Cálculo Diferencial e Integral I Lista 5 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral I Lista 5 - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA CÁL CUL O DIFERENCI AL I

5 a L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2 0 0 7 . 1

1 . N o s e x e r c í c i o s 1 a ) 1 e ) , e n c o n t r e a d e r i v a d a d a f u n ç ã o d a d a , u s a n d o a d e f i n i ç ã o .

1 a ) 1)( 2 += xxf . 1 b ) 32)( xxf = . 1 c ) 5)( 2 −= xxf . 1 d ) xxxf 32)( 2 −= .

1 e ) 1

1)( +

= x

xf .

2 . C o n s i d e r e f d e f i n i d a p o r ⎩ ⎨ ⎧

> ≤−

= 0,2 0,

)( xpara xparax

xf .

a ) C a l c u l e )1(−′f b ) E x i s t e m )0(−′f e )0(+′f ? c ) f é d e r i v á v e l e m 0=x ?

3 . S e j a f a f u n ç ã o d a d a p o r xxxf +=)( .

a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) E x i s t e )( xf ′ p a r a 0≠x ? c ) C o m o s e d e f i n e a f u n ç ã o f ′ ?

4 . N o s e x e r c í c i o s 4 a ) 4 c ) , i n v e s t i g u e a d e r i v a b i l i d a d e d a f u n ç ã o d a d a n o p o n t o i n d i c a d o .

4 a ) ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

> ≤=

0, 0,)(

2

xparax xparaxxf ; 0=x . 4 b )

⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

<≤−

<< =

21,12 10,

)( xparax xparax

xf ; 1=x .

4 c ) ⎪ ⎩

⎪ ⎨

<≤+

<< =

21,)1( 2 1

10, )(

xparax

xparax xf ; 1=x .

5 . E x i s t e a l g u m p o n t o n o q u a l a f u n ç ã o xxy 42 −= n ã o é d e r i v á v e l ?

6 . S u p o n h a q u e u m a f u n ç ã o f s e j a d e r i v á v e l e m 1=x e q u e ( )

51lim 0

= +

h hf

ha .

Q u a n t o v a l e m )1(f e )1(f ′ ?

7 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R , s a t i s f a z e n d o =+ )( baf +)( af

babf 5)( + , ∀ ∈ba , R . S e ( ) 3lim 0

= h hf

ha , d e t e r m i n e )0(f e )( xf ′ .

8 . E n c o n t r e o v a l o r d e a e o d e b , d e m o d o q u e a f u n ç ã o ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

>+ ≤=

1, 1,3)(

2

xsebxa xsexxf s e j a

d e r i v á v e l e m 1=x .

9 . N o s e x e r c í c i o s 9 a ) 9 c ) , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l a o g r á f i c o d e f , n o p o n t o c u j a a b s c i s s a é f o r n e c i d a .

9 a ) 3/2)( xxf = , 8=x . 9 b ) 4/3)( −= xxf , 16=x . 9 c ) xxf =)( , 3=x .

1 0 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a t a n g e n t e à p a r á b o l a 2xy = , c o m i n c l i n a ç ã o 8−=m ? F a ç a u m g r á f i c o .

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1 1 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a n o r m a l à c u r v a 6

3xy −= , c o m i n c l i n a ç ã o 9 8 =m ?

1 2 . S e y é a f u n ç ã o d a d a p o r ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

≤−−

≥− =

2,2

2,2

xparax

xparax y , e n c o n t r e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s

t a n g e n t e e n o r m a l a o g r á f i c o d e y , n o p o n t o d e a b s c i s s a 2=x .

1 3 . D e t e r m i n e a e q u a ç ã o d a r e t a q u e t a n g e n c i a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 2xy = e é p a r a l e l a à r e t a 24 += xy .

1 4 . V e r i f i q u e q u e a r e t a t a n g e n t e a o g r á f i c o d a f u n ç ã o x

xf 1)( = , n o p o n t o d e a b s c i s s a

a , i n t e r c e p t a o e i x o X n o p o n t o )0,2( a .

1 5 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s h o r i z o n t a i s q u e s ã o t a n g e n t e s a o g r á f i c o d a f u n ç ã o

12 23

)( 23

−−+= xxxxg .

1 6 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o f d e f i n i d a p o r ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

> ≤=

1,2 1,)(

2

xpara xparaxxf .

a ) E s b o c e o g r á f i c o d e f . b ) f é c o n t í n u a e m 1=x ? c ) f é d e r i v á v e l e m 1=x ?

