Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20008 de Março de 2013

Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia.
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MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II

2 a Lista de Exerćıcios - 2012

1. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções:

(a) f (x, y) = arctg (y

x

)

(b) f (x, y) = ln(1 + cos2(xy3))

2. Seja f : R R uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(a) u(x, y) = f

(

x

y

)

(b) u(x, y) = f (ax + by), sendo a e b constantes.

3. Dada a função f (x, y) = x(x2 + y2)− 3 2 esen (x

2y), ache ∂ f

∂x (1, 0).

Sugestão: Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que

aplicar as regras de derivação.

4. Verifique que a função u(x, y) = ln √

x2 + y2 é solução da equação de Laplace bidimen-

sional 2u

∂x2 +

2u

∂y2 = 0.

5. Sejam f e g funções de R em R, deriváveis até 2a ordem.

(a) Mostre que u(x, t) = f (x + ct) + g(x ct) satisfaz a equação 2u

∂t2 = c2

2u

∂x2 .

(b) Mostre que u(x, y) = x f (x + y) + yg(x + y) é solução da equação

2u

∂x2 − 2

2u

∂x∂y +

2u

∂y2 = 0.

6. As superf́ıcies abaixo são os gráficos de uma função f : R2 → R e de suas derivadas parciais

∂ f

∂x e

∂ f

∂y . Identifique cada superf́ıcie e justifique sua resposta.

(a) (b) (c)

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7. Sejam f (x, y) = (x2 + y2) 2 3 e g(x, y) = |xy| 54 . Mostre que f e g são de classe C1 em R2.

8. Seja f (x, y) =

xy2

x2 + y4 + sen (x + 3y), se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que as derivadas parciais ∂ f

∂x e

∂ f

∂y existem em todos os pontos.

(b) f é cont́ınua em (0,0)?

(c) f é diferenciável em (0,0)?

9. Seja f (x, y) =

x3

x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que f é cont́ınua em (0,0).

(b) Calcule ∂ f

∂x (0, 0) e

∂ f

∂y (0, 0).

(c) É f diferenciável em (0, 0)?

(d) São ∂ f

∂x e

∂ f

∂y cont́ınuas em (0, 0)?

10. Considere f (x, y) =

(x2 + y2) sen

(

1 √

x2 + y2

)

, se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que f é diferenciável em (0, 0).

(b) As derivadas parciais ∂ f

∂x e

∂ f

∂y são cont́ınuas em (0, 0)?

11. Seja f (x, y) =

x2sen (

(x2 + y2)2 )

x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Verifique que f é cont́ınua em (0, 0).

(b) Determine ∂ f

∂y (x, y), para todo (x, y) ∈ R2.

(c) A função ∂ f

∂y é cont́ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta.

(d) A função f é diferenciável em (0, 0)? Justifique sua resposta.

12. Seja f (x, y) =

xy x2 − y2 x2 + y2

, se (x, y) 6= (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Verifique que ∂ f

∂x (0, y) = −y para todo y, e que ∂ f

∂y (x, 0) = x, para todo x.

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(b) Verifique que 2 f

∂x∂y (0, 0) = 1 e que

2 f

∂y∂x (0, 0) = −1.

13. Determine o conjunto de pontos de R2 onde f não é diferenciável, sendo:

(a) f (x, y) = 3 √

x3 + y3 (b) f (x, y) = x|y| (c) f (x, y) = e

x4+y4 (d) f (x, y) = cos(

x2 + y2)

14. Mostre que não existe nenhuma função diferenciável f : R2 → R cujo gradiente é dado por: ∇ f (x, y) = (x2y, y2), ∀(x, y) ∈ R2.

15. Calcule ∂w

∂t e

∂w

∂u pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição

seguida de aplicação das regras de derivação parcial.

(a) w = x2 + y2; x = t2 + u2, y = 2tu.

(b) w = x

x2 + y2 ; x = t cos u, y = t sen u.

(c) w = x2 + y2 + z; x = tu, y = t + u, z = t2 + u2.

16. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de 1,2cm/s enquanto sua altura

está crescendo à taxa de 3cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cilindro no

instante em que o raio vale 80 cm e a altura vale 150 cm?

17. Um carro A está viajando para o norte a 90km/h e um carro B está viajando para o oeste

a 80km/h. O carro A está se aproximando e o carro B está se distanciando da intersecção

das duas estradas. Em um certo instante, o carro A está a 0,3km da intersecção e o

carro B a 0,4km. Neste instante, estão os carros se aproximando ou se distanciando um

do outro? A que velocidade?

18. Sejam f : R2 → R, diferenciável em R2, com ∇ f (−2,−2) = (a,−4) e

g(t) = f (2t3 − 4t, t4 − 3t).

Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela

à reta y = 2x + 3.

19. Seja f (x, y) uma função de classe C2 e sejam a, b, c, d constantes tais que a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 e ac + bd = 0. Seja g(u, v) = f (au + bv, cu + dv). Mostre que:

2g

∂u2 (u, v) +

2g

∂v2 (u, v) =

2 f

∂x2 (au + bv, cu + dv) +

2 f

∂y2 (au + bv, cu + dv).

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20. Seja v(r, s) uma função de classe C2 em R2 e defina u(x, t) = v(x + ct, x ct), onde c é constante.

(a) Verifique que

utt(x, t)− c2uxx(x, t) = w(x + ct, x ct),

onde w(r, s) = −4c2vrs(r, s).

(b) Mostre que se u(x, t) é uma solução da equação utt = c2uxx então existem funções

F e G de R em R tais que

u(x, t) = F(x + ct) + G(x ct).[∗]

[*Observação: O item (b) deste exerćıcio foge do contexto desta lista, mas foi intro-

duzido para completar o enunciado do resultado. Entretanto você pode resolver o item

(b) com o conhecimento de cálculo que você tem! Reveja também oExerćıcio 5 (a).]

21. Seja u = u(x, y) função de classe C2 em R2 e defina v(r, θ) = u(r cos θ, r sen θ). Verifique que

2v

∂r2 (r, θ) +

1

r

∂v

∂r (r, θ) +

1

r2 2v

∂θ2 (r, θ) = ∆u(r cos θ, r sen θ),

sendo ∆u, por definição, dado por ∆u = uxx + uyy.

22. Seja f = f (x, y) função de classe C2 em R2. Se u(s, t) = f (es cos t, es sen t), mostre que [

∂ f

∂x (es cos t, essen t)

]2

+

[

∂ f

∂y (es cos t, essen t)

]2

= e−2s [

(

∂u

∂s (s, t)

)2

+

(

∂u

∂t (s, t)

)2 ]

e que

2 f

∂x2 (es cos t, essen t) +

2 f

∂y2 (es cos t, essen t) = e−2s

[

2u

∂s2 (s, t) +

2u

∂t2 (s, t)

]

.

23. Seja f = f (x, y) uma função de classe C2 e seja g : R2 → R dada por

g(u, v) = u f (u2 − v, u + 2v)

(a) Determine 2g

∂u∂v em função das derivadas parciais de f .

(b) Sabendo que 3x + 5y = z + 26 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto

(1, 4, f (1, 4)), 2 f

∂x∂y (1, 4) =

2 f

∂x2 (1, 4) = 1 e

2 f

∂y2 (1, 4) = −1, calcule

2g

∂u∂v (−2, 3).

24. Seja F(r, s) = G(ers, r3 cos(s)), onde G = G(x, y) é uma função de classe C2 em R2.

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(a) Calcule 2F

∂r2 (r, s) em função das derivadas parciais de G.

(b) Determine 2F

∂r2 (1, 0) sabendo que

∂G

∂y (t2 + 1, t + 1) = t2 − 2t + 3.

25. Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superf́ıcie no ponto

indicado:

(a) z = ex 2+y2 , no ponto (0, 0, 1) (b) z = ln(2x + y), no ponto (−1, 3, 0)

(c) z = x2 − y2, no ponto (−3,−2, 5) (d) z = ex ln y, no ponto (3, 1, 0)

26. Determine o plano que passa por (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e é tangente ao gráfico de f (x, y) = xy. Existe mesmo só um?

27. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 5) e (0, 0, 6) e é tangente

ao gráfico de g(x, y) = x3y.

28. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f (x, y) = ln(x2 + ky2) no ponto (2, 1, f (2, 1)) seja perpendicular ao plano 3x + z = 0.

29. Seja f : R R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superf́ıcie z = x f

(

x

y

)

passam pela origem.

30. Se f (x, y) = x2 + 4y2, ache o vetor gradiente ∇ f (2, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de ńıvel 8 de f no ponto (2, 1). Esboce a curva de ńıvel, a reta tangente e o vetor

gradiente.

31. Seja r a reta tangente à curva x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 no ponto (1, 2). Determine as

retas que são tangentes à curva x2 + xy + y2 = 7 e paralelas à reta r.

32. Seja f : R2 → R uma função diferenciável em R2. Fixado um certo P = (x0, y0) ∈ R2, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto

(

x0, y0, f (x0, y0) )

tem equação

−2x + 2y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaixo, uma que não pode ser a curva de ńıvel de f que contém o ponto P:

(a) γ(t) =

(

−1 t

, t

)

; (b)γ(t) =

(

t5

5 ,−2t

3

3 + 3t

)

; (c) γ(t) = (t2, t3 + t).

33. Seja f : R2 → R, f com derivadas parciais cont́ınuas em R2 e tal que 2x + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto

(

0, 2, f (0, 2) )

. Seja

g(u, v) = u f (

sen (u2 − v3), 2u2v )

.

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Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (

1, 1, g(1, 1) )

seja

paralelo ao vetor (4, 2, a).

34. Seja f : R2 → R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas γ(t) = (2, t, 2t2) e µ(t) = (2t2, t, 2t4) estejam contidas no gráfico de f . Determine o gradiente de f no

ponto (2, 1).

35. O gradiente de f (x, y) = x2 + y4 é tangente à imagem da curva γ(t) = (t2, t) em um

ponto P = γ(t0) com t0 > 0. Considere a curva de ńıvel de f que contém P. Encontre

a equação da reta tangente a essa curva no ponto P.

36. Sabe-se que a curva γ(t) = (t2 + 1, t3 + t2 + t) é uma curva de ńıvel da função difer-

enciável f : R2 → R, com f (γ(t)) = 2, ∀t R. Admita que existem 2 pontos (x0, y0) ∈ Imγ com a propriedade de que o plano tangente ao gráfico de f em (x0, y0, 2) é paralelo ao plano x + y z = 0. Encontre esses 2 pontos.

37. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre.

(a) f (x, y) = xe−y + 3y, (1, 0); (b) f (x, y) = ln(x2 + y2), (1, 2);

38. Seja f uma função diferenciável em R2 e considere os pontos A(1, 3), B(3, 4), C(2, 4) e

D(6, 15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor −→ AB/||−→AB|| é 3

√ 5 e que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor

−→ AC/||−→AC|| é

√ 8. Encontre o vetor gradiente ∇ f (1, 3) e a derivada direcional de f em

A na direção e sentido do versor −→ AD/||−→AD||.

39. Mostre que f (x, y) = 3 √

x2y é cont́ınua em (0, 0) e tem todas as derivadas direcionais

em (0, 0). É f diferenciável em (0, 0)?

40. Seja f uma função diferenciável em R2 tal que γ(t) = (t+ 1,−t2), ∀t R é uma curva de ńıvel de f . Sabendo que

∂ f

∂x (−1,−4) = 2, determine a derivada direcional de f no

ponto (−1,−4) e na direção e sentido do vetor ~u = (3, 4).

41. Seja f (x, y) =

x3 + y3

x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0, 0).

(b) Mostre que d

dt f (

γ(t) )

6= ∇ f (

γ(t) )

· γ′(t) em t = 0, onde γ(t) = (−t,−t).

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(c) Seja ~u = (m, n) um vetor unitário (isto é, m2 + n2 = 1). Use a definição de derivada

direcional para calcular ∂ f

~u (0, 0).

