u s t o p a r a t r a n s p o r t a r u m v a g ã o a u m a

d i s t â n c i a d e x k m e e s b o c e s e u g r á f i c o . E s s a f u n ç ã o é c o n t í n u a p a r a 200=x ?

2 4 . U m a f á b r i c a é c a p a z d e p r o d u z i r 1 5 . 0 0 0 u n i d a d e s d e u m c e r t o p r o d u t o , e m u m t u r n o

d e 8 h o r a s d e t r a b a l h o . P a r a c a d a t u r n o d e t r a b a l h o , s a b e - s e q u e e x i s t e u m c u s t o

docsity.com

f i x o d e R $ 2 . 0 0 0 , 0 0 , r e l a t i v o a o c o n s u m o d e e n e r g i a e l é t r i c a . S u p o n d o - s e q u e , p o r

u n i d a d e p r o d u z i d a , o c u s t o v a r i á v e l , d a d o o g a s t o c o m m a t é r i a p r i m a e s a l á r i o s , é

d e R $ 2 , 0 0 , d e t e r m i n e a f u n ç ã o q u e r e p r e s e n t a o c u s t o t o t a l p a r a a f a b r i c a ç ã o d e x u n i d a d e s e e s b o c e s e u g r á f i c o . A f u n ç ã o e n c o n t r a d a é c o n t í n u a p a r a

000450 .x ≤≤ ?

2 5 . U m e s t a c i o n a m e n t o c o b r a R $ 3 , 0 0 p e l a p r i m e i r a h o r a , o u p a r t e d e l a , e R $ 2 , 0 0 p o r

h o r a s u c e s s i v a , o u p a r t e , a t é o m á x i m o d e R $ 1 0 , 0 0 . E s b o c e o g r á f i c o d o c u s t o d o

e s t a c i o n a m e n t o c o m o u m a f u n ç ã o d o t e m p o d e c o r r i d o e a n a l i s e a s d e s c o n t i n u i d a d e s

d e s s a f u n ç ã o .

2 6 . P r o v e q u e a e q u a ç ã o 015 =++ xx t e m p e l o m e n o s u m a r a i z n o i n t e r v a l o ]0,1[− .

2 7 . P r o v e q u e a e q u a ç ã o 0243 =+− xx a d m i t e t r ê s r a í z e s r e a i s d i s t i n t a s .

2 8 . S e ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

≤≤−−

<≤−+ =

20,2

02,2 )(

2

2

xparax

xparax xf , e x i s t e ]2,2[−∈α t a l q u e 0)( =αf ?

E s t e f a t o c o n t r a d i z o C o r o l á r i o d o T e o r e m a d o V a l o r I n t e r m e d i á r i o ?

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