Cálculo Diferencial e Integral II - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral II - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo Diferencial e Integral.
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II

Professor:

Aluno(a):

1a Lista de Exercícios (atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Questão 1. Encontre uma primitiva para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.

a) Z 

2 + 1 x3

dx

b) Z

x4 dx

c) Z €

x3 + sen x Š

dx

d) Z 

1 x

+ ex

dx

e) Z

e2x dx

f) Z

cos (3x) dx

g) Z

e−x dx

h) Z

1 1 + x2

dx

i) Z

x3 + x + 1 1 + x2

dx

Questão 2. Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.

1. Z

3x2 3

x3 1 dx

2. Z

e 1 x + 2 x2

dx

3. Z

arcsen x 2

1− x2 dx

4. Z p

5t4 + t2dt

5. Z

ex

e2x + 36 dx

6. Z

dt

t ln t

7. Z €

e2x + 2 Š4 · e2x dx

8. Z

8x2 · p

6x3 + 5 dx

9. Z

sen 1 2 (2x) · cos (2x) dx

10. Z

sec 2(5x + 3) dx

11. Z

sen x (9cos x)3 dx

12. Z

sen 2x (7sen 2x)3 dx

13. Z

x2( sen 2x3 + 5x2) dx

14. Z

x

(1 + 4x2)2 dx

15. Z

sen 2x · cos x dx

16. Z

sen 2x · cos 3x dx

17. Z

sen 3x · cos 3x dx

18. Z

sen (2x) p

1 + cos 2x dx

19. Z

tg x · sec 2x dx

20. Z

tg 3x · sec 2x dx

21. Z 2 p

cos 2x− sen 2x · sen (2x) dx

22. Z

2 x− 3 dx

23. Z

x

x + 1 dx

24. Z

2x + 3 x + 1

dx

25. Z

x2

x + 1 dx

26. Z

2 4 + x2

dx

27. Z

1 2 + 5x2

dx

28. Z

x

5 + x2 dx

29. Z

3x + 2 1 + x2

dx

30. Z

x

x2 + 2x + 3 dx

31. Z

2x x4 + 2x2 + 1

dx

32. Z

1 x2 + x + 1

dx

33. Z

x3

1 + x8 dx

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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Questão 3. Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

a) Z

x sen (5x) dx

b) Z

te4tdt

c) Z

(x + 1) cos 2x dx

d) Z

ex cos x

2

 dx

e) Z

ln x dx

f) Z

ln (1− x) dx

g) Z

x ln x dx

h) Z

ln (ax + b)√ ax + b

dx

i) Z

x sec 2x dx

j) Z

x · arctg x dx

k) Z

sec 3x dx

l) Z

cossec 3x dx

m) Z

x ln x dx

n) Z

ln (x2 + 1) dx

o) Z

x2 ln x dx

p) Z

(x− 1) sec 2x dx

q) Z

x( ln x)2 dx

r) Z

e−2x sen x dx

s) Z

x3ex 2

dx

t) Z

x3 cos (x2) dx

u) Z

e−x cos 2x dx

v) Z

x2 sen x dx

w) Z

x sec x tg x dx

Questão 4. Calcule as integrais das seguintes funções racionais.

a) Z

x− 1 x3 + x2 4x− 4 dx

b) Z

3x3

2x3 − x2 2x + 1 dx

c) Z

1 x3 4x2 dx

d) Z

x3 + 2x2 + 4 2x2 2 dx

Questão 5. Resolva as seguintes integrais

a) Z

15 x2 + 3x− 4 dx

b) Z

15 x2 + 4x + 9

dx

c) Z

1 2x2 + 6x− 2 dx

d) Z

x

x2 + 4x− 5 dx

e) Z

x− 3 x2 2x + 5 dx

f) Z

3x3

3x2 + 18x + 27 dx

Questão 6. Resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.

a) Z

sen 2x cos x

dx

b) Z

sen (ωe + 8)

c) Z

sen 3(2x + 1) dx

d) Z

cos 5(33x) dx

e) Z

2x sen 4(x2 1) dx

f) Z

tg 3x cos 4x dx

g) Z

cos 4x dx

h) Z

tg 4x dx

i) Z

sen 2x cos 4x

dx

j) Z

sen 3x · cos 5x dx

k) Z

sen (ωt) · sen (ωt + θ)dt

l) Z

cos 3x sen 4x

dx

2

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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Questão 7. Resolva as integrais irracionais.

