Baixe Cálculo Diferencial e Integral I Lista 6 - Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA CÁL CUL O DIFERENCI AL E INTEG RAL I 6a L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2 0 0 7 . 1 0 1 . S e x xxf 4)( += , e n c o n t r e o n ú m e r o c q u e s a t i s f a z a c o n c l u s ã o d o T e o r e m a d o V a l o r M é d i o n o i n t e r v a l o ]8,1[ . 0 2 . S e 1)( −= xxf , e x i s t e a l g u m n ú m e r o c s a t i s f a z e n d o )0()3()(3 ffcf −=′ ? 0 3 . A r e s p o s t a d a q u e s t ã o a n t e r i o r c o n t r a d i z o T e o r e m a d o V a l o r M é d i o ? 0 4 . S e j a f u m a f u n ç ã o c o n t í n u a n o i n t e r v a l o ],[ ba e d e r i v á v e l n o i n t e r v a l o [,] ba . S e )()( bfaf = , m o s t r e q u e e x i s t e [,] bac ∈ , t a l q u e 0)( =′ cf . ( O b s e r v a ç ã o : O r e s u l t a d o a c i m a é c o n h e c i d o c o m o T E O R E M A D E R O L L E ) 0 5 . C o n s i d e r e 3 21)( xxf −= . V e r i f i q u e q u e )1()1( ff =− , m a s n ã o e x i s t e u m n ú m e r o [1,1]−∈c , s a t i s f a z e n d o 0)( =′ cf . I s s o c o n t r a d i z o T e o r e m a d e R o l l e ? P o r q u e ? 0 6 . P r o v e q u e a e q u a ç ã o 13 −+ xx t e m e x a t a m e n t e u m a r a i z r e a l . ( S u g e s t ã o : U s e , i n i c i a l m e n t e , o T e o r e m a d o V a l o r I n t e r m e d i á r i o p a r a g a r a n t i r a e x i s t ê n c i a d e u m a r a i z r e a l p a r a a e q u a ç ã o . A u n i c i d a d e d e s s a r a i z s e r á e n t ã o o b t i d a c o m o c o n s e q ü ê n c i a d o T e o r e m a d e R o l l e , u t i l i z a n d o - s e , p a r a t a n t o , u m a r g u m e n t o d e c o n t r a d i ç ã o ) . 0 7 . P r o v e q u e e x i s t e u m ú n i c o n ú m e r o r e a l x , t a l q u e 0=+ xe x . 0 8 . S e j a →],[: baf R u m a f u n ç ã o c o n t í n u a . S e f é d i f e r e n c i á v e l e m ),( ba e ),(,0)( baxxf ∈∀=′ , m o s t r e q u e f é u m a f u n ç ã o c o n s t a n t e . ( S u g e s t ã o : T o m e ],[, 21 baxx ∈ e a p l i q u e o T e o r e m a d o V a l o r M é d i o à f u n ç ã o f n o i n t e r v a l o ],[ 21 xx ) . 0 9 . M o s t r e q u e a r c t g +x a r c c o t g 2 π=x . ( S u g e s t ã o : M o s t r e q u e a f u n ç ã o =)( xf a r c t g +x a r c c o t g x é c o n s t a n t e e , e n t ã o , c a l c u l e )1(f ) . 1 0 . S e j a →],[: baf R u m a f u n ç ã o c o n t í n u a . S e f é d i f e r e n c i á v e l e m ),( ba e ),(,)()( baxxfxf ∈∀=′ , m o s t r e q u e e x i s t e u m a c o n s t a n t e c , t a l q u e , ],[ bax ∈∀ , xecxf =)( . ( S u g e s t ã o : A f u n ç ã o xexfx −=ϕ )()( é c o n s t a n t e ? ) . 1 1 . S e j a m →],[:, bagf R e f u n ç õ e s c o n t í n u a s . S e a m b a s s ã o d i f e r e n c i á v e i s e m ),( ba e )()( xgxf ′=′ , p a r a t o d o ),( bax ∈ , m o s t r e q u e e s s a s f u n ç õ e s d i f e r e m p o r u m a c o n s t a n t e , i s t o é , cxgxf += )()( . 