(d) É f diferenciável em (0, 0)? Justifique.

42. Sabe-se que f : R2 → R é diferenciável em R2 e que o gráfico de f contém as imagens de ambas curvas γ(t) =

(

t 2

, t

2 ,

t

2

)

e σ(u) =

(

u + 1, u, u + 2 + 1

u

)

, u 6= 0. Determine

∂ f

~u

(

1

2 ,−1

2

)

, onde ~u =

(√ 2

2 ,

√ 2

2

)

.

43. Seja f (x, y) = (xy)1/3.

(a) Determine as derivadas parciais de f nos pontos (x, y) tais que xy 6= 0. (b) Calcule as derivadas parciais de f em (0, 0).

(c) Se a e b são números reais não-nulos, existem as derivadas parciais fx(0, b) e fy(a, 0)?

(d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique.

44. Seja f (x, y) =

xy3

x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0);

0, se (x, y) = (0, 0).

Mostre que existem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0, 0) e

que ∂ f

~u (0, 0) = 〈∇ f (0, 0),~u〉 para todo vetor unitário ~u. É f diferenciável em (0, 0)?

45. A curva de ńıvel 1 da função diferenciável f : R2 → R pode ser parametrizada por γ(t) = (t, 2t2), t R. A curva σ(u) = (−u, u3, u6 − u5 − 2u4 + 1), u R tem sua imagem contida no gráfico de f .

(a) Determine o vetor tangente à curva σ no ponto (−2, 8, 1). (b) Determine o vetor tangente à curva γ no ponto (−2, 8). (c) Calcule o gradiente de f em (−2, 8).

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RESPOSTAS

1. (a) ∂ f ∂x (x, y) = −

y x2+y2

; ∂ f ∂y (x, y) =

x x2+y2

.

2. (a) ∂u∂x (x, y) = 1 y f

′ (

x y

)

; ∂u∂y (x, y) = − xy2 f ′ (

x y

)

.

(b) ∂u∂x (x, y) = a f ′(ax + by); ∂u∂y (x, y) = b f

′(ax + by).

3. −2 8. (b) Não é cont́ınua em (0,0). (c) Não é diferenciável em (0,0).

9. (b) ∂ f ∂x (0, 0) = 1 e

∂ f ∂y (0, 0) = 0. (c) Não.

(d) Nenhuma das derivadas parciais é cont́ınua em (0, 0). 10. (b) Não

11. (b) ∂ f ∂y (x, y) =

{

4x2y(x2+y2)2 cos((x2+y2)2)−2x2ysen ((x2+y2)2) (x2+y2)2

se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0).

(c) Sim. (d) Sim.

13. (a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y = −x.

(b) f não é diferenciável nos pontos da forma (a, 0) com a 6= 0.

(c) f é diferenciável em R2 pois é de classe C1 em R2. (d) O mesmo que o item (c).

16. −9600π cm3/s 17. Distanciando-se a 10km/h. 18. a = 3 23) b) 21.

24.(a) 2F

∂r2 = s2e2rs ∂

2G ∂x2

+ 6r2erss cos s ∂ 2G

∂x∂y + 9r 4 cos2 s ∂

2G ∂y2

+ s2ers ∂G∂x + 6r cos s ∂G ∂y ; (b) 0.

25. (a) z = 1; X = (0, 0, 1) + λ(0, 0, 1), λ R. (b) 2x + y z − 1 = 0; X = (−1, 3, 0) + λ(2, 1,−1), λ R. (c) 6x − 4y + z + 5 = 0; X = (−3,−2, 5) + λ(6,−4, 1), λ R. (d) e3y z e3 = 0; X = (3, 1, 0) + λ(0, e3,−1), λ R.

26. x + 6y − 2z − 3 = 0 (sim, só um) 27. 6x y z + 6 = 0 28. k = 8

30. ∇ f (2, 1) = (4, 8) e a reta é x + 2y − 4 = 0. 31. X = (±1,±2) + λ(5,−4), λ R.

32. (c) 33. a = −4 34. (1, 4) 35. X = (

1 4 , 1

2

)

+ λ(−1, 1), λ R.