a) Z

dx√ x(

x + 4 4

x + 3)

b) Z

4

x

2 +

x dx

c) Z

x + 1 2 +

√ x + 1

dx

d) Z

1 x √

1− x dx

e) Z

1−√x 1 +

√ x

dx

f) Z

x

x +

x− 1 dx

g) Z

dx

x √

9− x2

h) Z

x2 16 x2

dx

i) Z

x2È 1(x− 1)2

dx

j) Z

dx

x2

x2 + 9

k) Z

1√ x2 2x− 8 dx

l) Z

1√ x2 + 2x + 10

dx

m) Z

1√−x2 3x + 4 dx

n) Z

1√ x2 − x + 2 dx

o) Z

x + 1√ x2 4x + 1 dx

p) Z

x− 2√ x2 2x + 3 dx

r) Z

dx

x √

x2 1

Questão 8. Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:

a) Z

sen (x2 + 4x− 6) (x + 2)1

dx

b) Z

ln x + 1 x

dx

c) Z

ln x2

x dx

d) Z

x ln x dx

e) Z

x2 arctg x dx

f) Z

ln (x + p

1 + x2) dx

g) Z

x sec 2x dx

h) Z

x− 1 2x2 + 4x + 20

dx

i) Z

dx√ x2 + 2x

j) Z

x + 1 x2 + 4x− 7 dx

k) Z

dx√−x2 + 2x l) Z

4x2 + 3x + 1 x3 + x2

dx

m) Z

arcsen x dx

n) Z

ln (x2 + 2x− 8) dx

o) Z

tg x ln (cosx) dx

p) Z

ln ( p

x2 + 2x) dx

q) Z

1− x2 x2

dx

r) Z

cos x 1 + cos x

dx

s) Z

sen 2(2x) · cos(2x) dx

Questão 9. Use a substituição trigonométrica t = tg x

2

 e resolva as integrais a seguir:

a) Z

1 + sen x sen x(1 + cos x)

dx

b) Z

2 sen x + tg x

dx

c) Z

1 + cos x 1sen x dx

d) Z

1 3 + sen 2x

dx

e) Z

dx

3 + sen x + cos x

f) Z

ex

4 sen (ex)3 cos (ex) dx

g) Z

cos x 1 + cos x

dx

h) Z

dx

4sen x + cos x

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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Respostas

Questão 2

1. 3

2 (x

3 1) 23 + c

2. −e 1x − 2 1 x

+ c

3. ( arcsen x)2

4 + c

4. 1

15 (5t

2 + 1)

3 2 + c

5. 1

6 arctg

 ex

6

 + c

6. ln ( ln |t|) + c

7. 1

10

e 2x

+ 2 5

+ c

8. 8

27

� 6x

3 + 5  3

2 + c

9. 1

3 ( sen (2x))

3 2 + c

10. 1

5 tg (5x + 3) + c

11. 1 2 (9cos x)2 + c

12. 1

2(7 + sen 2x)2 + c

13. 1 6

cos (2x 3 ) + x

5 + c

14. 1 8 · (4x2 + 1) + c

15. sen 3x

3 + c

16. sen 3x

3 sen

5x

5 + c

17. sen 4x

4 sen

6x

6 + c

18. 2 3 (1 + cos

2 x)

3 2 + c

19. tg 2x

2 + c

20. tg 4x

4 + c

21. 2

3 cos

3 2 (2x) + c

22. 2 ln |x− 3|+ c 23. x− ln |x + 1|+ c 24. 2x + ln |x + 1|+ c

25. x2

2 − x + ln |x + 1|+ c

26. arctg €

x

2

Š + c

27.

10

10 · arctg

10x

2

 + c

28. 1

2 · ln |5 + x2|+ c

29. 3

2 · ln |x2 + 1|+ 2 arctg x + c

30. 1

2 ln |x2 + 2x + 3| − 1

2 arctg

 x + 1

2

 + c

31. 1 x2 + 1

+ c

32. 2

3

3 arctg

 2

3x +

3

3

 + c

33. 1

4 arctg (x

4 ) + c

Questão 3

a) −x cos (5x) 5

+ sen (5x)

25 + c

b) e4t

4

t− 1

4

Š + c

c) 1

2 sen (2x) (x + 1) +

cos (2x)

4 + c

d) 2

5 sen

x

2

Š e

x +

4

5 e

x cos

x

2

Š + c

e) x( ln |x| − 1) + c f) ln |x− 1| · (x− 1)− x + c

g) x2

2

€ ln |x| − 1

2

Š + c

h) 2 · √ax + b

a ( ln |ax + b| − 2) + c

i) x tg x + ln | cos x|+ c

j) x2

2 arctg x− x

2 +

arctg x

2 + c

k) 1

2 tg x sec x +

1

2 ln | sec x + tg x|+ c

l) 1 2

cotg x cossec x + 1

2 ln | cossec x− cotg x|+ c

m) 2

3 x

3 2 ln |x| − 4

9 x

3 2 + c

n) x ln (x2 + 1)2x + 2 arctg x + c

o) x3

3

€ ln x− 1

3

Š + c

p) (x− 1) tg x + ln | cos x|+ c

q) x2

2

€ ( ln |x|)2 ln |x|+ 1

2

Š + c

r) − e −2x

5 ( cos x + 2 sen x) + c

s) ex

2

2 (x

2 1) + c

t) 1

2 (x

2 sen (x

2 ) + cos (x

2 )) + c

u) e−x

5 (2 sen (2x)cos (2x)) + c

v) −x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c w) x sec x− ln | sec x + tg x|+ c