1 2 . C o n s i d e r e 14)( 4 +−= xxxg . E n c o n t r e a f u n ç ã o f q u e s a t i s f a z )()( xgxf ′=′ e )1(f = 2 . docsity.com 1 3 . M o s t r e q u e xex < , p a r a q u a l q u e r x r e a l . ( S u g e s t ã o : S e 0≤x , a d e s i g u a l d a d e é c l a r a m e n t e v e r d a d e i r a . S e 0>x , v e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xexf x −=)( é c r e s c e n t e e , e n t ã o , c a l c u l e )0(f ) . 1 4 . M o s t r e q u e l n xx < , p a r a t o d o 0>x . ( S u g e s t ã o : U s e o r e s u l t a d o d o e x e r c í c i o a n t e r i o r ) . 1 5 . a ) D e c i d a s o b r e a e x i s t ê n c i a d e m á x i m o s e m í n i m o s l o c a i s e a b s o l u t o s p a r a a f u n ç ã o 33)( 23 +−= xxxf . b ) C a l c u l e o s v a l o r e s m á x i m o e m í n i m o d e f n o i n t e r v a l o ]3,2[ − e d e t e r m i n e o s p o n t o s n o s q u a i s e s s e s v a l o r e s s ã o a s s u m i d o s . 1 6 . a ) R e p i t a o e x e r c í c i o 1 5 a ) , c o n s i d e r a n d o a f u n ç ã o 31292)( 23 ++−=ϕ xxxx . b ) C a l c u l e o s v a l o r e s m á x i m o e m í n i m o d e ϕ n o i n t e r v a l o ]3,0[ e d e t e r m i n e o s p o n t o s n o s q u a i s e s s e s v a l o r e s s ã o a s s u m i d o s . c ) R e p i t a o i t e m b ) , c o n s i d e r a n d o o i n t e r v a l o ]3,2/1[ . d ) R e p i t a o i t e m b ) , c o n s i d e r a n d o o i n t e r v a l o ]2/5,2/1[ . e ) R e p i t a o i t e m b ) , c o n s i d e r a n d o o i n t e r v a l o ]4/9,4/3[ . 1 7 . A n a l i s e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s d e f i n i d a s a b a i x o c o m r e l a ç ã o à e x i s t ê n c i a d e m á x i m o s e m í n i m o s l o c a i s e a b s o l u t o s . a ) =)( xf sen +x cos x , ]2,0[ π∈x b ) xexxf −=)( c ) 3)( =xf cos )2( x , ],0[ π∈x d ) 21)( xxf −= , ]1,1[ −∈x e ) 0,1)( 2 ≠+= x x xxf f ) 22 1)( xxxf −= , ]1,1[ −∈x 1 8 . A f u n ç ã o xxf −−= 12)( , d e f i n i d a p a r a ]2,0[∈x , a d m i t e a l g u m p o n t o d e m í n i m o o u d e m á x i m o ? 1 9 . D e t e r m i n e , s e e x i s t i r e m , o s p o n t o s d e m í n i m o e d e m á x i m o d a f u n ç ã o xexy 22= . A n a l i s e , a i n d a , o g r á f i c o d e s s a f u n ç ã o q u a n t o à c o n c a v i d a d e . 2 0 . E s b o c e o g r á f i c o d e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s d e f i n i d a s a b a i x o . a ) xxxf 3)( 3 −= b ) 24 2)( xxxf −= c ) 34)( xxxf −= d ) 21 )( x xxf + = e ) 1 1)( − += x xxf f ) 1 )( 2 2 + = x xxf g ) x xxf 1)( 2 += h ) 3 2)( 2 − += x xxf i ) 9 4)( 2 − = x xxf j ) 2 4 1)( x xxf += k ) 1 )( 2 3 + = x xxf l ) 2 )( xexf −= m ) =)( xf sen +x cos x n ) −= xxf )( sen x o ) xexxf −=)( p ) 1 2)( 2 2 − = x xxf docsity.com