Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II- Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral para engenharia.
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MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1a Lista de Exercı́cios - 2012

CURVAS E SUPERFÍCIES

1. Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:

(a) γ(t) = (1, t), t R (b) γ(t) = (cos2 t, sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π (c) γ(t) = (sen t, sen 2t), t R (d) γ(t) = (2+ cos t, 3+ 4sen t), t ∈ [−π,π] (e) γ(t) = (12 , 1− t), t ∈ [−2, 0] (f) γ(t) = (et cos t, et sen t) , t ≥ 0 (g) γ(t) = (sec t, tg t), t ∈]− π2 , π2 [ (h) γ(t) = (

√ 2 cos t, 2 sen t), t R

(i) γ(t) = (sen t, cos2 t + 2), t R (j) γ(t) = (2+ e−t, 3− et), t ≥ 0

2. Associe as equações paramétricas aos gráficos I a VI. Justifique sua escolha.

(a) x = t3 − 2t, y = t2 − t (b) x = t3 − 1, y = 2− t2 (c) x = sen (3t), y = sen (4t) (d) x = t + sen (2t), y = t + sen (3t) (e) x = sen (t + sen t), y = cos(t + cos t) (f) x = cos t, y = sen (t + sen (5t))

3. Considere f (x) = (

3 √

x )2 . A função f é derivável em x = 0? Determine uma

curva γ : R R2, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f .

4. Mostre que a curva γ(t) = (cos t , sen t cos t) tem duas tangentes em (0,0) e ache suas equações.

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5. Sejam I um intervalo aberto de R e γ : I R2 uma curva diferenciável. Mostre que, se existe C R tal que ||γ(t)|| = C, para todo t I, então γ(t) é ortogonal a γ ′(t), para todo t I. Vale a recı́proca? Interprete geometricamente.

6. Um barbante é enrolado ao redor de um cı́rculo e então desenrolado, sendo man- tido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada de involuta do cı́rculo. Se o cı́rculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for (r, 0), e se o parâmetro θ for escolhido como na figura, mostre que as equaçõoes paramétricas da involuta são:

x = r(cos θ + θsen θ) y = r(sen θ θ cos θ)

7. Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encon- tre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente no origem. (Esta curva é chamada de ciclóide; veja figura.)

8. Ache e esboce o domı́nio das funções:

(a) f (x, y) = √

x y (b) f (x, y) = arctg y x

(c) f (x, y) = 1

x2 + y2 − 1 (d) f (x, y) =

x

yx

(e) f (x, y) = tg(x y) (f) f (x, y) = ln(xy2 − x3) (g) f (x, y) = ln(16− 4x2 − y2)

9. Esboce uma famı́lia de curvas de nı́vel de:

(a) f (x, y) = x + y

x y (b) f (x, y) = x − √

1− y2

(c) f (x, y) = x2

x2 − y2 (d) f (x, y) = 2xy2

x2 + y4

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10. Esboce os gráficos de:

(a) f (x, y) = 1− x y (b) f (x, y) = x x2 + 1

(c) f (x, y) = √

x2 + 9y2

(d) f (x, y) = 4x2 + y2 (e) f (x, y) = y2 − x2 (f) f (x, y) = y2 + 1 (g) f (x, y) = y2 + x (h) f (x, y) = xy (i) f (x, y) = e

x2+y2

(j) f (x, y) = 1

4x2 + 9y2 (k) f (x, y) = (x y)2 (l) f (x, y) = x2 + y2 + 2y + 3

(m) f (x, y) = 1

(x2 + 2y2)2 (n) f (x, y) = ln(9x2 + y2) (o) f (x, y) = 2− 4

x2 + 4y2

(p) f (x, y) = √

x2 + y2 − 9 (q) f (x, y) = √

x2 + y2 + 1 (r) f (x, y) = √

y − 2x2 − 1

11. São dadas a seguir as curvas de nı́vel e os gráficos de seis funções de duas variáveis reais. Decida quais curvas de nı́vel correspondem a quais gráficos.

(I) –4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

(II) –4

–2

2

4

y

–4 –2 2 4 x

(III) –4

–2

2

4

y

–12 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 x

(IV) –4

–2

2

4

y

–6 –4 –2 2 4 6x

(V) –2

–1

1

2

y

–1 –0.5 0.5 1x

(VI) –4

–2

2

4

y

–4 –2 2 4 x

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(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

12. Seja γ(t) = (et + 1, et), para t R.

(a) Desenhe a imagem de γ indicando o sentido de percurso.