1 7 . R e p i t a o e x e r c í c i o a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o a g o r a a f u n ç ã o f d e f i n i d a c o m o

⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

> ≤= 1,1 1,)(

2

xpara xparaxxf .

1 8 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o xxxf =)( , d e f i n i d a p a r a t o d o x e m R . a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) D e t e r m i n e )( xf ′ p a r a 0<x e p a r a 0>x .

c ) E s b o c e o g r á f i c o d e f e o d e f ′ .

1 9 . S e 22 1 uxy +−= e 1 1 − +

= x xu , c a l c u l e

xd yd .

2 0 . S e 1 1 − +

= x xy , v e r i f i q u e q u e 2)1(

2

2 =−

xd ydx

xd yd

.

2 1 . S u p o n h a q u e )( txx = s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R . S e 1

1 2 +

= x

y , v e r i f i q u e q u e ,

∈∀ t R , t e m - s e td xdyx

td yd 22−= .

2 2 . S u p o n h a q u e )( txx = s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l a t é a s e g u n d a o r d e m . S e 3xy = ,

v e r i f i q u e q u e 2

2 2

2

2

2 36

td xdx

td xdx

td yd

+⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ = .

2 3 . S a b e n d o - s e q u e 3 1)1(,3)2(,2)1( −=−′−==− gfg e 6)2( =′f , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s

d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c u r v a ))(()( xgfxh = , e m 1−=x .

2 4 . S e [ ] )()()( 33 xfxfxh += , c a l c u l e )2(h′ , s a b e n d o q u e 7)2(,1)2( =′= ff e q u e 3)8( −=′f .

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2 5 . U s e a R e g r a d a C a d e i a p a r a m o s t r a r q u e a d e r i v a d a d e u m a f u n ç ã o p a r é u m a f u n ç ã o

í m p a r e q u e a d e r i v a d a d e u m a f u n ç ã o í m p a r é u m a f u n ç ã o p a r .

2 6 . C a l c u l e a d e r i v a d a d e p r i m e i r a o r d e m d e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s a b a i x o .

2 6 a ) 2ln x

y +π= 2 6 b ) 42 50 3 1

4 1 x,xxy −+−= 2 6 c ) 33 2

11 xxx

y −=

2 6 d ) x x

y

+ =

1 1

2 6 e ) xarcsenxy = 2 6 f ) ( )

2

12 xarctgxx y

−+ =

2 6 g ) xcosey x= 2 6 h ) x xlnxln

x y −+= 21 2 6 i ) ( ) 523 xseny −=

2 6 j ) xcosxy 352 += 2 6 k ) 5

23 xcosxseny −= 2 6 l ) xexy x +=

2 6 m ) ( )xearccosy = 2 6 n ) ( ) ( )xtgxcosxseny +⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+=

5 3 2 6 o )

( ) ( )xcos

xcosy 21

21

+ =

2 6 p ) ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ − +

= x xarctgy

1 1

2 6 q ) ( )xsenlny = 2 6 r ) ( )xlnlnxlny −= 2

2 7 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xexy −= é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o yxyx )1( −=′ .

2 8 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xlnx

y ++

= 1

1 é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o ( )1−=′ xlnyyyx .

2 9 . S e a e b s ã o c o n s t a n t e s q u a i s q u e r , v e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xx ebeay 2−− += é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o 023 =+′+′′ yyy .

3 0 . S e n é u m n ú m e r o n a t u r a l , q u a l é a d e r i v a d a d e o r d e m n d a f u n ç ã o ( ) nbaxy += ?

3 1 . N o s e x e r c í c i o s 3 1 a ) 3 1 f ) , e n c o n t r e xd yd e m c a d a u m a d a s e q u a ç õ e s q u e ,

i m p l i c i t a m e n t e , d e f i n e m y c o m o f u n ç ã o d e x .

3 1 a ) yxy +=3 3 1 b ) 1+=+ yyx 3 1 c ) x y x

yx y

=+ −

3 1 d ) 14 =ysenxcos 3 1 e ) =yx cotg ( )yx 3 1 f ) yxyx 21 +=

3 2 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c i r c u n f e r ê n c i a 2522 =+ yx , n o p o n t o ( )430 ,P = .

3 3 . M e s m a q u e s t ã o a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o a g o r a a h i p é r b o l e 1 916

22 =−

yx e ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −=

4 950 ,P .

3 4 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m s e u d o m í n i o D e q u e , p a r a t o d o x e m D , s a t i s f a ç a ( ) ( )[ ] 4=+ xfsenxfx . S e ( )[ ] 0≠+ xfcosx , m o s t r e q u e ( ) ( )

( )[ ]xfcosx xf

xf +

− =′ .

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