Cálculo Diferencial e Integral II - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval200013 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral II - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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3a ¯

Lista de Cálculo Diferencial e Integral II- MAN/2012

Exerćıcio 1. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1). a) Estime f(1, 1). b) Determine o domı́nio e a imagem de f .

Exerćıcio 2. Seja f(x, y) = √

36− 9x2 − 4y2. a) Estime g(1, 2). b) Determine o domı́nio e a imagem de f .

Exerćıcio 3. Represente graficamente o domı́nio da função f dada por: a) f(x, y) =

√ y − x+

√ 1− y

b) w = f(u, v) onde u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0 c) f(x, y) =

√ y − x2

d) f(x, y) = √ x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2)

e) f(x, y, z) = 1√

x2 + y2 + z2 − 1 Exerćıcio 4. Desenhe as curvas de ńıvel e esboce o gráfico de:

a) z = 2x+ y

b) z = 1

x2 + y2

c) z = 1− x2 − y2 d) z = x+ 3y e) z =

√ x2 + y2

Exerćıcio 5. Descreva as superf́ıcies de ńıvel de: a) f(x, y, z) = x+ 2y + 3z b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2

Exerćıcio 6. Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem tempe- ratura T (x, y) no ponto (x, y). As curvas de ńıvel de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos de uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por:

a) T (x, y) = 100

1 + x2 + y2

b) T (x, y) = 4x2 + 9y2

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Exerćıcio 7. Calcule os seguintes limites, se existirem:

a) lim (x,y)→(0,0)

x sen 1

x2 + y2 b) lim

(x,y)→(0,0)

x√ x2 + y2

c) lim (x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

d) lim (x,y)→(0,0)

x4sen(x2 + y2)

x4 + y2 e) lim

(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2 f) lim

(x,y)→(0,0)

(x+ y)3

x2 + y2

g) lim (x,y)→(0,0)

x2 − xy√ x−√y

h) lim (x,y)→(0,0)

x4 − y2

x4 + y2 i) lim

(x,y)→(0,0)

eysen(x)

x

j) lim (x,y)→(1,1)

xy − y − 2x+ 2 x− 1

k) lim (x,y)→(0,0)

x2ycos(x2 + y2)

x2 + y2 )

Exerćıcio 8. Seja f(x, y) =

 x3

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) . Mostre que f é

cont́ınua em (0,0).

Exerćıcio 9. Seja f(x, y) =

 x3

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) . Calcule fx(0, 0) e

fy(0, 0).

Exerćıcio 10. Calcule as derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem da função z = f(x, y):

a)z = x4y3 − 2xy2 + y − 5 b)z = 2x2y + 3xy3 − 4x c)z = y x

d) x− y x+ y

e) x

x2 + y2 f)z =

√ x2 − y2

g)z = sen( x

y ) h)z = ey/x i)z = y2ln(x2 + y2)

Exerćıcio 11. Seja f(x, y) =

 xy2

x2 + y4 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) . Mostre que as deri-

vadas parciais fx e fy existem em todos os pontos.

Exerćıcio 12. Determine uma função f(x, y) tal que

 ∂f

∂x = 3x2y2 − 6y

∂f

∂y = 2x3y − 6x+ y

y2 + 1

Exerćıcio 13. Seja z = 3x2 − 2y2 − 5x + 2y + 3. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z com o plano y = 2 no ponto P (1, 2,−3).

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Exerćıcio 14. Derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais: equações cujas incógnitas são funções e suas derivadas parciais, por exemplo,

- se u = u(x, y), a equação de Laplace ∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 = 0, que modela problemas como

condução do calor;

- se u = u(t, x), a equação da onda ∂2u

∂t2 = a2

∂2u

∂x2 , que descreve o movimento de uma

onda. A solução de uma equação diferencial partial é uma função que satisfaz a equação. Verifique que as funções u(x, y) = exsen y e v(x, y) = ln

√ x2 + y2 são soluções da

equação de Laplace. Sejam f e g funçãoes reais a valores reais, deriváveis até a 2a. ordem. Mostre que u(x, t) = f(x+ at) + g(x− at) satisfaz a equação da onda.

Exerćıcio 15. Seja φ : R→ R uma função diferenciável de uma variável real e seja f(x, y) = (x2 + y2)φ(

x

y ). Mostre que x

∂f

∂x + y

∂f

∂y = 2f

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