(b) A imagem de γ está contida na curva de nı́vel de f : R R dada por f (x, y) = x2y2 − 2y y2 + 4? Em caso afirmativo, em qual nı́vel?

13. Em cada caso, esboce a superfı́cie formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que: (a) x + 2y + 3z = 1 (b) x2 + 2y2 + 3z2 = 1 (c) x2 + y2 − z2 = 0 (d) x2 + y2 − z2 = −1 (e) x2 + y2 − z2 = 1 (f) x2 − y2 = 1 (g) x2 − y2 + z2 = 1 Alguma dessas superfı́cies é o gráfico de uma função f : D R2 → R?

14. Verifique que a imagem da curva γ(t) = (cos t, cos t, √ 2sen t), t ∈ [0,π[, está

contida numa esfera com centro em (0, 0, 0) e esboce a imagem de γ.

15. Seja γ(t) = ( √

t2 + 1 cos t, √

t2 + 1sen t, t), t R. Verifique que a imagem de γ está contida na superfı́cie x2 + y2 − z2 = 1. Esboce a imagem de γ.

16. Desenhe as imagens das seguintes curvas:

(a) γ(t) = (1, t, 1) (b) γ(t) = (cos t, sen t, 2) (c) γ(t) = (et cos t, etsen t, et), t ≥ 0 (d) γ(t) = (t, cos t, sen t), t ≥ 0 (e)γ(t) = (sen t, sen t,

√ 2 cos t), 0 ≤ t ≤ 2π (f) γ(t) = (1+ sen t, 1+ sen t, cos t)

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17. Seja f (x, y) = √

x2 + y2 + 4 e seja γ(t) = (t cos t, t sen t, √

t2 + 4), t ≥ 0. (a) Mostre que a imagem de γ está contida no gráfico de f .

(b) Faça um esboço da imagem de γ.

18. Combine as equações com os esboços das imagens. Justifique a sua escolha:

(a) γ(t) = (cos 4t, t, sen 4t) (b) γ(t) = (t2 − 2, t3, t4 + 1) (c) γ(t) = (t, 1

1+t2 , t2) (d) γ(t) = (sen 3t cos t, sen 3t sen t, t)

(e)γ(t) = (cos t, sen t, ln t) (f) γ(t) = (cos t, sen t, sen 5t)

19. Encontre uma parametrização para a curva de nı́vel no nı́vel k de f nos casos:

(a) f (x, y) = x + 2y − 3, k = −2; (b) f (x, y) = x

1− 2y2, k = 5;

(c) f (x, y) = 1

x2 − y2 , k = 1.

Encontre a reta tangente às curvas dos itens (a), (b) e (c) acima nos pontos (12 , 1 4),

(6, 0) e ( √ 2, 1), respectivamente.

20. (a) Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção do parabolóide hiperbólico z = y2 − x2 com o cilindro x2 + y2 = 1. (b) Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção da su- perfı́cie x2 + y2 − 2z2 = 1 com o plano y = 2z + 1. (c) Encontre uma parametrização para a curva dada pela intersecção do plano x = z com o parabolóide x2 + y2 = z. (d) Encontre uma parametrização para a curva dada pela intersecção do cone

z = √

4x2 + y2 com o plano z = 2x + 1.

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21. Encontre uma parametrização para C e a reta tangente a C no ponto P, onde:

(a) C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e z = x + 1} e P = (− 12 , √ 2 2 ,

1 2).

(b) C = {(x, y, z) ∈ R3 | z = √

x2 + y2 e z = x + 1} e P = (0, 1, 1). (c) C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e (x − 1)2 + y2 + (z − 1)2 = 1} e

P = (12 , √ 2 2 ,

1 2).

22. Seja f (x, y) = 2x2 + 4y2

x2 + y2 + 1 .

(a) Esboce as curvas de nı́vel de f dos nı́veis c = 1, c = 2 e c = 3.

(b) Encontre uma função γ derivável, definida num intervalo, cuja imagem seja a curva de nı́vel de f do nı́vel c = 1.

(c) Determine o vetor tangente à curva γ, que você encontrou no item anterior, no ponto (−1, 0).

(d) Seja Γ : [0, 2π] → R3 dada por Γ(t) = (sen t, cos t, z(t)). Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f , encontre o vetor tangente a Γ em Γ(π3 ).