4 docsity.com

Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Questão 4

a) 1

12 ln |x− 2|+ 2

3 ln |x + 1| − 3

4 ln |x + 2|+ c

b) 3

2 x− 1

4 ln

x− 1 2

1 2

ln |x + 1|+ 3 2

ln |x− 1|+ c

c) 1

16 ln

x− 4 x

+ 1 4x

+ c

d) x2

4 + x + ln

x− 1x + 1 4É (x− 1)3x + 1 + c Questão 5

a) 3 ln x− 1 x + 4

+ c b) 3

5 arctg

 x + 2

5

 + c

c)

13

52 ln

x + 3−√13 x + 3 +

13

+ c d) 1

6 ln |x− 1|+ 5

6 ln |x + 5|+ c

e) 1

2 ln |x2 2x + 5| − arctg

x− 1

2

Š + c

f) x2

2 6x + 27 ln |x + 3|+ 27

x + 3 + c

Questão 6

a) 2 cos x + c

b) 1 e

cos (ωe + 8) + c

c) 1 2

cos (2x + 1) + 1

6 cos

3 (2x + 1) + c

d) 1 3 [ sen (33x)2

3 sen

3 (33x) + 1

5 sen

5 (33x)] + c

e) 3x2

8 sen (2x

2 2) 4

+ sen (4x2 4)

32 + c

f) sen 4x

4 + c

g) 1

4 [ 3x

2 + sen (2x) +

sen (4x)

8 ] + c

h) 1

3 tg

3 x− tg x + x + c

i) 1

3 tg

3 x + c

j) 1

2 [cos (8x)

8 +

cos (2x)

2 ] + c

k) cos (θ)

2 [t− sen (2ωt)

2ω ] +

sen (θ)

2ω sen

2 (ωt) + c

l) 1 3

cossec 3 x + cossec x + c

Questão 7

a) 3

2 ln | 4√x + 3| − 1

2 ln | 4√x + 1|+ c

b) 4

3

4√ x3 8 4√x + 8

2 arctg

 4√x√ 2

 + c

c) x− 4√x + 1 + 8 ln |√x + 1 + 2|+ c

d) ln 1−√1− x 1 +

1− x

+ c e) −x + 4√x− 4 ln |√x + 1|+ c

f) x−2√x− 1+ ln |x+√x− 1|+ 2

3

3 arctg

 2

x− 1 + 13

 +c

g) 1

3 ln

3−√9− x x

+ c h) ln

x +√x2 16 − √x2 16 x

+ c

i) 3

2 arcsen (x− 1)

√−x2 + 2x 2

(x− 5) + c

j) 1 9

√ x2 + 9

x + c

k) ln |x− 1 +√x2 2x− 8|+ c l) ln |√x2 + 2x + 10 + x + 1|+ c

m) arcsen €

2x + 3

5

Š + c

n) ln √x2 − x + 2 + €x− 1

2

Š + c o)

x2 4x + 1 + 3 ln |x− 2 +√x2 4x + 1|+ c p)

x2 2x + 3ln |√x2 2x + 3 + x− 1|+ c

r) arccos €

1

x

Š + c

Questão 8

a) 1 2

cos (x 2

+ 4x− 6) + c

b) 2

3 ( ln |x|) 32 + ln |x|+ c

c) ( ln |x|)2 + c

d) 2

3 x

3 2 [ ln |x| − 2

3 ] + c

e) x3

3 arctg |x| − x

2

6 +

1

6 ln |x2 + 1|+ c

f) x · ln |x +√x2 + 1| − √x2 + 1 + c g) x · tg x + ln | cos x|+ c

h) 1

4 ln |x2 + 2x + 10| − 1

3 arctg (

x + 1

3 ) + c

i) ln |x + 1 +√x2 + 2x|+ c

j) 11−√11

22 ln |x + 2

11|+ 11 +

11

22 ln |x + 2 +

11|+ c

k) arcsen (x− 1) + c

l) 2 ln x + 1

x

1 x

+ c

m) x arcsen x +

1− x2 + c n) x ln (x2 + 2x− 8)2x− 2 ln |x− 2|+ 4 ln |x + 4|+ c

o) 1 2 [ ln (cosx)]

2 + c

p) x ln (

x2 + 2x)− x + ln |x + 2|+ c

q) − √

1− x2 x

arcsen x + c

r) cossec x + cotg x + c

s) 1

6 sen

3 (2x) + c

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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 29 de janeiro de 2008)

Questão 9

a) 1

4 tg

2 €

x

2

Š + tg

x

2

Š +

1

2 ln

tg (x 2

)

+ c b) ln

tg €x 2

Š 1 2

tg 2 €

x

2

Š + c

c) 2 ln tg €x

2

Š 1 2

tg

x

2

Š 1

+ ln

€ tg

2 €

x

2

Š + 1

Š + c

d)

2

4 arctg

 3 tg x + 1

2

2

 + c

e) ln tg €x

2

Š + 1

+ c f)

1

5 ln

tg  ex2 13tg  ex 2

+ 3

 + c g) tg

x

2

Š + 2 arctg

€ tg

x

2

ŠŠ + c

h) 214

arctg

3 tg

x

2

Š 1

14

! + c

6 docsity.com

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