36. (2,−1) e (10/9,−7/27). 37. (a) √

5, (1, 2); (b) 2√ 5 ,

(

1 5 , 2

5

)

.

38. ∇ f (1, 3) = (11,−7) e a derivada direcional pedida é −29/13.

39. f não é diferenciável em (0, 0). 40. 4/5 41. (d) Não é. 42. − 3 √

2 2

43. (a) fx(x, y) = y

3(xy)2/3 ; fy(x, y) =

x 3(xy)2/3

(b) fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0

(c) não existem. (d) f é diferenciável no conjunto {(x, y)|xy 6= 0}. 44. f não é diferenciável em (0, 0) 45.(c) ∇ f (−2, 8) = (96, 12)

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EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

Para resolver o exerćıcio a seguir você vai precisar da Regra da Cadeia, do Teorema Fun-

damental do Cálculo e do seguinte resultado:

Teorema: Seja f : R2 → R uma função de classe C1 e defina a função Φ : R R por Φ(x) =

b

a f (x, t) dt. Então a função Φ é derivável e vale que Φ′(x) =

b

a

∂ f

∂x (x, t) dt.

1. Seja F : R R dada por F(x) =

b(x)

a(x) f (x, t) dt

sendo a, b : R R funções deriváveis e f : R2 → R uma função de classe C1. Mostre que

F′(x) = ∫ b(x)

a(x)

∂ f

∂x (x, t) dt + f

(

x, b(x) )

b′(x)− f (

x, a(x) )

a′(x)

2. Calcule F′(x) para:

(a) F(x) = ∫ x

0 e

x2−t2 2 dt (b) F(x) =

∫ 1

0

x

x2 + t2 dt

(c) F(x) = ∫ cosh x

cos x sen (x2t2) dt

3. Envelope de uma famı́lia de curvas: Diz-se que uma curva plana (ou conjunto

de curvas planas) Γ é um envelope de uma famı́lia de curvas planas {γα}αA se Γ tangenciar, em cada um de seus pontos, uma das curvas da famı́lia dada. Por exemplo,

o par de retas y = ±1 é um envelope da famı́lia de ćırculos {Ca}aR dada por

Ca = {(x, y) ∈ R2 | (x a)2 + y2 − 1 = 0}

(veja a figura).

Seja I R um intervalo. Suponha que ()αI seja uma famı́lia de curvas dada por, ∀α I, = {(x, y) ∈ R2 | F(x, y, α) = 0}, com F : Ω → R de classe C1 definida num

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aberto Ω ⊂ R3, e que tal famı́lia admita um envelope dado por uma curva γ : I R2

de classe C1 tal que, ∀α I, γ é tangente a no ponto γ(α) = (x(α), y(α)). Mostre que, para cada α I, (x(α), y(α)) é solução do sistema:

F(x, y, α) = 0 ∂F

∂α (x, y, α) = 0.

Por exemplo, no caso da famı́lia de ćırculos dada anteriormente, ponha F(x, y, α) =

(x α)2 + y2 − 1, de modo que ∂F ∂α

(x, y, α) = −2(x α) e a solução do sistema acima é dada por x = α, y = ±1, o que parametriza o par de retas y = ±1. Sugestão: Derive F(x(α), y(α), α) = 0 pela regra da cadeia e use o fato de que

F(x, y, α) = 0 é a curva de ńıvel 0 da função : R2 → R dada por (x, y) = F(x, y, α), portanto ∇(x(α), y(α)) é ortogonal a γ′(α) = (x′(α), y′(α)).

4. Numa sala quadrada de lado L, uma porta deslizante é representada por um segmento de

comprimento L cujas extremidades são apoiadas em dois lados consecutivos e deslizam

sobre os mesmos. Calcular a razão entre a área útil (para se colocar móveis) e a área

total da sala.

Sugestão: A área útil é delimitada pelo envelope da famı́lia de segmentos formada pelas

posśıveis posições da porta, conforme a figura. Mostre que um envelope dessa famı́lia é

um arco de astroide de equação x 2 3 + y

2 3 = L

2 3 .

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