23. Sejam γ(t) = (2− cos t, sec2 t + 3), t ∈ [0, π2 [ e

f (x, y) = ((x − 2)2(y − 3)) 23 + 1.

Esboce a imagem de γ e mostre que a imagem de γ está contida em uma curva de nı́vel de f indicando qual é o nı́vel.

24. Sejam g(x, y) = (x − 2)2 + (y − 3)2 + 1 e

Γ(t) = (2− t, 3+ t, z(t)), t R.

Sabendo que a imagem de Γ está contida no gráfico de g, encontre z(t). Esboce a imagem de Γ.

LIMITES E CONTINUIDADE

25. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:

(a) lim (x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 (b) lim

(x,y)→(0,0) x2y cos(x2 + y2)

x2 + y2

(c) lim (x,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2 (d) lim

(x,y)→(0,0) x2y

2x4 + x2y + y2

(e) lim (x,y)→(0,0)

2x2 + 3xy + 4y2

3x2 + 5y2 (f) lim

(x,y)→(0,0) x2y

x4 + y2

(g) lim (x,y)→(0,0)

xy

x3 − y (h) lim(x,y)→(0,0) x4 sen(x2 + y2)

x4 + y2

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(i) lim (x,y)→(0,0)

(x + y)3

x2 + y2 (j) lim

(x,y)→(0,0) x2

x2 + y2 sen

(

xy

x2 + y2

)

(k) lim (x,y)→(0,0)

x3y + y4 + x4

x3y xy3 (l) lim(x,y)→(0,0) x3 + sen (x2 + y2)

y4 + sen (x2 + y2)

(m) lim (x,y)→(0,0)

x3y4 + x5 3 √

y4

x6 + y8 (n) lim

(x,y)→(0,0) x3(1− cos(x2 + y2))

(x2 + y2)3

26. Calcule os seguintes limites:

(a) lim (x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

x2 + y2 (b) lim

(x,y)→(0,0) (x2 + y2)ln(x2 + y2)

27. Determine os pontos de continuidade da seguinte função:

f (x, y) =

(x2 − y2)(x − 1)2 (x2 + y2)[(x − 1)2 + (y − 1)2] se (x, y) 6= (0, 0) e (x, y) 6= (1, 1), 1 se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (1, 1).

28. Seja

f (x, y) =

x4

x4 + y2 sen

(

e − 1

x2+y2

)

, se (x, y) 6= (0, 0) L, se (x, y) = (0, 0)

Existe algum número real L para o qual f seja contı́nua em (0, 0)? Justifique.

29. O domı́nio de uma função f é o conjunto {(x, y) ∈ R2|(x, y) 6= (1, 0)}. A figura abaixo mostra as curvas de nı́vel de f nos nı́veis k = 0, k = 0, 3, k = 0, 5, k = 0, 7 e k = 1. Existe lim

(x,y)→(1,0) f (x, y)? Justifique.

30. Seja f (x, y) = 3(x − 1)2 + (y − 1)2

x2 − y2 .

(a) Esboce (no mesmo sistema de coordenadas) as curvas de nı́vel de f nos nı́veis k = 1 e k = 3.

(b) Existe lim (x,y)→(1,1)

f (x, y)? Justifique.

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RESPOSTAS

3. Não. γ(t) = (t3, t2)

4. y = x e y = −x.

8. (a) D f = {(x, y) ∈ R2 | y x} (b) D f = {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0} (c) D f = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 > 1} (d) D f = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} (e) D f = {(x, y) ∈ R2 | y 6= x + 1+2k2 π, k Z} (f) D f = {(x, y) ∈ R2 | x(y x)(y + x) > 0} (g) D f = {(x, y) ∈ R2 | 4x2 + y2 < 16}

12. (b) Sim, no nı́vel 5.

13. Apenas a superfı́cie do item (a).

23. no nı́vel 2

24. z(t) = 2t2 + 1

25. (a) não existe (b) 0 (c) 0 (d) não existe (e) não existe (f) não existe (g) não existe (h) 0 (i) 0 (j) 0 (k) não existe (l) 1 (m) não existe (n) 0

26. (a) 1 (b) 0

27. {(x, y) ∈ R2 | (x, y) 6= (0, 0)}

28. L = 0

29. O limite não existe.

30. O limite não existe.

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